文档内容
2023-2024 学年九年级调研考试数学
注意事项：
1．满分150分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 有理数2024的相反数是（ ）
A. 2024 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求
解即可．
【详解】解：有理数2024的相反数是 ，
故选：B．
2. 2023年，安徽电动载人汽车，锂电池，太阳能电池等“新三样”合计出口390.6亿元，增长 ，数
据“390.6亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的形式 （其中
为整数）并正确确定 和 的值．
先将390.6亿转化为数字形式，再根据科学记数法的规则确定 和 的值．
【详解】解：390.6亿 ，
故选：B．
3. 安徽大鼓是安徽省的一种传统戏曲剧种．如图，这是表演乐器之一鼓的立体图形，该立体图形的主视图
是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练主视图是从几何体的正前方看到的图形是解答本题的关键．
根据主视图的定义解答即可．
【详解】解：安徽大鼓的主视图是
，
故选：D．
4. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，单项式乘多项式等知识逐项判断解答
即可．
【详解】解：A、 ，故A选项错误；
B、 ，故B选项错误；
C、 ，故C选项错误；
D、 ，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，单项式乘多项式等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
的
5. 向某容器中匀速注水，容器中水 高度 与时间 的函数图象大致如图所示，则这个容器可能是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象获取有效信息，能从函数图象获取有效信息是解答本题的关键．
由函数图象可知，水面高度增加的速度逐渐变慢，逐项判断即可解答．
【详解】解：由函数图象可知，水面高度增加的速度逐渐变慢，只有C选项的容器满足，
故选：C．
6. 下列化简运算不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质，逐一
分析各选项，即可得到答案．
详解】解： ，故 项计算正确，不符合题意；
【
，故B项计算错误，符合题意；故 项计算正确，不符合题意；
，故 项计算正确，不符合题意；
故选：B
7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图 ，点 表示筒车的一个盛水桶．如图 ，当筒车工作
时，盛水桶的运行路径是以轴心 为圆心的圆，且圆心 在水面上方．若圆被水面截得的弦 的长为
，圆心 到 的距离为 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，正弦的定义，连接 交 于点 ，由题意得： ，
， ，由垂径定理可得 ，由勾股定理可得 ，最后由正弦的
定义即可求解．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接 交 于点 ，
，由题意得： ， ， ，
，
∵圆心 到 的距离为 ，
即
，
，
故选：C．
8. 从 ， ， ，1，2，4这6个数中任取一个数作为a的值，则抛物线 的对称轴在y
轴右侧的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式及二次函数的性质，二次函数的对称轴在 y轴的右侧得出 ，从所列6
个数中找到 的个数，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：抛物线 的对称轴为 ，
若抛物线 的对称轴在y轴右侧，
则 ，即 ，
∴从 ， ， ，1，2，4这6个数中任取一个数，共有6种等可能结果，其中使该二次函数的对称轴
在y轴的右侧的有 ， 这2种结果，∴该二次函数的对称轴在y轴的右侧的概率为 ．
故答案为：C．
9. 一次函数 的图象如图所示，则函数 与 在同一平面直角坐标系中的图象
可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象性质，解题的关键是根据一次函数图象确定 k的
取值范围，再据此分析反比例函数与二次函数图象特征．
先由一次函数图象得出 的取值范围，再分别根据反比例函数和二次函数性质，判断其图象所在象限和开
口方向等特征，从而确定符合条件的选项．
【详解】解：对于一次函数 ，其图象经过一，二，四象限．根据一次函数 （ 为
斜率， 为截距）性质，斜率 ，即 ；截距 ，
当 时，根据反比例函数 为常数且 性质，反比例函数 的图象在一，三象限，，二次函数图象开口向下；又因为截距 ，所以二次函数图象与 轴正半轴相交．
综上，反比例函数图象在一，三象限，二次函数图象开口向下且与 轴正半轴相交，对比选项，A正确，
故选：A．
10. 正方形 的边长为 ， ， 分别是边 ， 上的动点，且 ，连接 ， ，
交于点 ，连接 ，当 的值最小时，点 到 的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练
掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键；
根据题意，判定 ，进而判定点P在以 为直径的圆上，从而利用勾股定理，即可求解；
【详解】解：在正方形 中，
， ， ，
，
，
，
点P在以 为直径的圆上．
如图，设 的中点为 ，当点 ， ， 在同一条直线上时， 有最小值．， ，
．
过点 作 于点 ，
，
，
，
，
，
故选：A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则代数式 的值为____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解．已知式子的值求代数式的值，先把把 代入 ，
得 ，再整体代入计算即可作答．
【详解】解：把 代入 ，
得 ，
则 ，则 ，
故答案为：4．
12. 已知关于x的方程 的解是负数，则a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，以及一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌
握运算法则进行解题．
先求出方程的解，然后结合解是负数，解一元一次不等式即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵方程的解是负数，
∴ ，
∴ ．
13. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于A，B两点，若
点A的坐标为 ，则 的面积为_____．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，涉及面积的求解，正确求出交点坐标是解题
的关键．先求出 ，再求出反比例函数解析式 ，与一次函数解析式联立求得 ，然后利用
求解即可．
【详解】解：将 代入 得 ，
解得： ，
∴
将 代入 得 ，
∴反比例函数解析式为： ，
∴ ，
解得： 或
∴ ，
记直线 与 轴交于点 ，如图：
当 ， ，
∴ ，∴ ，
故答案为：16．
14. 如图，在矩形 中，连接 ，点E，F分别在边 ， 上，连接 ， 分别交 于点
M，N，且 ．
（1）求 ______ ．
（2）若 ， ， ，则 ______．
【答案】 ①. 135 ②.
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形内角和定理等知识点，
熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）由矩形的性质可得 ，结合题意得出 ，再结
合三角形内角和定理计算即可得解；
（2）证明 ，由相似三角形的性质可得 ，解直角三角形得出
，求出 ， ，再证明 ，由相似三角形的性质计算即
可得解．
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为：135；
（2）∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ， ，
在 中， ， ，
．
，
∴ ，
，
．
在 中， ， ，
．
，
，
．
，
，．
，
，
，
， ．
，
∴ ，
，
，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】1
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算，先计算乘方、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂和开立
方，再合并同类二次根式即可．
详解】解：原式
【
．
16. 2023年，安徽科技“名场面”越来越多，一系列原创性，标志性科技成果令人振奋．为把科技融入课程，某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型号机器人模型
的单价比B型号机器人模型的单价多200元，购买4台A型号机器人模型的费用比购买5台B型号机器人
模型的费用多500元．现在需要购买A型号机器人模型4台，B型号机器人模型5台，问一共需要花费多
少钱？
【答案】3500元
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设A型号机器人模型的单价为x
元，B型号机器人模型的单价为y元，然后根据题意可得方程组 ，进而求解即可
【详解】解：设A型号机器人模型的单价为x元，B型号机器人模型的单价为y元．
根据题意，得 ，
解得 ．
购买A型号机器人模型4台，B型号机器人模型5台需要花费 （元）．
答：一共需要花费3500元．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C均为格点（网格线的交点）．
（1）将 绕点C按顺时针方向旋转 得到 ，请画出 ．
（2）请画一个格点 ，使 ，且 ．
（3）将线段 向右平移得到线段 ，使四边形 的面积为4，在网格中作出四边形 ．【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转作图，平移作图，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质．熟练掌握
旋转的性质，相似三角形的性质，是解题的关键．
（1）根据旋转的性质，作点A、B的对应点 、 ，然后顺次连接即可；
（2）根据相似三角形的判定，作 ， ， 即可；
（3）将线段 向右平移2个单位，得出线段 ，连接 ， 即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求作的三角形；
【小问2详解】
解：如图， 即为所求作的三角形；
【小问3详解】
解：如图，四边形 即为所求作的四边形．
根据平移可知： ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ．
18. 如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“●”的
个数为3，第2个图案中“●”的个数为8，第3个图案中“●”的个数为15，…，以此类推．（1）第5个图案中“●”的个数是________．
（2）请用含n的代数式表示第n个图案中“●”的个数．
（3）请用含n的代数式表示第n个图案中最长的线段上“●”的个数．
【答案】（1）35 （2） 或 个
（3） 个
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化规律．
（1）根据每组图形规律列出点数即可求得；
（2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可；
（3）根据每组图形规律列出每个图案中最长的线段上“●”的个数，即可得解．
【小问1详解】
解：观察图形：
第1个图案中“●”的个数是 个，
第2个图案中“●”的个数是 个，
第3个图案中“●”的个数是 个，
第4个图案中“●”的个数是 个，
∴第5个图案中“●”的个数是 个，
故答案为：35；
【小问2详解】
解： ，
，
，，
……
由上规律知，第n个图案中“●”的个数为 或 ；
【小问3详解】
解：第1个图案中最长的线段上“●”的个数为2，
第2个图案中最长的线段上“●”的个数为3，
的
第3个图案中最长 线段上“●”的个数为4，…，
∴第n个图案中最长的线段上“●”的个数为 ．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．如图1，这是一辆自行车的实物图．
图2是其平面示意图，测得一些数据，如表所示．
目标 自行车
图形
测得数据 ， ， ，
求车链横档 的长．（结果保留整数．参考数据： ， ， ）
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点 A 作 ，垂足为 H，根据平行线的性质得
， 再 由 三 角 形 内 角 和 定 理 得 ， 解 等 腰 直 角 三 角 形 得
，再根据三角函数的定义得 ，代入计算即可得解．【详解】解：如图，过点A作 ，垂足为H．
，
，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
．
答：车链横档 的长约为 ．
20. 如图， ， 是 的切线，切点分别为A，B， 是 的直径， 交 于点E，连接
交 于点F，连接 交 于点D， ．
（1）求 的长．
（2）连接 ，求证： ．
【答案】（1）2 （2）见解析
【解析】【分析】（1）由切线长的定理得出 ，得出 是 的垂直平分线，再由直径所对的圆周角等
于90度得出 ，再证明 为 的中位线，进而可得出 的长．
（2）由切线的定义得出 ，由直径所对的圆周角等于 90 度进一步得出
，等量代换可得出 ，由线段垂直平分线的性质以及等弧所对的圆
周角相等可得出 ，等量代换可得出 ．
【小问1详解】
解：连接 ，
， 是 的切线，
．
， ，
是 的垂直平分线，
，
是 的直径，
，
．
【小问2详解】
证明： 是 的切线，
．是 的直径，
∴ ，
，
．
是 的垂直平分线，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的定义和性质，切线长的定义和性质，线段垂直平分线的判定
以及性质，三角形中位线的判定以及性质等知识，掌握这些性质是解题的关键．
六、解答题（本题满分12分）
21. 2024年央视总台春晚以“龘（dá）”字为主视觉符号，体现了中国传统篆刻艺术．某校为了弘扬中国
传统文化，举办了以“传承文明”为主题的竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名学生的竞赛成绩进行
了整理，描述和分析（成绩得分用 表示，其中A． ；B． ；C． ；D．
，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息．
七年级C组学生的分数分别为94，92，92，91．
八年级C组学生的分数分别为91，92，93，93，94，94，94，94，94．七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
年 平均 中位 众
级 数 数 数
七 91 a 95
八 91 93 b
（1）填空： ________， ________．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在以“传承文明”为主题的竞赛中，哪个年级的学生对
“传承文明”的了解情况更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
（3）该校现有七年级学生1200名，请估计七年级竞赛成绩为优秀的学生人数．
【答案】（1）92；94
（2）八年级，见解析 （3）720人
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、条形统计图、扇形统计图．
（1）结合条形统计图、扇形统计图、七、八年级C组同学的分数，可得；
（2）通过对比优秀率可得结论；
（3）用总人数乘以七年级优秀人数的占比即可．
【小问1详解】
解：中位数是第10位、第11位的平均数，观察条形统计图可得，中位数在C组，
∴ ，
观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得， ，
故答案为：92，94；
【小问2详解】
解：（答案不唯一）八年级的学生对“传承文明”的了解情况更好．理由如下：选取的七年级的学生竞赛成绩优秀人数的百分比为 ；
选取的八年级的学生竞赛成绩优秀人数的百分比为 ．
，
八年级的学生对“传承文明”的了解情况更好；
【小问3详解】
解：七年级优秀人数约为 ，
七年级竞赛成绩为优秀的学生人数约为720．
七、解答题（本题满分12分）
22. 如图1，在 中， ， ，DE是 的中位线．将 绕点A
按顺时针方向旋转 ，射线BD与射线CE交于点P，如图2所示．
（1）求证： ．
（2）在这个旋转过程中， 的度数是否发生改变？若不变，求出 的度数；若改变，请说明
理由．
（3）当 时，求BP的长．
【答案】（1）见解析 （2）不变，
（3）
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的
判定和性质是解题的关键．（1）证明 ， ， ．即可证明 ；
（2）由 得到 ，又由 即可证明结论；
（3）由勾股定理得到 ．由 得到 ， ，
证明四边形 是正方形，得到 ，即可求出答案．
【小问1详解】
证明： ， ，DE是 的中位线，
， ，
．
在 和 中，
．
【小问2详解】
不变．
如图1，设AB与CP交于点G．
，
，
，．
【小问3详解】
如图2，在 中， ， ，
．
，
， ，
四边形 是正方形，
，
．
八、解答题（本题满分14分）
23. 如图，抛物线 与直线 交于点 ，B，抛物线与y轴交于点C，与x
轴交于点E，N是线段 上一动点（不与点A，B重合），过点N的直线交抛物线于点M，且 轴，
连接 ， ， ， ．
（1）求拋物线和直线的函数表达式．（2）四边形 的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形 的面积的最大值；若不存在，
请说明理由．
（3）求证： ．
【答案】（1） ，
（2）存在，
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出点 、 ，得到 ．设点N的横坐标为 ，则点 ，
．再由 结合二次函数的性质即可得解；
（3）证明 是等腰三角形，过点A作 ，交 于点D，过点B作 ，交 于
点F．则 是 的平分线，得出 ，从而得出 ，再
由平行线的性质得出 ，即可得证．
【小问1详解】
解：将点 代入抛物线 与直线 中，得 ，
，解得 ， ，
抛物线和直线的函数表达式分别为 ， ；
【小问2详解】
解：存在．
对于 ，令 ，得 ，
点 ．
，解得 或 ，
点 ，
∴ ．
设点N的横坐标为 ，则点 ， ．
， ，
，
当 时， 的值最大，最大值为 ．
的最大值为 ．
【小问3详解】证明：由点 ， ，
，
，
是等腰三角形．
如图，过点A作 ，交 于点D，过点B作 ，交 于点F．
是等腰三角形，
是 的平分线，
．
，
．
， ，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、等腰三角形的判定与性
质、求一次函数的解析式、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
