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[基础题组练]
1．(2019·石家庄质量检测(一))在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DA，设CB＝a，CA
＝b，则CD＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选B.因为BD＝DA，所以BD＝BA，所以CD＝CB＋BD＝CB＋BA＝CB＋(CA－CB)
＝CB＋CA＝a＋b，故选B.
2．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若
AO＝λAB＋μBC，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1 B.
C. D.
解析：选D.由题意易得AD＝AB＋BD＝AB＋BC，
所以2AO＝AB＋BC，即AO＝AB＋BC.
故λ＋μ＝＋＝.
3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：选D.由题意可设c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，(λ－k)a＝(λ＋1)b.因为a，b不共线，所
以所以k＝λ＝－1，所以c与d反向，故选D.
4．如图，在△ABC中，AD＝AC，BP＝BD，若AP＝λAB＋μAC，则的值为( )
A．－3 B．3
C．2 D．－2
解析：选B.因为AP＝AB＋BP，
BP＝BD＝(AD－AB)＝AD－AB＝×AC－AB＝AC－AB，
所以AP＝AB＋＝AB＋AC；
又AP＝λAB＋μAC，所以λ＝，μ＝；
所以＝×＝3.故选B.
5．(2019·辽宁丹东五校协作体联考)P是△ABC所在平面上的一点，满足PA＋PB＋PC＝
2AB，若S ＝6，则△PAB的面积为( )
△ABC
A．2 B．3C．4 D．8
解析：选A.因为PA＋PB＋PC＝2AB＝2(PB－PA)，所以3PA＝PB－PC＝CB，所以
PA∥CB，且方向相同，所以＝＝＝3，所以S ＝＝2.
△PAB
6．若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，则|AB＋AC|＝________．
解析：因为|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|AB＋AC|
为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|AB＋AC|＝2.
答案：2
7．已知O为△ABC内一点，且2AO＝OB＋OC，AD＝tAC，若B，O，D三点共线，则t的值
为________．
解析：设线段BC的中点为M，则OB＋OC＝2OM.
因为2AO＝OB＋OC，所以AO＝OM，
则AO＝AM＝(AB＋AC)＝＝AB＋AD.
由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝.
答案：
8．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且AD＝AC＋
λAB(λ∈R)，则AD的长为________．
解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平
行线交AB，AC于点M，N，则AN＝AC，AM＝AB，经计算得AN＝AM＝3，
AD＝3.
答案：3
9.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且
GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.
解：AD＝(AB＋AC)＝a＋b.
AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.
10．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m，
n∈R，求＋的值．
解：设OA＝a，OB＝b，则OG＝(a＋b)，
PQ＝OQ－OP＝nb－ma，
PG＝OG－OP＝(a＋b)－ma＝a＋b.
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ＝λPG，
即nb－ma＝λa＋λb，
则消去λ，得＋＝3.
[综合题组练]
1．(应用型)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实
数λ的值为( )
A．1 B．－C．1或－ D．－1或－
解析：选B.由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－
1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1
或λ＝－.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.
2．(应用型)(2019·安徽安庆模拟)在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的
中点，若存在实数λ和μ，使得BM＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝( )
A. B．－
C．2 D．－2
解析：选B.如图，因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得BD＝tBC
＝t(AC－AB)．因为M是线段AD的中点，所以BM＝(BA＋BD)＝(－AB＋
tAC－tAB)＝－(t＋1)·AB＋tAC.
又BM＝λAB＋μAC，所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，
所以λ＋μ＝－.故选B.
3．(创新型)(2019·陕西铜川质检)已知P为△ABC所在平面内一点，AB＋PB＋PC＝0，|
AB|＝|PB|＝|PC|＝2，则△ABC的面积等于( )
A. B．2
C．3 D．4
解析：选B.因为AB＋PB＋PC＝0，所以AB＝－(PB＋PC)．
由平行四边形法则可知，以PB，PC为边组成的平行四边形的一条对角线与AB反向，且
长度相等．因为|AB|＝|PB|＝|PC|＝2，所以以PB，PC为边的平行四边形为菱形，且除BC外的
对角线长为2，所以BC＝2，∠ABC＝90°，所以S ＝AB·BC＝×2×2＝2，故选B.
△ABC
4．(应用型)已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足OP＝OA＋λ(λ≥0)，则
动点P的轨迹一定过三角形ABC的( )
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
解析：选D.如图，AD⊥BC，由于|AB|·sin B＝|AC|sin C＝|AD|，所以
OP＝OA＋λ＝OA＋(AB＋AC)，所以OP－OA＝AP＝(AB＋AC)，因此点P
在三角形ABC的中线所在的直线上，故动点P的轨迹一定过三角形ABC
的重心．
5.(一题多解)(创新型)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的
直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若AM＝mAB，AN＝nAC，则( )
A．m＋n是定值，定值为2
B．2m＋n是定值，定值为3
C.＋是定值，定值为2
D.＋是定值，定值为3解析：选D.法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由AN＝nAC可得＝，所以
＝＝，由BD＝DC可得＝，所以＝＝，
因为AM＝mAB，所以m＝，
整理可得＋＝3.
法二：因为M，D，N三点共线，所以AD＝λAM＋(1－λ)·AN.
又AM＝mAB，AN＝nAC，所以AD＝λmAB＋(1－λ)·nAC.又BD＝DC，所以AD－AB＝AC－
AD，所以AD＝AC＋AB.比较系数知λm＝，(1－λ)n＝，所以＋＝3，故选D.
6．(创新型)在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)
上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，求的值．
解：设e，e 分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e－2e，a＝
1 2 1 2
2e＋e，b＝－2e－2e，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e－2e＝2λ(x－y)e＋λ(x－
1 2 1 2 1 2 1
2y)e，所以所以则的值为.
2
