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高中数学二轮复习讲义——选填题部分
第 2 讲 函数的图像与性质
1．重点考查函数的奇偶性与单调性及利用函数性质解函数不等式、方程解的个数问
题，注意函数周期性这一点的复习．
2．函数图象部分仍以考查图像识别为重点和热点，也可能考查利用函数图象解函数不等式或函数零点问
题
题型一、函数图像的识别问题
sin2x
1．函数y= 的部分图象大致为（ ）
1+cosx
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，所以选项C，D错误；
( π) sin2x
又当x∈ 0, 时，y= >0，所以选项B错.
2 1+cosx
本题选择A选项.sinx
2．函数y＝1+x + 的部分图象大致为（ ）
x2
【答案】D．
sinx sinx
【解答】解：函数y＝1+x + ，可知：f（x）＝x + 是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，
x2 x2
sinx
则函数y＝1+x + 的图象关于（0，1）对称，
x2
当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x＝π时，y＝1+π，排除B．
故选：D．
3．函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.
详解：函数过定点(0,2)，排除A,B，
求得函数的导数 ，
f '(x)=−4x3+2x=−2x(2x2−1)
由 得 ，
f '(x)>0 2x(2x2−1)<0
√2 √2
得x<− 或03|x|≥3x √1+9x2−3x>0 f (x) R
因为 ．
f (x)+f (−x)=ln(√1+9x2−3x)+1+ln(√1+9x2+3x)+1=ln1+2=2
( 1)
所以，f (lg3)+f lg =f (lg3)+f (−lg3)=2．
3
故答案为：2.
4．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1在[﹣1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m＝
．
【答案】4．
【解答】解：∵f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1＝[（x﹣1）2﹣1]sin（x﹣1）+x﹣1+2
令g（x）＝（x﹣1）2sin（x﹣1）﹣sin（x﹣1）+（x﹣1），
而g（2﹣x）＝（x﹣1）2sin（1﹣x）﹣sin（1﹣x）+（1﹣x），
∴g（2﹣x）+g（x）＝0，
则g（x）关于（1，0）中心对称，则f（x）在[﹣1，3]上关于（1，2）中心对称．
∴M+m＝4．
故答案为：4．
5．已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）．若a＝g（﹣log 5.1），b＝g（20.8），c＝g
2
（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】C．
【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）＝0，且f′（x）＞0，
∴g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）＝xf（x）偶函数，
∴a＝g（﹣log 5.1）＝g（log 5.1），则2＜log 5.1＜3，1＜20.8＜2，
2 2 2
由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log 5.1）＜g（3），
2
∴b＜a＜c，
故选：C．
6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x ，x ，都有x f(x )−x f(x ) ，
1 2 2 1 1 2 ＜0
x −x
1 2记 f(4.10.2 )， f(0.42.1 )， f(log 4.1)，则（ ）
a= b= c= 0.2
4.10.2 0.42.1 log 4.1
0.2
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【答案】A．
【 解 答 】 解 ： 不 妨 设 ： x ＞ x ＞ 0 ， 由 题 意 可 得 ：
1 2
f(x ) f(x )，
x f(x )−x f(x )＜0，x f(x )＜x f(x )， 1 ＜ 2
2 1 1 2 2 1 1 2 x x
1 2
同理，当0＜x ＜x 时有 f(x ) f(x )，
1 2 1 ＞ 2
x x
1 2
f(x)
据此可得函数g(x)= 在区间（0，+∞）上单调递减，且函数g（x）是偶函数，
x
因此
f(4.10.2
) ，
a= =g(4.10.2 )＜g(1)
4.10.2
f(0.42.1
) ，
b= =g(0.42.1 )＞g(0.42 )＞g(0.5)
0.42.1
f(log 4.1) 1 ，
c= 0.2 =g(log 4.1)=g(log 4.1)∈(g(1)，g( ))
log 4.1 0.2 5 2
0.2
即 a＜c＜b，
故选：A．
1
7．已知函数f（x）＝x3﹣2x+ex− ，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取
ex
1
值范围是 [﹣ 1 ， ] ．
2
1
【答案】[﹣1， ]．
2
1
【解答】解：函数f（x）＝x3﹣2x+ex− 的导数为：
exf′（x）＝3x2﹣2+ex 1 2+2√ 1 0，可得f（x）在R上递增；
+ ≥− ex ⋅ =
ex ex
1
又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex− =0，可得f（x）为奇函数，
ex
则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）
由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），
f（2a2）≤f（1﹣a），
即有2a2≤1﹣a，
1
解得﹣1≤a≤ ，
2
1
故答案为：[﹣1， ]．
2
1
8．设函数f（x）＝ln（1+|x|）− ，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（ ）
1+x2
1 1 1 1 1 1
A．（﹣∞， ）∪（1，+∞） B．（ ，1） C．（− ， ） D．（﹣∞，− ）∪( ，+∞)
3 3 3 3 3 3
【答案】B．
1 1
【解答】解：∵函数f（x）＝ln（1+|x|）− 为偶函数，且在x≥0时，f（x）＝ln（1+x）− ，
1+x2 1+x2
1 2x
导数为f′（x）= + ＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，
1+x (1+x2
)
2
∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），
即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，
1
解得： ＜x＜1，
3
1
所求x的取值范围是（ ，1）．
3
故选：B．
考点 2 . 周期性、对称性
1．已知定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y＝f（x+2）为偶函数，则关于x的不等式
f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0的解集为（ ）4 4
A．（﹣∞，− ）∪（2，+∞） B．（− ，2）
3 3
4 4
C．（﹣∞， ）∪（2，+∞） D．（ ，2）
3 3
【答案】D．
【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y＝f（x+2）为偶函数，
∴y＝f（x+2）关于x＝0对称，即函数f（x+2）在（0，+∞）上为减函数，
由f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得f（2x﹣1）＞f（x+1），
即f（2x﹣3+2）＞f（x﹣1+2），
即|2x﹣3|＜|x﹣1|，平方整理得3x2﹣10x+8＜0，
4
即 ＜x＜2，
3
4
即不等式的解集为（ ，2），
3
故选：D．
2．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x+2），当x＞1时f（x）单调递增，如果x +x ＞2且
1 2
（x ﹣1）（x ﹣1）＜0，则f（x ）+f（x ）的值（ ）
1 2 1 2
A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负
【答案】B．
【解答】解：∵f（﹣x））＝﹣f（x+2），∴函数f（x）的图象关于（1，0）对称，
∵x＞1时f（x）单调递增，∴函数f（x）在R上单调递增且f（1）＝0
∵x +x ＞2，∴（x ﹣1）+（x ﹣l）＞0
1 2 1 2
∵（x ﹣1）（x ﹣l）＜0
1 2
∴不妨设x ＜x ，则x ＜1，x ＞1，且|x ﹣l|＞|x ﹣1|
1 2 1 2 2 1
由函数的对称性，∴f（x ）+f（x ）＞0
1 2
故选：B．
3．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+
f（2）+f（3）+…+f（50）＝（ ）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
【答案】B．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），
∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）＝2，
∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（0）＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）
＝2+0＝2，
故选：C．
1 π
4．已知奇函数f（x）（x∈R）满足f（x+4）＝f（x﹣2），且当x∈[﹣3，0）时，f(x)= +3sin x，
x 2
则
f（2018）＝（ ）
1 1 1 1
A．− B．− C． D．
4 3 3 2
【答案】D．
【解答】解：∵奇函数f（x）（x∈R）满足f（x+4）＝f（x﹣2），
∴f（x+6）＝f（x），
1 π
∵当x∈[﹣3，0）时，f(x)= +3sin x，
x 2
1 π 1
∴f（2018）＝f（336×6+2）＝f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣{ +3sin[ ×(−2)]}= ．
−2 2 2
故选：D．
5．设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．
9
若f（0）+f（3）＝6，则f（ ）＝（ ）
2
9 3 7 5
A．− B．− C． D．
4 2 4 2
【答案】D．
【解答】解：∵f（x+1）为奇函数，∴f（1）＝0，且f（x+1）＝﹣f（﹣x+1），
∵f（x+2）偶函数，∴f（x+2）＝f（﹣x+2），
∴f[（x+1）+1]＝﹣f[﹣（x+1）+1]＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（﹣x），∴f（﹣x+2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x）．
令t＝﹣x，则f（t+2）＝﹣f（t），
∴f（t+4）＝﹣f（t+2）＝f（t），∴f（x+4）＝f（x）．
当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．
f（0）＝f（﹣1+1）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b，
f（3）＝f（1+2）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝a+b，
又f（0）+f（3）＝6，∴﹣3a＝6，解得a＝﹣2，
∵f（1）＝a+b＝0，∴b＝﹣a＝2，
∴当x∈[1，2]时，f（x）＝﹣2x2+2，
9 1 3 9 5
∴f（ ）＝f（ ）＝﹣f（ ）＝﹣（﹣2× +2）= ．
2 2 2 4 2
故选：D．
6．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g
（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则 22 f（k）＝（ ）
∑
k=1
A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24
【答案】D．
【解答】解：∵y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，则g（2﹣x）＝g（2+x），
∵f（x）+g（2﹣x）＝5，∴f（﹣x）+g（2+x）＝5，∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）为偶函数，
∵g（2）＝4，f（0）+g（2）＝5，得f（0）＝1．由g（x）﹣f（x﹣4）＝7，得g（2﹣x）＝f（﹣x﹣
2）+7，代入f（x）+g（2﹣x）＝5，得f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，故f（x）关于点（﹣1，﹣1）中心对称，
∴f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，由f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，f（﹣x）＝f（x），得f（x）+f（x+2）＝﹣2，
∴f（x+2）+f（x+4）＝﹣2，故f（x+4）＝f（x），f（x）周期为4，
由f（0）+f（2）＝﹣2，得f（2）＝﹣3，又f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，
22
所以 f（k）＝6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（4）＝11×（﹣1）+5×1+6×（﹣3）＝﹣24，
∑
k=1
故选：D．
题型三、函数的性质综合
1．设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)（ ）1 1 1
A．是偶函数，且在( ,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(− , )单调递减
2 2 2
1 1
C．是偶函数，且在(−∞,− )单调递增 D．是奇函数，且在(−∞,− )单调递减
2 2
【答案】D
{ 1}
【详解】由f (x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|得f (x)定义域为 x|x≠± ，关于坐标原点对称，
2
又f (−x)=ln|1−2x|−ln|−2x−1|=ln|2x−1|−ln|2x+1|=−f (x)，
∴f (x)为定义域上的奇函数，可排除AC；
( 1 1)
当x∈ − , 时，f (x)=ln(2x+1)−ln(1−2x)，
2 2
( 1 1) ( 1 1)
∵y=ln(2x+1)在 − , 上单调递增，y=ln(1−2x)在 − , 上单调递减，
2 2 2 2
( 1 1)
∴f (x)在 − , 上单调递增，排除B；
2 2
( 1) 2x+1 ( 2 )
当x∈ −∞,− 时，f (x)=ln(−2x−1)−ln(1−2x)=ln =ln 1+ ，
2 2x−1 2x−1
2 ( 1)
∵μ=1+ 在 −∞,− 上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增，
2x−1 2
( 1)
根据复合函数单调性可知：f (x)在 −∞,− 上单调递减，D正确.
2
故选：D.
2．已知函数 .则下列说法正确的是（ ）
f (x)=ln(√x2+1+x)+x+1
( 1)
A．f (lg3)+f lg =2
3
B．函数f (x)的图象关于点(0,1)对称
C．函数f (x)在定义域上单调递减
D．若实数a，b满足f (a)+f (b)>2，则a+b>0
【答案】ABD
【详解】对于A选项，对任意的 ， ，
x∈R √x2+1+x>|x|+x≥0
所以函数 的定义域为 ，
f (x)=ln(√x2+1+x)+x+1 R又因为
f(−x)+f(x)=[ln(√x2+1−x)+(−x)+1]+ln(√x2+1+x)+x+1
( 1)
=ln(x2+1−x2 )+2=2，所以f (lg3)+f lg =f (lg3)+f (−lg3)=2，故A正确；
3
对于B选项，因为函数f (x)满足f (−x)+f (x)=2，故函数f (x)的图象关于点(0,1)对称，故B正确；
对于C选项，对于函数 ，该函数的定义域为 ，
ℎ(x)=ln(√x2+1+x) R
，
ℎ(−x)+ ℎ(x)=ln(√x2+1−x)+ln(√x2+1+x)=ln(x2+1−x2)=0
即 ，所以函数 为奇函数，当 时，内层函数 为增函数，外层函数
ℎ(−x)=−ℎ(x) ℎ(x) x≥0 u=√x2+1+x
y=lnu为增函数，所以函数ℎ(x)在[0,+∞)上为增函数，故函数ℎ(x)在(−∞,0]上也为增函数，因为函数
ℎ(x)在R上连续，故函数ℎ(x)在R上为增函数，又因为函数y=x+1在R上为增函数，故函数f (x)在R上
为增函数，故C不正确；
对于D选项，因为实数a，b满足f (a)+f (b)>2，则f (a)>2−f (b)=f (−b)，可得a>−b，即a+b>0，故
D正确.
故选：ABD.
3．设函数 的定义域为 ，若对于任意 、 ，当 时，恒有 ，则
y=f (x) D x x ∈D x +x =2a f (x )+f (x )=2b
1 2 1 2 1 2
称点(a,b)为函数y=f (x)图象的对称中心．研究函数f (x)=x+sinπx−3的某一个对称中心，并利用对称
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) (4030) (4031)
中心的上述定义，可得到f +f +f +⋅⋅⋅+f +f 的值为（ ）
2016 2016 2016 2016 2016
A．−4031 B．4031 C．−8062 D．8062
【答案】C
【详解】∵f (x)=x+sinπx−3，
∴当x=1时，f (1)=1+sinπ−3=−2，
∴根据对称中心的定义，可得当 时，恒有 ，
x +x =2 f (x )+f (x )=−4
1 2 1 2
∴
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) (4030) (4031) [ ( 1 ) (4031)] (2016)
f +f +f +⋅⋅⋅+f +f =2015 f +f +f
2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016=2015×(−4)−2=−8062．
故选：C．
4．若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f (2)=0，则满足xf (x−1)≥0的x的取值范围是
（ ）
A．[−1,0]∪[1,3] B．[−3,−1]∪[0,1] C．[−1,3] D．[−1,1]∪[3,+∞)
【答案】A
【详解】因为定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，
所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减，且f(−2)=0，f(0)=0，
所以当x∈(−∞,−2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x∈(−2,0)∪(2,+∞)时，f(x)<0，
所以由xf(x−1)≥0可得：¿或¿或x=0
解得−1≤x≤0或1≤x≤3，
所以满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是[−1,0]∪[1,3]，
故选：A.
5．已知函数f (x)的定义域为R(f (x)不恒为0)，f (x+2)为偶函数，f (2x+1)为奇函数，则（ ）
( 1)
A．f − =0 B．f (−1)=0
2
C．f (2)=0 D．f (4)=0
【答案】B
【详解】因为函数f (x+2)为偶函数，则f (2+x)=f (2−x)，可得f (x+3)=f (1−x)，
因为函数f (2x+1)为奇函数，则f (1−2x)=−f (2x+1)，所以，f (1−x)=−f (x+1)，
所以，f (x+3)=−f (x+1)，可得f (x)=f (x+4)，
故函数f (x)是以4为周期的周期函数，
因为函数F(x)=f (2x+1)为奇函数，则F(0)=f (1)=0，
由f (x+3)=−f (x+1)，故x=−2时，f (−1)=−f (1)=0，B正确；
可构造函数f (x)=cos [π (x−2) ] ，满足题意，此时f ( − 1) =cos 5 π≠0，A错误；
2 2 4
f (2)=1≠0，C错误；f (4)=−1≠0，D错误.
故选：B.
6．设f（x）＝3x，f（x）＝g（x）﹣h（x），且g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，若存在实数m，使得
当x∈[﹣1，1]时，不等式mg（x）+h（x）≥0恒成立，则m的最小值为（ ）
4 1 5 4
A． B． C． D．−
5 5 4 5【答案】A．
【解答】解：f（x）＝g（x）﹣h（x）＝3x①，
所以f（﹣x）＝g（﹣x）﹣h（﹣x）＝3﹣x，
又g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，
则g（x）+h（x）＝3﹣x②，
3x+3−x 3−x−3x
由①②可得，g(x)= ，ℎ(x)= ，
2 2
因为g（x）＞0，则不等式mg（x）+h（x）≥0对于x∈[﹣1，1]恒成立，
即 −ℎ(x) 3x−3−x 32x−1对于x∈[﹣1，1]恒成立，
m≥ = =
g(x) 3x+3−x 32x+1
1
令t＝32x，则t∈[ ，9]，
9
t−1 2
所以m（t）= =1− ，
t+1 t+1
1 4
因为m（t）在[ ，9]上单调递增，则m（t）
max
＝m（9）= ，
9 5
4 4
所以m≥ ，则m的最小值为 ．
5 5
故选：A．
7．已知函数 的定义域为 ，且 ，则2023 ＝（ ）
f(x) R f(x+ y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1 ∑ f(k)
i=1
A．－3 B．－2 C．0 D．1
【答案】D
【详解】因为f(1)=1，由f(x+ y)+f(x−y)=f(x)f(y)，
令y=1,则f(x+1)+f(x−1)=f(x)f(1),
即f(x+1)+f(x−1)=f(x)①
所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)②
①②相加得：f(x+2)+f(x−1)=0⇒f(x+3)+f(x)=0，f(x+3)=−f(x)
所以f(x+6)=−f(x+3)=f(x)
所以函数的一个周期为6
令x=1,y=0，则f(1)+f(1)=f(1)f(0)⇒f(0)=2
令x=1,y=1，则f(2)+f(0)=f(1)f(1)⇒f(2)=−1又f(x+3)=−f(x)
所以f(3)=−f(0)=−2，f(4)=−f(1)=−1，f(5)=−f(2)=1，f(6)=−f(3)=2
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1−1−2−1+1+2=0
2023
所以有由周期性得：
∑ f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)=f(1)=1
i=1
故选：D.
8．设函数f (x)的定义域为R，满足f (x+1)=2f (x)，且当x∈(0,1]时，f (x)=x(x−1)．若对任意
8
x∈(−∞,m]，都有f (x)≥− ，则m的取值范围是（ ）
9
( 9] ( 7] ( 5] ( 8]
A． −∞, B． −∞, C． −∞, D． −∞,
4 3 2 3
【答案】B
1 1
【详解】当−10)在区间[−8,8]上有四个不同的根x ，x ，x ，x ，则x +x +x +x 等于( )
1 2 3 4 1 2 3 4A．−12 B．−6 C．−8 D．4
【答案】C
【详解】解：定义在R上的奇函数f(x)，f(0)=0，
∵f(x−4)=−f(x)，∴f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以f(x)周期T=8；
又∵f(x)是R上奇函数，∴由f(x−4)=−f(x)，得f(4－x)＝f(x)，∴f(x)关于直线x=2对称；
再结合f(x)在区间[0，2]上是增函数和以上信息，作出函数图像：
根据图像，可得x +x =−12，x +x =4，
1 2 3 4
∴x +x +x +x =−8，
1 2 3 4
故选：C
10．已知函数 是以4为周期的奇函数，当 时， ，若数 在
f(x)(x∈R) x∈(0,2) f(x)=ln(x2−x+b) f(x)
区间[−2,2]上有5个零点，则实数b的取值范围是（ ）
1 5 5 1 5
A．−10恒成立，且x2−x+b=1在(0,2)有一解，
即¿或¿，
1 5
解得
