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2.2 基本不等式（精讲）
一．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
二．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.三．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
一．基本不等式求最值满足条件
利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正二定三相等”.
(1)“一正”就是各项必须为正数.
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因
式的和转化成定值.
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的
最值.
二．利用基本不等式求最值常见形式与方法
（1）配凑法
f (x)
①形如 (其中f(x)是二次函数,g(x)是一次函数)的最值,常见分子中的自变量变形为分母的形式后,构造
g(x)
满足基本不等式的条件求最值.
②配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后
利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.
（2）常值代换法
a b a b
已知形如或可化为x+y=t(t为常数),求 + 的最值以及形如或可化为 + =t,求cx+dy(cd≠0)型的最值,求解
x y x y
a b a b x+ y a b
时要注意将已知条件变形为“1”的形式,将 + 看作是( + )· 或cx+dy看作是cx+dy=(cx+dy)·( +
x y x y t tx ty
),变形后利用基本不等式求最值.
（3）消元法
对于二元变量的条件最值问题,若不能够化为“角度三”的类型,常用其中一个变量表示另一个变量,将待求
式化为一个变量的关系式后求最值,此类要注意所保留变量的取值范围.
三．恒（能）成立含参数的问题
①分离参数法：则常将参数分离后,利用最值转化法求解
{参数>（≥）函数的最大值
分离参数法→恒成立问题
参数<（≤）函数的最小值{参数>（≥）函数的最小值
分离参数法→存在性问题
参数<（≤）函数的最大值
四．利用基本不等式求解实际问题
(1)根据题意将待求最大值或最小值的变量定义为函数后,将实际问题抽象出函数的解析后,再将函数解析式
变形利用基本不等式求得函数的最值.
(2)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
考法一 直接法求最值
【例1-1】（2023广西）函数 的最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【例1-2】（2022·北京大兴）当 时， 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】（2023·安徽滁州·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足 ，则
的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·广东茂名）若a，b都为正实数且 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023云南）若 ,那么 的最小值是（ ）
A．64 B．128 C． D．3．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）若 ， ， ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C．1 D．2
考法二 配凑法求最值
【例2-1】（2023内蒙古）已知x＞1，则 的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
【例2-2】（2023·全国·高三专题练习）函数 的最小值是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
【一隅三反】
1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模）函数 的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
2．（2023·云南）函数 的最小值是（ ）
A． B．3 C．6 D．123．（2022·江苏）当 时，函数 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．4
4．（2023北京）函数 的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
考法三 常数替代求最值
【例3-1】（2022·安徽）已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【例3-2】（2023春·湖南）已知正实数a，b满足 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【例3-3】．（2022·贵州毕节）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．5
【例3-4】（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知 ，则 的最小值是______．
【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知 都是正数，且 ，则 的最小值为__________．
2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数 ，且 ，则 的最小值为___________.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考法四 消元法求最值
【例4】（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若 ， ，且 ，则
的最小值是（ ）
A．5 B．8 C．13 D．16
【一隅三反】
1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
2．（2022·河南·郑州四中）已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则 （ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
3．（2022·辽宁丹东）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3考法五 基本不等式解成立问题
【例5-1】（2023·河南）若对任意正数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（2023·山西）已知 ，且 ，若 有解，则实数m的取值范围为
（ ）
A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）
【一隅三反】
1．（2023·四川南充）已知实数 满足 ， 且 ， 若不等式 恒成立， 则
实数 的最大值为 （ ）
A．9 B．12 C．16 D．25
2.（2023·广东湛江·统考二模）当 ， 时， 恒成立，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知正数 ， 满足 ，若不等式
恒成立，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．考法六 基本不等式解实际问题
【例6】（2023·广西南宁·统考二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每
年管理费用为0.1万元，已知使用 年的维修总费用为 万元，则该设备年平均费用最少时的年限为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【一隅三反】
1．（2023·北京）设计用 的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为 ，
则车厢的最大容积是（ ）
A．（38－3 m3 B．16 m3 C．4 m3 D．14 m3
2．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社会
的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的
三件大事之一．某企业积极响应国家号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品．经过市场调
研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产x万件，需可变成本 万元，当产量不足50万件时，
；当产量不小于50万件时， ．每件A产品的售价为100元，
通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完．欲使得生产该产品能获得最大利润，则产量应为（ ）
A．40万件 B．50万件 C．60万件 D．80万件
3．（2023·甘肃武威·统考一模）随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽
车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万
元，当该款汽车年产量低于400辆时， ，当年产量不低于400辆时，，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售
这款新能源汽车的最高年利润为（ ）
A．1500万元 B．2100万元 C．2200万元 D．3800万元
考法七 基本不等式与其他知识综合
【例7-1】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知 ，P是椭圆 上的任意一点，则
的最大值为（ ）
A．9 B．16 C．25 D．50
【例7-2】（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，直线 与曲线 相切，
则 的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【一隅三反】
1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列 中， ，则 的最大
值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
2．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数 且 的图象过定点A，且点A在直线
上，则 的最小值是______.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在点 处的切线过点 ，则
的最小值为__________.4．（2023·江西鹰潭·统考一模）直四棱柱 的底面是菱形，其侧面积是 ，若该直四棱
柱有外接球，则该外接球的表面积的最小值为___________．
