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第 5 讲 圆锥曲线综合问题
目录
重难点题型突破
突破一：求椭圆，双曲线，抛物线轨迹方程
突破二：离心率问题
突破三：圆锥曲线上点到定点（定直线）距离最值
突破四：圆锥曲线中三角形（四边形）面积最值问题
突破五：圆锥曲线中定点，定值问题
突破六：圆锥曲线中定直线问题
突破七：圆锥曲线中的向量问题
突破一：求椭圆，双曲线，抛物线轨迹方程
1．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二阶段练习）平面直角坐标系中，动圆T与x轴交于两
点A，B，与y轴交于两点C，D，若|AB|和 均为定值，则T的圆心轨迹一定是（ ）
A．椭圆（或圆） B．双曲线 C．抛物线 D．前三个答案都不对
【答案】D
【详解】设圆心 ，半径 ，由圆在 轴上截得弦长为 得 ，
所以 ，同理：
两式相减消去 得
当 时， ，圆心轨迹为直线，
当 时， ，因为|AB|和 均为定值，故圆心轨迹为双曲线，
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知两圆 ，动圆 与圆 外切，且和
圆 内切，则动圆 的圆心 的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】如图，
设动圆 的半径为 ，则 ， ，
则 ，
所以动圆圆心 的轨迹是以 ， 为焦点，以 为实轴长的双曲线的右支.
因为 ，
所以 .
故动圆圆心 的轨迹方程为 .
故选：D.
3．（2022·湖北省天门外国语学校高二阶段练习）直线 和 上各有一点 （其中点 的纵坐
标分别为 且满足 ）， 的面积为4，则 的中点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为直线 和 互相垂直，
所以 ，
又 ，
所以点 在一，四象限或者二，三象限，
设 ，
因为 为 的中点，
所以 ，所以
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
故选：B
4．（多选）（2022·湖北·高二阶段练习）圆 的半径为定长 是圆 上任意一点， 是圆 所在平面上
与 不重合的一个定点，线段 的垂直平分线 和直线 相交于点 ，当点 在圆上运动时，点 的轨
迹可能是（ ）
A．一个点 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
【答案】ABD
【详解】（1）因为 为圆 内的一定点， 为 上的一动点，线段 的垂直平分线交半径 于点
，可得 ，即动点 到两定点 的距离之和为定
值，
①当 不重合时，根据椭圆的定义，可知点 的轨迹是：以 为焦点的椭圆；
②当 重合时，点 的轨迹是圆；
（2）当 为圆 外的一定点， 为 上的一动点，
线段 的垂直平分线交直线 于点 ，
可得 ，
即动点 到两定点 的距离之差绝对值为定值，
根据双曲线的定义，可得点 的轨迹是：以 为焦点的双曲线；
（3）当 为圆 上的一定点， 为 上的一动点，此时点 的轨迹是圆心 .
综上可得：点 的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线.
故选：ABD
5．（多选）（2022·江苏南通·高二期中）过椭圆 外一点 作椭圆 的两条切线，切点
分别为 ，如果 ，那么点 的轨迹可能是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．线段
【答案】BC
【详解】依题意可知直线 和直线 的斜率存在，
设过 的椭圆的切线方程为 ，由 消去 并化简得： ，
其 ，
整理得 ， ，
其 ，整理得 ，符合题意，
所以 ，
整理得 ①， ，
当 时， ，①即 ，
即 点的轨迹是圆的一部分.
当 或 时， ，由于 ，所以 点的轨迹是椭圆的一部分.
故选：BC
6．（2022·上海市嘉定区第一中学高二期末）已知 、 ， ，函数 ．若
、 、 成等比数列，则平面上点 的轨迹是______．
【答案】双曲线和直线
【详解】解：由题意得 ，
即 ，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以 或 ，
其中 为双曲线， 为直线.
故答案为：双曲线和直线.7．（2022·福建三明·高二期中）双曲线 ： 实轴的两个顶点为 ， ，点 为双曲
线 上除 ， 外的一个动点，若 ， ，则动点 的轨迹方程是______.
【答案】 且
【详解】设 ,
由双曲线方程知，实轴的两个顶点 ，
，
∵QA⊥PA，∴ ，
可得 ，
同理根据QB⊥PB，可得 ，两式相乘可得
∵点 为双曲线M上除A、B外的一个动点，
，整理得 ，
，化简可得 ，由 点不与 重合，知 .
动点 的轨迹方程是 且 .
故答案为： 且 .
8．（2022·河北·任丘市第一中学高二期中）已知 ，B是圆C： 上的任意一点，线段
BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为______.
【答案】
【详解】解：圆 ，圆心为 ，半径为4，
因为线段 的垂直平分线交 于 点，所以 ，
所以 ．
所以由椭圆定义知， 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，方程为 ．
故答案为： ．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 与直线 有唯一的公共点 ，过点且与 垂直的直线分别交 轴､ 轴于 两点，当点 运动时，点 的轨迹方程是
___________.
【答案】
【详解】由 得， ，
因为 与双曲线有唯一的公共点 ，即相切于 点，
所以
化简得 ， ，
所以过点 且与 垂直的直线为 ，
所以 ，
所以
所以点 的轨迹是 .
故答案为：
10．（2022·吉林·辽源市第五中学校高三期中）已知过定点 的直线 交曲线 于A，B两点．
(1)若直线 的倾斜角为 ，求 ；
(2)若线段 的中点为 ，求点 的轨迹方程．
【答案】(1)
(2) ，其中
【详解】（1）由题得l方程为： ，将其与 联立有
，消去y得： ，解得 或 .则令A ，B ，则 = .
（2）由题，直线 存在，故设l方程为： .
将其与 联立有： ，消去y得：
因l与双曲线有两个交点，则 ，
得 且 .设 .
又设M坐标为 ，则 .
因A，B在双曲线上，则有 .
又M， 在直线l上，则 .
故
由韦达定理有， ， .
则M坐标为 .
又 ， 且 ，则 或 .
综上点 的轨迹方程为： ，其中 .
11．（2022·四川·雅安中学高二期中）已知抛物线 经过点 （a为正数），F为抛物
线的焦点，且 ．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若点Q为抛物线C上一动点，点M为线段 的中点，求点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由抛物线 经过点 ，可得 ，可得 ，
又 ，可得 ，
解得 ，
故抛物线C的标准方程为 ；
（2）由（1）知 ，则 ，
设 ，
根据点M为线段 的中点，
可得 即
由点Q为抛物线C上一动点，可得 ，
整理可得点M的轨迹方程为 ．
12．（2022·全国·高二单元测试）已知动点 是曲线 上任一点，动点 到点 的距离和到直
线 的距离相等，求 的方程，并说明 是什么曲线；
【答案】曲线 的方程为 ，表示以 为焦点，直线 为准线的抛物线
【详解】解：因为曲线 上任意一点 到点 的距离和到直线 的距离相等，满足抛物
线定义，
所以曲线 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，
故曲线 的方程为： .
13．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 和 与抛物线 （p＞0）分别相交于
A，B两点（异于原点O）与直线l：y＝2x+p分别相交于P，Q两点，且 ．求线段AB的中点M的
轨迹方程；【答案】
【详解】联立 ，解得： ，
把 代入 得： ，
所以 ，
同理可得： ，
则线段AB的中点M的坐标为 ，
因为 ，
所以 ，
消去 得：
所以线段AB的中点M的轨迹方程为 .
14．（2022·全国·高三专题练习）已知点 到定点 的距离比它到x轴的距离大 ，求点P的
轨迹C的方程；
【答案】 或
【详解】依题意，得 ，即 ①， ，
两边平方得 ，②，
两边平方得 ，
整理得 ，即 ，
可得 或 ，
当 时，②转化为 ，所以 ，
此时①转化为 ，所以 ，
所以 点的轨迹 的方程为 或 .
15．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ， ， 为直线 上的两个动点，且 ，动点
满足 ， （其中 为坐标原点），求动点 的轨迹 的方程．
【答案】
【详解】设 、 、 ，
则 ， ， ，
由 ，得 ，且点 、 均不在 轴上，故 ，且 ， ．由
，得 ，即 ．由 ，得 ，即 ．
∴ ，
∴动点 的轨迹 的方程为： .
突破二：离心率问题
1．（2022·湖南·模拟预测）若 ，椭圆C： 与椭圆D： 的离心率分别为 ，
，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】D
【详解】解：因为 ，所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 的最大值为 ， 无最小值．
故选：D
2．（2022·河北·模拟预测）设 ､ 分别是椭圆 的左､右焦点， 为椭圆上的一点，若
的最大值为 ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据题意可知 ，
当且仅当 时等号成立，所以
，即 ，所以 ，即 ，
故选：A．
3．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，
直线 与 的另一个交点为 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，∴ ，设 ，则 ，由 ，根据勾股定理，有 ，即
解得 ，即 ，
由 ， ， ， ， 三点共线，
∴ ，代入椭圆方程，有 ，化简得 ，
所以椭圆离心率为 .
故选：B
4．（2022·湖南永州·一模）已知椭圆 分别为其左､右焦点，过 作直线 轴交
椭圆 于 两点，将椭圆所在的平面沿 轴折成一个锐二面角，设其大小为 ，翻折后 两点的对应
点分别为 ，记 .若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】将 代入 中，解得： ，
所以 ，且 ，
则在 中分别由余弦定理得，
，
所以
又由 得： ，所以 ，即 ，所以 ，即离心率为 .
故选：A.
5．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆 的左右焦点为 ，
若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得 为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】法一：显然， 是短轴端点时， ，满足 为等腰三角形，因此由对称性，还有四
个点在四个象限内各有一个，
设 是第一象限内使得 为等腰三角形的点，
若 ，则 ，又 ，
消去 整理得： ，
解得 (舍去)或 ，
由 得 ，
所以 ，即 ，
若 ，则 ，又 ，
消去 整理得： ，
解得 或 ， 舍去．
所以 ，
所以 ，即 ，
时， ， 是等边三角形， 只能是短轴端点，只有2个，不合题意．综上， 的范围是 ．
法二：①当点 与短轴的顶点重合时， 构成以 为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件
的 ；
②当 构成以 为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一
点 满足 为等腰三角形即可，则 或
当 时，则 ，即 ，则 ，
当 时，则有 ，则 ，
综上所述，椭圆的离心率取值范围是 .
故选：A.
6．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知斜率为 的直线l与椭圆 相
交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，若C，D恰好是线段 的两个三等分点，则椭圆E的
离心率e为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，设 ， ，∵C，D分别是线段 的两个三等分点，∴ ，
，则 ，
得 ，
利用点差法，由 两式相减得 ，
整理得到 ，即 ，所以 .
故选：C．7．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为 的液
体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当液面倾斜至如图所示位置时，
设 ， .
因为圆柱底面积为 ，故液体体积为
，解得 ，即 ，
，故 ，所以 ， ，
即 ，所以离心率 ，即椭圆离心率的取值范围是 .
故选：
8．（2022·河北·模拟预测）已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点， 为右顶点，
为上顶点，若在线段 上（不含端点）存在不同的两点 ，使得 ，则椭圆 的
离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】易知点 、 、 、 ，则线段 的方程为 ，
在线段 上取一点 ，满足 ，则 ，
， ，
所以， ，
整理可得 ，
由题意可知，关于 的方程 在 时有两个不等的实根，
则 ，可得 ，可得 ，
所以， .
故选：D.
9．（2022·江苏盐城·三模）已知点 为椭圆 ： 的上顶点，点 ， 在椭圆上，满足
且 ，若满足条件的△ 有且只有一个，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设直线 ： ，则 ： ，而 ，
不妨取 ，直线 与椭圆联立，消去 得 ，解得 ，
所以 ，则 ，因为 ，所以 ，
整理得， ，易知 符合，
因为满足条件的△ 有且只有一个，
所以 无 之外的解，整理得 ，
所以 ，即 ，
所以离心率 ．
故选：B
10．（2022·广西广西·模拟预测（理））双曲线 的左右顶点分别为 ，曲线
上的一点 关于 轴的对称点为 ，若直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则当 取到
最小值时，双曲线离心率为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】B
【详解】设 ，
则 ， ，所以 ，
将曲线方程 代入得 ，
又由均值定理得 ，当且仅当 ，即 时等号成
立，
所以离心率 ，
故选：B
11．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））已知双曲线 的左､右焦点分别为
， 为双曲线右支上的一点，若 在以 为直径的圆上，且 ，则该双曲线离心率的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】 在以 为直径的圆上， ，
， ， ， ，
由双曲线定义知： ，即 ，
；
， ， ，
则 ， ，
即双曲线离心率的取值范围为 .
故选：D.
12．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知 是双曲线 的右焦点，
点 ，连接 与渐近线 交于点 ， ，则C的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题可知， ，所以直线AF的方程为 .
，解得 ，
，即
，同除 可得：
解得 或 （舍）.
故选：A.13．（2022·四川雅安·三模（文））已知双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题可得渐近线 的斜率满足 ，
所以离心率 .
故选：D.
14．（2022·山西·模拟预测（理））双曲线 的右顶点为 在 轴上，若 上
存在一点 （异于点 ）使得 ，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ，
∵ ，
点的轨迹方程为 .
联立 得 ，
解得 （舍去）， ，
由题意知点 在双曲线的右支上，即 ，
故 ，化简得 ，
因为 ，所以 ，
故选：D.
15．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））双曲线 ： 的左､右焦点分别为
， ，若在双曲线 上有一点 使得三角形 为直角三角形，且该三角形某个锐角的正切值为 ，
那么该双曲线离心率的最大值为（ ）A． B． C． D．5
【答案】C
【详解】设焦点 的坐标为 ，由于双曲线是对称图形，故我们只需要考虑点 在第一象限的情况，
此时可分为三类：
① 为直角， 的正切值为 .
设 ， ，则 ， ，化简可得
所以 ，而 ，由正切函数的定义知 ，又 ，所以 ，所以
，由于 ，所以 ；
② 为直角， 的正切值为 ，因为 ， ，由正切函数的定义知 ，
同理可得 ，所以 ；
③∵当 时，
因为点 在右支，所以 ，所以 ，
所以 ，故 ，又
所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，
综上所述，该双曲线离心率的最大值为 .
故选：C .
16．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））已知点F为双曲线 （ ， ）的右焦点，若双
曲线左支上存在一点P，使直线 与圆 相切，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设直线 为 ，
因为直线 与圆 相切，所以 ，所以
解得 ，
因为点 在双曲线的右支上，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
17．（2022·甘肃兰州·一模（理））已知椭圆 ： 与双曲线 有公共的焦点 ､ ，
为曲线 ､ 在第一象限的交点，且 的面积为2，若椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为
，则 的最小值为（ ）
A．9 B． C．7 D．
【答案】B
【详解】记椭圆中的几何量为a，b，c，双曲线中的几何量为 ， ，
则由椭圆和双曲线定义可得 …①， …②，
两式平方相减整理得 ，
记 ，则由余弦定理得 …③
①2-③得 …④
由面积公式可得 ，即 ，代入④整理得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
故选：B
突破三：圆锥曲线上点到定点（定直线）距离最值
1．（2022·河南郑州·三模（文））斜率为1的直线l与椭圆 相交于A，B两点，则 的最大值
为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】设 两点的坐标分别为 ， ，直线l的方程为 ，
由 消去y得 ，
则 ， .
∴
，
∴当 时， 取得最大值 ，
故选:D.
2．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））已知 ， ， 分别为椭圆C：
的左，右焦点，过 垂直于长轴的直线交椭圆C于A、B两点，且 ；Q为C上任意一点，求
的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A
【详解】连接 ，
由椭圆方程可得 ，故
在椭圆方程 ，令 ，则 ，
因为 ，故 ，解得 ，
故椭圆方程为： .
而 ，
因为 ，故 ，
当且仅当 三点共线且 在 中间时等号成立，
故 即 的最小值为3.
故选：A.
3．（2022·江苏南通·高二期中）若点 ， 分别在椭圆 和直线 上运动，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由椭圆方程可设 ，
则 到直线 的距离为
，
当 时， ，
所以 的最小值为 ，故选：A
4．（2022·四川攀枝花·高二期末（理））已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在
的左支上，过点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得 ，故 ， 如图所示：
到渐近线 的距离 ,
则 ，当且仅当 ， ， 三点共线时取等号，
∴ 的最小值为 .
故选：D
5．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知点 是抛物线 上的动点，点A的坐标为 ，
则点 到点A的距离与到 轴的距离之和的最小值为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．
【答案】B
【详解】如图， ⊥ 轴，连接 ，
由抛物线定义得：抛物线 的准线方程为 ，焦点坐标为 ，
故 ，
则点 到点A的距离与到 轴的距离之和 ，
连接 ，与抛物线交于点 ，此时 ，
故点 到点A的距离与到 轴的距离之和的最小值为 ，
其中 ，故最小值为 .故选：B
6．（2022·陕西·交大附中模拟预测（文））已知抛物线 的焦点为 ，若 ， 是抛物线上一
动点，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【详解】根据题意,作图如下：
设点P在其准线x=-1上的射影为A,由抛物线的定义得: .
所以要使 取得最小值,只需 最小.
因为 (当且仅当M,P,A三点共线时取“=”),
此时点P的纵坐标为1,设其横坐标为x.
0
因为P(x,1)为抛物线 上的点,则有 ，解得： .
0
当P为( ,1)时, 取得最小值2.
故选：B．
7．（2022·全国·高三阶段练习）已知双曲线 ，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂
线，垂足分别为M，N.则 的最小值为______.【答案】 ##
【详解】双曲线 ， ，
双曲线 的渐近线方程为 ，
设 是双曲线上任意一点， ，
则 ， .
由点到直线的距离公式得 ，
两边平方得
所以 ，即 的最小值为 .
故答案为：
8．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知 是抛物线 上一点，则 的最小
值为______.
【答案】
【详解】如下图示，过抛物线 上的动点 作直线 的垂线交直线于 ，过点
作 轴的垂线交 轴于Q，交准线于G点，F为抛物线焦点.则 ，动点 到 轴的距离为 .
，当且仅当 三点共线时，
有最小值，即 （ 为点 到直到 的距离）.
而 到直线 距离为： .
，
.
最小值为： .
故答案为： .
9．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期末（理））已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线
l：x＝－1，l：x＋y＋3＝0，则P到直线l，l 的距离之和的最小值为_______
1 2 1 2
【答案】
【详解】将P点到直线l： 的距离转化为点P到焦点F(1，0)的距离，过点F作直线l 的垂线，交抛
1 2
物线于点P，此即为所求最小值点，
∴P到两直线的距离之和的最小值为 ＝2 ，
故答案为： .10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的焦点为 ， ，点P为椭圆上任意一点，过 作
的外角平分线所在直线的垂线，垂足为点Q.抛物线 上有一点M，它在x轴上的射影为点
H，则 的最小值是________.
【答案】
【详解】解：如图所示，延长 交 于点 ，连接 .
因为 的外角平分线是 ,且 ,
所以 , 因为 ,
所以 ,
因为 ,
所以点 的轨迹为以点 为圆心2为半径的圆，
所以点 的轨迹方程为 .由题得抛物线 的焦点坐标为 ,准线方程为 .
所以 ,
所以
因为 .
所以 .
所以 的最小值是 .
故答案为：
突破四：圆锥曲线中三角形（四边形）面积最值问题1．（2022·湖北·高二阶段练习）在 中，已知点 与 边上的中线长之和为
6.记 的重心 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)若圆 ，过坐标原点 且与 轴不重合的任意直线 与圆 相交于点 ，直线
与曲线 的另一个交点分别是点 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：根据三角形重心的性质及已知条件，得
∵ ，
∴曲线C是以 为焦点，长轴长 的椭圆（不含x轴上的两点）
由 ，得
∴ 的方程为 ；
（2）解：法一､
因为 ，由题意知直线 的斜率存在且不为 ， ，
不妨设直线PE的斜率为 ，则 .
由 ，解得 或 ，
∴
∴ ，用 代替 ，可得 ，
∴ ，
设 ，由 ，可得 ，当且仅当 ，即 时，取等号，
∴ ，
∴ ，
令 ，函数 在 上递增，
∴ ，
∴ ，当 时，取等号，
∴ 面积的最大值为 .
法二､设 ，易知 斜率存在，设直线 为
由 得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，得 ，即
整理得： ，
（ 舍去）
∴ 与 轴交于∴
设
∴ 在 时单调递减，
当 ，即 时，
2．（2022·重庆巴蜀中学高二阶段练习）定义：若点 在椭圆 上，并
满足 ，则称这两点是关于 的一对共轭点，或称点 关于 的一个共轭点为
．已知点 在椭圆 上， 是坐标原点．
(1)求点 关于 的所有共轭点的坐标：
(2)设点 在 上，且 ，求点 关于 的所有共轭点和点 所围成封闭图形面积的最大值．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）设点 关于 的共轭点的坐标为 ，由题意有 ，
消去 得 ，解得 ，
即点 关于 的共轭点有且只有一个，坐标为 ，即为 本身；
（2）因为 ，所以 ，
所以设直线 方程为： ，
将其与椭圆方程联立有 ，消去 得 ．
由题有 ．又设 ，则 ．
则
．
又设 到直线 距离为 ，则 ．
则所围成的图形面积为
，当且仅当 ，即 取等号．
故点 关于 的所有共轭点和点 所围成封闭图形面积的最大值为 ．
3．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知抛物线 的准线过椭圆 的左焦点,且椭圆 的一
个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形.
(1)求椭圆 的方程;
(2)直线 交椭圆 于 两点,点 在线段 上移动,连接 交椭圆于 两点,过 作 的垂线交
轴于 ,求 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解:由题知抛物线的准线为 ,
,
因为椭圆 的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形,
,
故椭圆的标准方程为: ;
（2）由(1)得椭圆的方程为 ,
的垂线交 轴于 ,的斜率存在,
连接 交椭圆于 两点,
的斜率不为0,
不妨设 ,
则 ,
联立 ,
即 ,
,
,
设 ,
,
,
解得: ,
到直线 的距离为: ,,
当且仅当 ,即 时取等,
故 面积的最小值为 .
4．（2022·山西省运城中学校高二期中）已知椭圆 ，点P为E上的一动点，
分别是椭圆E的左､右焦点， 的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点 的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求 面积的最大值及此时l的方程.
【答案】(1)
(2) ，此时直线 的方程为： .
【详解】（1）由题意得 ,解得： ，
椭圆的方程是： .
（2）设 ，
联立 消去 得：
由题意可知：点 ,
所以
令 ，则 ，所以 ，
，易知 在 单调递增，
所以当 ，此时 ，所以直线 的方程为： .
5．（2022·辽宁·鞍山一中高二期中）已知椭圆 经过点 且离心率为
(1)求椭圆 的方程(2)过点 的直线与椭圆相交于 、 两点， 为椭圆的左焦点，记 的面积为 ，求 的取值范
围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）椭圆的离心率 ，即 ，故 ，
椭圆 过点 ，故 ， ，椭圆为 .
（2）易知直线斜率不为0，设直线方程为 ，联立得 ，
得到 ， ，
，
，
设 ， ，则
函数 在 上单调递增，故 ，
故 .
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，椭圆 和圆 ，已知椭圆 的离
心率为 ，直线 与圆 相切．(1)求椭圆 的标准方程；
(2)椭圆 的上顶点为 ， 是圆 的一条直径， 不与坐标轴重合，直线 、 与椭圆 的另一个交
点分别为 、 ，求 的面积的最大值及此时 所在的直线方程．
【答案】(1)
(2) ， 所在的直线方程为
【详解】（1）直线 与圆 相切，则 ，
由椭圆的离心率 ，解得： ，
椭圆的标准方程： ；
（2）由题意知直线 ， 的斜率存在且不为0， ，
不妨设直线 的斜率为 ，则直线 ．
由 ，得 ，或 ，
所以 .
用 代替 ，
则 ，
，，
设 ，则 ．
当且仅当 即 时取等号，
所以 .
即 ， ．
直线 的斜率 ，
所在的直线方程： .
7．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 和抛物线
，椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，且椭圆 上有一点 满足 ，抛物
线 的焦点为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过 作两条互相垂直的直线 和 ，其中直线 交椭圆 于 ， 两点，直线 交抛物线 于 ， 两
点，求四边形 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)8
【详解】（1）由题意可知，抛物线 的焦点为 ，
因为抛物线 的焦点为 ，所以椭圆 的半焦距 ，
又椭圆 有一点 满足 ，
所以椭圆 的离心率 ，所以 ， ，
则求得椭圆 的方程是 ．
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 即为 轴，与抛物线只有一个交点，不满足条件；
当直线 的斜率为 时， ， 为椭圆长轴两端点，直线 轴， ，四边形 的面积 ；
当直线 的斜率 时，设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立直线 与椭圆 ，消去 可得 ，
则 ， ．
则弦长
，
设 ， ， ， ，联立直线 与抛物线 ，
消去 可得 ，则 ，
由抛物线的定义，弦长 ，
由于 ，则四边形 的面积 ，
令 ，则 ，
即 ，令 ，则 ，
可知 时， ，则 单调递增，则 （3） ，
综上，当直线 斜率 时，四边形 面积有最小值8．
8．（2022·全国·高三专题练习）在直角坐标系 中，已知点 ， ，动点 满足：
．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)若分别过点 、 ，作两条平行直线 ， ，设 ， 与轨迹 的上半部分分别交于 、 两
点，求四边形 面积的最大值．
【答案】(1) ；
(2)3.
【详解】（1）设点 ，由点 ， ．动点 满足： ．
．由椭圆定义可知点 的轨迹是以点 ， 为焦点，长轴长为4的椭圆，
故其方程为： ．
（2）设直线 ，它与轨迹 的另一个交点为 ，设 为 到直线 的距离，也即 到直线 的
距离；
由椭圆的对称性知： ，
与 联立，消去 ，得 ，设 两点的坐标为
则△ 显然成立，且 ，
，
又 ， ，令 ，
则 ，
设 ，在 上任取 ，则 ，
因为 ，故可得 ， ，即 ，
故 在 上单调递增.
在 , 上单调递增
当 即 时， 取得最大值3，
故所以四边形 面积的最大值为3．
9．（2022·湖南师大附中高二阶段练习）已知双曲线 ，其虚轴长为 ，直线
与曲线 的左支相交于相异两点 .
(1)求 的取值范围；
(2) 为坐标原点，若双曲线上存在点 ，使 （其中 ），求 的面积的取值
范围.
【答案】(1) ；(2) .
【详解】（1）因为双曲线 的虚轴长为 ，所以 ，
故双曲线方程为 .
联立 消去 整理得 ，
因为直线 与曲线 的左支相交于相异两点 ，所以该方程有两个不相等的负数根，设
.
，解得 .
实数 的取值范围是 .
（2）设 ，由 得： .
所以 ， ，
故 ， ， .
点 在双曲线 上， ，
整理得 ，
因为， ，所以 ，即 .
，
又点 到直线 的距离为
，，
由于 ，
， ，令 ，则 ， .
令 ， .
，且设 ，
则
，
因为 ， ，所以 ，所以有 ，
所以 ，所以， 在 上单调递增，
所以，当 时， 有最小值 ；
当 时， 有最大值 .
故 .10．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图， 为坐标原点，椭圆 的左、右焦点分
别为 、 ，离心率为 ；双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，已知
， 且 过 作 的不垂直于 轴的弦 ， 为 的中点，直线 与 交于
、 两点.
(1)求 、 的方程；
(2)若四边形 为平行四边形，求直线 的方程；
(3)求四边形 面积的最小值.
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)
【详解】（1）解：由题意可得 ， ， ，则 ，
， ， ，
所以，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 .
（2）解：由（1）可知 ，因为直线 不垂直于 轴，设直线 的方程为 ，
设点 、 、 ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
则 ， ，所以，点 ，因为四边形 为平行四边形，则 为线段 的中点，故点 ，
将点 的坐标代入双曲线 的方程可得 ，即 ，
解得 ，
因此，直线 的方程为 或 .
（3）解：由（2）可得 ，
，所以，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，所以， ，
不妨取点 、 ，
所以点 到直线 的距离为 ，
点 到直线 的距离为 ，
则 ，
所以，四边形 的面积为
，
故当 时，四边形 的面积取最小值 .
11．（2022·江苏省邗江中学高二期中）在一张纸片上，画有一个半径为4的圆（圆心为M）和一个定点
N，且 ，若在圆上任取一点A，将纸片折叠使得A与N重合，得到折痕BC，直线BC与直线AM
交于点P．(1)若以MN所在直线为 轴，MN的垂直平分线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P的轨迹
方程；
(2)在（1）中点P的轨迹上任取一点D，以D点为切点作点P的轨迹的切线 ，分别交直线 ，
于S，T两点，求证： 的面积为定值，并求出该定值；
(3)在（1）基础上，在直线 ， 上分别取点G，Q，当G，Q分别位于第一、二象限时，若
， ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定值为2
(3)
【详解】（1）过点N作圆M的切线，切点分别为E，F．
由题意知，BC是线段AN的垂直平分线，
因为直线BC与直线AM交于点P，所以 ，
当点A在劣弧EF上时，点P在射线MA上，所以 ；
当点A在优弧EF上时，点P在射线AM上，所以 ．
所以 ，
所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线．设该双曲线的标准方程为 ，
则 ， ，
所以a＝2， ， ，
所以点P的轨迹方程为 ；
（2）双曲线的渐近线为 ．由题意知直线l的斜率存在，设
当直线l的斜率为0时，易知 是以ST为底边的等腰三角形，
, ，则 ，此时 ．
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为 ，
联立 消去x得 ，
．①
设直线l与y轴交于点H，则 ，
则 ．
（直接求 的面积不易求得，将 进行拆分）
联立 ，
联立 ．
则 （定值）．
综上所述， 的面积为定值2；
（3）由题可设 ， ， ， ， ．因为 ，所以
将点 的坐标代入双曲线方程有 ，化简得 ．
故 ．
（三角形面积公式 ）
因为 ，所以由对勾函数性质得 ，
故 ．
12．（2022·四川·德阳五中高二期中（文））已知椭圆 ： ，以椭圆 的右焦点为焦点的抛物
线 的顶点为原点，点 是抛物线 的准线上任意一点，过点 作抛物线 的两条切线 、 ，其中
、 为切点，设直线 ， 的斜率分别为 ， .
(1)求抛物线 的方程及 的值；
(2)求证：直线 过定点，并求出这个定点的坐标；
(3)若直线 交椭圆 于 、 两点， 分别是 、 的面积，求 的最小值.
【答案】(1)抛物线 的方程为 ；
(2)证明见解析，定点的坐标为
(3)
【详解】（1）依题意椭圆 ： 的右焦点为 ，可得抛物线 的焦点坐标为 ，所以抛物线 的方程为 .
抛物线 的准线方程为 ，故设 ，
过点 与抛物线 相切的直线斜率一定存在，设方程为 ，
将其代入 得 ，由 得 ，
即 ， ，其两根即为 ，所以 .
（2）证明：设 ， ，不妨设 在第一象限，则 ，
对于抛物线 在第一象限内部分有 ，
由 可得 ，故 ，同理可得 ，
则点A为切点的切线方程为 ，即 ，
同理，以 为切点的切线方程为 ，
因为两切线均过点 ，所以 ， ，
即 两点的坐标皆满足方程 ，又由于两点确定一条直线，
故切点弦 的方程为 ，所以直线 恒过定点 .
（3）设点 到直线 的距离为 ，则 ，
因为直线 恒过定点 ，且斜率不为零，故设直线 的方程为 .
联立 ,得 ， ，则 ，
则 ；
联立 ，得 ， ，
设 ， ，则 ，
则 ，则 ，故当 时， 有最小值 .
13．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知点 是抛物线 与椭圆
的公共焦点，椭圆上的点 到点 的最大距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点 作 的两条切线，记切点分别为 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
（1）
抛物线 的焦点为 ，即 ，
椭圆上的点 到点 的最大距离为 ，所以 ， ，
所以椭圆方程为 .
（2）
抛物线 的方程为 ，即 ，
对该函数求导得 ，
设点 ， ， ，
直线 的方程为 ，
即 ，即 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
由于点 为这两条直线的公共点，则 ，
所以点 ， 的坐标满足方程 ，
所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，所以 ，
点 到直线 的距离为 ，
所以 ，
因为 ，
由已知可得 ，
所以当 时， 面积的最大值为 .
14．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，设 是
抛物线上一点．
(1)求抛物线方程；
(2)若抛物线的焦点在x轴上，过点M做两条直线 分别交抛物线于A，B两点，若直线 与 的倾斜角互
补，求 面积的最大值．
【答案】(1) 或
(2)6
（1）由题意抛物线过点 ，所以设抛物线方程为： 或 ，带入点M得，
或 ，抛物线方程为： 或 ．
（2）由抛物线焦点在x轴上，抛物线方程为 ，设 ，因为直线 与 的倾斜角
互补，所以 ，得 ，即 ，整理得 ，所以
则设直线 ，即 ，点M到直线 的距离为： ，
，所以
，令 ，由 ，得 ，所以 ．因为 是偶函数，所以只需讨论 的情况．当 时，令 ，则 ，所以 在
上单调递增，所以 的最大值为 ，即 的最大值为 ．综
上可知， 的面积的最大值为6．
15．（2022·湖南·长沙市同升湖高级中学有限公司高三阶段练习）已知抛物线 的焦点为
， 为抛物线上一点， .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)过 的两直线交抛物线于 ， ，且 的平分线平行于y轴，试判断 的面积是否有最大值？
若有，求出最大值；若没有，说明理由.
【答案】(1)
(2) 的面积有最大值，最大值为
【详解】（1）因为 为抛物线 上一点，所以 .因为 ，
所以 ，即 ，解得 ，所以抛物线C的标准方程为 .
（2）由（1）得， .设 ， .
因为 的平分线平行于y轴，所以 ，得 ，
即 ，整理得 ，
则设直线 ，即 ，
点M到直线 的距离为：
，令 ，由 ，不妨设 ，则 ，
得 ，所以 .
当 时，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的最大值为 ，
即 的最大值为 .
综上可知， 的面积有最大值，最大值为 .
突破五：圆锥曲线中定点，定值问题
1．（2022·湖南长沙·高二阶段练习）双曲线 ： 的离心率为 ，且点 在双
曲线 上.
(1)求曲线 的方程；
(2)动点M，N在曲线 上，已知点 ，直线PM，PN分别与y轴相交的两点关于原点对称，点 在
直线MN上， ，证明：存在定点 ，使得 为定值.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意可知：
且 ，解得 ，
故双曲线方程为： .
（2）证明：当直线 的斜率 不存在时，此时 两点关于 轴对称，
若直线PM，PN与y轴的两交点关于原点对称，则 在 轴上，与题意矛盾，因此直线 的斜率存在.
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，整理得 ，
则 ， ， ， .直线PM，PN分别与y轴相交的两点为 ， ，
∴直线 方程为 ，
令 ，则 ，同理 ，
可得 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
当 时， ，
此时直线 方程为 恒过定点 ，显然不可能，
∴ ，直线 方程为 ，恒过定点
∵ ，设 中点为T，∴ ，
∴ 为定值，
∴存在 使 为定值 .
2．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）已知双曲线 的焦距为8，
双曲线 的左焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 分别是双曲线 的左､右顶点， 为双曲线 上任意一点（ 不与 重合），线段 的垂直平
分线交直线 于点 ，交直线 于点 ，设点 的横坐标分别为 ，求证： 为定值.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析【详解】（1）双曲线 的渐近线为 ，左焦点为 ，所以 ，所
以 .
又焦距为8，所以 ，所以 ，故所求双曲线 的方程为 .
（2）证明：设 ，由（1）得 ，
又点 是线段 的中点，则点 ，
直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
又 ，则直线 的方程为 ，
即
又直线 的方程为 ，
联立方程 得 ，
又 ，代入消去 ，得 ，
因为 ，所以 .
所以 ，解得 ，
即点 的横坐标为 ，
则 ，所以 为定值.
3．（2022·广东·江门市第一中学高二阶段练习）已知 ， ，点 满足 ，记点
的轨迹为曲线 .斜率为 的直线 过点 ，且与曲线 相交于 ， 两点.
(1)求曲线 的方程；
(2)求斜率 的取值范围；(3)在 轴上是否存在定点 ，使得无论直线 绕点 怎样转动，总有 轴平分 ？如果存在，求出定
点 ；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，定点
【详解】（1）由 可知， 的轨迹为以 ， 为焦点，实轴长为4的双曲
线的右支，虚轴长为 ，
所以曲线 的方程为： ；
（2）设直线 的方程为： ，联立方程 ，整理得
，因为直线 与曲线 有两个交点，设 ， ，
所以 ，解得 或 ，
故斜率 的取值范围为 ；
（3）由 轴平分 可知 ，
由（2）可得 ，
又 ， ，则 ， ，
假设在 轴上存在定点 ，则 ，
，即 ，
展开可得因为斜率 的取值范围为 ，
所以 ，即 ，
整理可得： ，即 ，得 ，
所以 轴上存在定点 ，且
4．（2022·福建·高二阶段练习）已知圆 ，点 是圆外的一个定点， 是圆上任意一
点，线段 的垂直平分线与直线 相交于点 ．
(1)求点 的轨迹 的方程
(2)过点 的直线 交曲线 于 两点，问在 轴是否存在定点 使 ？若存在，求出定点
坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【详解】（1） 线段 的垂直平分线与直线 相交于点 ．
，
∴点 的轨迹是以 为焦点的双曲线，
， ，又 ，则 ，
∴轨迹 的方程是 ；
（2）当直线 斜率不为0时，令 ，则
由 得
∵直线 与双曲线有两个交点，
假设存在点 使 ，则 ，，
即 ，
即 ，
轴上存在点 ，使得 ，
当直线 斜率为0时，点 使得 ，
综上， 轴上存在点 ，使得 ．
5．（2022·广东·东涌中学高三期中）已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为10，右顶
点为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)不经过点 的直线 与椭圆 交于 两点，以 为直径的圆过点 .求证：直线 过定点，并求此定点
坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【详解】（1）依题意，得 ，解得 ， ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）当直线l的斜率存在时，可设直线l： ，点 ， ， ，
联立 ，消去 ，得 ，
所以 ，即 ，
又 ， ，
所以 ，因为 ， ，
所以
，
因为 ，所以 ，则 ，
解得 或 ，满足 ，
所以直线l： 或 ，
由于直线l不过点 ，所以直线l： ，则直线l过定点 ；
当直线l斜率不存在时， ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
又 ，解得 或 ，
由于直线l不过点 ，所以 ，则直线l过定点 ；
综上：直线l过定点 .
6．（2022·湖南·衡阳师范学院祁东附属中学高二期中）已知椭圆 ： 的长轴为双曲线
的实轴，且椭圆 过点 ．
(1)求椭圆 的标准方程：
(2)设点 ， 是椭圆 上异于点 的两个不同的点，直线 与 的斜率均存在，分别记为 ， ，若
，试问直线 是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线AB恒过定点 ．
【详解】（1）因为椭圆C： 的长轴为双曲线 的实轴，
所以 ，
因为椭圆C过点 ，
所以 ，即 ，得所以椭圆方程为 ，
（2）①当直线AB的斜率存在时，设其方程为 ， ， ，
由 ，得 ，
，
所以 ，
所以 ，
，
因为 ，
所以 ，
即 ，
则 ，
所以 ，
化简得 ，
即 ，
所以 或 ，
当 时，直线AB的方程为 ，
则直线过定点 （舍去），
当 时，直线AB的方程为 ，
所以直线过定点 ，
②当直线AB的斜率不存在时，设直线为 ，
由 ，得所以 ，
所以 ，
解得 （舍去），或 ，
所以直线也过定点 ，
综上，直线AB恒过定点 ．
7．（2022·江苏·南京市建邺高级中学高二阶段练习）知椭圆E： 的左右焦点分别为
， ，过 且斜率为 的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为
(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，下顶点为A，过点 作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC
分别交x轴于点H， 求证： 与 的面积之积为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【详解】（1）过 且斜率为 的直线的方程为 ，
令 ，得 ，
由题意可得 ，解得 ，椭圆E的方程为： ；
（2）由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC： ，
， ，
联立 ，得
， ，
由 ，得 ，
，
，
直线AD的方程为 ，令 ，解得 ，
则 ，同理可得 ，
8．（2022·四川·简阳市阳安中学高二阶段练习（理））已知以坐标原点 为圆心的圆与抛物线 ：
相交于不同的两点 ，与抛物线 的准线相交于不同的两点 ，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若不经过坐标原点 的直线 与抛物线 相交于不同的两点 ､ ，且满足 ，证明直线 过定
点 ，并求出点 的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【详解】（1）依题意，易知圆心 到直线 （即抛物线 的准线 ）的距离为 ，不妨设圆
心 到直线 的距离为 ，
则 ， ，所以 ，则由圆与抛物线的对称性可知， 轴，故直线 的方程为 ，即过抛物线 的焦点 ，
所以 ，故 ，
故抛物线 的方程为 .
（2）由题意知，直线 不与 轴垂直，设直线 的方程为 ， ，
联立 ，消去 ，得 ，
则 ， ， ，
因为 ，所以 ，
又 ，则 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
当 时， ，满足题意，
所以直线 的方程为 ，令 ，则 ，
故直线 过 轴上一定点 .
9．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）若位于 轴右侧的动点 到 的距离比它到 轴距离
大 .
(1)求动点 的轨迹方程D.
(2)过轨迹D上一点 作倾斜角互补的两条直线 ，交轨迹 于 两点，求证：直线 的斜
率是定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析【详解】（1）设 ， ，则 ，
故 ，化简得： ，
故动点 的轨迹方程D为 ；
（2）设 ，
则 ，
两式相减得： ，即 ，
因为直线 的倾斜角互补，且 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
故直线 的斜率是定值.
10．（2022·四川·成都七中高二期中（文））设抛物线 的准线为l，A、B为抛物线上两动
点， ， 为垂足，已知 有最小值 ，其中 的坐标为 .
(1)求抛物线的方程;
(2)当 （ ，且 ）时，是否存在一定点 满足 为定值? 若存在，求出 的坐标和该
定值; 若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在定点 ，使得 为定值
【详解】（1）设抛物线焦点为 ，有 ，得 ，则抛物线的方程为
.
（2）存在一定点T使得 为定值.
∵
∴K、A、B三点共线.
∴设直线 方程为设 ，
联立 得 ，
且有 ，
而
为满足题设，取
可得
即存在定点 ，使得 为定值 .
【点睛】（1）抛物线上的点到定点与到准线的距离之和的最小值转化为抛物线上的点到定点与它到焦点
的距离之和的最小值.
（2）求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
11．（2022·河南安阳·高二期中）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 在 上，
且 ．
(1)求 的方程；
(2)若不过点 的直线 与 相交于 两点，且直线 ， 的斜率之积为1，证明：直线 过定点．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）因为抛物线 ： ，所以准线方程为 ，因为点 在 上，所以由抛物线焦半径公式得 ， ，
联立 ，解得 或 （由于 ，舍去），
所以抛物线 的方程为 .
（2）依题意，易知 ，直线 的斜率存在（若不存在，则与抛物线至多只有一个交点），
设直线 为 ， ，
联立 ，消去 ，得 ，
则 ， ，
因为直线 ， 的斜率之积为1，即 ，
故 ，整理得 ，
所以 ，得 ，故直线 为 ，
所以直线 过定点 .
突破六：圆锥曲线中定直线问题
1．（2022·江苏南京·高二期中）已知圆A： ，T是圆A上一动点，BT的中垂线
与AT交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点（0，2）的直线l交曲线C于M，N两点，记点P（0， ）.问：是否存在直线l，满足PM=PN？如
果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，y=± x+2.
【详解】（1）由条件得 ，
所以 的轨迹是椭圆，
且 ，所以 ，
所以 的方程为 .
（2）假设存在满足题意的直线 ，显然 的斜率存在且不为0，设 ，
由 得 ，
则 ，得 ，
设 ，
则 ，
所以 的中点坐标为 ，
因此， 的中垂线方程为 ，
要使 ，则点 应在 的中垂线上，
所以 ，解得 ，
故 ，
因此，存在满足题意的直线l，其方程为y=± x+2.
2．（2022·山东聊城·三模）已知椭圆C： 的离心率为 ，左顶点为 ，左焦点为
，上顶点为 ，下顶点为 ，M为C上一动点， 面积的最大值为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过 的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点 ， ），直线 ， 相交于点Q，证明：点Q
在一条平行于x轴的直线上.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
（1）
由椭圆C的离心率为 得 ①，
由椭圆的几何性质知，当M为椭圆上（或下）顶点时， 的面积最大，②，
又 ，结合①②可解得 ， ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）
由过 的直线l不过 ， ，可设其直线方程为 ，把 代入
，得 ， ，即 ，
设 ， ，则 ， ，
直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
设直线 和 的交点为 ，则
，
把 及 代入上式，得
，整理得 ，
故点Q在一条平行于x轴的直线 上，得证.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率 ，长轴的左、右端点分别为
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与椭圆 交于 两点，直线 与 交于点 ，试问：当 变化时，点 是否恒
在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)恒在直线
（1）
解：设椭圆 的标准方程为 ，根据题意，可得 且 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）
解：根据题意，可设直线 的方程为 ，
取 ，可得 ，
可得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立方程组，可得交点为 ；
若 ，由对称性可知交点 ，
若点 在同一直线上，则直线只能为 ；
以下证明：对任意的 ，直线 与直线 的交点 均在直线 上，
由 ，整理得 ，
设 ，则 ，
设 与 交于点 ，由 ，可得 ，
设 与 交于点 ，由 ，可得 ，
因为
，
因为 ，即 与 重合，
所以当 变化时，点 均在直线 上，.
4．（2022·广东·肇庆市第一中学高三阶段练习）已知双曲线 的离心率是2，直线 过
双曲线 的右焦点 ，且与双曲线 的右支交于 两点.当直线 垂直于 轴时， .
(1)求双曲线 的标准方程.
(2)记双曲线 的左､右顶点分别是 ，直线 与 交于点 ，试问点 是否恒在某直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.
【答案】(1) ；
(2) 在定直线 上.
【详解】（1）因为过点 的垂直与 的直线方程为 ，代入双曲线方程 可得 ，所以
此时 ，又直线 垂直于 轴时， ，所以 ①，因为双曲线 的离心率为2，所以
②，又 ③，由①②③解方程可得 ，故双曲线 的标准方程为
；
（2）由（1）可知 ，
若直线 的斜率为0，则直线 与双曲线 的右支只有一个交点，不满足要求，
所以直线 的斜率不为0，设直线 ，
联立 整理得 ，
，且 ，
则 ，故 .
由题意可得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
则 ，
即 ，
把 代入上式，
得 ，
解得 .
故点 在定直线 上.
5．（2022·海南·海口中学高三开学考试）已知双曲线 的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为 .
(1)求C的方程；
(2)设A，B是直线 上关于x轴对称的两点，直线 与C交于M，N两点，证明：直线AM与
BN的交点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）
双曲线 的渐近线方程为 ，所以 .
又焦点 到直线 的距离 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，
所以双曲线C的标准方程为 .
（2）
证明：联立方程组 消去y，并整理得 .
设 ， ，则 ， .
设 ， （ ），则得直线AM的方程为 ，
直线BN的方程为 ，
两个方程相减得 ，①
因为 ，
把上式代入①得： ，
所以 ，因此直线AM与BN的交点在直线 上.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 和圆 ，抛物线 的焦点为 .
（1）求 的圆心到 的准线的距离；
（2）若点 在抛物线 上，且满足 ， 过点 作圆 的两条切线，记切点为 ，求四边形
的面积的取值范围；
（3）如图，若直线 与抛物线 和圆 依次交于 四点，证明: 的充要条件
是“直线 的方程为 ”
【答案】（1）4；（2） ；（3）见解析
【详解】（1）由 可得: ， 的圆心与 的焦点 重合，
的圆心 到 的准线 的距离为 .
（2）四边形 的面积为:
，
当 时，四边形 的面积的取值范围为 .
（2）证明(充分性) :若直线 的方程为 ，将 分别代入
得 ， ， ， .
， .
(必要性) :若 ，则线段 与线段 的中点重合，
设 的方程为 ， ， ， ， ，
则 ，将 代入 得 ，， 即 ，
同理可得， ，
即 或 ，
而当 时，将其代入 得 不可能成立； .
当 时，由 得： ， ，
将 代入 得 ， ，
， ，
， 或 （舍去）
直线 的方程为 .
的充要条件是“直线 的方程为 ”.
7．（2022·全国·高三专题练习）曲线C上任一点到定点 的距离等于它到定直线 的距离．
（1）求曲线C的方程；
（2）经过P（1,2）作两条不与坐标轴垂直的直线 分别交曲线C于A、B两点，且 ，设 是AB
中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等．若存在，求出
这个定点坐标和这条定直线的方程．若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）所求的定点为 ，定直线方程为 ．
【详解】（1）因为到定点 的距离等于它到定直线 的距离，利用抛物线的定义，设方程为
，而 ，
故曲线C的方程为 即 ；
（2）设 ：y-2=k(x-1)(k≠0) ： y-2= (x-1)
由 得2x2-kx+k-2=0，设 ，则 ，
同理得B点坐标为 ，故M点坐标为 ，整理得 ，
消去k得：y=4x2+4x+ ，
M轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离．将抛物线方程
化为 ，
此抛物线可看成是由抛物线 左移 个单位，上移 个单位得到的，而抛物线 的焦点为
，准线为 .
∴所求的定点为 ，定直线方程为 .
突破七：圆锥曲线中的向量问题
1．（2022·河北·模拟预测（理））已知椭圆 的离心率为 ， 为 的左焦点，
， 是 上的两个动点，且直线 经过 的右焦点， 的周长为 ．
(1)求 的标准方程；
(2)若点 在椭圆 上，且满足 （其中 为坐标原点），证明： 的面积
为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可得 ， ，可得 ， ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为： ；
（2）证明：设 ， ， ， ， ， ，
因为 ，即有
可得 ， ，
由题意显然直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ，
联立 ，整理可得 ，因为直线 经过焦点 ，其在椭圆内部，显然，
且 ， ， ，
所以 ，
因为 在椭圆 上，所以 ，
可得 ，整理可得 ，
可得 或 （舍 ，
所以 ，
点 到直线 的距离
，
所以 为定值．
2．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知 ， ，点 满足 ，记点 的轨迹为
，
(1)求轨迹 的方程；
(2)若直线 过点 且法向量为 ，直线与轨迹 交于 、 两点．
①过 、 作 轴的垂线 、 ，垂足分别为 、 ，记 ，试确定 的取值范围；
②在 轴上是否存在定点 ，无论直线 绕点 怎样转动，使 恒成立？如果存在，求出定点
；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；②存在，
【详解】（1）由 ，知，点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的右支．
， ， ，故 ，轨迹方程为 ．
（2）直线 的方程为 ， ，得 ，设 ， ， ， ，
由条件得 ，
解得 ，即 ．
① ，
由条件 ，故 ，故 ，
因为 ，因此 ．
②设存在点 满足条件，
由
，
得 对任意 恒成立，所以 ，
解得 ，
因此存在定点 满足条件．
3．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知椭圆 的两个焦点分别为
和 ，椭圆 上一点到 和 的距离之和为 ，且椭圆 的离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过左焦点 的直线 交椭圆于 、 两点，线段 的中垂线交 轴于点 （不与 重合），是否存在实
数 ，使 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说出理由.
【答案】(1)
(2)存在，
（1）解：由椭圆的定义可得 ，则 ，因为 ， ，则 ，
因此，椭圆 的方程为 .
（2）
解：若直线 与 轴垂直，此时，线段 的垂直平分线为 轴，不合乎题意；
若直线 与 轴重合，此时，线段 的垂直平分线为 轴，则点 与坐标原点重合，
此时， ；
若直线 的斜率存在且不为零时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
则 ，
所以，线段 的中点为 ，
所以，线段 的垂直平分线所在直线的方程为 ，
在直线方程 中，令 可得 ，
故点 ，所以， ，
由弦长公式可得 ，
因此， .
综上所述，存在 ，使得 恒成立.
4．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知F为抛物线 的焦点，点P在抛物线T
上，O为坐标原点， 的外接圆与抛物线T的准线相切，且该圆周长为 .(1)求抛物线 的方程；
(2)如图，设点A，B，C都在抛物线T上，若 是以AC为斜边的等腰直角三角形，求 的最小
值.
【答案】(1)
(2)32
(1)
因为 ，所以 的外接圆圆心在直线 上，又外接圆与准线 相切，
所以半径为
所以周长为 ，所以
故抛物线方程为
(2)
设点 ， ， ，直线AB的斜率为 ，
因为 ，则直线BC的斜率为 .因为 ，
则 ，得 ，①
因为 ，则 ，得 ，②
因为 ，则 ，即 ，③
将②③代入①，得 ，即 ，
则 ，
所以因为 ，则 ，又 ，则
从而 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为32.
5．（2022·江西萍乡·三模（文））设椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设E的右顶点为D，若直线 与椭圆E交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且满足
，求原点 到直线l距离的最大值.
【答案】(1)
(2)
(1)
依题意 ，因为 ，所以 ，
将 代入椭圆 ，则可解得 ，
所以椭圆E的方程为 ．
(2)
由（1）知 ，设 ， ，
由 知， ，
即 ，
①当直线 垂直 轴时， ，且 ，
故 ，故 或2（舍去），此时点 到 的距离为 ；
②当直线 的斜率存在时，设联立方程 ，得 ，
由 得 ，且 ，
由 得 ，
将 代入上式可得 ，
即 ， ，所以 （舍去）或 ，
显然 ，则点 到 的距离 ，
综上，点 到 的距离最大值为 ．
6．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）已知椭圆 的左焦点为F，上顶点为B，M
为 的中点，且 ．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线 ，l与椭圆有唯一公共点N，与y轴的正半轴相交．若点P满足 ，且四边形
的面积为 ，求椭圆的方程．
【答案】(1)
(2)
(1)
解： 为直角三角形，M为 的中点，所以， ，又
，所以 ，
，所以 ， 所以椭圆离心率为 .
(2)
解：由题意可设直线方程为： ，联立 ，得 ，
又l与椭圆有唯一公共点N，故 ，即 ，即 ，
又 所在直线方程为： ，所以直线 与l的距离为 ，
四边形 的面积为： ，
解得： ，故椭圆的方程为：
7．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别
为 、 ，焦距为 ，点 在曲线 上.
(1)求 的标准方程；
(2)若 是曲线 上一点， 为 轴上一点， .设直线 与椭圆 交于 两点，
且满足 的内切圆的圆心落在直线 上， 求直线 的斜率．
【答案】(1)
(2)
(1)
易知 ， ，
又 ，
所以 .
所以 ；(2)
因为 ，所以 是 的中点. 结合 轴，
所以 轴，所以 ( ).
因为 的内切圆的圆心落在直线 上，
所以直线 关于直线 对称.
所以 的倾斜角互补，所以
显然直线 的斜率存在，设 ： ，由
得 ，由 得 .
设 ， ，则 ， ，
由 + ，整理得 ，
所以 ，即
若 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，此时，直线 过 点，舍去.
所以 ，即 .
所以 的斜率为
