文档内容
第 05 讲 平行四边形（5 个知识点+5 种题型+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
知识点2．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝ BC．
知识点3．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
知识点4．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边
行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边
行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行
ABCD是平行四边形．
知识点5．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平
行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考
虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边
形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的
定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行
四边形的性质和判定去解决问题．
知识复习
一．平行线之间的距离（共7小题）
1．（2023春•增城区期末）如图， ，点 、 分别在直线 、 上， ，点
在直线 上，且 ，若 、 之间的距离为3，则线段 的长度为 ．
2．如图，已知 ， ， ，且点 和点 ， ， 分别在直线 ，
上， 平分 ， ，线段 的长是否是两条平行线 ， 之间的距
离？为什么？
3．（2023春•海沧区校级期末）如图，若直线 ，则下列哪条线段的长可以表示平
行线 与 之间的距离
A． B． C． D．
4．（2023春•巴彦县期末）已知 ，点 ， 分别为 ， 上的点，连接 ，
，若 ，则两直线 与 间的距离是
A．5 B．6 C． D．5．（2023春•宜都市期末）在同一平面内，已知直线 ，若直线 和 之间的距
离为5，直线 和 之间的距离为2，则直线 和 之间的距离为 ．
6．已知直线 ， ， 平行于 ，过直线 上任意两点 ， 分别向直线 作垂线，交直
线 于点 ， ．
（1）线段 ， 所在的直线有怎样的位置关系？
（2）比较线段 ， 的长短．
7．木工师傅要检验一块木板的一组对边是否平行，先用直角尺的一边紧靠木板
边缘，读出与这边相对的另一边缘在直角尺上的刻度，换一个位置再读一次．
如图．这两次的读数如果相等，这一组对边就是平行的．请说明这样做的理
由．
二．三角形中位线定理（共7小题）
8．（2023春•文山州期末）为了更好开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践
课程．该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖畔 ， 两点之间的距离，
该实践小组所画的示意图如图，先在湖边地面上确定点 ，再用卷之分别确定 ， 的
中点 ， ，最后用卷尺量出 ，则 ， 之间的距离是
A． B． C． D．9．（2024•五华区校级模拟）如图，在 中， 是 的中线， 、 分别是
， 的中点，连接 ．已知 ，则 的长为
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（2023秋•驻马店期末）如图，在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，点
是线段 上的一点．连接 ， ， ，且 ， ，则 的长
是
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2024•碑林区校级一模）如图，在 中， ， ， 是 的角
平分线，点 是 的中点， ，则 的长是 ．
12．（2023秋•临淄区期末）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
（1）请用文字语言叙述三角形的中位线定理：
三角形的中位线 于第三边，并且 ；
（2）证明：三角形中位线定理．
已知：如图， 是 的中位线．
求证： ．
证明：13．（2023春•舞钢市期末）在 中， ， ， ，点 是
边上一点，点 为 边上的动点，点 、 分别为 、 的中点，则 的最小值
是 ．
14．（2023秋•沂源县期末）如图，在四边形 中，点 是对角线 的中点，点 、
分别是 、 的中点， ， ，求 的度数．
三．平行四边形的性质（共7小题）
15．（2023春•巴彦县期末）平行四边形的周长为16，一边长为5，则另一条邻边长为
．
16．（2024•渝中区校级开学）如图，在平行四边形 中，对角线 、 相交于点
， ，点 、点 分别是 、 的中点，连接 、 ，若 ，
则 的度数为
A． B． C． D．17．（2023秋•福山区期末）在平行四边形 中， ，则 等于
A． B． C． D．
18．（2024•南岗区校级开学）如图，在 中， 是 的平分线， ，
，则 ．
19．（2023秋•招远市期末）如图， 的顶点 在等边 的边 上，点 在
的延长线上， 为 的中点，连接 ．若 ， ，则 的长为
．
20．（2023春•海阳市期中）如图，在 中， 与 相交于点 ，点 ， 分别
在射线 与射线 上．
（1）当 ， 时，求证： ；
（2）当 ， 时， 与 还相等吗？（不写理由）
（3）当 ， 时， 与 还相等吗？（不写理由）
（4）你能得出一个一般性的结论吗？21．（2024•沈阳开学）如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，
，点 在线段 上，点 为 的中点．
（1）求证： ；
（2）若 ， 分别是 ， 的中点．
①求证： 是等腰三角形；
②当 ， 时，直接写出线段 的长 ．
四．平行四边形的判定（共8小题）
22．（2023秋•钢城区期末）已知在平面直角坐标系中有三个点： 、 、
．在平面内确定点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，则
点 的坐标不可能是
A． B． C． D．
23．（2024•沙坪坝区校级开学）下列说法正确的是
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组邻边相等的四边形是平行四边形
24．（2023秋•岱岳区期末）在四边形 中，对角线 与 相交于 点，给出五组
条件：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ；
（5） ， ．
能判定此四边形是平行四边形的有 组．
A．1 B．2 C．3 D．4
25．（2023秋•岳阳楼区校级期末）如图，在四边形 中， ， ，垂
足分别为点 ， ．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形 为平行四
边形，你添加的条件是 ．
26．（2023 春•柯城区校级期中）在平面直角坐标系中，有四个点 ， ，
， ，若以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，则 ．
27．（2023春•开江县校级期末）在四边形 中， ， ， ，
， 是 上一点，且 ，点 从 出发以 的速度向 运动，
点 从点 出发以 的速度向点 运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，
设运动时间为 ，当 的值为 时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形．28．（2023•中山市模拟）如图， ， 是四边形 的对角线 上两点， ，
， ．求证：四边形 是平行四边形．
29．（2022秋•济宁期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
是 的中点．点 以每秒1个单位长度的速度从点 出发，沿 向点 运动；点 同
时以每秒3个单位长度的速度从点 出发，沿 向点 运动．点 停止运动时，点 也
随之停止运动．当运动时间 为多少秒时，以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四
边形．
五．平行四边形的判定与性质（共7小题）
30．（2023春•雁塔区校级月考）如图，在 中， ，动点 以每秒
的速度从点 向点 运动．另一动点 以每秒 的速度从点 出发，在 间往返运动，
， 两点同时出发，当点 到达点 时停止运动（同时 点也停止），若 ， ， ，
四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为 秒．31．（2023春•开江县校级期末）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ，
， ，点 在线段 上从点 以 的速度运动，点 在线段
上从点 以 的速度运动．若点 ， 同时运动，设运动时间为 秒，当 时，
四边形 是平行四边形．
32．（2024•肇源县开学）如图，已知在 中，点 、 分别是边 、 的中点，
过点 、 的直线交 、 的延长线于点 、 ，连接 ．求证：四边形 是
平行四边形．
33．（2023秋•河口区期末）下列说法正确的是
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角互补
C．有两组对角相等的四边形是平行四边形
D．平行四边形的对角线平分每一组对角
34．（2023秋•招远市期末） 中， 、 是对角线 上不同的两点，下列条件中，
不能得出四边形 一定为平行四边形的是A． B． C． D．
35．（2023秋•河口区期末）如图1，在 中， 、 分别为 、 的中点，延长
至点 ，使 ，连接 和 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）如图2，当 是等边三角形且边长是8，求四边形 的面积．
36．（2023秋•高青县期末）在 中，点 是对角线 的中点，点 在边 上，
的延长线与边 交于点 ，连接 、 如图1．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，过点 作 的垂线，与 、 、 分别交于点 、
、 如图2．
①当 ． 时，求 的长；
②求证： ．
强化训练
一、单选题
1．（2023下·湖北武汉·八年级统考期中）平行四边形不一定具备的性质是（ ）A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．（2023下·全国·八年级专题练习）证明：平行四边形对角线互相平分，
已知：四边形 是平行四边形，如图所示．
求证： ， ．
以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是（ ）
∴ ， ．
∵四边形 是平行四边形．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ， ．
A． B． C． D．
3．（2023下·辽宁本溪·八年级校考阶段练习）如图， 是等边三角形，P是三角形内
一点， ， ， ，若 的周长为18，则
（ ）A．8 B． C．6 D．9
4．（2021下·八年级课时练习）如图， 中， ，则图中的平行四边
形的个数共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．11个
5．（2023下·全国·八年级假期作业）如图， ，要使四边形ABCD成为平行四边形，
还需要补充下列条件中的（ ）
A． B． C． D．
6．（2024下·全国·八年级专题练习）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是
（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行
B．一组对边平行，一组对角互补
C．一组对角相等，一组邻角互补
D．一组对角互补，另一组对角相等
7．（2024下·全国·八年级专题练习）如图，在 中，对角线 交于点O，周
长为18，过点O作 交 于点E，连接 ，则 的周长为（ ）
A．18 B．9 C．6 D．3
8．（2024·全国·八年级竞赛）四边形一组对边中点的连线长为d，另一组对边（不平行）的长分别为a和b，则d与 的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
9．（2023下·云南昆明·八年级统考期末）原命题“平行四边形的两组对角分别相等”和它
的逆命题“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，下列说法正确的是（ ）
A．原命题和逆命题都正确 B．原命题和逆命题都错误
C．原命题错误，逆命题正确 D．原命题正确，逆命题错误
10．（2023下·辽宁本溪·八年级校考阶段练习）如图，已知 是边长为3的等边三角形，
点D是边BC上的一点，且 ，以 为边作等边 ，过点E作 ，交
于点F，连接 ，则下列结论中① ；②四边形 是平行四边形；
③ ；④ ，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2023下·山东淄博·八年级统考期中）请列举一条菱形、矩形、正方形都有的一条性
质： ．
12．（2023下·湖南永州·八年级统考期末）如图，将 向右平移 个单位，得到 ，
连接 ， ， ，则图中有 个平行四边形．13．（2024下·全国·八年级假期作业）一个四边形的四条边的长度依次为a，b，c，d，且
满足 ，则这个四边形一定是 ．
14．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，四边形 是平行四边形，按以下步
骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交 于点E，交 于点F；再分别以点
E，F为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧相交于点M；②以点D为圆心，适当长为
半径画弧，交 于点H，交 于点G；再分别以点G，H为圆心，以大于 长为半
径作弧，两弧相交于点N；③作射线 相交于点P．若 ，则 的
长为 ．
15．（2023下·广东深圳·八年级统考期末）如图，在 中， 是 的中点， 在
上且 ，连接 ， 相交于点 ，则 ．16．（2024下·黑龙江大庆·八年级校联考开学考试）如图，平行四边形 的对角线 ，
相交于点 ，点 ， 分别是线段 ， 的中点．若 ， 的周
长是18 ，则 的长为 ．
17．（2024下·江苏·八年级专题练习）如图，在 中， 的平分线交 于E，
，则 的度数为 ．
18．（2023下·广东湛江·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长
都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、
C的坐标分别为 、 、 ，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D
四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ．
三、解答题
19．（2022下·陕西咸阳·八年级统考期末）如图， 是 的对角线，请用尺规作图法在线段 上找一点 ，连接 ，使 ．（保留作图痕迹，不写作法）
20．（2023下·吉林松原·八年级校联考期末）如图，在 中，点E在边 上，以C
为圆心， 长为半径画弧，交边 于点F，连接 、 ．求证： ．
21．（2024下·全国·八年级专题练习）如图，在 中，点E，F在对角线 上，且
连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 求 的度数．22．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，是由边长为 的小正方形组成的网格，其中点
A、 、 均在网格的格点上．
(1)直接写出格点 的面积为______；
(2)在网格中画出使A、B、 、 四点构成平行四边形的所有点 ；
(3)直接写出线段 的长为______．
23．（2023下·江西吉安·八年级统考期末）如图，E、F是四边形 的对角线 上的
两点．
(1)若 ，只添加一个条件： ，使四边形 为平行四边形．(2)在（1）的条件下，若 ， ，求证：四边形 是平行四边形．
24．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，
，E是 上一点，连接 ， .
(1)如图1，若 分别平分 和 ，求证： ；
(2)如图2，连接 交 于O，若 ， ，求 的长；
(3)在（1）的条件下，将 绕点C顺时针旋转得到 ，直线 交 于F，当
时，求 的面积.
25．（2022下·福建厦门·八年级统考期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两
块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图
1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为
1．(1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要
把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平
行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图
3的方格纸上．
要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；
②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹．
(2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）．
26．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在四边形 中， ，
．(1)求证：四边形 是平行四边形
(2)点 在 上，点 在 上，连接 、 ，若 ， ，求
证：
(3)在（2）的条件下，连接 ，过点 作 分别交 、 于 、 两点，过点
作 交 的延长线于点 ，若 ， ，求 的面积
