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考向 35 利用圆锥曲线的二级
结论秒解选择、填空题
1．（2022年甲卷理科第10题）椭圆 的左顶点为 ，点 ， 均在 上，且关于
轴对称．若直线 ， 的斜率之积为 ，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】椭圆 的右顶点为 ，由于点 ， 均在 上，且关于 轴对称，所以直线 ， 也关于
轴对称，即 ， ， ．
1．焦点三角形的面积、离心率
(1)设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F、F 为其焦点，记∠FPF＝θ，则
1 2 1 2①|PF||PF|＝；②S ＝b2tan ；③e＝.
1 2 △PF1F2
(2)设P点是双曲线－＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F，F 为其焦点，记∠FPF＝θ，则
1 2 1 2
①|PF||PF|＝；②S ＝；③e＝.
1 2 △PF1F2
2．中心弦的性质
设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与A，B不重合的任意一点，则k ·k ＝e2－1.
AP BP
3．中点弦的性质
设圆锥曲线以M(x，y)(y≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.
0 0 0
(1)若圆锥曲线为椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则k ＝－，k ·k ＝e2－1.
AB AB OM
(2)若圆锥曲线为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，则k ＝，k ·k ＝e2－1.
AB AB OM
(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则k ＝.
AB
4．焦点弦的性质
(1)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A，B两点，且|AF|＝λ|FB|，则椭
圆的离心率等于.
(2)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A，B两点，且|AF|＝λ|
FB|，则双曲线的离心率等于||.
(3)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，则两焦半径长为，，＋＝，|
AB|＝，S ＝.
△AOB
5.若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆 ( )上异于右顶点的两动点 , ,以 为直径的圆经过右顶点 ,
则直线 过定点 .同理,当以 为直径的圆过左顶点 时,直线 过定点
.
(2)对于双曲线 上异于右顶点的两动点 , ,以 为直径的圆经过右顶点
,则直线 过定点 .同理,对于左顶点 ,则定点为 .
(3)对于抛物线 上异于顶点的两动点 , ,若 ,则弦 所在直线过点
.同理,抛物线 上异于顶点的两动点 , ,若 ,则直线 过定点
.1.已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为
M(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
【答案】B
【解析】由题意可知k ＝＝1，k ＝＝，由双曲线中点弦中的斜率规律得k ·k ＝，即＝，又9＝a2＋
AB MO MO AB
b2，联立解得a2＝4，b2＝5，故双曲线的方程为－＝1.
2.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标
为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】D
【解析】c＝3，a2－b2＝9，AB的中点记为P(－1，1)，由k ·k ＝e2－1则
AB OP
(－1)×＝－，∴a2＝2b2，解得a2＝18，b2＝9.
3.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，经过右焦点且斜率为k(k＞0)的直线交椭圆于A，B两点，已知
AF＝3FB，则k＝( )
A．1 B. C. D．2
【答案】B
【解析】 ∵λ＝3，e＝，由规律得cos α＝，cos α＝，k＝tan α＝.
4.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则
△AOB的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】抛物线C：y2＝3x中，2p＝3，p＝，故S ＝＝＝.
△OAB
5.设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B，点P在椭圆上异于A，B两点，若AP与BP的斜率之
积为－，则椭圆的离心率为________．
【答案】
【解析】 k ·k ＝－，e2－1＝－，∴e2＝，e＝.
AP BP
6.若P是＋＝1上的一点，F，F 是其焦点，若∠FPF＝60°，则△FPF 的面积为________．
1 2 1 2 1 2【答案】
【解析】S△FPF＝b2tan ＝64×＝.
1 2
7.在椭圆Ax2＋By2＝1上，△PFF 为焦点三角形，∠PFO＝45°，∠PFO＝15°，则椭圆的离心率e＝
1 2 2 1
________．
【答案】
【解析】由公式e＝，即得e＝.
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，F ，F 分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，B、C分别为椭圆的
1 2
上、下顶点，直线BF 与椭圆的另一交点为D，e＝，若cos∠FBF＝，则直线CD的斜率为________．
2 1 2
【答案】
【解析】设∠DBO＝θ，则cos∠FBF ＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝，cos2θ＝，cos θ＝，利用Rt△FOB易知k ＝
1 2 2 BD
－，e＝，由k ·k ＝e2－1，得k ＝.
BD CD CD
1．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三期末（文））设椭圆的方程为 ，斜率为k的直线不经过原
点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直；
B．若直线方程为 ，则 .
C．若直线方程为 ，则点M坐标为
D．若点M坐标为 ，则直线方程为 ；
【答案】D
【解析1】不妨设 坐标为 ，则 , ，两式作差可得：
，设 ，则 .对A： ，故直线 不垂直，则A错误；
对B：若直线方程为 ，联立椭圆方程 ，
可得： ，解得 ，故 ，
则 ，故 错误；
对 ：若直线方程为y=x+1，故可得 ，即 ，又 ，
解得 ，即 ，故 错误；
x2 y2
此题对 另解，直接利用二级结论，由于本题椭圆方程为 1，是y型椭圆，所以：
2 4
a2 4 y
k k 2，故可得 0 12，即 ，又 ，
0 b2 2 x y 2x y x 1
0 0 0 0 0
1 2 1 2
解得x ,y ，即M , ，故 错误；
0 3 0 3 3 3 C
1
对 ：若点M坐标为1,1,则 k 2，则
k 2
，
D 1 AB
又AB过点
1,1 ，则直线AB的方程为y12x1
，即2xy30，故D正确.
故选：D.
x2 y2
2．（2021·安徽·淮北师范大学附属实验中学高二期中）已知椭圆E: 1ab0的右焦点 与抛
a2 b2 F
物线y212x的焦点重合，过点F 的直线交E于
A
、
B
两点， 若AB的中点坐标为
1,1
，则E的方程为
（ ）
x2 y2
A． 1 B． C． D．
45 36
【答案】D
【解析1】设 、 ，若 轴，则 、 关于 轴对称，不合乎题意，
将 、 的坐标代入椭圆方程得 ，两式相减得 ，
可得 ，
因为线段 的中点坐标为 ，所以， ， ，因为抛物线 的焦点为 ，所以 ，
又直线 过点 ，因此 ，所以， ，
整理得 ，又 ，解得 ， ，
因此，椭圆 的方程为 ，
故选：D.
【解析2】设 、 ，若 轴，则 、 关于 轴对称，不合乎题意，因为抛物线
的焦点为 ，所以 ，所以 ，设线段 的中点坐标为 ，利用二级结论
，又因为 ，解得
， ，因此，椭圆 的方程为 ，故选：D.
3．（2021·湖北·高二阶段练习）已知斜率为 的直线与双曲线 相交于 、 两
点， 为坐标原点， 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析1】设 、 、 ，则 ，
两式相减得 ，所以 ．
因为 ， ，所以 ．
因为 ， ，所以 ，故 ，
故 ．故选：A.
【解析2】直接利用双曲线中的二级结论，
.
4．（四川省蓉城名校联盟2021-2022学年高二上学期期末联考理科数学试题）已知抛物线
，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线
方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，设 ，所以 ①， ②，
所以，① ②得： ，即 ，
因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，
所以 ，即 ，所以抛物线 ，准线方程为 .
故选：B
5．（2021·江西·南昌市新建区第一中学高二期末（理））已知斜率为 的直线 与抛物线
交于 两点， 为坐标原点， 是线段 的中点， 是 的焦点， 的面积等于3，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析1】由抛物线 知：焦点 ，设
因为 是线段 的中点，所以
将 和 两式相减可得： ，即
∵ ∴ ,
.
故选：B
【解析2】因为抛物线方程 ，设 的中点 ，由中点弦二级结论，可知：代入： ，另焦点 ，因为面积 ，可知 ，
再代入 .
6．（2022·安徽蚌埠·高二期末）已知直线l与抛物线 交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直
线 的斜率之积为 ，则直线l恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析1】设直线方程为 ，
联立 ，整理得： ，
需满足 ，即 ，则 ，
由 ，得： ，
所以 ，即 ，故 ，
所以直线l为： ，当 时， ，即直线l恒过定点 ，
故选：A.
【解析2】对于抛物线 上异于顶点的两动点 , ,若 ,则弦 所在直线过
点 ,本题中由于直线 的斜率之积为 ，所以 ，直接使用二级结论， 所在直
线过点 ，即 .
7．（2021·安徽·合肥市第六中学高三开学考试（文））已知抛物线 ， 和 分别为抛物线
上的两个动点，若 （ 为坐标原点），弦 恒过定点 ，则抛物线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析1】若直线 与 轴重合，此时直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意.
设点 、 ，设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 可得 ，
，所以， ，因为 ，则 ，解得 .
因此，抛物线的方程为 .
故选：B.
【解析2】对于抛物线 上异于顶点的两动点 , ,若 ,则弦 所在直线过
点 ,本题中由于 ,符合使用条件，由于弦 恒过定点 ，所以 .
8．（2022·江苏·高三专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲
述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股
2=弦2”，设直线 交抛物线 于 ， 两点，若 ， 恰好是 的“勾”“股”（ 为坐
标原点），则此直线 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析1】设直线 的方程为 ， ， ，
由 得 ，
由根与系数的关系可得： ， ，
若 ， 恰好是 的“勾”“股”（ 为坐标原点），
可得 ，所以 ，即 ，
所以 ，
，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍）
所以直线 的方程为 ，恒过点 ，
故选：D
【解析2】抛物线 上异于顶点的两动点 , ,若 ,则直线 过定点
,本例中，若 ， 恰好是 的“勾”“股”（ 为坐标原点），
可得 ，所以 ，即 ，所以直线 过定点 ，即 .1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C： (a>0，b>0) 的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，离
心率为 ．P是C上一点，且FP⊥FP．若△PFF 的面积为4，则a= ( )
1 2 1 2
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析1】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
【解析2】
2．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知 是双曲线 的左，右焦点，点 在 上，
与 轴垂直， ,则 的离心率为 ( )
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析1】由题可令 ，则 所以 ， ，所以 ，所以故选Ａ．
【解析2】离心率 ，由正弦定理得 ．故选A．
3．(2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l ，l ，直线l 与C交
1 2 1
于A，B两点，直线l 与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
2
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】 A
【解析】(极坐标法)设l 的倾斜角为θ，那么|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝＋＝，因此l 的倾斜角为θ＋或θ－，
1 2
即|DE|＝，因此即求4在上的最小值，令f(θ)＝，取最小值时sin θcos θ取最大值，因此θ＝，结果＝16.
4.（20142）设F为抛物线C: 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原
点，则 的面积为______.
【答案】
【解析 1】易知抛物线中 ，焦点 ，直线 的斜率 ，故直线 的方程为
，代人抛物线方程 ，整理得 ．
设 ，则 ，由物线的定义可得弦长
，结合图象可得 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ．
【解析2】秒杀公式的应用
5.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两
点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
答案】2
【
【解析1】取AB的中点M′(x ，y)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别是A′，B′，又∠AMB
0 0
＝90°，点M在准线上，∴|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)，∴MM′平行于x轴，∴y ＝1，又由中
0
点弦的性质得k ＝＝2.
AB
【解析2】设抛物线的焦点为F，A(x ，y)，B(x ，y)，则所以y－y＝4(x －x)，则k＝＝，取AB的中点M′
1 1 2 2 1 2(x ，y)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1
0 0
上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y ＝1，
0
所以y＋y＝2，所以k＝2.
1 2
【解析3】由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消
去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x ，y)，B(x ，y)，则x ＋x ＝，xx ＝1.由消去x得
1 1 2 2 1 2 1 2
y2＝4，即y2－y－4＝0，则y ＋y ＝，yy ＝－4，则∠AMB＝90°，得MA·MB＝(x ＋1，y －1)·(x ＋1，y －
1 2 1 2 1 1 2 2
1)＝xx＋x＋x＋1＋yy－(y＋y)＋1＝0，将x＋x＝，xx＝1与y＋y＝，yy＝－4代入，得k＝2.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
