文档内容
2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精练）
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 或 ，
或 ，
所以 ， ，
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 得 ，故 ，所以 ，
由 ，得 ，故 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
故选：D
3.（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）已知集合 ，则 （ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【解析】 ，
则 ，则 或 .
故选：B
4．（2023·河北）若实数a，b满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A：由 ，可得 ，错误；
对于B：由 ，可得 ，正确；
对于C：由 ，可得 ，所以 ，错误；
对于D：由 ，可得 ，则 ，错误；
故选：B
5．（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【解析】对A，当 时， ，A错；
对B，当 时，满足 ，但此时 ，B错；
对C，由函数 在 上递增，得 成立，C对；
对D， ，则 ，D错.
故选：C．
6．（2023·江西·统考模拟预测）已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 可知 ，所以 ，所以 错误；
因为 ，但无法判定 与1的大小，所以B错误；
当 时， ，故D错误；
因为 ，所以 ，故C正确.
故选：C.
7．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知非零实数 ， 满足 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知 ，不妨取 ，则 ，故选项A错误；
因为 在 上单调递增，由 ，所以 ，故选项B正确；
当 时， ，故选项C错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 在 上单调递增，由 ，
可得 ，故选项D错误.故选：B
8．（2023·湖南张家界·统考二模）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BC
【解析】A：若 ，则 ，故A错误；
B：若 ，则 ，故 ，两边平方，可得 ，故B正确；
C：因为 在 上单调递增，所以若 ，则 ，故C正确；
D：若 ，不妨设 ， ，显然不满足 ，故D错误.
故选：BC.
9．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）若集合 ，集合 ，满足
的实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 得： ，解得： ，即 ；
由 得： ，
， ， ，解得： .
故选：D.
10．（2023春·河南）已知 ，且 ，关于x的不等式 的解集为 ，则关于x
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为不等式 ， 的解集为 ，
所以 且 即 ，
不等式 等价于 ，
即 ， ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为： ，
故选：C．
11．（2023·广东深圳）已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由不等式 的解集为 ，
知 是方程 的两实数根，
由根与系数的关系，得 ，解得： ，
所以不等式 可化为 ，解得： 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故不等式 的解集为： .
故选：D.
12．（2023春·河北保定）若一元二次方程 （ 不等于0）有一个正根和一个负根，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为一元二次方程 （ 不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为 ，
则 ，解得 ，故选：A
13．（2023·广西梧州）若关于x的方程 有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
【答案】A
【解析】由已知可得， ，即 ，解不等式可得， 或 .
所以，m的取值范围是 或 .故选：A.
14．（2023·福建）（多选）若关于 的一元二次方程 有实数根 ， ，且 ，则下
列结论中正确的说法是（ ）
A． B．当 时， ，
C．当 时， D．当 时，
【答案】BC
【解析】将方程 化为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意可知，关于 的方程 有两个不等的实根，
则 ，解得 ，故A错误；
当 时，方程为 ，所以 ， ，故B正确；
当 时，在同一坐标系下，分别作出函数 和 的图象，
可得 ，所以C正确，D错误.故选：BC.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， 的取值范围是
_______________
【答案】
【解析】设 ，即 ，
∴ ，解得 .
∴ ，
∵ ，∴ ①，
∵ ，∴ ②，
① ②，得 ，即 的取值范围 .
故答案为： .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式 的解集为 ，解不等式
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的解集为__________
【答案】
【解析】由不等式 的解集为 ，可知 是 的两根，且 ，
故 ，则 ，故 即 ，
即 ，解得 或 ，故不等式 的解集为
17．（2022·云南）已知 ，若关于 的方程 有两个不相等的正实数根 ，则
的取值范围为_________.
【答案】
【解析】当 时，不成立，舍去；
当 时，若关于 的方程 有两个不相等的正实数根 ，则由韦达定理 ，
故 .又 ，所以 .
由韦达定理得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 的取值范围为 .
故答案为：
故答案为：
18．（2022秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考期中）已知 ，使 是真命题，
则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为 ，使 是真命题，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 时能成立，即
设 ，图象开口向上，且对称轴为直线 ，
所以 在区间 上的最小值为 ，故 .
故答案为： .
19．（2022秋·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）若关于x的方程 有解，
则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】由 有解，得 有解，由于 ，故 ，当且仅当 时取
等号，所以 ，故答案为：
20．（2023秋·内蒙古呼和浩特）求解下列不等式的解集：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .
(6) ；(7) ；(8) ；(9) .
【答案】(1) 或 (2) (3) (4) (5)
(6) (7) (8) (9)
【解析】（1）由 可得 ，解得 或 ，
故原不等式的解集为 或 .
（2）由 可得 ，解得 ，故原不等式的解集为 .
（3）由 可得 ，即 ，解得 ，故原不等式的解集为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
（4）解：由 可得 ，解得 ，故原不等式的解集为 .
（5）解：由 可得 ，解得 ，故原不等式的解集为
.
（6）由 ，得 ，解得 ，故不等式的解集为 .
（7）由 ，得 ，即 ，解得 或 ，故不等式的解集为
.
（8）由 ，得 ，即 ，解得 ，故不等式的解集为 .
（9）由 ，得 ，解得 或 ，故不等式的解集为 .
21．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式
【答案】答案见解析
【解析】由 ，可得 或 ，则：
当 时，原不等式解集为 ；
当 时，原不等式解集为 ；
当 时，原不等式解集为 ；
22．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式 ．
【答案】答案见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由对应函数 开口向上，且 ，
当 ，即 时， 恒成立，原不等式解集为 ；
当 ，即 或 时，由 ，可得 ，
所以原不等式解集为 ；
综上， 解集为 ；
或 解集为 .
23．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式： ．
【答案】答案见解析.
【解析】由 得 或 .
当 ，即 时，不等式解集为 ；
当 ，即 时，解集为 ；
当 ，即 时，解集为 ．
综上： 时，不等式解集为 ； 时，解集为 ； 时，解集为
．
24．（2023春·四川泸州·高二校考阶段练习）已知函数 ，解不等式 .
【答案】答案见解析
【解析】①当 时， ；∴ .
②当 时，由 得 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（i）当 即 时， ，
（ⅱ）当 即 时， ，
（ⅲ）当 即 时， ，
综上，当 时，所求不等式的解集为 .
当 时，所求不等式的解集为 ，
当 时，所求不等式的解集为 ，
当 时，所求不等式的解集为 .
25（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知函数
(1)若 ，求函数 的最小值；
(2)解不等式 .
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）因为函数 的对称轴为 ，
所以ⅰ）当 ，即 时， ，
ⅱ）当 ，即 时， ；
（2）由 ，可得 ，
即 ，所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以ⅰ）当 时，不等式 的解集为 ，
ⅱ）当 时，不等式 的解集为 ，
ⅲ）当 时，不等式 的解集为 .
1．（2023春·湖南）若“ ”是“ ”的一个充分不必要条件，则实
数 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】解不等式 可得 ，
由 可得 ，
①当 时，即当 时，不等式 即为 ，解得 ，
此时，“ ” “ ”，不合乎题意；
②当 时，即当 时，解不等式 可得 或 ，
由题意可知， 或 ，
所以， 或 ，解得 或 ，所以， ；
③当 时，即当 时，解不等式 可得 或 ，
由题意可得 或 ，
所以， 或 ，解得 或 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 或 .
故选：A.
2．（2023春·浙江宁波·）（多选）已知关于x的函数： ，其中 ，则下列说法中正
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】确的是（ ）
A．当 时，不等式 的解集是 .
B．若不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围为 .
C．若方程 的两个不相等的实数根都在 内，则实数 的取值范围为 .
D．若方程 有一正一负两个实根，则实数 的取值范围为 .
【答案】CD
【解析】对于A：当 时，不等式 ，即 ，
解得 或 ，即不等式 的解集是 ，故A错误；
对于B：若不等式 的解集为空集，等价于 恒成立，
当 时，则 恒成立，符合题意；
当 时，则 ，解得 ；
综上所述：实数 的取值范围为 ，故B错误；
若方程 有根，则有：
当 时，则 不成立，不符合题意；
当 时，则 ，即 与 有交点，
结合图象，
对于C：若方程 的两个不相等的实数都在 内，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 与 有交点横坐标均在 内，
可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ，故C正确；
对于D：若方程 有一正一负两个实根，
则 与 有交点横坐标一个为正数一个为负数，
可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ，故D正确；
故选：CD.
3．（2023秋·河南）已知使不等式 成立的任意一个x，都不满足不等式 ，则实
数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 得 ，因为使不等式 成立的任意一个x，都不满足不等式
，
所以不等式 的解集是 的子集．
由 ，得 ，
当 ， ，符合题意；
当 ， ，则 ， ；
当 ， ，符合题意，
综上所述，实数a的取值范围为 ．故选：D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023·辽宁·校联考二模）（多选）已知正数x，y满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为 ， 所以 ， ，
所以 所以 ，A正确，B错误；
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，C正确；
令 ，则 ，
可知当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，D正确，故选：ACD.
5．（湖南省永州市2023届高三三模数学试题）（多选）已知 ，下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】对于A项， ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即： ，故A项错误；
对于B项， ，因为 ，所以 ， ，所以 ，即：
，故B项正确；
对于C项， ，因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即： ，故C项错误；
对于D项，因为 ，
又因为 ，所以 ， ，
所以 ，即： ，故D项正确.
故选：BD
6．（2023·河北·校联考二模）（多选）已知a，b为实数，且 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，由 ，可知 ， ，
且 ，由不等式性质可得 ，所以 ，即A错误．
对于B， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当且仅当 ，即 时取等号，B正确．
对于C，作差可得 ，
所以 ，C正确．
对于D， ，
当且仅当 ，即 时取等号，显然取不到等号，D错误．
故选：BC．
7．（2022秋·江苏无锡·高三校考阶段练习）（多选）已知正数x，y，z满足 ，则下列说法中正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】正数x，y，z满足 ，设 ，
则 ， ， ．
对于A， ，故A正确；
对于B， ， ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，故B错误；
对于C，由 （ ），两边平方，可得 ，故C正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于D，由 ，可得 （ ），故D正确．
故选：ACD
8．（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第三中学校考阶段练习）（多选）下列命题是真命题的为（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AC
【解析】对A：若 ，则 ，所以 ，A正确；
对B： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，B错误；
对C： 在 上单调递增，若 ，则 ，即 ，C正确；
对D： ，
若 ，则 ，
，即 ，D错误.
故选：AC.
9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知实数 满足 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】取 ，所以有 ，则 ，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，故选项A错误；
因为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，故选项B正确；
因为 ，
故选项C错误；
因为
，
当且仅当 时取等，显然等号不成立，
故 ，故选项D正确.
故选：BD
10．（2022·广东揭阳）（1）若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）解关于 的不等式 ．
【答案】（1） ；（2）答案见解析.
【解析】（1）由题意， 恒成立，
当 时，不等式可化为 ，不满足题意；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，满足 ，
即 ，解得 ；
故实数 的取值范围是 ．
（2）不等式 等价于 ．
当 时，不等式可化为 ，所以不等式的解集为 ；
当 时，不等式可化为 ，此时 ，
所以不等式的解集为 ；
当 时，不等式可化为 ，
①当 时， ，不等式的解集为 ；
②当 时， ，不等式的解集为 或 ；
③当 时， ，不等式的解集为 或 .
综上： 时，等式的解集为 或
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为 或
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为
11．（2023·云南楚雄）设 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)若 ，求 的解集；
(2)若不等式 对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(3)解关于x的不等式 .
【答案】(1)R
(2)
(3)答案见解析
【解析】（1）若 ，则 ，对应函数开口向下，
，
所以不等式的解集为
（2）由题意可得 对一切实数成立，
当 时， 不满足题意；
当 时，得
所以实数a的取值范围为
（3）由题意可得 ，
当 时，不等式可化为 ，所以不等式的解集为 ，
当 时， ，
当 时， ，
①当 ，解集 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②当 ，解集为 或 ，
③当 ，解集为 或 .
综上所述，
当 ，不等式的解集为 或 ，
当 ，不等式的解集为 ，
当 ，不等式的解集为 或 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 .
12．（2022秋·山东日照）已知函数 ．
(1)若不等式 的解集为 ，求 ， 的值；
(2)若 ，求不等式 的解集．
【答案】(1) ， ；
(2)答案见解析.
【解析】（1）因为不等式 的解集为 ，
所以 和 是方程 的两个根，且 ，
可得 ，解得 ， ．
（2）当 时，不等式 即 ，即 ，
①当 时， ，解得 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②当 时，不等式可化为 ，解得 或 ；
③当 时，不等式化为 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ；
若 ，则 ，
综上所述，当 时，解集为 ；当 时，解集为 或 ；当 时，解集为
；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ．
13．（2023·上海普陀）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根．
(1)若两根异号，求实数 的取值范围；
(2)是否存在实数 ， 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
(3)求使 的值为整数的实数 的整数值．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3) 的值为 或 或
【解析】（1）由题意得 ，即 ，
所以实数 的取值范围为 .
（2）不存在，理由如下：
因为 ， 是一元二次方程 的两个实数根，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，所以 ，
由根与系数的关系得 ， ，
所以 ，
解得 ，而 ，
故不存在实数 使得 成立．
（3）由根与系数的关系得 ，
因为 的值为整数，而 为整数，所以 只能取 、 、 ，
又 ，所以整数 的值为 或 或 ．
14．（2022秋·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）关于 的方程 的两
个实根 ， .
(1)若 ， 求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）令 ，开口向上，对称轴为 ，
由 ， ，则 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 的取值范围为 .
（2）由 ，则 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
