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2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精讲）
一．两个实数比较大小的方法
1.作差法
①a－b>0⇔a>b；②a－b＝0⇔a＝b；③a－b<0⇔a1(a∈R，b>0)⇔a>b(a∈R，b>0)；
②＝1(a∈R，b≠0)⇔a＝b(a∈R，b≠0)
③<1(a∈R，b>0)⇔a0)．
二．等式的性质性质1 对称性：如果a＝b，那么 b ＝ a ；
性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么 a ＝ c ；
性质3 可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
三．不等式的性质
性质1 对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c；
性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
四．一元二次不等式
1.概念：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式．
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
有两个不相等的实数 有两个相等的实数根
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 没有实数根
根x，x(x0(a>0)的解集 {x|xx} R
1 2
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x 1 0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2) ≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
六．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
七．常用结论1.倒数性质的几个必备结论
(1)a＞b，ab＞0⇒＜
(2)a＜0＜b⇒＜
(3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞
(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜．
2．两个重要不等式
若a＞b＞0，m＞0，则：
(1)＜；＞(b－m＞0)；
(2)＞；＜(b－m＞0)．
一．比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
二．判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
三．解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
四．恒成立问题求参数的范围
1.一元二次不等式的恒成立问题对一元二次不等式的恒成立问题的考查常有以下几种形式：
（1）在R上恒成立；
（2）在给定区间上恒成立；
（3）给定参数范围的恒成立．
处理此类问题的常用方法有：①分参法；②函数法；③变换主元法．
2.一元二次不等式在R上恒成立的条件
(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔
(2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔
注意：只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况．3.给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)函数法：若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围．
(2)分参法：转化为函数值域问题，即已知函数 f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x) ≥a，即m≥a；
min
f(x)≤a恒成立⇒f(x) ≤a，即n≤a．
max
4.给定参数范围的恒成立问题解法
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的
范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求
解．
五．一元二次方程根的分布
设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x ，x ，且x0，x>0)
1 2 1 2
0(x<00)
得出的结论 f(0)<0
大致图象(a<0)
得出的结论 f(0)>0
综合结论(不讨论a) a·f(0)<0
（2）两根与k的大小比较
两根都小于k即xk， 一个根小于k，一个根大
1 1
分布情况
xk 于k即x0)
f(k)<0
得出的结论
大致图象(a<0)
f(k)>0
得出的结论
综合结论(不讨论a) a·f(k)<0
（3）根在区间上的分布
两根有且仅有一根在
两根分别在区间(m，n)
(m，n)内(图象有两 一根在(m，n)内，另一
分布情况 两根都在(m，n)内 外，即在区间两侧xn
2
种)
大致图象(a>0)
得出的结论 f(m)·f(n)<0 或
大致图象(a<0)得出的结论 f(m)·f(n)<0 或
综合结论(不讨
__________ f(m)·f(n)<0
论a)
考法一 比较大小
【例1-1】（2023浙江嘉兴）（多选）若实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【例1-2】（2023·云南）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2023北京）已知： ，则3， ， 的大小关系是
A． B．
C． D．
2．（2023贵州贵阳）设 ，且实数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．3（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）（多选）下列大小关系正确的有（ ）
A． B． C． D．
考法二 不等式的性质
【例2】．（2023·吉林·统考三模）已知 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，且 ，则
2（2023·北京朝阳·统考一模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
考法三 代数式范围【例3】（2023·江苏南通·模拟预测）已知 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知 ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·云南昆明·高三云南省昆明市第五中学校考开学考试）（多选）已知 ， ，则
（ ）
A． 的取值范围为 B． 的取值范围为
C．ab的取值范围为 D． 的取值范围为
考法四 不含参一元二次不等式解法
【例4】（2023·云南）解一元二次不等式：
(1) ；(2) .(3) ；(4) .
【一隅三反】
（2023·新疆）解下列不等式：
(1) ； (2) (3) (4) (5) ；
(6) ；(7) ；(8) ．(9) ；(10) ．考法五 含参数一元二次不等式的解法
【例5-1】（2023·河北唐山）（多选）已知关于x的不等式 的解集为 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于x的不等式 的解集为
【例5-2】（2023春·湖北武汉）已知 ，解关于 的不等式 ．【例5-3】（2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式 ．
【一隅三反】
1．（2023·河南郑州）（多选）已知关于 的不等式 解集为 或 ，则下列结论
正确的有（ ）
A．
B．不等式 的解集为C．
D．不等式 的解集为 或
2．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式 ．
3．（2023上海宝山）（1）解关于 的不等式 ；
（2）若关于 的不等式 的解集为 ，求关于 的不等式 的解集.
考法六 分式与绝对值不等式的解法
【例6-1】（2023·浙江金华·模拟预测）若集合 ，则 （ ）A． B． C． D．
【例6-2】（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
考法七 一元二次不等式恒（能）成立
【例7-1】（2023·全国·高三专题练习）若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是________．
【例7-2】（2023·广西·统考模拟预测）若不等式 对 恒成立，则a的取值范围是
____________．
【例7-3】（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若不等式 在 上有解，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）若命题“ ”是假命题，则
实数 的最大值为______．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）若 时， 恒
成立，则a的取值范围为______.
3．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）若存在 ，有 成立，则实数a的取值范
围是__________.
4．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）若关于x的不等式 在区间 上有解，则实数a
的取值范围是__________．
考法八 一元二次方程根的分布
【例8-1】（2022秋·内蒙古）关于 的方程 有一个正根和一个负根的充要条件是
__________.【例8-2】（2022秋·辽宁葫芦岛·）若方程 在 上仅有一个实根， 则 的取值范
围是__________
【例8-3】（2023·四川）关于x的不等式 的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围
（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2023·江苏南京）（多选）设 为实数，已知关于 的方程 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．当 时，方程的两个实数根之和为0
B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个不相等的正根的充要条件是
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
2．（2023·四川成都）（多选）关于 的方程 有两个大于 的实数根的充分条件可以是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知关于x的不等式 的解集是
，则（ ）
A． B． C． D．4．（2022·北京）若关于x的一元二次方程 有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大
于2，则实数a的取值范围是________．
