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专题01 解三角形（解答题）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法一 公式的直接运用
【例1】（2023·天津·统考高考真题）在 中，角 所对的边分别是 ．已知
．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ；
（2）由余弦定理可得， ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得： 或 （舍去）．
（3）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ，而 ，
所以 都为锐角，因此 ， ，
．
【变式】
1．（2022·天津·统考高考真题）在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知
.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为 ，即 ，而 ，代入得 ，解得：
．
（2）由（1）可求出 ，而 ，所以 ，又 ，所以
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）因为 ，所以 ，故 ，又 ， 所以
， ，而 ，所以
，
故 ．
2．（2022·浙江·统考高考真题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ．
【解析】（1）由于 ， ，则 ．因为 ，
由正弦定理知 ，则 ．
（2）因为 ，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ，而 ， ，
所以 的面积 ．
3．（2023·天津北辰·校考模拟预测）已知 ， ， 分别为锐角三角形 三个内角 的对边，且
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求 ；
(2)若 ， ，求 ；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【解析】（1）由于 ，所以 ，
由 根据正弦定理可得 ，
所以 ，且三角形 为锐角三角形，即
所以 .
（2）在 中，由余弦定理知 ，
即 ，解得 或 （舍），
故 .
（3）由 ，可得 ，
所以 ，
，
即
考法二 三角形的面积
【例2-1】（2023·福建·校联考模拟预测）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，且 .
(1)求 ；
(2)求 的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）由 及 ，得 ，
由正弦定理得
所以 ， ，所以 ，又因为 ，所以 .
（2）由 结合正弦定理得 ，即 所以 或 .
又因为 ，所以 .所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 的面积为 .
【例2-2】（2023·湖南永州·统考一模）在 中，设 所对的边分别为 ，且满足
．
(1)求角 ；
(2)若 的内切圆半径 ，求 的面积．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）在 中，由 得 ，
即 ,
故 ，由于 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，而 ，故 .
（2）由 可得 ，而 ，
故 ，则 ，
由 的内切圆半径 ，可得 ，
即 ，即 ，
故 ，解得 ，
故 的面积 .
【变式】
1．（2023·海南海口·校考模拟预测）在 中，角 A、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足
.
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积 .
【答案】(1)2(2)12
【解析】（1）由 可得，
，
因为 ，所以可得 ，
解得 .
（2）由（1）知 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
即 ，又 ，
所以 ，
由正弦定理可得， ，
所以 ，
所以 ，
所以 的面积 .
2．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期和单调递增区间；
(2)在 中，内角 所对的边分别是 ，且 ，若 ，求 的面积.
【答案】(1)最小正周期为 ，单调递增区间为 .(2)
【解析】（1） ，
所以函数 的最小正周期为 .
令 ，得 ，
故函数 的单调递增区间为 .
（2）由 ，得 ，
由 得 ，所以 ，得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由余弦定理得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
从而有 ，得 ，
则
3．（2023·河南开封·统考三模）在 中，设 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足
．
(1)求角B；
(2)若 ， 的内切圆半径 ，求 的面积．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为 ，
由余弦定理得 ，即 ，所以 ．
又 ，所以
（2）由余弦定理得： ，则 ，
由三角形面积公式， ，即 ，
则 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
考法 三角形的周长
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例3-1】（2023·山东菏泽）在 中，角 所对的边分别为 已知 ，面积 ，再
从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.
（1） ;
（2） .
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
【解析】由三角形的面积公式可知， ， ，整理得
由正弦定理得:
因为 ， ，
若选择条件（1）由 ：得 ，则 ，
又 为三角形的内角， ， 由正弦定理得
代入 解得 ， 三角形的周长为
若选择条件（2） ，则由 ，得
又 ，
又 为三角形的内角， .
由正弦定理得: ，代入 解得 ， 三角形的周长为
【例3-2】（2023·重庆南岸）设 ，
（1）求 的单调递增区间；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）在 中，角 为锐角，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，
求三角形的周长.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由已知 ，
令 ，
则 ，
的单调递增区间为 ；
（2）由（1）得 ，又角 为锐角，
，得 ，
，
得 ，所以三角形的周长为 .
【变式】
1．（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解：因为 ，则 ，由已知可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得 ，因此， .
（2）解：由三角形的面积公式可得 ，解得 .
由余弦定理可得 ， ，
所以， 的周长为 .
2．（2023·河南·校联考二模）记 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求A；
(2)设 的中点为D，若 ，且 的周长为 ，求a，b.
【答案】(1)
(2) ， .
【解析】（1）由条件及正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，整理得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
（2）在 中，由余弦定理得 .
而 ， ，所以 .①
在 中，由余弦定理得 .②
由①②两式相减，得 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】将 代入②，得 ，则 .
因为 的周长为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， .
3．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）在① ；② ，这两
个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，____________．
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 ， ，求 的周长．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解：若选①，由已知得 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又 ，由 ， ，解得 ；
若选②，由已知及正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又 ，由 ， ，解得 ．
（2）解：由 的面积为 ，得 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由（1）可得 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
所以 的周长为 ．
考法四 爪型三角形
【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
【答案】(1) (2)6
【解析】（1） ， ，即 ，
又 ，
，
， ，即 ，所以 ， .
（2）由（1）知， ，
由 ，
由正弦定理， ，可得 ，
， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例4-2】（2023·湖北）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 .
(1)求B.
(2)若 ， ，___________，求 .
在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1) (2)答案见解析
【解析】（1）由正弦定理得， .
因为 ，所以 ，所以 ，即 .
又 ，则 ，所以 .
（2）选择条件①：因为 ，所以 ，
，
.
选择条件②：
因为BD为∠ABC的角平分线，所以 ，
则 ，
解得 .
【例4-3】（2023·福建泉州·统考模拟预测） 的内角 所对的边分别为 ，且满足
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求 ；
(2)若 平分 ，且 ， ，求 的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解法一：因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
即 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 .
解法二：在 中，由余弦定理得 ， ，
又因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）解法一：因为 ，
所以 ，
两边平方得 ，即 ①，
又因为 平分 ，所以 ，即 ②，
由①②，解得 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
解法二：在 中， ，所以 ，
又因为 平分 ，所以 ，即 ①，
在 中，由余弦定理，得 ，即 ②，
在 中，由余弦定理，得 ，即 ③，
由①②③解得 ， ，
所以 .
解法三：过 点作 交 于点 ，
因为 ，且 平分 ，所以 ，
所以 为等边三角形，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
【变式】
1.（2023·福建宁德·校考二模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
(1)求 ；
(2)若 ， ， 为 中点，求 的长．
【答案】(1) (2)
【解析】（1） ，即 ，
化简得 ，解得 ，
因为 ，所以 ．
（2）由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
因为
，故 的长度为 ．
2.（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知a,b,c分别是 三个内角A,B,C的对边, 面积为S,且
．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝ ,求b．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1) (2)2
【解析】（1）解:由题知 ,
则有: ①,
在 中,由余弦定理可得:
,
代入①式可得: ,
即 ,
由辅助角公式可得: ,
所以 或 ,
即 或 ,
因为 ,所以 ;
（2）由(1)知 ,因为 平分 ,
所以 ,
且有 ,
即: ,
将边和角代入可得: ,
化简可得: ,
在 中,由余弦定理可得:
,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ,
即 ,
解得: (舍)或 ,
即 ,解得 .
3．（2023·河南·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 的面积记为S，已知
， ．
(1)求A；
(2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为 ，所以 ，即 ，
由正弦定理可得 ，即
所以 ．
因为 ，所以 ．
（2）设AE为BC边上的中线，可得 ，
如下图所示：
则 ，
所以 ，解得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，
所以 ，
所以 ；由 可得 ，
利用余弦定理可得 ，
所以 ．
考法五 多边多角
【例5-1】（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，
， ， ， .
(1)求 ；
(2)若 ，求BC.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在 中，由正弦定理得 ，即 ，
所以 .由题设知 ，所以 .
（2）由题设及（1）知， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中，由余弦定理得
，
所以 .
【例5-2】（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）如图，在平面四边形 中，
， ， ， ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
整理可得 ， ，解得 ，则 ，
故 为等腰三角形，故 .
（2）解：由（1）知， ，又因为 ，则 ，
因为 ，则 为锐角，
且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，
，
在 中，由正弦定理 ，
可得 .
【变式】
1．（2023春·广东湛江）如图，四边形ABCD的内角 ， ， ， ，且 ．
(1)求角B；
(2)若点 是线段 上的一点， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设 ，
在 中由余弦定理得 ，即 ①，
又在 中由余弦定理得 ，即 ②，
因为 ，则 ，
联立①②可得 （负值舍去）， ，因为 ，所以 ．
（2）在 中，由正弦定理知， ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，故 ，
在直角三角形 中，由勾股定理知， ，
此时 ．
2．（2023春·浙江金华 ）如图，四边形 是由 与正 拼接而成，设 ，
.
(1)当 时，设 ，求 ， 的值；
(2)当 时，求线段 的长.
【答案】(1) ，
(2)
【解析】（1）在 中，由 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可知 .
由于 ， ， ，
， ， ， .
（2）在 中， ，
所以 ， ，
.
3（2023广东）在三角形ABC中， ， ， ， ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求BD的长；
(2)若AC与BD交于点O，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意，在 中， ， ， ，
由余弦定理得， ，
所以 ，
在 中， ，
所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可知 ，
所以 ．
（2）由（1）可知 ，又因为 ，所以 为等边三角形，
所以 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中， ，所以 ，
在 中， ，
故 ，
所以 ，
所以 ，
在 中，由正弦定理可知 ，即 ，解得 ，
所以 ．
考法六 最值
【例6-1】（2023·云南·校联考模拟预测） 的内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为 ，可得 ，
所以由正弦定理可得 ，
又 为三角形内角， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，可得 ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）知 ，又 ，
由正弦定理得 ，
则 ，
，
【例6-2】．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，且acosB＋bcosA＝2ccosC．
(1)求角C；
(2)若c＝2，求△ABC的周长的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）由正弦定理，得 ，
即 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，故 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由正弦定理，得 ，
所以 的周长
由 为锐角三角形可知， ，得 ，
所以 ，所以 ．
所以 的周长的取值范围为 ．
【例6-3】（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【解析】（1）因为 ，即
，
而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
【变式】
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知 中内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，
．
(1)求 ；
(2)若 边上一点 ，满足 且 ，求 的面积最大值．
【答案】(1)
(2) ．
【解析】（1）由题意， ，
由正弦定理得 ，
因 为三角形内角， ，
则 ，即 ，
， ， ，
故 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2） ，
已知 ， ，由（1）知， ，
由题意得由 ，（如图）
已知 ，且由（1）知 ，
两边平方得，
则
，
解得， .故 .
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以， 的最大值为 ．
2．（2023·江西九江·统考一模） 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ，
．
(1)求角 的值；
(2)求 边上高的最大值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由 ，得
由正弦定理 ，得
又 ，
即
，
（2）解法一：设 边上高为 ，
由余弦定理 ，得
即
， ，即 ，当且仅当 时，等号成立
又 ， ， 边上高的最大值为
解法二：设 边上高为 ，
由正弦定理得， ，
因为 ， ，
， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ， ， 边上高的最大值为 .
3．（2023·江苏南京·南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）在 中，以 ， ， 分别为内角
， ， 的对边，且
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 边上中线长.
【答案】(1)
(2) 或
【解析】（1）由 得 ，
由正弦定理可得 ，
由余弦定理可得 ，
因为 ，所以 .
（2）因 ，由正弦定理可得 ，
即 ，因为 ，所以 ，则 ，
所以 或 ，即 或 ，
当 时， 为等边三角形，即 ，如图所示，
所以 边上中线长为 ；
当 时，则 ，所以 为直角三角形，如图所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，所以由正弦定理 ，即 ，
所以 ， ，所以 边上中线长为 ；
综上可得 边上中线长为 或 .
4.（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知a,b,c分别是 三个内角A,B,C的对边, 面积为S,且
．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝ ,求b．
【答案】(1) (2)2
【解析】（1）解:由题知 ,
则有: ①,
在 中,由余弦定理可得:
,
代入①式可得: ,
即 ,
由辅助角公式可得: ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 或 ,
即 或 ,
因为 ,所以 ;
（2）由(1)知 ,因为 平分 ,
所以 ,
且有 ,
即: ,
将边和角代入可得: ,
化简可得: ,
在 中,由余弦定理可得:
,
即 ,
即 ,
解得: (舍)或 ,
即 ,解得 .
考法七 三角形的四心
【例7】（2023春·浙江温州 ）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ，
角B为钝角．
(1)求 ；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若 ， ， 为 的___________，求 的面积．
【答案】(1) ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若选①， ；若选②， ；若选③，
【解析】（1）由正弦定理可得 ，因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
（2）若选①，连接 并延长交 边于点 ，
因为 为 的重心，所以 为 的中点，且 ，
所以点 到 的距离等于点 到 的距离的 ，
所以， ；
若选②，由余弦定理可得 ，
若 为 的内心，设 的内切圆的半径为 ，
则 ，则 ，
因此， ；
若选③，若 为 的外心，设 的外接圆半径为 ，
由余弦定理可得 ，则 ，
在优弧 上任取一点 ，则 ，则 ，
因此， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【变式】
1．（2022·安徽·芜湖一中校联考一模）已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=
(1)求 的值；
(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN//BC且c=2，求a的值．
【答案】(1)2
(2)
【解析】（1）由已知得， ，即sinAcosC=2sinC-cosAsinC得sin(A+C)=2sinC即sinB=2sinC
由正弦定理得 ，所以 ；
（2）由(1)知 ，因为 ，所以
设 ABC的内切圆半径为r，则内心N到BC边的距离为r，
因△为MN∥BC，所以重心M到BC边的距离为r，根据重心的性质，顶点A到BC边的距离为3r，
根据面积关系得
即 ，
所以
2．（2022秋·四川内江·高三威远中学校校考期中） 的内角A，B，C所对的边分别为
．
(1)求A的大小；
(2)M为 内一点， 的延长线交 于点D，___________，求 的面积．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使 存在，并解决问题．
①M为 的重心， ；
②M为 的内心， ；
③M为 的外心， ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）∵ ，∴ ，即
由正弦定理得， ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ，∴
（2）设 外接圆半径为 ，则根据正弦定理得， ，
若选①：∵M为该三角形的重心，则D为线段 的中点且 ，
又 ，∴ ，
即 ， 又由余弦定理得 ，即 ，解得 ，∴
；
若选②：∵M为 的内心，∴ ，由 得
，∵ ，∴ ，即 ，
由余弦定理可得 ，即 ，∴ ，
即 ，∵ ，∴ ， ∴ ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若选③：M为 的外心，则 为外接圆半径， ，与所给条件矛盾，故不能选③.
3．（2022秋·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、
、 ，且 .
(1)求 ；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若 ， ， 为 的___________，求 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）解： ，
，
则 ，即 ，
，则 ， ，即有 ，
可得 ，
，则 ， ，解得 .
（2）解：若选①，连接 并延长交 边于点 ，
因为 为 的重心，所以， 为 的中点，且 ，
所以点 到 的距离等于点 到 的距离的 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以， ；
若选②，由余弦定理可得 ，
若 为 的内心，设 的内切圆的半径为 ，
则 ，则 ，
因此， ；
若选③，若 为 的外心，设 的外接圆半径为 ，
由余弦定理可得 ，则 ，
在优弧 上任取一点 ，则 ，则 ，
因此， .
考法八 解三角形与三角函数性质的综合
【例8】（2023·广东）设函数 ，其中向量 ， .
(1)求 的最小值；
(2)在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，已知 ， ，△ 的面积为 ，
求 的值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1) ；
(2) .
【解析】（1）由题设， ，
所以，当 时 的最小值为 .
（2）由 ，得： ，则 ，又 ，
所以 ，故 ，则 .
由 ，可得： .
在△ 中，由余弦定理得： ，
所以 .
由 ，则 .
【例8-2】（2023·北京）已知函数 ，将 的图象横坐标变为原来的 ，纵坐标
不变，再向左平移 个单位后得到 的图象，且 在区间 内的最大值为 .
（1）求 的值；
（2）在锐角 中，若 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）将函数 的图象横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单
位后得到 的图象，
则 ，
， ，
当 ，即 时， 最大值 ，所以， ；
（2） ，
，则 ，所以， ，所以， ，
，
是锐角三角形，由 ，解得 ，
所以， ， ，则 .
【变式】
1．（2023春·山西晋城）已知函数 .
(1)求函数 的定义域和值域；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)已知锐角 的三个内角分别为A，B，C，若 ，求 的最大值.
【答案】(1) ；
(2)2
【解析】（1） ，
所以要使 有意义，
只需 ，即 ，
所以 ，解得
所以函数 的定义域为 ，
由于 ，所以 ，
所以函数 的值域为 ；
（2）由于 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 即 ，
由锐角 可得 ，所以 ，
由正弦定理可得
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 所以 ，
所以 的最大值为2.
2．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
令 ，则
所以，单调减区间是 .
（2）由 得：
，即 ，
由于 ，所以 .
在 中， ，
，
于是 ，则 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，所以 .
3．（2023春·云南）已知函数 的部分图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，且 的面积
为 ，求 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）据图象可得 ，故 ，
由 得： ．
由 得： ．
由 知， ，
，解得 ，
；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2） ， ，
， ，
， ，
由题意得 的面积为 ，解得 ，
由余弦定理得 ，解得： .
考法九 证明题
【例9】（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
【答案】(1) ；
(2)证明见解析．
【解析】（1）由 ， 可得， ，而
，所以 ，即有 ，而 ，显然 ，所
以， ，而 ， ，所以 ．
（2）由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，故原等式成立．
【变式】
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求证： ， ， 是等差数列；
(2)求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【解析】（1）证明：因为 ，
所以 ，
由正弦定理，得 ，
又由余弦定理，得
，
则 ，即 ，
所以 ， ， 是等差数列．
（2）解：由（1）得 ，
又 （当且仅当 时取等号），
因为 ，所以 ，则 的最大值为 ，
则 的最大值为 ．
2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，满足
，且 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： ；
(2)已知 是 的平分线，若 ，求线段 长度的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由题意得 ，即 ．
所以 ，
由正弦定理得 ，又由余弦定理得 ，
所以 ，故 ，
故 ，整理得 ．
又 为锐角三角形，则 ， ， ，
所以 ，因此 ．
（2）在 中，由正弦定理得 ，所以 ．
所以 ．因为 为锐角三角形，且 ，
所以 ，解得 ．
故 ，所以 ．因此线段 长度的取值范围 .
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 的外心为 ，点 分别在线段 上，且 恰为
的中点．
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)证明： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：由正弦定理，得 ，
所以 ，
又 ，所以 或 ，
当 时，
由余弦定理，得
，
所以 ， 的面积 ，
当且仅当 时，取等号；
当 时，
同理可得 ， 的面积 ，
当且仅当 时，取等号．
综上， 面积的最大值为 ；
（2）证明：设 ，
由余弦定理知 ， ，
因为 ，
所以 ，
化简整理得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而 ，因此 ，
又因为 是 外心，故 ，
同理可知 ，
因为 恰为 的中点，
因此 ，所以 ．
考法十 存在性与唯一性
【例10-1】（2021·全国·统考高考真题）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ，
.．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，且 .
【解析】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例10-2】．（2021·北京·统考高考真题）在 中， ， ．
（1）求 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边
上中线的长．
条件①： ；
条件②： 的周长为 ；
条件③： 的面积为 ；
【答案】（1） ；（2）答案不唯一，具体见解析．
【解析】（1） ，则由正弦定理可得 ，
， ， ， ，
，解得 ；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ，
与 矛盾，故这样的 不存在；
若选择②：由（1）可得 ，
设 的外接圆半径为 ，
则由正弦定理可得 ，
，
则周长 ，
解得 ，则 ，
由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】；
若选择③：由（1）可得 ，即 ，
则 ，解得 ，
则由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
.
【变式】
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）在 中，角 的对边分别为 ，且
.
(1)求 的值；
(2)若 ，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得 存在且唯一确定，求 的面积.
条件①： ；条件②： ；条件③： 的周长为9.
【答案】(1)2
(2)答案见解析
【解析】（1）解：因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
又因为 ，可得 ，
所以 ，可得 .
（2）解：由（1）得 ，由正弦定理得 ，
若选条件①：由余弦定理得 ，即 ，
又由 ，解得 ，则 ，此时 存在且唯一确定，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，则 ，可得 ，
所以 ；
若选条件②：由 ，因为 ，即 ，
若 为锐角，则 ，
由余弦定理 ，即 ，
整理得 ，且 ，解得 ，则 ；
若 为钝角，则 ，
由余弦定理得 ，即 ，
整理得 ，且 ，解得 ，则 ；
综上所述，此时 存在但不唯一确定，不合题意；
若条件③：因为 ，即 ，解得 ，则 ，
所以此时 存在且唯一确定，
由余弦定理得 ，
因为 ，可得 ，
所以 ．
2.（2022·北京·景山学校模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求B；
(2)从以下条件中选择两个，使△ABC存在且唯一确定，并求△ABC的面积．
①若 ；② ；③ ；④△ABC的周长为9．
【答案】(1) ；(2)选①④，面积为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】(1)因为 ，由正弦定理得 ，
，
三角形中 ，所以 ， ，所以 ；
(2)因为 ，所以 ，因此条件③不能确定三角形；
若已知①②，则由正弦定理得 ，无解；
若已知①④，即 ， ，则 ，与三角形的性质矛盾，三角形不存在．
所以只有条件②④能确定三角形． ， ，则 ，由（1） ，
，即 ，所以 ，
，
，又 ，所以 ，从而 ，
为等边三角形，唯一确定，面积为 ．
3.（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习） 中，内角 的对边分别为 的外接圆半径
为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)已知 的平分线交 于点 ，从以下三个条件中选择两个，使 唯一确定，并求 和 的
长度.
条件①： ；条件②： ；条件③： .
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)选择条件②和③； ，
【解析】（1）由已知得 ，
得 ，
即 ，即 ，
又因为 ，故 ；
（2）由（1）得 中，
由余弦定理得 ，
所以 ，
而条件①中 ，所以 ，显然不符合题意，即条件①错误，
由条件② ，条件③ ，解得 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，所以 ，
在 中，因为 为 的平分线，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
在 中， ，
所以 .
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