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2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精讲）
一．两个实数比较大小的方法
1.作差法
①a－b>0⇔a>b；②a－b＝0⇔a＝b；③a－b<0⇔a1(a∈R，b>0)⇔a>b(a∈R，b>0)；
②＝1(a∈R，b≠0)⇔a＝b(a∈R，b≠0)
③<1(a∈R，b>0)⇔a0)．
二．等式的性质
性质1 对称性：如果a＝b，那么 b ＝ a ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么 a ＝ c ；
性质3 可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
三．不等式的性质
性质1 对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c；
性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
四．一元二次不等式
1.概念：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为
一元二次不等式．
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
有两个不相等的实数 有两个相等的实数根
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 没有实数根
根x，x(x0(a>0)的解集 {x|xx} R
1 2
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x 1 0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2) ≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
六．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
七．常用结论
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1.倒数性质的几个必备结论
(1)a＞b，ab＞0⇒＜
(2)a＜0＜b⇒＜
(3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞
(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜．
2．两个重要不等式
若a＞b＞0，m＞0，则：
(1)＜；＞(b－m＞0)；
(2)＞；＜(b－m＞0)．
一．比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
二．判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
三．解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
四．恒成立问题求参数的范围
1.一元二次不等式的恒成立问题对一元二次不等式的恒成立问题的考查常有以下几种形式：
（1）在R上恒成立；
（2）在给定区间上恒成立；
（3）给定参数范围的恒成立．
处理此类问题的常用方法有：①分参法；②函数法；③变换主元法．
2.一元二次不等式在R上恒成立的条件
(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔
(2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔
注意：只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3.给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)函数法：若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式
(组)求范围．
(2)分参法：转化为函数值域问题，即已知函数 f(x)的值域为[m，n]，则 f(x)≥a 恒成立
⇒f(x) ≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x) ≤a，即n≤a．
min max
4.给定参数范围的恒成立问题解法
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁
当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数
根据原变量的取值范围列式求解．
五．一元二次方程根的分布
设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x ，x ，且x0，x>0)
1 2 1 2
0(x<00)
得出的结论 f(0)<0
大致图象(a<0)
得出的结论 f(0)>0
综合结论(不讨论a) a·f(0)<0
（2）两根与k的大小比较
分布情况 两根都小于k即xk， 一个根小于k，一个根大
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】xk 于k即x0)
f(k)<0
得出的结论
大致图象(a<0)
f(k)>0
得出的结论
综合结论(不讨论a) a·f(k)<0
（3）根在区间上的分布
两根有且仅有一根在
两根分别在区间(m，n)
(m，n)内(图象有两 一根在(m，n)内，另一
分布情况 两根都在(m，n)内 外，即在区间两侧xn
2
种)
大致图象(a>0)
得出的结论 f(m)·f(n)<0 或
大致图象(a<0)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得出的结论 f(m)·f(n)<0 或
综合结论(不讨
__________ f(m)·f(n)<0
论a)
考法一 比较大小
【例1-1】（2023浙江嘉兴）（多选）若实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】A：由 ，因此本选项不正确；
B：由 ，因此本选项正确；
C：因为 ，所以 ，
因此本选项正确；
D：因为 ，所以
，因此本选项正确，
故选：BCD
【例1-2】（2023·云南）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，
所以 ， ， .
因为 ，所以 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ；
因为 ，
则 ，所以 .
综上， .
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023北京）已知： ，则3， ， 的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，∴ ；
又 ，∴ .故选D.
2．（2023贵州贵阳）设 ，且实数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ,可得 ,则 ,即 ；
同理 , ,
因为 ,所以 均为正数,则 ,同理可得
, ，所以 ,故选:B
3（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）（多选）下列大小关系正确的有（
）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由指数函数 和幂函数 可知，当 时 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，选项A不正确；
因为 ，所以 ，故选项B正确；
因为 ，所以 ，即
所以 ，所以 ，故选项C不正确；
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，故选项D正确，故选：BD
考法二 不等式的性质
【例2】．（2023·吉林·统考三模）已知 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A选项， ，故 ，所以 ，
两边同乘以 得， ，A成立；
B选项，因为 ，所以 ，且 ，
由基本不等式得 ，故B成立；
C选项，因为 ，所以 ，
故 ，所以 ，C成立；
D选项，不妨取 ，满足 ，此时 ，故D不一定成立.
故选：D
【一隅三反】
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，且 ，则
【答案】D
【解析】对于A，当 ， ， 时满足 ，但 ，所以A错误；
对于B，当 ， ， 时，满足 ，但 ，所以B错误；
对于C，由不等式的基本性质易知 ，当 ， ， 时满足 ，
，但 ，所以C错误；
对于D， ，所以 ，故D正确．
故选：D．
2（2023·北京朝阳·统考一模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，即 ，故A正确；
取 ，则 不成立，故B错误；
取 ，则 不成立，故C错误；
取 ，则 ，故D错误.
故选：A
3．（2023·江苏）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A选项： ，则 ，故A正确；
B选项： ，则 ，所以 ，故B错误；
C选项：当 或 时， ，则 ，故C错误；
D选项：当 时， ，故D错误.
故选：A．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法三 代数式范围
【例3】（2023·江苏南通·模拟预测）已知 ，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，故A，C，D错误.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知 ， ，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，所以 ，
则 ，又 ，
所以 ， ，由不等式的性质得： ，
则 的取值范围为 .
故选：D.
2．（2022秋·云南昆明·高三云南省昆明市第五中学校考开学考试）（多选）已知 ，
，则（ ）
A． 的取值范围为 B． 的取值范围为
C．ab的取值范围为 D． 的取值范围为
【答案】AC
【解析】因为 ， ，
所以 ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以， 的取值范围为 ， 的取值范围为 ，
故A选项正确，B选项错误；
因为 ， ，
所以， ， ， ，
所以，ab的取值范围为 ， 的取值范围为
故C选项正确，D选项错误.
故选：AC
考法四 不含参一元二次不等式解法
【例4】（2023·云南）解一元二次不等式：
(1) ；(2) .(3) ；(4) .
【答案】(1) (2) (3) (4)
【解析】（1）由 可知，不等式 的解集为
.
（2）解 得 ，故由不等式 ，得 ，
故不等式 的解集为 .
（3）由 得 ，即 ， ， ，即不等式
的解集为 ；
（4）由 得 ，即 ，不可能成立，即不等式
的解集为 .
【一隅三反】
（2023·新疆）解下列不等式：
(1) ； (2) (3) (4) (5)
；
(6) ；(7) ；(8) ．(9) ；(10)
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1) 或 (2) (3) 或 ；(4) .
(5) (6) 或 (7) (8) （9） ， ， ；(10) ，
， ．
【解析】(1)因为 ，所以方程 有两个不等实根x＝－1，x
1 2
＝－3.
所以原不等式的解集为 或 .
(2)因为 ， 所以方程 有两个相等实根x＝x＝
1 2
所以原不等式的解集为 .
(3)由题意， ，所以原不等式的解集为{ 或 }.
(4)由 得， ，故不等式的解集为 ；(5)原不等式即为
，解得 ，故原不等式的解集为 ；
(6)将原不等式变形为 ，即 ，解得 或 ，
故原不等式的解集为 或 ；
(7)将原不等式变形为 ，解得 ，故原不等式的解集为 ；
(8)对于不等式 ， ，故原不等式的解集为 .
(9)不等式 化为 ，即 ，解得 ，
即 或 ，∴原不等式的解集为 ， ， ；
(10)不等式 可化为 ，
即 ，解得 ，即 或 ，∴原不等式的解集为
， ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法五 含参数一元二次不等式的解法
【例5-1】（2023·河北唐山）（多选）已知关于x的不等式 的解集为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于x的不等式 的解集为
【答案】BC
【解析】由不等式 的解集为 ，所以 和1是方程
的两个根，由根与系数的关系可得 ，解得
，
故A错误，B正确， ，故C正确，
不等式 变为 ，解得 ，故D错误，
故选：BC
【例5-2】（2023春·湖北武汉）已知 ，解关于 的不等式 ．
【答案】答案见解析
【解析】当 时，不等式为 ，解得 ；
当 时，不等式化为 ，
当 时，不等式为 ，解得 ；
当 时，不等式为 ，
若 ，不等式为 ，解得 ；
若 ，解得 或 ；
，解得 或 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述，当 时，原不等式的解集是 ；
当 时，原不等式的解集是 ；
当 时，原不等式的解集是 或 ；
当 时，原不等式的解集是 或 ．
【例5-3】（2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式 ．
【答案】见解析
【解析】方程： 且
解得方程两根： ；
当 时，原不等式的解集为：
当 时，原不等式的解集为：
综上所述, 当 时，原不等式的解集为：
当 时，原不等式的解集为：
【一隅三反】
1．（2023·河南郑州）（多选）已知关于 的不等式 解集为 或
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．不等式 的解集为
C．
D．不等式 的解集为 或
【答案】AD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】关于 的不等式 解集为 或 ,
结合二次函数 和一元二次方程 以及不等式的关系，
可得 ，且 是 的两根，A正确；
则 ，故 ，
所以 即 ，即 的解集为 ，B错误；
由于 的不等式 解集为 或 ,
故 时， ，即 ，C错误；
由以上分析可知不等式 即 ，
因为 ，故 或 ，
故不等式 的解集为 或 ，D正确，
故选：AD
2．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式 ．
【答案】答案见解析
【解析】当 时，原不等式为 ，解集为
；
当 时，原不等式为 ，解集为 ；
当 时，原不等式为 ，
若 ，即 时，解集为 或 ；
若 ，即 时，解集为 ；
若 ，即 时，解集为 或 ；
综上， 解集为 ；
解集为 ；
解集为 或 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解集为 ；
解集为 或 .
3．（2023上海宝山）（1）解关于 的不等式 ；
（2）若关于 的不等式 的解集为 ，求关于 的不等式
的解集.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）原不等式化为 ，
当 时，可得 ，解得 ，
当 时， 的根为 且 ，解得 或 ，
当 时，可得 ，解得 ；
当 时， 的根为 且 ，解得 或 ；
当 时，由 解得 ，故不等式解集为 .
综上，当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 .
（2）由题意得 ，且 ，解得 ，
不等式 可化为 ，
即 ，解得 或 ，
故不等式解集为 .
考法六 分式与绝对值不等式的解法
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例6-1】（2023·浙江金华·模拟预测）若集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知 ，解不等式 ，
不等式等价于 且 ，解得 .所以 .
，故 ．故选：D
【例6-2】（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知集合
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，则 ，即 ，解得 ，所以
，
由 ，即 ，解得 ，即 ，
所以 .故选：D
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ,且 是单调增函数,所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．故选：A.
2．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知集合 ， ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，即 ，所以 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ．
故选：A．
3．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
因此， .
故选：C
考法七 一元二次不等式恒（能）成立
【例7-1】（2023·全国·高三专题练习）若不等式 对 恒成立，则实
数 的取值范围是________．
【答案】
【解析】原不等式可化为 对 恒成立．
（1）当 时，若不等式对 恒成立，
只需 ，解得 ；
（2）当 时，若该二次不等式恒成立，
只需 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ；
综上： .
故答案为：
【例7-2】（2023·广西·统考模拟预测）若不等式 对 恒成立，则a
的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由不等式 对 恒成立，
可转化为 对 恒成立，即 ，
而 ，
当 时， 有最大值 ，所以 ，
故答案为： ．
【例7-3】（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若不等式
在 上有解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为关于 的不等式 在区间 上有解，
所以 在区间 上有解，
设 ， ，其中 在区间 上单调递减，
所以 有最小值为 ，所以实数 的取值范围是 ．故选：C．
【一隅三反】
1．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）若命题“
”是假命题，则实数 的最大值为______．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由题知命题的否定“ ”是真命题．令
，则 解得 ，故实数 的最大值为
故答案为：
2．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）若 时，
恒成立，则a的取值范围为______.
【答案】
【解析】解法1： 时， 恒成立，
即 恒成立，即 恒成立.
令 （ ），则 ，
，
当且仅当 ，即 ，等号成立，
故 ，即a的取值范围为 .
解法2：令 ，
则由题意知， ，在 时恒成立，即 时， .
①当 ，即 时， 在 单调递增，
此时， 成立，
所以， 恒成立；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，
在 单调递增，所以 ，
此时只需， 即可，即
解得， ，∴ ，
综上所述，a的取值范围为 .
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）若存在 ，有 成立，则
实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】将原不等式参数分离可得 ，设 ，
已知存在 ，有 成立，则 ，
令 ，则 ， ，
由对勾函数知 在
上单调递减，在 上单调递增，
， ，
所以 ，即 ，
故答案为： .
4．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）若关于x的不等式 在区间 上
有解，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为 ，所以由 得 ，
因为关于 的不等式 在区间 上有解，
所以只需 小于等于 的最大值，
当 时， ，
当 时， ，当且仅当 时等号成立，即当且仅当 时
取等号，故 的最大值为 ，所以 ，即实数 的取值范围是 .故答案为：
.
考法八 一元二次方程根的分布
【例8-1】（2022秋·内蒙古）关于 的方程 有一个正根和一个负根
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的充要条件是__________.
【答案】 或 .
【解析】设 、 是方程 的两根，则由题意知，
或 .
故答案为： 或 .
【例8-2】（2022秋·辽宁葫芦岛·）若方程 在 上仅有一个实根，
则 的取值范围是__________
【答案】
【解析】方程 中， ，因此方程 在
上有两个不等的实数根 ，
不妨令 ，则 ，当 时， ，此时方程 二根为 ，在
上没有根，不符合题意，
于是得 ，则有 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
【例8-3】（2023·四川）关于x的不等式 的解集中恰有2个整数，则实
数a的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】不等式 化为 ，
当 时，不等式无解，
当 时，不等式解为 ，这里有且只有2个整数，则 ，
当 时，不等式解为 ，这里有且只有2个整数，则 ，
综上 的取值范围是 ．
故选： .
【一隅三反】
1．（2023·江苏南京）（多选）设 为实数，已知关于 的方程 ，则
下列说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．当 时，方程的两个实数根之和为0
B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个不相等的正根的充要条件是
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
【答案】BCD
【解析】对于A选项， 时 无实根，A错误；
对于B选项，当 时方程有实根，当 时，方程无实根则 ，解得
，一个必要条件是 ，B正确；
对于C选项，方程有两个不等正根，则 ， ， ， ，解得 ；
对于D选项，方程有一个正根和一个负根，则 ， ，解得 ，D正确；
故选：BCD.
2．（2023·四川成都）（多选）关于 的方程 有两个大于 的实数根的
充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】设 ，若 的方程 有两个大于 的实数根，
由 ，解得 ，
故 ， 满足题意，故选：AB
3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知关于x的不等式 的
解集是 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由关于x的不等式 的解集是 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 是一元二次方程 的两根；
所以 ，选项A正确； ，选项B正确；
所以 ，选项D正确．
由 ，可得： 是错误的，即选项C错误．故选：ABD．
4．（2022·北京）若关于x的一元二次方程 有两个实根，且一个实根小于
1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是________．
【答案】（ ，＋∞）
【解析】设 ，由题意 ，解得 ，故答案为：
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
