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第一章数与式真题测试
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的）
1．（2020·南昌市第一中学初一期中）有下列四个论断：①﹣ 是有理数；② 是分数；
③2.131131113…是无理数；④π是无理数，其中正确的是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据无理数的概念即可判定选择项．
【解析】解：①﹣ 是有理数，正确；② 是无理数，故错误；
③2.131131113…是无理数，正确；④π是无理数，正确；正确的有3个．故选B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开
方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（2021·江苏扬州市·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分别找到各式为0时的x值，即可判断．
【详解】
解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意；
B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意；
C、分子是1，而1≠0，则 ≠0，故符合题意；
D、当x=-1时， ，故不合题意；
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故选C．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：
（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
3．（2022·四川眉山）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则
分析选项即可知道答案．
【详解】解：A. ，根据同底数幂的乘法法则可知： ，故选项计算错
误，不符合题意；
B. ， 和 不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
C. ，根据完全平方公式可得： ，故选项计算错误，不
符合题意；
D. ，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题
意；
故选：D
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的
法则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多
项式的法则．
4．（2023·河北·统考中考真题）若 ，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
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【分析】把 代入计算即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．
5．（2018·河北定兴·中考模拟）若x﹣ =3，则 =（ ）
A．11 B．7 C． D．
【答案】C
【分析】先由x﹣ =3两边同时平方变形为 ，进而变形为 ，从而
得解．
【解析】解：∵x﹣ =3，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故选：C．
【点睛】此题要运用完全平方公式进行变形.根据a2+b2=(a+b)2-2ab把原式变为
，再通分，最后再取倒数.易错点是忘记加上两数积的2倍．
6．（2020·四川雅安·中考真题）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【答案】B
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【解析】
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0列式进行计算即可得.
【详解】∵分式 的值为零，
∴ ，
解得：x=1，
故选B．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是
解题的关键.
7．（2021·甘肃武威市·中考真题）中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，
截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年
中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．
数据“50亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合科学计数法的表示方法即可求解．
【详解】解：50亿即5000000000，故用科学计数法表示为 ，
故答案是：B．
【点睛】本题考察科学计数法的表示方法，难度不大，属于基础题。解题关键即掌握科学
计数法的表示方法，科学计数法的表示形式为 ，其中 ，n为整数．此外
熟记常用的数量单位，如万即是 ，亿即是 等．
8．（2019·广东中考真题）实数 、 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立
的是( )
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由数轴上a，b两点的位置确定a，b的取值范围，再逐一验证即可求解．
【解析】由数轴上a，b两点的位置可知-2＜a＜-1，0|b|，故B选项错误；a+b<0，故C选项错误； ，故D选项正确，故选D.
【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较、实数的运算等，根据数轴的特点判断
两个数的取值范围是解题的关键.
9．（2020·云南峨山·初二期末）△ABC的三边的长a、b、c满足：
，则△ABC的形状为（ ）．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由
的关系，可推导得到△ABC为直角三角形．
【解析】∵ 又∵ ∴ ∴
∴ ∴△ABC为直角三角形故选：D．
【点睛】本题考察了平方、二次根式、绝对值和勾股定理逆定理的知识；求解的关键是熟
练掌握二次根式、绝对值和勾股定理逆定理，从而完成求解．
10．（2022·湖南常德）我们发现： ， ， ，…，
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，一般地，对于正整数 ， ，如果满足
时，称 为一组完美方根数对．如上面 是一组完
美方根数对．则下面4个结论：① 是完美方根数对；② 是完美方根数对；③若
是完美方根数对，则 ；④若 是完美方根数对，则点 在抛物线
上．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据定义逐项分析判断即可．
【详解】解： ， 是完美方根数对；故①正确；
不是完美方根数对；故②不正确；
若 是完美方根数对，则 即 解得 或
是正整数则 故③正确；
若 是完美方根数对，则 ,即 故④正确故选C
【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题
的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（2022·四川泸州）若 ，则 ________．
【答案】
【分析】由 可得 ， ，进而可求出 和 的值.
【详解】∵ ，∴ ， ，∴ =2， ，
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∴ .故答案为-6.
【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是
非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.，初中范围内的非负数有：
绝对值，算术平方根和偶次方.
12．（2021·四川南充市·中考真题）若 ，则 _________
【答案】
【分析】
先根据 得出m与n的关系式，代入 化简即可；
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，得出 是解决本题的关键．
13．（2021·四川遂宁市·中考真题）若 ，则 _____．
【答案】
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【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后计算即可求解．
【详解】解：根据题意得， a−2=0，a+b=0，
解得a=2，b=-2，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了两个非负数之和为零的性质，绝对值与算术平方根的非负性，负整数
指数幂的运算，掌握以上知识是解题的关键．
14．（2021·湖南岳阳市·中考真题）已知 ，则代数式 ______．
【答案】0
【分析】
把 直接代入所求的代数式中，即可求得结果的值．
【详解】
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了求代数式的值，涉及二次根式的减法运算，整体代入法是解决本题的关键．
15．（2022·湖北荆州）若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的
值是______．
【答案】2
【分析】先由 得到 ，进而得出a和b，代入 求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
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∴ ， ．
∴ ，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估
算方法和无理数整数和小数部分的求解方法．
16．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式 与 的最简公分母是_______，
方程 的解是____________．
【答案】 x=-4
【解析】
【分析】
根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．
【详解】
解：∵ ，
∴分式 与 的最简公分母是 ，
方程 ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，变形得： ，
解得：x=2或-4，
∵当x=2时， =0，当x=-4时， ≠0，
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∴x=2是增根，
∴方程的解为：x=-4．
【点睛】
本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．
17．（2022·安徽）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，……
按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；
（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为
，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边
变形即可证明．
(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：
，故答案为： ；
(2)解：第n个等式为 ，
证明如下：等式左边： ，
等式右边：
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，
故等式 成立．
【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差
公式是解题的关键．
18．（2021·四川南充市·中考真题）若 ，则 _________
【答案】
【分析】
先根据 得出m与n的关系式，代入 化简即可；
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，得出 是解决本题的关键．
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19.（2022·四川达州）人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法
中的“0.618法”就应用了黄金比．设 ， ，记 ，
，…， ，则 _______．
【答案】5050
【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．
【详解】解： ， ， ，
，
，
…，
故答案为：5050
【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得 ，找出的规律是本
题的关键．
20．（2022·浙江宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b， ．若
，则x的值为___________．
【答案】
【分析】根据新定义可得 ，由此建立方程 解方程即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
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又∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ 即 ，∴ ，解得 ，
经检验 是方程 的解，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的
方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（2020·陕西其他） .
【答案】3.
【分析】本题需先根据实数运算的顺序和法则，分别进行计算，再把所得的结果合并即可
求出答案．
【解析】原式=4-2+ - +1，=3．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，在解题时要注意运算顺序和公式的应用是本题的关
键．
22．（2022·浙江丽水）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；2
【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入 即可求解．
【详解】
当 时，
原式 ．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．
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23．（2022·湖南邵阳）先化简，再从－1，0，1， 中选择一个合适的 值代入求值．
．
【答案】 ， ．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，
约分得到最简结果，把合适的 的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
= ，
∵x+1≠0，x-1≠0，x≠0，∴x≠±1，x≠0
当x= 时，原式= ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式混合运算
顺序和运算法则．
24．（2022·四川凉山）先化简，再求值： ，其中m为满足－1＜m＜4
的整数．
【答案】 ，当 时，式子的值为 ；当 时，式子的值为 ．
【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定
的值，代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
， ，
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又 为满足 的整数， 或 ，
当 时，原式 ，
当 时，原式 ，
综上，当 时，式子的值为 ；当 时，式子的值为 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
25.整式的计算：
(1)先化简，再求值 ，其中 ， ．
(2)已知代数式 ， ， ．小丽
说：“代数式 的值与a，b的值无关．”她说得对吗？说说你的理由．
【答案】(1) ；6；(2)小丽说得对，理由见详解
【解析】(1)解：原式=
= =
将 ， 代入
(2)
=
= =7
小丽说得对．
26.老师布置了一道化简求值题，如下：求 的值，其中 ，
．
(1)小海准备完成时发现第一项的系数被同学涂了一下模糊不清了，同桌说他记得系数是 ．
请你按同桌的提示，帮小海化简求值；
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(2)科代表发现系数被涂后，很快把正确的系数写了上去。同学们计算后发现，老师给出的
“ ”这个条件是多余的，请你算一算科代表补上的系数是多少？
【答案】(1) ， ．(2) ．
【解析】(1)解： ，
= = ，
当 ， 时，原式= ．
(2)设课代表填数的数为m，
，
= ，
= ，
∵老师给出的“ ”这个条件是多余的，
∴化简后与x无关，
∴ ，
解得 ．
27．（2021·浙江丽水市·中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一
道代数式求值问题：
已知实数 同时满足 ，求代数式 的值．
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结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当 时，a的值是__________．
（2）当 时，代数式 的值是__________．
【答案】 或1 7
【分析】
（1）将 代入 解方程求出 ， 的值，再代入 进行验
证即可；
（2）当 时，求出 ，再把 通分变形，最后进行整体代入求值即可．
【详解】
解：已知 ，实数 ， 同时满足①，②，
①-②得，
∴
∴ 或
①+②得，
（1）当 时，将 代入 得，
解得， ，
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∴ ，
把 代入 得，3=3，成立；
把 代入 得，0=0，成立；
∴当 时，a的值是1或-2
故答案为：1或-2；
（2）当 时，则 ，即
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：7．
【点睛】
此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的
运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．
28．（2021·重庆中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和
是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：
，因为 ，所以3507是“共生数”： ，因为
，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上
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的数字之和能被9整除时，记 ．求满足 各数位上的数字之和是偶数的所有
n．
【答案】（1） 是“共生数”， 不是“共生数”． （2） 或
【分析】
（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；
（2）设“共生数” 的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为
个位上的数字为 可得： ＜ 且 为整数，再由“共生
数”的定义可得： 而由题意可得： 或 再结合方程的正整
数解分类讨论可得答案．
【详解】解：（1）
是“共生数”，
不是“共生数”．
（2）设“共生数” 的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为
个位上的数字为
＜ 且 为整数，
所以：
由“共生数”的定义可得：
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百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，
或 或
当 则 则 不合题意，舍去，
当 时，则
当 时，
此时： ，而 不为偶数，舍去，
当 时，
此时： ，而 为偶数，
当 时，
此时： ，而 为偶数，
当 时，则
而 则 不合题意，舍去，
综上：满足 各数位上的数字之和是偶数的 或
【点睛】本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论
的数学思想的运用，准确理解题意列出准确的代数式与方程是解题的关键．
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29．（2021·重庆中考真题）如果一个自然数 的个位数字不为 ，且能分解成 ，其
中 与 都是两位数， 与 的十位数字相同，个位数字之和为 ，则称数 为“合和
数”，并把数 分解成 的过程，称为“合分解”．
例如 ， 和 的十位数字相同，个位数字之和为 ，
是“合和数”．
又如 ， 和 的十位数相同，但个位数字之和不等于 ，
不是“合和数”．
（1）判断 ， 是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数” 进行“合分解”，即 ． 的各个数位数字之和
与 的各个数位数字之和的和记为 ； 的各个数位数字之和与 的各个数位数字
之和的差的绝对值记为 ．令 ，当 能被 整除时，求出所有
满足条件的 ．
【答案】（1） 不是“合和数”， 是“合和数，理由见解析；（2） 有 ，
， ， ．
【分析】
（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数 的个位数字不为 ，
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且能分解成 ，其中 与 都是两位数， 与 的十位数字相同，个位数字之和为
，则称数 为“合和数”，再判断 ， 是否是“合和数”；
（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示 个位及十位上的
数，同时也可以用来表示 ．然后整理出： ，根据能被4整除时，通过分
类讨论，求出所有满足条件的 ．
【详解】
解：（1）
不是“合和数”， 是“合和数”．
， ，
不是“合和数”，
，十位数字相同，且个位数字 ，
是“合和数”．
（2）设 的十位数字为 ，个位数字为 （ ， 为自然数，且 ，
），
则 ．
∴ ．
∴ （ 是整数）．
，
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，
是整数，
或 ，
①当 时，
或 ，
或 ．
②当 时，
或 ，
或 ．
综上，满足条件的 有 ， ， ， ．
【点睛】
本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所
涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力．
30．（2022·重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数
位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵ ，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵ ，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且 ．
在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 ，最小的两位数记为
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，若 为整数，求出满足条件的所有数A．
【答案】(1)357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析
(2)数A可能为732或372或516或156
【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；
（2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出 ，根据 ， 是最大的
两位数， 是最小的两位数，得出 ， （k
为整数），结合 得出 ，根据已知条件得出 ，从而得出
或 ，然后进行分类讨论即可得出答案．
(1)解：∵ ，∴357不是15“和倍数”；
∵ ，∴441是9的“和倍数”．
(2)∵三位数A是12的“和倍数”，∴ ，
∵ ，∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数 ，最
小的两位数 ，∴ ，
∵ 为整数，设 （k为整数），则 ，
整理得： ，根据 得： ，
∵ ，∴ ，解得 ，
∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，
∴ ，∴ ，∴ ，把 代入 得：
，整理得： ，∵ ，k为整数，∴ 或 ，
当 时， ，∵ ，∴ ， ，
， ， ，或 ， ， ，
要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，
当 ， ， 时，组成的三位数为 或 ，
∵ ，∴ 是12的“和倍数”，
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∵ ，∴ 是12的“和倍数”；
当 ， ， 时，组成的三位数为 或 ，
∵ ，∴ 不是12的“和倍数”，
∵ ，∴ 不是12的“和倍数”；
当 时， ，∵ ，∴ ，
， ， ，组成的三位数为516或156，
∵ ，∴ 是12的“和倍数”，
∵ ，∴ 是12的“和倍数”；
综上分析可知，数A可能为732或372或516或156．
【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征
和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度．
31．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．
Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世
纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地．若 （ 且 ），那么x叫做以a为底N的对数，
记作 ，比如指数式 可以转化为对数式 ，对数式
可以转化为指数式 ．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设 ，则 ．
．由对数的定义得
又
．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：① ___________；② _______，③ ________；
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（2）求证： ；
（3）拓展运用：计算 ．
【答案】（1）5，3，0；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）直接根据定义计算即可；
（2）结合题干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明；
（3）根据公式：loga（M•N）=logaM+logaN和loga =logaM-logaN的逆用，将所求式
子表示为： ，计算可得结论．
【详解】
解：（1）①∵ ，∴ 5，
②∵ ，∴ 3，
③∵ ，∴ 0；
（2）设logaM=m，logaN=n，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）
=
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=
=2．
【点睛】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关
键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
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