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[基础题组练]
1．将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P，P，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建
1 2
立极坐标系，求过线段PP 的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程．
1 2
解：(1)设(x，y)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得
1 1
由x＋y＝1，得x2＋＝1，
即曲线C的标准方程为x2＋＝1.
(2)由解得或
不妨设P(1，0)，P(0，2)，则线段PP 的中点坐标为，所求直线的斜率为k＝，
1 2 1 2
于是所求直线方程为y－1＝，
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
故所求直线的极坐标方程为ρ＝.
2．在直角坐标系xOy中，直线C ：x＝－2，圆C ：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，
1 2
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C ，C 的极坐标方程；
1 2
(2)若直线C 的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C 与C 的交点为M，N，求△C MN的面积．
3 2 3 2
解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以C 的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
1 2
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ＝2，ρ＝.
1 2
故ρ－ρ＝，即|MN|＝.
1 2
由于C 的半径为1，所以△C MN的面积为.
2 2
3．(2019·湖南湘东五校联考)平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，
－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ
＝2cos θ.
(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．
解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，
ρsin2θ＝2cos θ，即ρ2sin2θ＝2ρcos θ，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入曲线C的直角坐标方
程得y2＝2x.
(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，得
t2sin2α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0，
设A，B对应的参数分别为t，t，
1 2由一元二次方程根与系数的关系得，tt＝，
12
根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|＝|tt|＝＝40，得α＝或α＝.
12
又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2α>0，所以α＝.
4．(2019·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C ：(φ为参数)，曲线C ：x2＋y2－2y＝
1 2
0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C ，C 分别
1 2
交于点A，B(均异于原点O)．
(1)求曲线C ，C 的极坐标方程；
1 2
(2)当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围．
解：(1)因为(φ为参数)，所以曲线C 的普通方程为＋y2＝1.
1
由得曲线C 的极坐标方程为ρ2＝.
1
因为x2＋y2－2y＝0，
所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
2
(2)由(1)得|OA|2＝ρ2＝，|OB|2＝ρ2＝4sin2α，
所以|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α＝＋4(1＋sin2α)－4，
因为0<α<，所以1<1＋sin2α<2，
所以6<＋4(1＋sin2α)<9，
所以|OA|2＋|OB|2的取值范围为(2，5)．
[综合题组练]
1．(应用型)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为(α为
1
参数)，直线C 的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
2
(1)求曲线C 和直线C 的极坐标方程；
1 2
(2)若直线C 与曲线C 交于A，B两点，求＋.
2 1
解：(1)由曲线C 的参数方程为(α为参数)，得曲线C 的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，
1 1
则C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，
1
由于直线C 过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)(tan θ＝)．
2
(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ，ρ，则ρ＋ρ＝2＋2，ρρ＝7，
1 2 1 2 1 2
所以＋＝＝＝.
2．在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为(β为参数)，在极坐标系中，直线l 的方程
1
为α＝θ，直线l 的方程为α＝θ＋.
1 2 2
(1)写出曲线M的普通方程，并指出它是什么曲线；
(2)设l 与曲线M交于A，C两点，l 与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取
1 2
值范围．
解：(1)由(β为参数)，消去参数β，得曲线M的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8，
所以曲线M是以(1，1)为圆心，2为半径的圆．
(2)设|OA|＝ρ，|OC|＝ρ，
1 2
因为O，A，C三点共线，则|AC|＝|ρ－ρ|＝ (*)，
1 2将曲线M的方程化成极坐标方程，得ρ2－2ρ(sin θ＋cosθ)－6＝0，
所以代入(*)式得|AC|＝.
用θ＋代替θ，得|BD|＝，
又l⊥l，所以S ＝|AC|·|BD|，
1 2 四边形ABCD
所以S ＝＝2，
四边形ABCD
因为sin22θ∈[0，1]，所以S ∈[8，14]．
四边形ABCD
3．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交
于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，θ)，其中θ∈(，π)．
(1)求θ的值；
(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．
解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以曲线C的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ
＝4sin θ.
由ρ＝2，得sin θ＝，
因为θ∈(，π)，所以θ＝.
(2)由题，易知直线l的普通方程为x＋y－4＝0，所以直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin
θ－4＝0.
又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，
联立，得，解得ρ＝4.
所以点B的极坐标为，
所以|AB|＝|ρ －ρ |＝4－2＝2.
B A
4．(综合型)(2019·长沙模拟)在极坐标系中，已知曲线C ：ρcos＝，C ：ρ＝1(0≤θ≤π)，C ：
1 2 3
＝＋sin2θ.设C 与C 交于点M.
1 2
(1)求点M的极坐标；
(2)若直线l过点M，且与曲线C 交于不同的两点A，B，求的最小值．
3
解：(1)曲线C ：ρcos＝，可得x－y＝1，C ：ρ＝1(0≤θ≤π)，可得x2＋y2＝1(y≥0)，由可得
1 2
点M的直角坐标为(1，0)，因此点M的极坐标为(1，0)．
(2)由题意得，曲线C 的直角坐标方程为＋y2＝1.设直线l的参数方程为(t为参数)，代入
3
曲线C 的直角坐标方程并整理得(3sin2α＋cos2α)t2＋(2cos α)t－2＝0.设点A，B对应的参数分
3
别为t，t，则
1 2
t＋t＝－，tt＝－，
1 2 12
所以|MA|·|MB|＝|tt|＝，
12
|AB|＝|t－t|＝
1 2
＝
＝.所以＝.
因为0≤α<π，所以0≤sin2α≤1.
所以当α＝时，sin α＝1，此时有最小值，最小值为.
