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第 05 讲 整数指数幂
课程标准 学习目标
1. 掌握并区分整数指数幂的所有计算，并能够在整数指数幂的
①整数指数幂
计算中熟练应用。
②用科学计数法表示绝对值小于
2. 掌握科学记数法表示较小的数的方法，并能够熟练的表示较
1的数
小的数。
知识点01 整数指数幂
1. 负整数指数幂：
一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的 。即： 。（a≠0）
证明：
= 。
写成分数的形式计算：
即： = = 。=
∴
2.
整数指数幂的运算性质：
同底数幂的乘法
同底数幂的除法
幂的乘方
积的乘方
分式的乘方
0指数幂
【即学即练1】
1．填空：﹣22＝ ，（﹣2）2＝ ，（﹣2）﹣2＝ ，（﹣2）﹣1＝ ，（x3y﹣2）2＝
， ＝ ．
【即学即练2】
2．计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式．
（1）a2b3（2a﹣1b3）； （2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3； （3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2．
【即学即练3】
3．若（a+1）0﹣（a﹣2）﹣2有意义，则a应满足的条件是 ．
【即学即练4】
4．已知10﹣2 ＝3， ，求106 +2 的值．
α α β知识点02 用科学记数法表示绝对值小于1的数
1. 用科学记数法表示绝对值小于1的数：
绝对值小于1的数的科学记数法：把一个绝对值小于1的数表示成 的形式，其中a的取
值范围为 ，n为正整数。
n的确定方法：方法1：左边起到第一个不为0的数字前的所有0的个数，包括小数点前面的那个0。
方法2：小数点向右移动到第一位非0数字后，小数点移动了几位n的值就是几。
【即学即练1】
5．最近正值气温骤降感冒高发期，感冒病毒极易传染，同学们注意防寒保暖，其中有一种感冒病毒直径
约为0.00000036毫米，将数据0.00000036用科学记数法表示为 ．
题型01 负整数指数幂的计算
【典例1】2﹣3的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣8 C． D．﹣
【变式1】计算：2024﹣1＝（ ）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
【变式2】计算： ．
【变式3】计算： ．【变式4】计算：（﹣2）﹣3﹣2﹣3+（ ）﹣3﹣（﹣ ）﹣3．
题型02 利用整数指数幂求待定字母的值
【典例1】已知xm＝3，yn＝2，求（x2myn）﹣1的值 ．
【变式1】已知am+an＝4，am+n＝2，求a﹣2m+a﹣2n的值．
【变式2】已知|b﹣2|+（a+b﹣1）2＝0，求a﹣2b﹣5的值．
【变式3】已知 ，则m+2n的值＝ ．
【变式4】已知am＝5，an＝2，求a﹣2m﹣2n的值．
题型03 根据式子有无意义求值
【典例1】若（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞4 B．x＜3 C．x≠4或x≠3 D．x≠4且x≠3
【变式1】若（x﹣3）0﹣2（3x﹣6）﹣2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜2 C．x≠3或x≠2 D．x≠3且x≠2【变式2】若 没有意义，则x﹣2的值为（ ）
A． B．﹣4 C．4 D．
【变式3】如 无意义，则（x﹣1）﹣2＝ ．
题型04 比较大小
【典例1】若a＝0.52，b＝﹣5﹣2，c＝（﹣5）0，那么a、b、c三数的大小为（ ）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
【变式1】若 ，则它们的大小关系是（ ）
A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜c＜d C．b＜a＜c＜d D．c＜a＜d＜b
【变式2】若a＝﹣22，b＝2﹣2， ， ，则（ ）
A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜d＜c C．a＜c＜b＜d D．a＜b＜c＜d
【变式3】已知 ，b＝（﹣1）2023， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
题型04 科学记数法表示较小的数
【典例1】2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻≤8nm技术，标志着
我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米＝0.000000008米，0.000000008用科学记数法
可表示为（ ）
A．8×109 B．8×10﹣9 C．8×1010 D．8×10﹣10
【变式1】生物课上在制作酸奶的过程中，小华了解到：乳酸菌（lacticacidbacteria，LAB）是一类能利用
可发酵碳水化合物产生大量乳酸的细菌的统称，某种球状乳酸菌的直径仅为 0.6微米（1米＝106微米），
将0.6微米用科学记数法表示为（ ）米．
A．0.6×10﹣7 B．6×10﹣7 C．0.6×10﹣6 D．6×10﹣5
【变式2】“白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，
这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称
为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某孢子体的苍蒴直径约为
0.0000086m，将数据0.0000086用科学记数法表示为8.6×10n，则n的值是（ ）
A．6 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣6
【变式3】国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，
团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达 0.00000000018 米，其中
0.00000000018用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×10﹣9 B．0.18×10﹣10
C．18×10 D．1.8×10﹣10
1．6﹣1的相反数是（ ）A． B．6 C． D．﹣6
2．5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑，而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯
度硅．已知硅原子的半径约为0.117nm（1nm＝10﹣9m）．数字0.117nm用科学记数法可表示为（ ）
m
A．0.117×10﹣9 B．117×10﹣6
C．1.17×10﹣10 D．1.17×10﹣8
3．下列算式中，正确的是（ ）
A．|3﹣ |＝3﹣ B．
π π
C． D．﹣20＝﹣1
4．随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占
0.00000065mm2，将0.00000065用科学记数法表示为（ ）
A．6.5×10﹣6 B．6.5×10﹣7 C．65×10﹣8 D．0.65×10﹣7
5．若（m﹣4）0＝1，则m的值可以是（ ）
A．4 B．（﹣2）2 C． D．5
6．计算 的结果是（ ）
A． B． C．6 D．10
7．若 ，n＝（﹣2）3， ，则m，n，p之间的大小关系是（ ）
A．n＜p＜m B．n＜m＜p C．p＜n＜m D．m＜p＜n
8．若（x﹣1）﹣1+x0有意义，则x值应该是（ ）
A．x≠0 B．x≠1 C．x＞0且x≠1 D．x≠0且x≠1
9．已知2a＝3， ，则（a+3b+1）3的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
10．已知x＝1+7n，y＝1+7﹣n，则用x表示y的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．7﹣x
11．2024年，常州率先推出全域马拉松，打造“一区一马一特色”的群众体育路跑赛事品牌．为确保运动
员在长时间运动中保持舒适状态，制作马拉松运动服装的材料需要具有轻便、透气、吸汗等特点，其中，
聚酯纤维是最常用的材料之一，聚酯纤维的直径通常在0.00001～0.00002米之间．数据0.00001用科学
记数法表示为 ．12． ＝ ．
13．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则（a+b）（a﹣b）﹣（cd）﹣3＝ ．
14．定义一种新运算 ，例如 ．则 ＝ ．
15．如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如32＝9，那么记作（3，9）
＝2，根据以上规定，求（﹣2，﹣ ）＝ ．
16．计算： ．
17．已知a3m＝4，b3n＝2，求（a3）﹣2m+（bn）3﹣a2m•a4m•b﹣2n•b﹣n的值．
18．整式P＝3m2+n﹣2m2+4n．
（1）化简整式P；
（2）已知m是 ，n与 互为倒数，求P的值．
19．我们规定：a﹣p＝ （a≠0），即a的负P次幂等于a的P次幂的倒数．例：4﹣2＝ ．
（1）计算：﹣2﹣2＝ ；若 2﹣p＝ ，则p＝ ；
（2）a﹣p＝ ，且a，P为整数，求满足条件的a，P的值．20．在上个月，我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关
“幂”的新运算，定义：am与an（a≠0，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作am÷an．
运算法则如下：
am÷an＝ ．
解决问题
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
（1）填空： ＝ ，23÷27＝ ；
（2）如果 ，求出x的值；
（3）如果（5﹣2x）3x﹣1÷（5﹣2x）x+7＝1，请直接写出x的值．
