文档内容
第 05 讲 平行四边形（5 个知识点+5 种题型+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
知识点2．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝ BC．
知识点3．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
知识点4．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边
行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边
行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行
ABCD是平行四边形．
知识点5．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平
行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考
虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边
形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的
定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行
四边形的性质和判定去解决问题．
知识复习
一．平行线之间的距离（共7小题）
1．（2023春•增城区期末）如图， ，点 、 分别在直线 、 上， ，点
在直线 上，且 ，若 、 之间的距离为3，则线段 的长度为 6 ．
【分析】作 于 ，得到 ，由平角定义得到 ，
由平行线的性质得到 ，因此 ．
【解答】解：作 于 ，
，
， ，
， ，
，
，
．
故答案为：6．
【点评】本题考查平行线之间的距离，直角三角形的性质，平行线的性质，关键是作
于 ，得到 ，由直角三角形的性质即可求解．
2．如图，已知 ， ， ，且点 和点 ， ， 分别在直线 ，
上， 平分 ， ，线段 的长是否是两条平行线 ， 之间的距
离？为什么？【分析】根据等角的补角相等求出 ，再根据角平分线的定义可得
，然后求出 ，再根据垂线的定义以及平行线间的距离的定义
解答．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
即 ，
，
线段 的长是两条平行线 ， 之间的距离．
【点评】本题考查了平行线间的距离的定义，平行线的性质，角平分线的定义，是基础题
熟记性质并求出 是解题的关键．
3．（2023春•海沧区校级期末）如图，若直线 ，则下列哪条线段的长可以表示平
行线 与 之间的距离
A． B． C． D．
【分析】平行线的距离：从平行线中的一条直线上任取一点，该点到另一条直线的距离，
即为两平行线间的距离．【解答】解： ， ，
，
可以表示平行线 与 之间的距离，
故选： ．
【点评】本题考查了平行线的距离的定义，熟练掌握平行线的距离的定义是解题的关键．
4．（2023春•巴彦县期末）已知 ，点 ， 分别为 ， 上的点，连接 ，
，若 ，则两直线 与 间的距离是
A．5 B．6 C． D．
【分析】作 于 ，得到 是等腰直角三角形，因此 ．
【解答】解：如图，作 于 ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间的距离的定义；作
于 ，得到 是等腰直角三角形，即可求解．
5．（2023春•宜都市期末）在同一平面内，已知直线 ，若直线 和 之间的距离
为5，直线 和 之间的距离为2，则直线 和 之间的距离为 3 或 7 ．
【分析】（1）当直线 在直线 与 之间时；（2）当直线 在直线 与 外面时两种情
况讨论直线 与直线 之间的距离．【解答】解： 直线 ，直线 与直线 之间的距离为5，直线 与直线 之间的
距离为2，
当直线 在直线 与 之间时，则直线 与直线 之间的距离为 ；
当直线 在直线 与 外面时，则直线 与直线 之间的距离为 ．
故答案为：3或7．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，属于基础题，关键是掌握分类讨论的思想解题．
6．已知直线 ， ， 平行于 ，过直线 上任意两点 ， 分别向直线 作垂线，交直
线 于点 ， ．
（1）线段 ， 所在的直线有怎样的位置关系？
（2）比较线段 ， 的长短．
【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得出结论；
（2）根据平行线间的距离即可得出结论．
【解答】解：（1） ， ，
；
（2） ， ， ，
．
【点评】本题考查的是平行线间的距离，熟知平行线间的距离处处相等是解答此题的关键．
7．木工师傅要检验一块木板的一组对边是否平行，先用直角尺的一边紧靠木板
边缘，读出与这边相对的另一边缘在直角尺上的刻度，换一个位置再读一次．
如图．这两次的读数如果相等，这一组对边就是平行的．请说明这样做的理
由．【分析】本题主要依据平行线间的距离相等．
【解答】解：若两次读数都相同，则说明这两边之间的距离相等，距离相等则
说明这一组对边平行．
【点评】本题主要考查了平行线在生活中的应用，能够利用已学只是求解一些
简单的实际生活问题．
二．三角形中位线定理（共7小题）
8．（2023春•文山州期末）为了更好开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践
课程．该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖畔 ， 两点之间的距离，
该实践小组所画的示意图如图，先在湖边地面上确定点 ，再用卷之分别确定 ， 的
中点 ， ，最后用卷尺量出 ，则 ， 之间的距离是
A． B． C． D．
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解： ， 分别为 ， 的中点，
是 的中位线，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
9．（2024•五华区校级模拟）如图，在 中， 是 的中线， 、 分别是
， 的中点，连接 ．已知 ，则 的长为A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据三角形的中线的概念求出 ，再根据三角形中位线定理求出 ．
【解答】解： 是 的中线， ，
，
、 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
，
故选： ．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的中线的概念，熟记三角形中位线等于第三边的一半是
解题的关键．
10．（2023秋•驻马店期末）如图，在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，点
是线段 上的一点．连接 ， ， ，且 ， ，则 的长
是
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解： 点 ， 分别是边 ， 的中点，
是 的中位线，
，
，
， ，
，
，
故选： ．【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理
是解题的关键．
11．（2024•碑林区校级一模）如图，在 中， ， ， 是 的角
平分线，点 是 的中点， ，则 的长是 2 ．
【分析】根据三角形的中位线定理，得 ， ；根据平行线的性质和等腰
三角形的判定，得 ，从而求解．
【解答】解：如图，设点 是 的中点，连接 ，
则 ， ，
．
，
．
是 的平分线， ，
．
，
．
，
故答案为：2．【点评】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造三角形
中位线是解题的关键．
12．（2023秋•临淄区期末）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
（1）请用文字语言叙述三角形的中位线定理：
三角形的中位线 平行 于第三边，并且 ；
（2）证明：三角形中位线定理．
已知：如图， 是 的中位线．
求证： ．
证明：
【分析】作出图形，然后写出已知、求证，延长 到 ，使 ，利用“边角边”
证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，全等三角形对应
角相等可得 ，再求出 ，根据内错角相等，两直线平行判断出
，然后判断出四边形 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得
， ．
【解答】解：（1）定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
（2）已知： 中，点 、 分别是 、 的中点，求证： ， ，
证明：如图，延长 到 ，使 ，连接 ，
点 是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
点 是 的中点，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
且 ．
故答案为：平行；等于第三边的一半； ， ．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和
平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握．
13．（2023春•舞钢市期末）在 中， ， ， ，点 是
边上一点，点 为 边上的动点，点 、 分别为 、 的中点，则 的最小值
是 ．【分析】当 时， 的值最小，此时 的值也最小，根据勾股定理求出 ，
根据三角形的面积求出 ，再求出答案即可．
【解答】解：如图，连接 ，
点 、 分别为 ， 的中点，
．
当 时， 的值最小，此时 的值也最小．
由勾股定理得： ．
，
．
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，
注意：三角形的中位线等于第三边的一半．
14．（2023秋•沂源县期末）如图，在四边形 中，点 是对角线 的中点，点 、
分别是 、 的中点， ， ，求 的度数．【分析】根据中位线定理和已知，易证明 是等腰三角形，进而可得出结论．
【解答】解： 在四边形 中， 是对角线 的中点， ， 分别是 ， 的中
点，
， 分别是 与 的中位线，
， ，
，
，
是等腰三角形．
，
，
．
【点评】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息
确定应用的知识．
三．平行四边形的性质（共7小题）
15．（2023春•巴彦县期末）平行四边形的周长为16，一边长为5，则另一条邻边长为
3 ．
【分析】根据平行四边形的对边相等，求出两邻边的和，再根据题意求解即可．
【解答】解：
，
故答案为：3．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
16．（2024•渝中区校级开学）如图，在平行四边形 中，对角线 、 相交于点
， ，点 、点 分别是 、 的中点，连接 、 ，若 ，
则 的度数为A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形的性质推出 ，根据等腰三角形的性质求出 ，根
据直角三角形的性质求出 ， ，根据等腰三角形的性质即可得解．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
点 是 的中点，
，
，
，
，
点 是 的中点， ，
， ，
，
，
故选： ．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性
质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
17．（2023秋•福山区期末）在平行四边形 中， ，则 等于
A． B． C． D．
【分析】由在 中，若 ，根据平行四边形的性质，可求得 的度数，
又由平行线的性质，求得答案．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
．故选： ．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
18．（2024•南岗区校级开学）如图，在 中， 是 的平分线， ，
，则 2 ．
【分析】由平行四边形的性质得 ， ，则 ，而
，所以 ，则 ，可求得 ，于是
得到问题的答案．
【解答】解： 四边形 是平行四边形， ， ，
， ，
，
是 的平分线，
，
，
，
，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，
推导出 是解题的关键．
19．（2023秋•招远市期末）如图， 的顶点 在等边 的边 上，点 在
的延长线上， 为 的中点，连接 ．若 ， ，则 的长为
．【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到 和 的长，然后可以
证明 和 全等，然后即可得到 的长．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
， ，
， ，
，
是等边三角形， 为 的中点，
， ，
延长 交 于点 ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
， ，
， ，
是等边三角形，
，
，
故答案为： ．【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性
质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（2023春•海阳市期中）如图，在 中， 与 相交于点 ，点 ， 分别
在射线 与射线 上．
（1）当 ， 时，求证： ；
（2）当 ， 时， 与 还相等吗？（不写理由）
（3）当 ， 时， 与 还相等吗？（不写理由）
（4）你能得出一个一般性的结论吗？
【分析】（1）由平行四边形的性质推出 ， ， ，由平行线的性
质推出 ，由 ， ，得到 ，由 即可证明
和 ，得到 ；
（2）（3）由 证明 和 ，得到 ；
（4）由以上结论，即可得出一般性的结论．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ， ，，
， ，
，
在 和 中，
，
和 ，
，
（2）当 ， 时，同理证明 和 ，得到 ；
（3）当 ， 时，同理证明 和 ，得到 ；
（4）当 和 分别是 和 的相同倍数时， ．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由 证明
和 ．
21．（2024•沈阳开学）如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，
，点 在线段 上，点 为 的中点．
（1）求证： ；
（2）若 ， 分别是 ， 的中点．
①求证： 是等腰三角形；
②当 ， 时，直接写出线段 的长 6 ．
【分析】（1）由平行四边形的性质可知， ， ， ，则
， ，可得 是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知
，进而结论得证；（2）①由等腰三角形的性质可知 ，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
可得 ，由中位线的性质可知 ，由平行四边形的性质可知 ，
可得 ，进而结论得证；②证明四边形 是平行四边形，则 ，
证明 ，则 是等腰三角形， ，设 ，则
， ，在 中，由勾股定理 求出满足要求
的 值，进而可得 ．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
．
（2）①证明： 是等腰三角形， 是 中点，
，
，
为 中点，
，
、 分别是 、 的中点，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
是等腰三角形．②解：由题意知， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得， ，即 ，
解得 或 （不合题意，舍去），
．
故答案为：6．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜
边的中线等于斜边的一半，中位线，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的
关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
四．平行四边形的判定（共8小题）
22．（2023秋•钢城区期末）已知在平面直角坐标系中有三个点： 、 、
．在平面内确定点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，则
点 的坐标不可能是
A． B． C． D．
【分析】在平面直角坐标系中，找出使得以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形的点 的坐
标，即可求解．【解答】解：如图，当点 坐标为 或 或 时，使得以 、 、 、 为顶点的四
边形为平行四边形，
故选： ．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合解决问题是解题的关键．
23．（2024•沙坪坝区校级开学）下列说法正确的是
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组邻边相等的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断．
【解答】解： 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可以
是等腰梯形，故本选项错误；
、一组对边平行，一组对角相等的四边形可证出另一组对边也平行，所以该四边形是平
行四边形，故本选项正确；
、一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行，所以该四
边形不一定是平行四边形，故本选项错误；
、一组对边平行，一组邻角互补的四边形有可能是梯形或平行四边形，故本选项错误；
故选： ．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．在应用判定定理判定平行四
边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
24．（2023秋•岱岳区期末）在四边形 中，对角线 与 相交于 点，给出五组
条件：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ；
（5） ， ．
能判定此四边形是平行四边形的有 组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行四边形判定定理分别进行判断得出即可．
【解答】解：（1）由“ ， ”可知，四边形 的一组对边平行，另
一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
（2）由“ ， ”可知，四边形 的一组对边平行且相等，据此能判
定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
（3）由“ ， ”可知，四边形 的两组对边互相平行，则该四边形
是平行四边形，故本选项符合题意；
（4）由“ ， ”可知，四边形 的两条对角线互相平分，则该四边
形是平行四边形，故本选项符合题意；
（5）由“ ， ”可知，四边形 的两组对边相等，则该四边形是平
行四边形，故本选项符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了平行四边形的判定．
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
25．（2023秋•岳阳楼区校级期末）如图，在四边形 中， ， ，垂
足分别为点 ， ．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形 为平行四
边形，你添加的条件是 ．
【分析】证 ，再由 ，即可得出结论．
【解答】解：添加条件为： ，
理由： ， ，
，
，
四边形 为平行四边形，
故答案为： ．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判
定是解题的关键．
26．（2023 春•柯城区校级期中）在平面直角坐标系中，有四个点 ， ，
， ，若以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，则 或 4
．
【分析】由 ， 得 轴，而 ， ，则 ，再分两种
情况讨论，一是点 在点 左侧，则 ；二是点 在点 右侧，则 ，于是得到
问题的答案．
【解答】解： ， ，
轴，
以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形， ， ，
，当点 在点 左侧，如图1，则 ，
当点 在点 右侧，如图2，则 ，
故答案为： 或4．
【点评】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学
思想的运用等知识与方法，由 ， 确定 轴是解题的关键．
27．（2023春•开江县校级期末）在四边形 中， ， ， ，
， 是 上一点，且 ，点 从 出发以 的速度向 运动，
点 从点 出发以 的速度向点 运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，
设运动时间为 ，当 的值为 或 时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行
四边形．
【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．
【解答】解：①当点 在线段 上，即 ， 时，以 、 、 、 为
顶点的四边形是平行四边形，
则有 ，解得 ，
②当 在线段 上，即 ， 时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平
行四边形，则有 ，解得 ，
综上所述， 或 时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学
会用分类讨论的思想思考问题．
28．（2023•中山市模拟）如图， ， 是四边形 的对角线 上两点， ，
， ．求证：四边形 是平行四边形．
【分析】根据平行线的性质得到 ，再利用全等三角形的判定与性质得到
， 即可解答．
【解答】证明： ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定
掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
29．（2022秋•济宁期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
是 的中点．点 以每秒1个单位长度的速度从点 出发，沿 向点 运动；点 同时以每秒3个单位长度的速度从点 出发，沿 向点 运动．点 停止运动时，点 也
随之停止运动．当运动时间 为多少秒时，以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四
边形．
【分析】分别从当 运动到 和 之间、当 运动到 和 之间去分析求解即可求得答案．
【解答】解： 是 的中点，
，
①当 运动到 和 之间，设运动时间为 ，则得：
，
解得： ；
②当 运动到 和 之间，设运动时间为 ，则得：
，
解得： ，
当运动时间 为1秒或3.5秒时，以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握
辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
五．平行四边形的判定与性质（共7小题）
30．（2023春•雁塔区校级月考）如图，在 中， ，动点 以每秒的速度从点 向点 运动．另一动点 以每秒 的速度从点 出发，在 间往返运动，
， 两点同时出发，当点 到达点 时停止运动（同时 点也停止），若 ， ， ，
四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为 0 或 4 秒．
【分析】根据平行四边形的性质可得当 时，以点 、 、 、 为顶点组成平
行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设经过 秒，以点 、 、 、 为顶点组成平行四边形，
以点 、 、 、 为顶点组成平行四边形，
，
点 以每秒 的速度，点 以每秒 的速度运动，
点 运动时间为 秒，此时点 从点 运动到点 ，又从点 运动到点 ，
①点 的运动路线是 ，可得 ，
解得： ；
②点 的运动路线是 ，可得 ，
解得： ；
综上所述， 秒或4秒时，以 、 、 、 四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：0或4．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意
分类讨论思想的应用．
31．（2023春•开江县校级期末）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ，， ，点 在线段 上从点 以 的速度运动，点 在线段
上从点 以 的速度运动．若点 ， 同时运动，设运动时间为 秒，当 2 时，
四边形 是平行四边形．
【分析】先根据平行四边形的性质求出 的长，从而得到 的长，再由平行四边形的性
质得到 进而得到关于 的方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得 ， ，
四边形 是平行四边形， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
当 时，四边形 是平行四边形，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形对角线互相平分是解题的关
键．
32．（2024•肇源县开学）如图，已知在 中，点 、 分别是边 、 的中点，
过点 、 的直线交 、 的延长线于点 、 ，连接 ．求证：四边形 是
平行四边形．
【分析】先由四边形 是平行四边形，根据平行四边形的性质得出 ，即
．再由点 、 分别是边 、 的中点，根据三角形中位线定理得出
，即 ，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得出四边形 是平行四边形；
【解答】证明： 四边形 是平行四边形，
，即 ．
点 、 分别是边 、 的中点，
，即 ，
四边形 是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，线段中点的定义，解
题的关键是熟记平行四边形的各种判定方法并且熟练运用．
33．（2023秋•河口区期末）下列说法正确的是
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角互补
C．有两组对角相等的四边形是平行四边形
D．平行四边形的对角线平分每一组对角
【分析】由平行四边形的判定分别对各个说法进行判断即可．
【解答】解： ． 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形，
错误，不符合题意；
． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
错误，不符合题意；
． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
正确，符合题意；
． 菱形对角线平分每一组对角，平行四边形的对角线不平分每一组对角，
错误，不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的评定方法是解题的关键．
34．（2023秋•招远市期末） 中， 、 是对角线 上不同的两点，下列条件中，
不能得出四边形 一定为平行四边形的是A． B． C． D．
【分析】连接 与 相交于 ，根据平行四边形的对角线互相平分可得 ，
，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到 即可，
然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解答】解：如图，连接 与 相交于 ，
在 中， ， ，
要使四边形 为平行四边形，只需证明得到 即可；
、若 ，则 ，即 ，故本选项不符合题意；
、 能够利用“角角边”证明 和 全等，从而得到 ，故本选
项不符合题意；
、若 ，则无法判断 ，故本选项符合题意；
、 由 ， 从 而 推 出 ， 然 后 得 出 ，
， ，结合选项 可证明四边形 是平行四边形；故本选
项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的
关键．
35．（2023秋•河口区期末）如图1，在 中， 、 分别为 、 的中点，延长
至点 ，使 ，连接 和 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）如图2，当 是等边三角形且边长是8，求四边形 的面积．【分析】（1）由三角形中位线定理得 ， ，再由 ，得
，即可得出结论；
（2）过点 作 于 ，由等边三角形的性质得 ， ，则
，再由含 角的直角三角形的性质得 ，由勾股定理得
，然后由 ，即可求解．
【解答】（1）证明： 、 分别为 、 的中点，
是 的中位线，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形．
（2）解：过点 作 于 ，如图2所示：
是等边三角形， 为 的中点
， ，
，
，
，
，，
．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理、
含 角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四
边形 为平行四边形是解题的关键．
36．（2023秋•高青县期末）在 中，点 是对角线 的中点，点 在边 上，
的延长线与边 交于点 ，连接 、 如图1．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，过点 作 的垂线，与 、 、 分别交于点 、
、 如图2．
①当 ． 时，求 的长；
②求证： ．
【分析】（1）通过 证明 ，得 ，又 ，即可证明四边
形 是平行四边形；
（2）①过点 作 于点 ，先根据勾股定理求出 ，由 得
，即可求出答案；
②根据 ， ，得 ， ，则有
，再证 ，得出 ．【解答】（1）证明： 在平行四边形 中，点 是对角线 的中点，
， ，
，
在 与 中，
，
，
且 ，
四边形 是平行四边形；
（2）①解：如图，过点 作 于点 ，
， ， ，
，
，
， ，
，
，
，
②证明： ， ，
， ，
，
， ，
，
，， ，
，
．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰
三角形的性质与判定等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
强化训练
一、单选题
1．（2023下·湖北武汉·八年级统考期中）平行四边形不一定具备的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相
平分，邻角互补，逐项判断即可解答．
【详解】解： 平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，邻角互补，
平行四边形不一定有的性质是对角线相等，即C选项，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟知性质是解题的关键．
2．（2023下·全国·八年级专题练习）证明：平行四边形对角线互相平分，
已知：四边形 是平行四边形，如图所示．
求证： ， ．
以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是（ ）
∴ ， ．
∵四边形 是平行四边形．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ， ．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定和性质等知识，可以从分析法入
手，由果索因，进而得出结果，解题的关键是从条件开始，有条理地书写和表达．
【详解】解： ∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
故答案为： ．
3．（2023下·辽宁本溪·八年级校考阶段练习）如图， 是等边三角形，P是三角形内
一点， ， ， ，若 的周长为18，则
（ ）
A．8 B． C．6 D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质，延长
分别交 于G、H，易得四边形 是平行四边形， 是等边
三角形，根据等边三角形的性质即可得出即可．【详解】解：延长 分别交 于G、H，
则由 ， ， ，
四边形 是平行四边形，
∴ ，
是等边三角形， ，
是等边三角形，
∴ ，
又 的周长为18，
∴ ，
故选：C．
4．（2021下·八年级课时练习）如图， 中， ，则图中的平行四边
形的个数共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．11个
【答案】C
【分析】根据平行四边形的定义即可求解．
【详解】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、
GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形，共9个，
故选：C．
【点睛】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有
一定的规律，以避免重复．
5．（2023下·全国·八年级假期作业）如图， ，要使四边形ABCD成为平行四边形，
还需要补充下列条件中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】略
6．（2024下·全国·八年级专题练习）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是
（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行
B．一组对边平行，一组对角互补
C．一组对角相等，一组邻角互补
D．一组对角互补，另一组对角相等
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理进行推导即可．本题考查的是平行四边形的判定，解
答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四
边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行
四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平
行四边形．
【详解】解：A、一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形，不符合题意；
B、一组对边平行，一组对角互补，也有可能是等腰梯形，不符合题意；
C、一组对角相等，一组邻角互补可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形，符合题意；
D、一组对角互补，另一组对角相等，可能是含两个直角的一般四边形，不符合题意；
故选：C．
7．（2024下·全国·八年级专题练习）如图，在 中，对角线 交于点O，周长为18，过点O作 交 于点E，连接 ，则 的周长为（ ）
A．18 B．9 C．6 D．3
【答案】B
【分析】由平行四边形 的对角线相交于点 ，根据线段垂直平分线的性
质，可得 ，又 ，继而可得 的周长等于 ．
此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不
大，注意掌握数形结合思想的应用．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴
∵ 周长为18，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长为： ．
故选：B．
8．（2024·全国·八年级竞赛）四边形一组对边中点的连线长为d，另一组对边（不平行）
的长分别为a和b，则d与 的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三边关系，构造三角形的中位线是解答本题的关键，设G，F分别是 ， 的中点，连结 ，取 中点E，连接 ，
，根据三角形的中位线定理可得 ， ，由三角形的三边关系可得
，即 ，结合 与 不平行，即得答案．
【详解】如图，设G，F分别是 ， 的中点，连结 ，取 中点E，连接 ，
，
是 的中点， 是 的中点，
， ，
即 ，
又 与 不平行，
所以 ．
故选：C．
9．（2023下·云南昆明·八年级统考期末）原命题“平行四边形的两组对角分别相等”和它
的逆命题“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，下列说法正确的是（ ）
A．原命题和逆命题都正确 B．原命题和逆命题都错误
C．原命题错误，逆命题正确 D．原命题正确，逆命题错误
【答案】A
【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，根据平行四边形的判定定理和性
质定理判断即可，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．【详解】解：原命题“平行四边形的两组对角分别相等”是真命题，
它的逆命题“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”是真命题，
故选： ．
10．（2023下·辽宁本溪·八年级校考阶段练习）如图，已知 是边长为3的等边三角形，
点D是边BC上的一点，且 ，以 为边作等边 ，过点E作 ，交
于点F，连接 ，则下列结论中① ；②四边形 是平行四边形；
③ ；④ ，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】连接 ，作 于H，过点A作 ，垂足为G，首先证明
，再证明 是等边三角形即可解决问题；
【详解】解：连接 ，作 于H，过点A作 ，垂足为G，
∵ 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，故②正确，
∵ ，
∴ ，故①正确，
∵ ，故③正确，
∵ 是边长为3的等边三角形，
，
，
∴ ，故④错误，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性
质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题
11．（2023下·山东淄博·八年级统考期中）请列举一条菱形、矩形、正方形都有的一条性
质： ．
【答案】对角线互相平分（答案不唯一）
【分析】菱形、矩形、正方形都有的性质即为平行四边形的性质，解题即可．
【详解】解：∵菱形、矩形、正方形都是平行四边形，
∴共同的性质为：对角线互相平分，对边平行且相等，对角相等；
故答案为：对角线互相平分（答案不唯一）．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
12．（2023下·湖南永州·八年级统考期末）如图，将 向右平移 个单位，得到 ，
连接 ， ， ，则图中有 个平行四边形．【答案】3
【分析】根据平移的性质，三角形的三条边与平移后的三条边分别相等，平行，进而根据
平行四边形的判定定理即可求解．
【详解】解：依题意， ，则四边形 是平行四边形，
，四边形 是平行四边形，
，四边形 是平行四边形，
∴有 个平行四边形
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是
解题的关键．
13．（2024下·全国·八年级假期作业）一个四边形的四条边的长度依次为a，b，c，d，且
满足 ，则这个四边形一定是 ．
【答案】平行四边形
【解析】略
14．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，四边形 是平行四边形，按以下步
骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交 于点E，交 于点F；再分别以点
E，F为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧相交于点M；②以点D为圆心，适当长为
半径画弧，交 于点H，交 于点G；再分别以点G，H为圆心，以大于 长为半
径作弧，两弧相交于点N；③作射线 相交于点P．若 ，则 的
长为 ．【答案】
【分析】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的作图、勾股定理等知识，根据平行四
边形的性质得到 ， ，根据平行线的性质得到 ，
根据角平分线的定义得到 ，根据勾股定理即可得
到结论．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，，
∴ ，
由作图知， 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．（2023下·广东深圳·八年级统考期末）如图，在 中， 是 的中点， 在
上且 ，连接 ， 相交于点 ，则 ．【答案】 /0.6
【分析】取 中点 可证得 ，进一步推出 故可得出结论．
【详解】解：取 中点 ，则 是 中位线，
∴ ，
，
∴ ，
∴
设 ，则 ， ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识点．结合条件进行几何
推导是解题关键．
16．（2024下·黑龙江大庆·八年级校联考开学考试）如图，平行四边形 的对角线 ，
相交于点 ，点 ， 分别是线段 ， 的中点．若 ， 的周
长是18 ，则 的长为 ．【答案】3
【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握平行线的
性质和三角形中位线的性质是解题关键．首先根据“平行四边形两条对角线互相平分”解
得 ，再结合 的周长求得 的值，然后根据“三角形的中位线平行于
第三边并且等于第三边边长的一半”，即可获得答案．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的周长是18 ，即 ，
∴ ，
又∵点 ， 分别是线段 ， 的中点，
∴ ．
故答案为：3．
17．（2024下·江苏·八年级专题练习）如图，在 中， 的平分线交 于E，
，则 的度数为 ．
【答案】 /120度
【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注
意掌握数形结合思想的应用，由在平行四边形 中， 的平分线交 于E，易
证得 ，又由 ，即可求得 的大小．【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 的平分线交 于E， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
18．（2023下·广东湛江·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长
都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、
C的坐标分别为 、 、 ，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D
四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ．
【答案】 或 或
【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以 、 或 为一条对
角线，画出平行四边形即可.
【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系．
当 ， 时， ；当 ， 时， ；
当 ， 时， ．
故答案为： 或 或 ．
三、解答题
19．（2022下·陕西咸阳·八年级统考期末）如图， 是 的对角线，请用尺规作图
法在线段 上找一点 ，连接 ，使 ．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】作线段 的垂直平分线交 于点E，连接 即可．
【详解】解：如图，分别以 为圆心，以大于 为半径作弧，两弧交于两点，过
这两点作直线，交 于点E，连接 ，
则点 为所作．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是学会利用线段
的垂直平分线的性质解决问题，属于中考常考题型．
20．（2023下·吉林松原·八年级校联考期末）如图，在 中，点E在边 上，以C
为圆心， 长为半径画弧，交边 于点F，连接 、 ．求证： ．
【答案】见解析【分析】本题考查平行四边形的性质及三角形全等的判定，根据画图得到 ，根据
平行四边形的性质得到 ， ，再根据三角形边角边判定即可得到证明；
【详解】解：∵以C为圆心， 长为半径画弧，交边 于点F，
∴ ，
∵四边形 平行四边形，
， ，
在 和 中，
，
∴ ．
21．（2024下·全国·八年级专题练习）如图，在 中，点E，F在对角线 上，且
连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得 ，对边平行可得 ，再根
据两直线平行，内错角相等可得 ，然后利用“边角边”证明
，故可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质得 ，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，
解题的关键是得出 ，再由全等三角形的性质得出结论．
【详解】（1）证明：在 中，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴ ．
22．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，是由边长为 的小正方形组成的网格，其中点
A、 、 均在网格的格点上．
(1)直接写出格点 的面积为______；
(2)在网格中画出使A、B、 、 四点构成平行四边形的所有点 ；
(3)直接写出线段 的长为______．
【答案】(1)4
(2)见解析(3) 或
【分析】（1）利用割补法即可求出 的面积；
（2）根据平行四边形的定义画出图形即可；
（3）结合（2）图形，利用勾股定理进行求解即可得到答案．
【详解】（1）解：
故答案为： ；
（2）解：如图，点 ， ， 即为所求；
（3）解： ， ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，
解题关键是学会用割补法求三角形面积，学会用分类讨论的思想思考问题．
23．（2023下·江西吉安·八年级统考期末）如图，E、F是四边形 的对角线 上的
两点．
(1)若 ，只添加一个条件： ，使四边形 为平行四边形．(2)在（1）的条件下，若 ， ，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的判定方法解答即可；
（2）由 ， 得 ，再证明 得 ，进
而即可得到结论．
【详解】（1） 或 （填写一个答案即可），
当添加 时，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形．
当添加 时，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形．
故答案为： 或 （填写一个答案即可）
（2）如图，连接， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行
四边形的判定与性质是解答本题的关键．
24．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，
，E是 上一点，连接 ， .
(1)如图1，若 分别平分 和 ，求证： ；
(2)如图2，连接 交 于O，若 ， ，求 的长；
(3)在（1）的条件下，将 绕点C顺时针旋转得到 ，直线 交 于F，当
时，求 的面积.
【答案】(1)见解析
(2)AB＝4+
(3)
【分析】（1）利用平行四边形的性质可得 ，由角平分线的性质可得
，即可得 ，进而可证明结论．
（2）过点E作 于点M，证明 为等边三角形，可得 ，
，再利用平行四边形的性质可 ，即可求解 ，
的长，再通过证明 ，可得 ，可求解 的长，进而可求解．
（3）过 点作 交 的延长线于点 ，连接 ，易求 ， 的长，再利用
勾股定理求解 的长，结合旋转的性质利用含 角的直角三角形的性质及勾股定理求解 ， ， 的长，再利用三角形的面积公式根据 即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 为平行四边形，
，
，
分别平分 和 ，
， ，
，
，
．
（2））解：过点E作 于点M，
， ，
为等边三角形，
，
∵四边形 为平行四边形，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
∴四边形 是等腰梯形，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
，
，
．
（3）过C点作 交 的延长线于点G，连接 ，
∵四边形 为平行四边形， ，
， ， ， ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，， ，
，
，
，
由旋转可知： ， ， ，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含
角的直角三角形的特征、勾股定理、全等三角形的判定及性质，作出适当的辅助线解决问
题是解题的关键 ．
25．（2022下·福建厦门·八年级统考期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两
块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图
1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为
1．
(1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要
把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平
行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上．
要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；
②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹．
(2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）图1可以先用边长为1、2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两
侧拼上边长都为2的直角三角形；图2可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分
别在边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直角三角形；图3以四个直角三角形的直角边拼
出对角线为3的平行四边形即可；
（2）根据平行四边形的判定方法证明即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：如图1中，∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝ ，
∴四边形ABCD是平行四边形．（同理，图2和图3均可根据两组对边分别相等的四边形
是平行四边形进行证明）
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的
关键是灵活运用直角三角形和平行四边形的性质进行拼接．
26．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在四边形 中， ，
．(1)求证：四边形 是平行四边形
(2)点 在 上，点 在 上，连接 、 ，若 ， ，求
证：
(3)在（2）的条件下，连接 ，过点 作 分别交 、 于 、 两点，过点
作 交 的延长线于点 ，若 ， ，求 的面积
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）求证 ，从而判定平行四边形；
（2）如图，作 ，交 于点Ｋ，可求证 ， ，
，从而 ，于是 ；
（3）解：如图，延长 ，交 于点J，连接 ，可证 ，进一步求证
，于是 ；过点A作 ，垂足为M，过点K作 ,
是等腰直角三角形，四边形 是平行四边形；由（2）知 ，得
， ；过点A作 ，交 于L，连接 ，可证
，于是 ， ；进一步求证 ，于是
． 中,运用勾股定理求得 ，于是 ．过点F 作 ，
垂足为O，可求得 .求证 ，得 ．所以
．
【详解】（1）证明：∵
∴ ．
∵ ，
∴ ．∴ ．
∴四边形 是平行四边形；
（2）证明：如图，作 ，交 于点Ｋ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵
∴
∴ ．
∵
∴
∴
∴ ．
（3）解：如图，延长 ，交 于点J，连接
∵
∴ .
∵ ,
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵
∴ ．
∴ ．∴ ．
∴ ．
过点A作 ，垂足为M，过点K作 ， 是等腰直角三角形，四边形
是平行四边形；
由（2）知 ，
∴
∴ ．
∴ ．
过点A作 ，交 于L，连接 ，
∵
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
∵
∴ ．
∴ ．
∴ ．
设 ，则 ，
∴ ，解得 ，即
∴ ．
过点F 作 ，垂足为O，
∵
∴ .
∴ .
∵
∴
∴∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，中位线定理，通过全等三
角形判定寻求线段相等是解题的关键．
