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第 05 讲 整数指数幂
课程标准 学习目标
1. 掌握并区分整数指数幂的所有计算，并能够在整数指数幂的
①整数指数幂
计算中熟练应用。
②用科学计数法表示绝对值小于
2. 掌握科学记数法表示较小的数的方法，并能够熟练的表示较
1的数
小的数。
知识点01 整数指数幂
1. 负整数指数幂：
一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的 倒数 。即： 。
（a≠0）证明：
= 。
写成分数的形式计算：
即： = = 。=
∴
2.
整数指数幂的运算性质：
同底数幂的乘法
同底数幂的除法
幂的乘方
积的乘方
分式的乘方
0指数幂
【即学即练1】
1．填空：﹣22＝ ﹣ 4 ，（﹣2）2＝ 4 ，（﹣2）﹣2＝ ，（﹣2）﹣1＝ ﹣ ，（x3y﹣2）2＝
， ＝ ．
【分析】根据有理数的乘方与负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数分别进行计算即可得解．
【解答】解：﹣22＝﹣4，
（﹣2）2＝4，
（﹣2）﹣2＝ ，
（﹣2）﹣1＝﹣ ，
（x3y﹣2）2＝ ，
（ ）﹣2＝ ．
故答案为：﹣4；4； ；﹣ ； ； ．【即学即练2】
2．计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式．
（1）a2b3（2a﹣1b3）；
（2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3；
（3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2．
【分析】（1）根据单项式的乘法进行计算即可；
（2）根据幂的乘方的性质进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数解答；
（3）先根据积的乘方的性质与单项式的除法进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的
倒数解答．
【解答】解：（1）a2b3（2a﹣1b3）＝2a2﹣1b3+3＝2ab6；
（2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3，
＝a6b3c﹣3，
＝ ；
（3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2，
＝2（4a2b4c﹣6）÷（a﹣2b﹣2），
＝8a4b6c﹣6，
＝ ．
【即学即练3】
3．若（a+1）0﹣（a﹣2）﹣2有意义，则a应满足的条件是 a ≠﹣ 1 且 a ≠ 2 ．
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得 ，
解得：a≠﹣1且a≠2，
故答案为：a≠﹣1且a≠2．
【即学即练4】
4．已知10﹣2 ＝3， ，求106 +2 的值．
α α β
【分析】根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数求出 102 和10 ，然后根据幂的乘方的性质和
α β
同底数幂的乘法进行计算即可得解．
【解答】解：∵10﹣2 ＝ ＝3，10﹣ ＝ ＝﹣ ，
α β∴102 ＝ ，10 ＝﹣5，
α β
∴106 +2 ＝（102 ）3•（10 ）2，
α β α β
＝（ ）3×（﹣5）2，
＝ ×25，
＝ ．
知识点02 用科学记数法表示绝对值小于1的数
1. 用科学记数法表示绝对值小于1的数：
绝对值小于1的数的科学记数法：把一个绝对值小于1的数表示成 的形式，其中a的
取值范围为 ，n为正整数。
n的确定方法：方法1：左边起到第一个不为0的数字前的所有0的个数，包括小数点前面的那个0。
方法2：小数点向右移动到第一位非0数字后，小数点移动了几位n的值就是几。
【即学即练1】
5．最近正值气温骤降感冒高发期，感冒病毒极易传染，同学们注意防寒保暖，其中有一种感冒病毒直径
约为0.00000036毫米，将数据0.00000036用科学记数法表示为 3.6×1 0 ﹣ 7 ．
【分析】根据科学记数法的表示方法可直接得出答案．
【解答】解：将数据0.00000036用科学记数法表示为3.6×10﹣7，
故答案为：3.6×10﹣7．
题型01 负整数指数幂的计算
【典例1】2﹣3的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣8 C． D．﹣
【分析】直接利用负整数指数幂的性质分析得出答案．
【解答】解：2﹣3＝ ＝ ．
故选：C．
【变式1】计算：2024﹣1＝（ ）A．﹣2024 B．2024 C． D．
【分析】根据负整数指数幂的意义进行计算，即可解答．
【解答】解：2024﹣1＝ ，
故选：D．
【变式2】计算： ．
【分析】直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质、有理数的乘方运算法则分别
化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝2+1﹣3+1
＝1．
【变式3】计算： ．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和乘方运算进行实数的混合运算即可求解．
【解答】解：原式＝﹣1+1﹣9﹣8
＝﹣17．
【变式4】计算：（﹣2）﹣3﹣2﹣3+（ ）﹣3﹣（﹣ ）﹣3．
【分析】直接根据负整数指数幂的运算法则求解即可．
【解答】解：原式＝﹣ ﹣ +8+8＝ ．
题型02 利用整数指数幂求待定字母的值
【典例1】已知xm＝3，yn＝2，求（x2myn）﹣1的值 ．
【分析】根据幂的乘方，可得负整数指数幂，再根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
【解答】解：x﹣2m＝（xm）﹣2＝3﹣2＝ ，
y﹣n＝（yn）﹣1＝ ．
（x2myn）﹣1＝x﹣2my﹣n＝ × ＝ ，
故答案为： ．
【变式1】已知am+an＝4，am+n＝2，求a﹣2m+a﹣2n的值．【分析】根据负整数指数幂的性质及完全平方公式对原式进行化简，然后代入即可得出答案．
【解答】解：由已知， ，
∴a﹣2m+a﹣2n＝（a﹣m+a﹣n）2﹣2a﹣ma﹣n＝3．
【变式2】已知|b﹣2|+（a+b﹣1）2＝0，求a﹣2b﹣5的值．
【分析】直接利用非负数的性质以及偶次方的性质得出 a，b的值，再利用负整数指数幂的性质代入计
算得出答案．
【解答】解：∵|b﹣2|+（a+b﹣1）2＝0，
∴b﹣2＝0，a+b﹣1＝0，
解得：b＝2，a＝﹣1，
∴a﹣2b﹣5＝（﹣1）﹣2×2﹣5
＝1×
＝ ．
【变式3】已知 ，则m+2n的值＝ ﹣ 3 ．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，负整数指数幂的运算法则计算即可．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴3m⋅32n＝3﹣3，
∴3m+2n＝3﹣3，
∴m+2n＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【变式4】已知am＝5，an＝2，求a﹣2m﹣2n的值．
【分析】根据负整数指数幂的性质解答即可．
【解答】解：a﹣2m﹣2n＝ ＝ ＝ ，
∵am＝5，an＝2，
∴a﹣2m﹣2n＝ ＝ ．
题型03 根据式子有无意义求值
【典例1】若（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞4 B．x＜3 C．x≠4或x≠3 D．x≠4且x≠3
【分析】根据零指数幂及负整数指数幂有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意义，
∴ ，
解得x≠4且x≠3．
故选：D．
【变式1】若（x﹣3）0﹣2（3x﹣6）﹣2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜2 C．x≠3或x≠2 D．x≠3且x≠2
【分析】根据零指数幂及负整数指数幂的意义，列出关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的范围．
【解答】解：∵（x﹣3）0﹣2（3x﹣6）﹣2有意义，
∴ ，
解得：x≠3且x≠2．
故选：D．
【变式2】若 没有意义，则x﹣2的值为（ ）
A． B．﹣4 C．4 D．
【分析】根据零指数幂的意义即可求出x的值．
【解答】解：由题意可知： ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【变式3】如 无意义，则（x﹣1）﹣2＝ 4 ．
【分析】由已知 无意义，可知x＝ ，然后代入（x﹣1）﹣2求值．
【解答】解：∵ 无意义，∴x﹣ ＝0，x＝ ，
∴（x﹣1）﹣2＝ ＝ ＝4．
故答案为4．题型04 比较大小
【典例1】若a＝0.52，b＝﹣5﹣2，c＝（﹣5）0，那么a、b、c三数的大小为（ ）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵a＝0.52＝0.25，b＝﹣5﹣2＝﹣ ，c＝（﹣5）0＝1，
∴c＞a＞b．
故选：B．
【变式1】若 ，则它们的大小关系是（ ）
A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜c＜d C．b＜a＜c＜d D．c＜a＜d＜b
【分析】先将各选项进行化简再进行比较即可．
【解答】解：∵ ，b＝﹣32＝﹣9， ， ，
∴它们的大小关系是：b＜a＜d＜c，
故选：A．
【变式2】若a＝﹣22，b＝2﹣2， ， ，则（ ）
A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜d＜c C．a＜c＜b＜d D．a＜b＜c＜d
【分析】首先根据负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方的运算方法，求出 a、b、c、d的值；然后
根据有理数大小比较的方法排序即可．
【解答】解：a＝﹣22＝﹣4，b＝2﹣2＝ ， ＝4， ＝1，
∵﹣4＜ ＜1＜4，
∴a＜b＜d＜c．
故选：B．
【变式3】已知 ，b＝（﹣1）2023， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得
出答案．
【解答】解：∵a＝（﹣ ）﹣3＝﹣8，b＝（﹣1）2023＝﹣1， ＝25，
∴c＞b＞a．
故选：D．题型04 科学记数法表示较小的数
【典例1】2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻≤8nm技术，标志着
我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米＝0.000000008米，0.000000008用科学记数法
可表示为（ ）
A．8×109 B．8×10﹣9 C．8×1010 D．8×10﹣10
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000000008＝8×10﹣9．
故选：B．
【变式1】生物课上在制作酸奶的过程中，小华了解到：乳酸菌（lacticacidbacteria，LAB）是一类能利用
可发酵碳水化合物产生大量乳酸的细菌的统称，某种球状乳酸菌的直径仅为 0.6微米（1米＝106微米），
将0.6微米用科学记数法表示为（ ）米．
A．0.6×10﹣7 B．6×10﹣7 C．0.6×10﹣6 D．6×10﹣5
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1米＝1000000微米，
0.6微米＝0.0000006米＝6×10﹣7米．
故选：B．
【变式2】“白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，
这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称
为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某孢子体的苍蒴直径约为
0.0000086m，将数据0.0000086用科学记数法表示为8.6×10n，则n的值是（ ）
A．6 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣6
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：∵0.0000086＝8.6×10﹣6，
∴n等于﹣6．
故选：D．
【变式3】国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，
团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理
状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达 0.00000000018 米，其中0.00000000018用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×10﹣9 B．0.18×10﹣10
C．18×10 D．1.8×10﹣10
【分析】科学记数法表示绝对值小于 1的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，与较大数的科学记
数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000000018＝1.8×10﹣10．
故选：D．
1．6﹣1的相反数是（ ）
A． B．6 C． D．﹣6
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：6﹣1的相反数是﹣ ．
故选：C．
2．5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑，而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯
度硅．已知硅原子的半径约为0.117nm（1nm＝10﹣9m）．数字0.117nm用科学记数法可表示为（ ）
m
A．0.117×10﹣9 B．117×10﹣6
C．1.17×10﹣10 D．1.17×10﹣8
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1米＝1000000000纳米，
0.117纳米＝0.000000000117米＝1.17×10﹣10米．
故选：C．
3．下列算式中，正确的是（ ）
A．|3﹣ |＝3﹣ B．
π π
C． D．﹣20＝﹣1
【分析】根据绝对值的计算、负整数指数幂、乘方的计算、零指数幂进行判断即可．
【解答】解：A、|3﹣ |＝ ﹣3≠3﹣ ，故计算错误；
π π πB、 ，故计算错误；
C、 ，故计算错误；
D、﹣20＝﹣1，计算正确；
故选：D．
4．随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占
0.00000065mm2，将0.00000065用科学记数法表示为（ ）
A．6.5×10﹣6 B．6.5×10﹣7 C．65×10﹣8 D．0.65×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数的科学记数
法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000065＝6.5×10﹣7．
故选：B．
5．若（m﹣4）0＝1，则m的值可以是（ ）
A．4 B．（﹣2）2 C． D．5
【分析】根据零指数幂的底数不等于零的条件进行解题即可．
【解答】解：∵m﹣4≠0，
∴m≠4，
A、4＝m；
B、（﹣2）2＝4＝m；
C、（ ）﹣2＝4＝m；
故A、B、C项不符合题意，只有D项符合题意；
故选：D．
6．计算 的结果是（ ）
A． B． C．6 D．10
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可．
【解答】解：
＝1+9
＝10，
故选：D．
7．若 ，n＝（﹣2）3， ，则m，n，p之间的大小关系是（ ）A．n＜p＜m B．n＜m＜p C．p＜n＜m D．m＜p＜n
【分析】根据负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂分别求得m，n，p的值，进而比较大小即可．
【解答】解：∵ ，n＝（﹣2）3＝﹣8， ，
∴n＜p＜m．
故选：A．
8．若（x﹣1）﹣1+x0有意义，则x值应该是（ ）
A．x≠0 B．x≠1 C．x＞0且x≠1 D．x≠0且x≠1
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：∵原式可化为 +x0，
∵代数式有意义，
∴x﹣1≠0，x≠0，解得x≠1且x≠0．
故选：D．
9．已知2a＝3， ，则（a+3b+1）3的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据负整数指数幂的性质进行计算．
【解答】解：∵ ，
∴8b＝（23）b＝23b＝ ，
∵2a＝3，
∴2a+3b＝2a•23b＝ ×3＝ ＝2﹣1，
∴a+3b＝﹣1，
∴原式＝（﹣1+1）3＝0．
故选：A．
10．已知x＝1+7n，y＝1+7﹣n，则用x表示y的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．7﹣x
【分析】根据x＝1+7n得7n＝x﹣1，根据负整数指数幂的计算法则求出y的表达式即可．
【解答】解：∵x＝1+7n，
∴7n＝x﹣1，
∴y＝1+＝1+
＝ ，
故选：C．
11．2024年，常州率先推出全域马拉松，打造“一区一马一特色”的群众体育路跑赛事品牌．为确保运动
员在长时间运动中保持舒适状态，制作马拉松运动服装的材料需要具有轻便、透气、吸汗等特点，其中，
聚酯纤维是最常用的材料之一，聚酯纤维的直径通常在0.00001～0.00002米之间．数据0.00001用科学
记数法表示为 1×1 0 ﹣ 5 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解数据0.00001用科学记数法表示为1×10﹣5．
故答案为：1×10﹣5．
12． ＝ 4 ．
【分析】根据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质和绝对值的性质进行计算即可．
【解答】解：原式＝1+4﹣1
＝5﹣1
＝4，
故答案为：4．
13．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则（a+b）（a﹣b）﹣（cd）﹣3＝ ﹣ 1 ．
【分析】利用相反数的意义和倒数的意义求得a+b和cd的值，然后利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b＝0．
∵c，d互为倒数，
∴cd＝1．
∴（a+b）（a﹣b）﹣（cd）﹣3
＝0×（a﹣b）﹣1﹣3
＝0﹣1
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．定义一种新运算 ，例如 ．则 ＝ ﹣ ．
【分析】根据定义确定n的值，再代入计算求解．
【解答】解：由题意得，＝4﹣1﹣2﹣1＝ ﹣ ＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
15．如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如32＝9，那么记作（3，9）
＝2，根据以上规定，求（﹣2，﹣ ）＝ ﹣ 5 ．
【分析】根据题中所给的定义进行计算即可．
【解答】解：∵32＝9，记作（3，9）＝2，（﹣2）﹣5＝﹣ ，
∴（﹣2，﹣ ）＝﹣5．
故答案为：﹣5．
16．计算： ．
【分析】先根据有理数的乘除法，负整数指数幂和零指数幂进行计算，再算加减即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝ ．
17．已知a3m＝4，b3n＝2，求（a3）﹣2m+（bn）3﹣a2m•a4m•b﹣2n•b﹣n的值．
【分析】首先对所求的式子进行化简，然后利用所求的式子表示出来，然后代入求值即可．
【解答】解：原式＝a﹣6m+b3n﹣a6mb﹣3n
＝（a3m）﹣2﹣（a3m）2（b3n）﹣1
＝4﹣2﹣22×2﹣1
＝ ﹣2
＝﹣ ．
18．整式P＝3m2+n﹣2m2+4n．
（1）化简整式P；
（2）已知m是 ，n与 互为倒数，求P的值．
【分析】（1）根据合并同类项的方法，化简整式P；
（2）首先根据m是 ，n与 互为倒数，分别求出m、n的值，然后把求出的m、n的值代入化简后的整式P计算即可．
【解答】解：（1）P＝3m2﹣2m2+n+4n＝m2+5n；
（2）m＝ ＝2，n＝ ＝﹣3，
∴P＝m2+5n
＝22+5×（﹣3）
＝4﹣15
＝﹣11．
19．我们规定：a﹣p＝ （a≠0），即a的负P次幂等于a的P次幂的倒数．例：4﹣2＝ ．
（1）计算：﹣2﹣2＝ ；若 2﹣p＝ ，则p＝ 3 ；
（2）a﹣p＝ ，且a，P为整数，求满足条件的a，P的值．
【分析】（1）根据题目给出的定义即可求出答案．
（2）根据定义即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣（ ）2＝﹣ ．
∵ ＝（ ）3＝2﹣3，
∴p＝3．
故答案为：﹣ ，3．
（2）∵ ＝（ ）2＝3﹣2＝9﹣1＝（﹣3）﹣2，a、p是整数，
∴a＝3，﹣p＝﹣2，
或a＝3，p＝2．
或a＝9，p＝﹣1；
或a＝﹣3，p＝2
20．在上个月，我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关
“幂”的新运算，定义：am与an（a≠0，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作am÷an．
运算法则如下：
am÷an＝ ．解决问题
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
（1）填空： ＝ ，23÷27＝ ；
（2）如果 ，求出x的值；
（3）如果（5﹣2x）3x﹣1÷（5﹣2x）x+7＝1，请直接写出x的值．
【分析】（1）根据同底数幂的除法法则进行计算即可；
（2）先把81化为34的形式，再进行计算即可；
（3）根据同底数幂的除法法则进行计算即可．
【解答】解：（1） ＝（ ）4﹣2＝（ ）2＝ ，23÷27＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ， ；
（2）∵ ＝ ，
∴3x+4﹣1＝4，
解得x＝ ；
（3）∵（5﹣2x）3x﹣1÷（5﹣2x）x+7＝1，
∴3x﹣1＝x+7或5﹣2x＝1或5﹣2x＝﹣1，
解得x＝4或2或3．
