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[基础题组练]
1．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选C.因为f′(x)＝－cos x＋(－sin x)，所以f(π)＋f′＝－＋·(－1)＝－.
2．(2019·福州模拟)曲线f(x)＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积
为( )
A．2 B.
C. D.
解析：选D.f′(x)＝1＋，则f′(1)＝2，故曲线f(x)＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y－1
＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，，则切线与坐标轴围
成的三角形的面积为×1×＝，故选D.
3．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D.
解析：选A.因为y′＝－，令y′＝，解得x＝3，即切点的横坐标为3.
4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(
)
解析：选D.由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线
的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故排除A、C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x
0
处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x 处的切线的斜率相同，故排除B.
0
5．函数g(x)＝x3＋x2＋3ln x＋b(b∈R)在x＝1处的切线过点(0，－5)，则b的值为( )
A. B.C. D.
解析：选B.当x＝1时，g(1)＝1＋＋b＝＋b，
又g′(x)＝3x2＋5x＋，
所以切线斜率k＝g′(1)＝3＋5＋3＝11，
从而切线方程为y＝11x－5，
由于点在切线上，所以＋b＝11－5，
解得b＝.故选B.
6．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2.若f′(2 018)＝6，则f′(－2 018)＝________．
解析：因为f′(x)＝4ax3－bsin x＋7，
所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7
＝－4ax3＋bsin x＋7.
所以f′(x)＋f′(－x)＝14.
又f′(2 018)＝6，
所以f′(－2 018)＝14－6＝8.
答案：8
7．(2019·广州市调研测试)若过点A(a，0)作曲线C：y＝xex的切线有且仅有两条，则实数a
的取值范围是________．
解析：设切点坐标为(x，xex)，y′＝(x＋1)ex，y′|x＝x＝(x＋1)ex，所以切线方程为y－
0 0 0 0 0 0
xex＝(x＋1)ex(x－x)，将点A(a，0)代入可得－xex＝(x＋1)ex(a－x)，化简，得x－ax－a
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
＝0，过点A(a，0)作曲线C的切线有且仅有两条，即方程x－ax－a＝0有两个不同的解，则有
0
Δ＝a2＋4a＞0，解得a＞0或a＜－4，故实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)
8．(2019·南昌第一次模拟)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x
＋ln x，则f′(1)＝________．
解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，
所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.
答案：1＋e
9．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，
所以a≠－.
所以a的取值范围为∪.
10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.
所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)设切点为(x，y)，
0 0
则直线l的斜率为f′(x)＝3x＋1，
0
所以直线l的方程为
y＝(3x＋1)(x－x)＋x＋x－16，
0 0
又因为直线l过点(0，0)，
所以0＝(3x＋1)(－x)＋x＋x－16，
0 0
整理得，x＝－8，
所以x＝－2，
0
所以y＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
0
k＝3×(－2)2＋1＝13.
所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，
所以切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x，y)，
0 0
则f′(x)＝3x＋1＝4，
0
所以x＝±1.
0
所以或
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
[综合题组练]
1．(应用型)在等比数列{a}中，a＝2，a＝4，函数f(x)＝x(x－a)(x－a)·…·(x－a)，则
n 1 8 1 2 8
f′(0)＝( )
A．26 B．29C．212 D．215
解析：选C.因为f′(x)＝x′·[(x－a)(x－a)·…·(x－a)]＋[(x－a)·(x－a)·…·(x－a)]′·x＝(x
1 2 8 1 2 8
－a)(x－a)·…·(x－a)＋[(x－a)(x－a)·…·(x－a)]′·x，
1 2 8 1 2 8
所以f′(0)＝(0－a)(0－a)·…·(0－a)＋0＝aa·…·a.
1 2 8 1 2 8
因为数列{a}为等比数列，所以aa＝aa＝aa＝aa＝8，所以f′(0)＝84＝212.故选C.
n 2 7 3 6 4 5 1 8
2．(应用型)(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率
为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
A. B．[－，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选D.f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)
恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.
3．(创新型)(2019·黑龙江伊春质检)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋8＝0的最短
距离是________．
解析：设M(x，ln(2x－1))为曲线上的任意一点，则曲线在M点处的切线与直线2x－y＋
0 0
8＝0平行时，M点到直线的距离即为曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋8＝0的最短距
离．
因为y′＝，所以＝2，解得x＝1，所以M(1，0)．记点M到直线2x－y＋8＝0的距离为d，
0
则d＝＝2.
答案：2
4．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
解：(1)由题意得，y′＝－2x＋.设点P的坐标为(x，y)，
1 1
则y＝kx，①
1 1
y＝－x＋x－4，②
1 1
－2x＋＝k，③
1
联立①②③得，x＝2，x＝－2(舍去)．
1 2
所以k＝.
(2)过P点作切线的垂线，
其方程为y＝－2x＋5.④
将④代入抛物线方程得，
x2－x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x，y)，则2x＝9，
2 2 2
所以x＝，y＝－4.
2 2
所以Q点的坐标为.
5．(2019·福州质检)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积
为定值，并求此定值．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，
于是解得故f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x，y)为曲线上任一点，由y′＝1＋，知曲线在点P(x，y)处的切线方程为
0 0 0 0
y－y＝(x－x)，
0 0
即y－＝(x－x)．
0
令x＝0，得y＝－，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x，
0
从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x，2x)．
0 0
所以点P(x，y)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x|＝6.
0 0 0
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此
定值为6.
