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专题01 解三角形（解答题10种考法）考法一 公式的直接运用
【例1】（2023·天津·统考高考真题）在 中，角 所对的边分别是 ．已知
．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 ．【变式】
1．（2022·天津·统考高考真题）在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知
.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
2．（2022·浙江·统考高考真题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．3．（2023·天津北辰·校考模拟预测）已知 ， ， 分别为锐角三角形 三个内角 的对边，且
．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 ；
(3)若 ，求 的值．
考法二 三角形的面积
【例2-1】（2023·福建·校联考模拟预测）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
， ，且 .
(1)求 ；
(2)求 的面积.【例2-2】（2023·湖南永州·统考一模）在 中，设 所对的边分别为 ，且满足
．
(1)求角 ；
(2)若 的内切圆半径 ，求 的面积．
【变式】
1．（2023·海南海口·校考模拟预测）在 中，角 A、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足
.
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积 .2．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期和单调递增区间；
(2)在 中，内角 所对的边分别是 ，且 ，若 ，求 的面积.
3．（2023·河南开封·统考三模）在 中，设 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足
．
(1)求角B；
(2)若 ， 的内切圆半径 ，求 的面积．考法三 三角形的周长
【例3-1】（2023·山东菏泽）在 中，角 所对的边分别为 已知 ，面积 ，再
从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.
（1） ;
（2） .
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【例3-2】（2023·重庆南岸）设 ，
（1）求 的单调递增区间；
（2）在 中，角 为锐角，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，
求三角形的周长.【变式】
1．（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
2．（2023·河南·校联考二模）记 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求A；
(2)设 的中点为D，若 ，且 的周长为 ，求a，b.3．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）在① ；② ，这两
个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，____________．
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 ， ，求 的周长．
考法四 爪型三角形
【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．【例4-2】（2023·湖北）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 .
(1)求B.
(2)若 ， ，___________，求 .
在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【例4-3】（2023·福建泉州·统考模拟预测） 的内角 所对的边分别为 ，且满足
.
(1)求 ；
(2)若 平分 ，且 ， ，求 的面积.【变式】
1.（2023·福建宁德·校考二模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
(1)求 ；
(2)若 ， ， 为 中点，求 的长．
2.（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知a,b,c分别是 三个内角A,B,C的对边, 面积为S,且
．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝ ,求b．3．（2023·河南·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 的面积记为S，已知
， ．
(1)求A；
(2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长．
考法五 多边多角
【例5-1】（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，
， ， ， .(1)求 ；
(2)若 ，求BC.
【例5-2】（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）如图，在平面四边形 中，
， ， ， ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的长．【变式】
1．（2023春·广东湛江）如图，四边形ABCD的内角 ， ， ， ，且 ．
(1)求角B；
(2)若点 是线段 上的一点， ，求 的值．
2．（2023春·浙江金华 ）如图，四边形 是由 与正 拼接而成，设 ，
.
(1)当 时，设 ，求 ， 的值；
(2)当 时，求线段 的长.3（2023广东）在三角形ABC中， ， ， ， ， ．
(1)求BD的长；
(2)若AC与BD交于点O，求 的面积．
考法六 最值
【例6-1】（2023·云南·校联考模拟预测） 的内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 周长的取值范围.【例6-2】．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，且acosB＋bcosA＝2ccosC．
(1)求角C；
(2)若c＝2，求△ABC的周长的取值范围．
【例6-3】（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．【变式】
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知 中内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，
．
(1)求 ；
(2)若 边上一点 ，满足 且 ，求 的面积最大值．
2．（2023·江西九江·统考一模） 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ，
．
(1)求角 的值；
(2)求 边上高的最大值．3．（2023·江苏南京·南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）在 中，以 ， ， 分别为内角
， ， 的对边，且
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 边上中线长.
4.（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知a,b,c分别是 三个内角A,B,C的对边, 面积为S,且
．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝ ,求b．考法七 三角形的四心
【例7】（2023春·浙江温州 ）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ，
角B为钝角．
(1)求 ；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若 ， ， 为 的___________，求 的面积．
【变式】
1．（2022·安徽·芜湖一中校联考一模）已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=
(1)求 的值；
(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN//BC且c=2，求a的值．2．（2022秋·四川内江·高三威远中学校校考期中） 的内角A，B，C所对的边分别为
．
(1)求A的大小；
(2)M为 内一点， 的延长线交 于点D，___________，求 的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使 存在，并解决问题．
①M为 的重心， ；
②M为 的内心， ；
③M为 的外心， ．
3．（2022秋·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、
、 ，且 .
(1)求 ；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若 ， ， 为 的___________，求 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.考法八 解三角形与三角函数性质的综合
【例8】（2023·广东）设函数 ，其中向量 ， .
(1)求 的最小值；
(2)在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，已知 ， ，△ 的面积为 ，
求 的值.
【例8-2】（2023·北京）已知函数 ，将 的图象横坐标变为原来的 ，纵坐标
不变，再向左平移 个单位后得到 的图象，且 在区间 内的最大值为 .
（1）求 的值；
（2）在锐角 中，若 ，求 的取值范围.【变式】
1．（2023春·山西晋城）已知函数 .
(1)求函数 的定义域和值域；
(2)已知锐角 的三个内角分别为A，B，C，若 ，求 的最大值.
2．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ，求 的取值范围.3．（2023春·云南）已知函数 的部分图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，且 的面积
为 ，求 ．
考法九 证明题
【例9】（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
【变式】
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求证： ， ， 是等差数列；
(2)求 的最大值．
2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，满足，且 ．
(1)求证： ；
(2)已知 是 的平分线，若 ，求线段 长度的取值范围．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 的外心为 ，点 分别在线段 上，且 恰为
的中点．
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)证明： ．
考法十 存在性与唯一性【例10-1】（2021·全国·统考高考真题）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ，
.．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【例10-2】．（2021·北京·统考高考真题）在 中， ， ．
（1）求 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边
上中线的长．
条件①： ；
条件②： 的周长为 ；
条件③： 的面积为 ；
【变式】1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）在 中，角 的对边分别为 ，且
.
(1)求 的值；
(2)若 ，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得 存在且唯一确定，求 的面积.
条件①： ；条件②： ；条件③： 的周长为9.
2.（2022·北京·景山学校模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求B；
(2)从以下条件中选择两个，使△ABC存在且唯一确定，并求△ABC的面积．
①若 ；② ；③ ；④△ABC的周长为9．3.（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习） 中，内角 的对边分别为 的外接圆半径
为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)已知 的平分线交 于点 ，从以下三个条件中选择两个，使 唯一确定，并求 和 的
长度.
条件①： ；条件②： ；条件③： .
