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第05讲 将军饮马-最短路径问题
1. 通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间，线段最短和垂线段最短的性
质.
2. 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感
悟转化思想.
基本图模
1.
已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；
要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，
在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.
2.
已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小
（或△ABP的周长最小）
解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，
由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则
需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.
方法总结：
1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.
【题型1：两定一动-作图】
【典例1】（2021秋•沿河县期末）如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，
到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最
短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：使牧马人所走路径最短的是 ，
故选：D．
【变式1】（2023春•埇桥区期末）如图，要在街道 l设立一个牛奶站O，向居
民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解答】解：作点 A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点O，
则点O即为所求点．
故选：D．
【典例2】（2023春•金水区校级期末）如图，在所给正方形网格（每个小网格
的边长是1）图中完成下列各题．
（1）格点△ABC（顶点均在格点上）的面积＝ 5 ；
（2）画出格点△ABC关于直线DE对称的△A B C ；
1 1 1
（3）在DE上画出点P，使PB+PC最小．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）S ＝4×4﹣ ×4×2﹣ ×2×1﹣ ×4×3＝5；故答案为：
△ABC
5；
（2）所作图形如图所示：（3）如图所示：
【变式2-1】（2022秋•天山区校级期末）如图，要在燃气管道 l上修建一个泵
站，分别向A，B两城镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管
线最短？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：作 A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接
AP，则泵站修在管道的 P点处，可使所用的输气管线 AP+BP最短．理由如
下：
在直线l上任取一点E，连接AE、BE、A′E，
∵A、A′关于直线l对称，
∴AP＝A′P，同理AE＝A′E，
∵AP+BP＝A′P+BP＝A′B，
AE+BE＝A′E+BE＞A′B，
∴AP+BP＜A′E+BE，
∵E是任意取的一点，
∴AP+BP最短．
【变式2-2】（2022秋•东昌府区校级期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置
如图所示．
（1）请直接写出△ABC关于x轴对称的△A B C 三个顶点的坐标（其中A ，
1 1 1 1
B ，C 分别是A，B，C的对应点）；
1 1
（2）请直接写出△A B C 关于 y轴对称的△A B C 三个顶点的坐标（其中
1 1 1 2 2 2
A ，B ，C 分别是A，B，C的对应点）；
2 2 2
（3）在直线l上存在一点P，使得PA+PB最小．则P （ 1 ， ） ．
【答案】（1）（2）见解答；
（3）（1， ）．【解答】解：（1）如图所示：△A B C 即为所求，A （﹣2，﹣3），B （﹣
1 1 1 1 1
3，﹣1），C （1，2）；
1
（2）如图所示：△A B C 即为所求，A （2，﹣3），B （2，﹣1），C （﹣
2 2 2 2 2 2
1，2，）；
（3）A 点关于直线 m 的对称点为 A′（4，3），连接 BA′交直线 m 于点
P，
设直线BA′解析式为：y＝kx+b，
则把B（﹣3，1），A′（4，3）代入得：
，
解得： ，
故直线BA′解析式为：y＝ x+ ，
当x＝1时，y＝ ，
故P（1， ）．
故答案为：（1， ）．【题型2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】
【典例3】（2022秋•南川区期末）如图，△ABC是等腰三角形，底边BC的长
为6，面积是30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB于点E、F．若点D
为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值是（
）
A．11 B．13 C．18 D．24
【答案】B
【解答】解：连接AM，当A、M、D时，此时AD⊥BC，△CDM的周长最小，
∵△ABC是等腰三角形，底边BC的长为6，面积是30，
∴AD＝10，
∴△CDM周长的最小值是：10+3＝13，
故选：B．
【变式3-1】（2022秋•大足区期末）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC
＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则
PA+PC的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4.5
【答案】B
【解答】解：如图，MN是BC的垂直平分线，
∴点C与点B关于直线MN对称，
∴线段AB与直线MN的交点即为点P，
∴PA+PC＝AB．
∵AB＝3，∴PA+PC的最小值是3．
故选：B．
【变式3-2】（2023春•老城区校级月考）如图，等腰三角形ABC的底边BC长
为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若
点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为
（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解答】解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S ＝ BC•AD＝ ×4×AD＝16，
△ABC
解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+ BC＝8+ ×4＝8+2＝10．
故选：C．
【变式3-3】（2022秋•德州期末）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积
是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解答】解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S ＝ BC•AD＝ ×6×AD＝18，解得AD＝6，
△ABC
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+ BC＝6+ ×6＝6+3＝9．
故选：C．
【变式3-4】（2023•新荣区三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上
的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，
∠PCD的度数是（ ）A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】D
【解答】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE≥BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCD＝∠PBC＝30°，
故选：D．
【题型3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】
【典例 4】（2022 秋•香洲区期末）已知∠AOB＝30°，在∠AOB 内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP
的长为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．
【答案】B
【解答】解：分别作点 P关于OB、OA的对称点 C、D，连接CD，分别交
OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝ ∠COD，
∴∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝OP，
∵△PMN周长的最小值是3cm，
∴PM+PN+MN＝3cm，
∴DM+CN+MN＝3cm，
即CD＝3cm＝OP，
故选：B．【变式4-1】（2023•紫金县校级开学）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝
6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最
小值是6cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝ ∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN＝6，
∴DM+CN+MN＝6，
即CD＝6＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°，
故选：B．【典例5】（2023春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝
6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的
动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P
作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∵S ＝ AB•CM＝ AC•BC，
△ABC
∴CM＝ ＝ ，
即PC+PQ的最小值为 ．
故选：B．【变式5-1】（2023春•高州市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝
12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，
则PC+PQ的最小值是（ ）
A．9.6 B．8 C．6 D．4.8
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最
小值为BQ的长，如图所示．
∵S ＝ BC•AD＝ AC•BQ，
△ABC
∴BQ＝ ＝9.6．
故选：A．
【变式5-2】（2022秋•黄埔区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC
＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上
的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）A．2.4 B．3 C．4.8 D．5
【答案】A
【解答】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过
点C作CH⊥AB于点H．
∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称，
∴点Q′值AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH，
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5， •AC•BC＝ •AB•CH，
∴CH＝2.4，
∴CP+PQ≥2.4，
∴PC+PQ的最小值为2.4．
故选：A．
【题型4：一定两动-求角度】
【典例6】（2022秋•湖里区期末）如图，在四边形 ABCD中，∠C＝ °，∠B
＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF
α
的度数为（ ）A． B．2 C．180﹣ D．180﹣2
【答案】D
α α α α
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC
于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．
∵∠C＝ °，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠DAB＝180°﹣ °，
α
∴∠AA′E+∠A″＝ °，
α
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
α
∴∠EAA′+∠A″AF＝ °，
∴∠EAF＝180°﹣ °﹣ °＝180°﹣2 °．
α
故选：D．
α α α
【变式6-1】（2022秋•东丽区期末）如图，在四边形 ABCD中，∠C＝72°，
∠B＝∠D＝90°，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，
∠MAN的度数为（ ）
A．72° B．36° C．108° D．38°
【答案】B
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC
于 M，交 CD 于 N，则 A′A″即为△AMN 的周长最小值．作 DA 延长线
AH，
∵∠DAB＝108°，∴∠HAA′＝72°，
∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝72°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴ ∠ AMN+∠ ANM ＝ ∠ MA′ A+∠ MAA′ +∠ NAD+∠ A″ ＝ 2
（∠AA′M+∠A″）＝2×72°＝144°，
∴∠MAN＝36°，
故选：B．
【变式6-2】（2022秋•硚口区期末）如图，在四边形 ABCD中，∠B＝∠D＝
90°，∠A＝40°，M，N分别是边AB，AD上的动点，当△MCN的周长最小时，
∠MCN的大小是（ ）
A．50° B．70° C．90° D．100°
【答案】D
【解答】解：作C点关于AD的对称点E，C点关于AB的对称点F，连接EF
交AD于N′点，交AB于M′，如图，
∴N′E＝N′C，M′F＝M′C，
∴CN′+M′N′+CM′＝N′E+N′M′+M′F＝EF，
∴此时△MCN的周长最小，
∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，
∴∠BCD＝140°，
∵N′E＝N′C，M′F＝M′C，∴∠E＝∠N′CE，∠F＝∠M′CF，
∵∠E+∠F＝180°﹣∠ECF＝180°﹣140°＝40°，
∴∠N′CE+∠M′CF＝40°，
∴∠M′CN′＝∠ECF﹣（∠N′CE+∠M′CF）＝140°﹣40°＝100°，
即△MCN的周长最小时，∠MCN为100°．
故选：D．
【变式6-3】（2022秋•民权县期末）如图，在四边形 ABCD中，∠A＝∠C＝
90°，∠B＝ ，在AB、BC上分别找一点E、F，使△DEF的周长最小．此时，
∠EDF＝（ ）
α
A． B．90°﹣ C． D．180°﹣2
【答案】D
α α α
【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，
连接PQ，交AB于E，交BC于F，则点E，F即为所求．∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝ ，
∴∠ADC＝180°﹣ ，
α
由轴对称知，∠ADE＝∠P，∠CDF＝∠Q，
α
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣ ）
＝ ，
α
∴∠ADE+∠CDF＝∠P+∠Q＝ ，
α
∴∠EDF＝∠ADC﹣（∠ADE+∠CDF）
α
＝180°﹣ ﹣
＝180°﹣2 ，
α α
故选：D．
α
1．（2023•明水县模拟）如图，在锐角三角形 ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，
∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN
取得最小值时，AN＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A
【解答】解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，
交AD于CM于点M，连结BM，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴E点在AC上，
∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此时BM+MN的值最小，
由对称性可知，AE＝AB，
∵AB＝4，
∴AE＝4，
在Rt△ABE中，∠EAN＝60°，
∴∠AEN＝30°，
∴AN＝2，
故选：A．
2．（2023•新荣区三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点
E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠PCD的
度数是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】D【解答】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE≥BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCD＝∠PBC＝30°，
故选：D．
3．（2023•肇东市校级二模）如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4，
CD为△ABC的中线，点E、点F分别为线段CD、CA上的动点，连接AE、
EF，则AE+EF的最小值为（ ）
A．4.8 B．2.4 C．6 D．5
【答案】A
【解答】解：如图，连接BF交CD于点I，连接BE、AI，作BG⊥AC于点G，
∵CD为△ABC的中线，AB＝6，CD＝4，
∴AD＝BD＝ AB＝ ×6＝3，
∵AC＝BC＝5，
∴CD⊥AB，
∴点A与点B关于直线CD对称，
∴AE＝BE，AI＝BI，
∴AE+EF＝BE+EF，
∵BE+EF≥BF，BF≥BG，
∴当点E与点I重合时，AE+EF＝AI+IF＝BI+IF＝BF，
∴当BF与BG重合时，AE+EF＝BF＝BG，此时AE+EF的值最小，
∵ AC•BG＝ AB•CD＝S ，
△ABC
∴ ×5BG＝ ×6×4，
∴BG＝4.8，
∴AE+EF的最小值为4.8，
故选：A．
4．（2023•海淀区一模）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，
现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，
使用电缆材料最少的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解答】解：根据线段的性质可知，点P即为所求作的位置．
符合题意的画法是A．
故选：A．
5．（2023•东明县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两
条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于 PB+PE最小值的是（
）
A．BD B．CE C．BC D．AD
【答案】B
【解答】解：如图连接PC，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选：B．
6．（2023•浠水县校级模拟）如图，在等边△ABC中，D，E分别为边BC，AB的中点，AD＝5，且P为AD上的动点，连接EP，BP，则BP+EP的最小值
为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：如图，作点E关于AD的对称点F，连接BF，交AD于点P，
∵等边三角形为轴对称图形，
∴点F在线段AC上，
∴PF＝PE，
∴BP+PE＝BP+PF≥BF，即BP+EP的最小值为BF的长，且此时AC⊥BF，
根据等边三角形三边上的高相等，即AD＝BF＝5，
∴BP+EP的最小值为5．
故答案为：5．
7．（2023•博兴县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝
8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则
PC+PQ的最小值是 ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P
作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∵S ＝ AB•CM＝ AC•BC，
△ABC
∴CM＝ ，
即PC+PQ的最小值为 ．
故答案为 ．
8．（2023•荔湾区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC
＝12，AB＝15，AD是∠BAC的平分线，若点P、Q分别是AD和AC上的动
点，则PC+PQ的最小值是 ．【答案】 ．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交
AD于点P，连接CP，此时PC+PQ＝EQ取最小值，如图所示．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB＝15．
∵AD是∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴CD＝ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝9．
在△ACP和△AEP中，
，
∴△ACP和△AEP（SAS），
∴∠ACP＝∠AEQ，
延长CP，交AB于F，
在△ACF和△AEQ中，
，
∴△ACF≌△AEQ（ASA），
∴∠AFC＝∠AQE＝90°，EQ＝CF，
∴ AB•CF＝ AC•BC，
∴CF＝ ＝ ＝
∴EQ＝CF＝ ．
∴PC+PQ的最小值是 ，故答案为 ．
9．（2023•东莞市三模）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是30，腰
AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，
点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 1 3 ．
【答案】13．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S ＝ BC•AD＝ ×6×AD＝30，解得AD＝10，
△ABC
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+ BC＝6+ ×6＝3+10＝13．
故答案为：13．
10．（2023•淄川区一模）如图，在四边形 ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB
＝140°，M，N 分别是边 DC，BC 上的动点，当△AMN 的周长最小时，∠MAN＝ 10 0 °．
【答案】100．
【解答】解：如图，作点 A关于CD，CB的对称点 E、F，连接 EF分别交
CD，CB于点H、G，连接AH，AG、EM，FN，
由对称性知：EM＝AM，EH＝AH，NF＝NA，GF＝GA，
∴AM+MN+NA＝EM+MN+NF≥EF，
∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，△AMN的周长最小；
∵GA＝GF，EH＝AH，
∴∠GAF＝∠GFA，∠HEA＝∠HAE，
∴∠AGH＝2∠GFA，∠AHG＝2∠HEA，
∵∠DAB＝140°，
∴∠GFA+∠HEA＝180°﹣∠DAB＝40°，
∵∠AGH+∠AHG＝2∠GAF+2∠HEA＝2×40°＝80°，
∴∠GAH＝180°﹣（∠AGH+∠AHG）＝180°﹣80°＝100°，
即∠MAN＝100°，
故答案为：1001．（2023春•兴宁市校级期末）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划
铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：作点 M关于直线 l的对称点 M′，连接 M′N 交直线 m于点
Q，则MP+NP＝M′N，此时管道长度最短．
故选：B．
2．（2022秋•潜江期末）如图，直线 l ，l 表示一条河的两岸，且l ∥l ．现要
1 2 1 2
在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄 P经桥过河到
村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQC．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ
【答案】C
【解答】解：作PP'垂直于河岸l ，使PP′等于河宽，
2
连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l 于点E，
1
则EF∥PP′且EF＝PP′，
于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F＝PE，
根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．
故C选项符合题意，
故选：C．
3．（2023春•普宁市校级期中）如图，直线 m是△ABC中BC边的垂直平分线，
点P是直线m上一动点，若AB＝8，AC＝7，BC＝9，则△APC周长的最小
值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．15.5
【答案】A
【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝PC，
∴△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP，∵两点之间线段最短，
∴AP+BP≥AB，
∴△APC的周长＝AC+AP+BP≥AC+AB，
∵AC＝7，AB＝8，
∴△APC周长最小为AC+AB＝15，
故选：A．
4．（2023•肇东市校级二模）如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4，
CD为△ABC的中线，点E、点F分别为线段CD、CA上的动点，连接AE、
EF，则AE+EF的最小值为（ ）
A．4.8 B．2.4 C．6 D．5
【答案】A
【解答】解：如图，连接BF交CD于点I，连接BE、AI，作BG⊥AC于点
G，
∵CD为△ABC的中线，AB＝6，CD＝4，
∴AD＝BD＝ AB＝ ×6＝3，
∵AC＝BC＝5，
∴CD⊥AB，
∴点A与点B关于直线CD对称，
∴AE＝BE，AI＝BI，
∴AE+EF＝BE+EF，
∵BE+EF≥BF，BF≥BG，
∴当点E与点I重合时，AE+EF＝AI+IF＝BI+IF＝BF，
∴当BF与BG重合时，AE+EF＝BF＝BG，此时AE+EF的值最小，
∵ AC•BG＝ AB•CD＝S ，
△ABC
∴ ×5BG＝ ×6×4，∴BG＝4.8，
∴AE+EF的最小值为4.8，
故选：A．
5．（2023•容县一模）如图，已知点 D、E分别是等边△ABC中BC、AB边上
的中点，AD＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．
【答案】B
【解答】解：连接CE交AD于点F，连接BF，
∵△ABC是等边三角形，
∴BF＝CF，
∴BF+EF＝CF+EF＝CE，
此时BF+EF的值最小，最小值为CE，
∵D、E分别是△ABC中BC、AB边的中点，
∴AD＝CE，
∵AD＝6，
∴CE＝6，
∴BF+EF的最小值为6，
故选：B．6．（2022秋•无锡期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝
8，如果点 D，E 分别为 BC，AB 上的动点，那么 AD+DE 的最小值是
（ ）
A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8
【答案】B
【解答】解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D.
则AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE≥A'E．
即AD+DE的最小值为A'E．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，AA'＝12，
∵S ＝ ，
△AA'B
∴A'E＝ ＝ ＝9.6，
即AD+DE的最小值为9.6．
故选：B．7．（2022秋•路北区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，有点 A（﹣2，
4）和B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，
则点P的坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，3）
【答案】B
【解答】解：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交
x轴于P，连接AP，
则此时AP+PB最小，
即此时点P到点A和点B的距离之和最小，
∵A（﹣2，4），
∴C（﹣2，﹣4），设直线CB的解析式是y＝kx+b，
把C、B的坐标代入得： ，
解得：k＝1，b＝﹣2，
∴y＝x﹣2，
把y＝0代入得：0＝x﹣2，
x＝2，
即P的坐标是（2，0），
故选：B．
8．（2022秋•綦江区期末）如图所示，在△ABC 中，∠ABC＝68°，BD平分
∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当 AP+PQ的值最小
时，∠APB的度数是（ ）
A．118° B．125° C．136° D．124°
【答案】D
【解答】解：在BC上截取BE＝BQ，连接PE，如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴ ，
∵BP＝BP，
∴△PBQ≌△PBE（SAS），
∴PE＝PQ，∴AP+PQ＝AP+PE，
∴当A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ最小，
过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点P，如图所示：
∵∠AEB＝90°，∠ABE＝68°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝22°，
∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝124°．
故选：D．
9．（2022秋•路南区校级期末）如图，在五边形ABCDE中，∠AMN+∠ANM＝
84°，∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长
最小时，则∠BAE的度数为（ ）
A．96° B．106° C．126° D．138°
【答案】D
【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接
PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，
∴AM＝PM，AN＝QN，
∴∠P＝∠PAM，∠Q＝∠QAN，
∴△AMN周长＝AM+MN+AN＝PM+MN+QN＝PQ，
由轴对称确定最短路径，PQ的长度为△AMN的周长的最小值，
∵∠AMN＝∠P+∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q+∠QAN＝2∠Q，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠P+∠Q），∵∠AMN+∠ANM＝84°，
∴∠P+∠Q＝42°，
∴∠BAE＝180°﹣42°＝138°，
故选：D．
10．（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边
AB上的一个定点，点M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长
最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．80°
【答案】B
【解答】解：分别作 P 关于 BC，AC 的对称点 E，D，连接 DE，交 AC 于
M，交BC于N，此时△MNP的周长最小，
∵∠PHM＝∠PGN＝90°，∠C＝40°，
∴∠DPE＝360°﹣∠PHM﹣∠PGN﹣∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠D+∠E＝180°﹣∠DPE＝180°﹣140°＝40°，∵PM＝DM，NP＝NE，
∴∠MPD＝∠D，∠NPE＝∠E，
∴∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，
∴∠MPN＝∠DPE﹣（∠MPD+∠NPE）＝140°﹣40°＝100°．
故选：B．
11．（2022秋•西青区校级期末）如图，等边三角形 ABC的边长为2，A、B、
A 三点在一条直线上，且△ABC≌△A BC ．若D为线段BC 上一动点，则
1 1 1 1
AD+CD的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：连接CA 交BC 于点E，
1 1
∵直线l⊥AB，且△ABC与△A BC 关于直线l对称，
1 1
∴A，B，A 共线，
1
∵∠ABC＝∠A BC ＝60°，
1 1
∴∠CBC ＝60°，
1
∴∠C BA ＝∠C BC，
1 1 1
∵BA ＝BC，
1
∴BD⊥CA ，CD＝DA ，
1 1
∴C，A 关于直线BC 对称，
1 1
∴当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA 的长＝4，
1
故选：B．
12．（2023春•西峡县期末）如图，在四边形 ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF
＝ 112 ° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，
连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝ ，
∴∠ADC＝180°﹣ ，
α
由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
α
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣34）
＝34°
∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝34，
∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）
＝180°﹣68°
＝112°
故答案为：112°．
13．（2022秋•广州期中）按要求完成作图：
①作△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1②在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标： （﹣ 3 ，
0 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①△A B C 如图所示；
1 1 1
②x轴上使PA+PC最小的点P如图，点P的坐标为（﹣3，0）．
故答案为：（﹣3，0）．
