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[基础题组练]
1．已知数列，，，，，…，则5是它的( )
A．第19项 B．第20项
C．第21项 D．第22项
解析：选C.数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，
所以通项公式为a＝＝，
n
令＝5，得n＝21.
2．(2019·武昌区调研考试)已知数列{a}的前n项和S＝n2－1，则a＋a＋a＋a＋a＝(
n n 1 3 5 7 9
)
A．40 B．44
C．45 D．49
解析：选B.法一：因为S＝n2－1，所以当n≥2时，a＝S－S ＝n2－1－(n－1)2＋1＝2n
n n n n－1
－1，又a＝S＝0，所以a＝，所以a＋a＋a＋a＋a＝0＋5＋9＋13＋17＝44.故选B.
1 1 n 1 3 5 7 9
法二：因为S＝n2－1，所以当n≥2时，a＝S－S ＝n2－1－(n－1)2＋1＝2n－1，又a＝
n n n n－1 1
S＝0，所以a＝，所以{a}从第二项起是等差数列，a＝3，公差d＝2，所以a＋a＋a＋a＋a
1 n n 2 1 3 5 7 9
＝0＋4a＝4×(2×6－1)＝44，故选B.
6
3．设数列{a}的前n项和为S，且S＝2(a－1)，则a＝( )
n n n n n
A．2n B．2n－1
C．2n D．2n－1
解析：选C.当n＝1时，a＝S＝2(a－1)，可得a＝2，当n≥2时，a＝S－S ＝2a－2a
1 1 1 1 n n n－1 n n
，所以a＝2a ，所以数列{a}为等比数列，公比为2，首项为2，所以a＝2n.
－1 n n－1 n n
4．已知数列{a}的首项为2，且数列{a}满足a ＝，数列{a}的前n项的和为S，则S
n n n＋1 n n 2
等于( )
016
A．504 B．588
C．－588 D．－504
解析：选C.因为a＝2，a ＝，所以a＝，a＝－，a＝－3，a＝2，…，所以数列{a}的周
1 n＋1 2 3 4 5 n
期为4，且a＋a＋a＋a＝－，因为2 016÷4＝504，所以S ＝504×＝－588，故选C.
1 2 3 4 2 016
5．(2019·西宁模拟)数列{a}满足a＝2，a ＝a(a＞0)，则a＝( )
n 1 n＋1 n n
A．10n－2 B．10n－1
C．102n－4 D．22n－1
解析：选D.因为数列{a}满足a＝2，a ＝a(a＞0)，所以log a ＝2log a ＝2，所以是
n 1 n＋1 n 2 n＋1 2 n
公比为2的等比数列，所以log a＝log a·2n－1 a＝22n－1 . ⇒
2 n 2 1 n
6．已知数列{a
n
}的前n项和S
n
＝3n＋1，则 ⇒a
n
＝________．
解析：当n＝1时，a＝S＝3＋1＝4；
1 1当n≥2时，a＝S－S ＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.
n n n－1
当n＝1时，2×31－1＝2≠a，
1
所以a＝
n
答案：
7．数列{a}中，a＝2，且a ＝a－1，则a 的值为______．
n 1 n＋1 n 5
解析：由a ＝a－1，得a ＋2＝(a＋2)，所以数列{a＋2}是以4为首项，为公比的等
n＋1 n n＋1 n n
比数列，所以a＋2＝4×＝23－n，a＝23－n－2，所以a＝23－5－2＝－.
n n 5
答案：－
8．(2019·长春模拟)已知数列{a}满足a≠0，2a(1－a )－2a (1－a)＝a－a ＋a·a
n n n n＋1 n＋1 n n n＋1 n n
，且a＝，则数列{a}的通项公式a＝________．
＋1 1 n n
解析：因为a≠0，2a(1－a )－2a (1－a)＝a －a ＋a·a ，所以两边同除以
n n n＋1 n＋1 n n n＋1 n n＋1
a·a ，得－＝－＋1，整理，得－＝1，即{}是以3为首项，1为公差的等差数列，所以＝3＋
n n＋1
(n－1)×1＝n＋2，即a＝.
n
答案：
9．已知数列{a}中，a＝1，前n项和S＝a.
n 1 n n
(1)求a，a；
2 3
(2)求{a}的通项公式．
n
解：(1)由S＝a 得3(a＋a)＝4a，
2 2 1 2 2
解得a＝3a＝3.
2 1
由S＝a 得3(a＋a＋a)＝5a，
3 3 1 2 3 3
解得a＝(a＋a)＝6.
3 1 2
(2)由题设知a＝1.
1
当n≥2时，有a＝S－S ＝a－a ，
n n n－1 n n－1
整理得a＝a .
n n－1
于是
a＝1，
1
a＝a，
2 1
a＝a，
3 2
…
a ＝a ，a＝a .
n－1 n－2 n n－1
将以上n个等式两端分别相乘，整理得a＝.
n
显然，当n＝1时也满足上式．
综上可知，{a}的通项公式a＝.
n n
10．设数列{a}的前n项和为S.已知a＝a(a≠3)，a ＝S＋3n，n∈N*.
n n 1 n＋1 n
(1)设b＝S－3n，求数列{b}的通项公式；
n n n
(2)若a ≥a，n∈N*，求a的取值范围．
n＋1 n解：(1)依题意，S －S＝a ＝S＋3n，
n＋1 n n＋1 n
即S ＝2S＋3n，由此得S －3n＋1＝2(S－3n)，即b ＝2b，又b＝S－3＝a－3，
n＋1 n n＋1 n n＋1 n 1 1
所以数列{b}的通项公式为b＝(a－3)2n－1，n∈N*.
n n
(2)由(1)知S＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
n
于是，当n≥2时，
a＝S－S ＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
n n n－1
a －a＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，
n＋1 n
当n≥2时，a ≥a 12＋a－3≥0 a≥－9.
n＋1 n
又a＝a＋3＞a.综上，a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．
2 1 1 ⇒ ⇒
[综合题组练]
1．在各项均为正数的数列{a}中，对任意m，n∈N*，都有a ＝a ·a.若a＝64，则a 等
n m＋n m n 6 9
于( )
A．256 B．510
C．512 D．1 024
解析：选C.在各项均为正数的数列{a}中，对任意m，n∈N*，都有a ＝a ·a.所以a＝
n m＋n m n 6
a·a＝64，a＝8.所以a＝a·a＝64×8＝512.
3 3 3 9 6 3
2．若数列{a}的通项公式是a＝(－1)n(3n－2)，则a＋a＋…＋a 等于( )
n n 1 2 10
A．15 B．12
C．－12 D．－15
解析：选A.由题意知，a＋a＋…＋a ＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－
1 2 10
1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.
3．(创新型)若数列{a}满足 a·a·a·…·a ＝n2＋3n＋2，则数列{a}的通项公式为
n 1 2 3 n n
________．
解析：a·a·a·…·a＝(n＋1)(n＋2)，
1 2 3 n
当n＝1时，a＝6；
1
当n≥2时，
故当n≥2时，a＝，
n
所以a＝
n
答案：a＝
n
4．(应用型)(2019·湖南永州模拟)已知数列{a}中，a＝a，a＝2－a，a －a＝2，若数列
n 1 2 n＋2 n
{a}单调递增，则实数a的取值范围为________．
n
解析：由a －a＝2可知数列{a}的奇数项、偶数项分别递增，若数列{a}单调递增，则
n＋2 n n n
必有a－a＝(2－a)－a＞0且a－a＝(2－a)－a＜a －a＝2，可得0＜a＜1，故实数a的取
2 1 2 1 n＋2 n
值范围为(0，1)．
答案：(0，1)
5．(应用型)设数列{a}的前n项和为S，数列{S}的前n项和为T，满足T＝2S－n2，
n n n n n nn∈N*.
(1)求a 的值；
1
(2)求数列{a}的通项公式．
n
解：(1)令n＝1，T＝2S－1，
1 1
因为T＝S＝a，所以a＝2a－1，所以a＝1.
1 1 1 1 1 1
(2)n≥2时，T ＝2S －(n－1)2，
n－1 n－1
则S＝T－T ＝2S－n2－[2S －(n－1)2]
n n n－1 n n－1
＝2(S－S )－2n＋1
n n－1
＝2a－2n＋1.
n
因为当n＝1时，a＝S＝1也满足上式，
1 1
所以S＝2a－2n＋1(n≥1)，
n n
当n≥2时，S ＝2a －2(n－1)＋1，
n－1 n－1
两式相减得a＝2a－2a －2，
n n n－1
所以a＝2a ＋2(n≥2)，
n n－1
所以a＋2＝2(a ＋2)，
n n－1
因为a＋2＝3≠0，
1
所以数列{a＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．
n
所以a＋2＝3×2n－1，
n
所以a＝3×2n－1－2，
n
当n＝1时也成立，
所以a＝3×2n－1－2.
n
6．(创新型)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a＞0，x∈R)，有且只有一个零点，数列{a}的
n
前n项和S＝f(n)(n∈N*)．
n
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)设c＝1－(n∈N*)，定义所有满足c ·c ＜0的正整数m的个数，称为这个数列{c}的
n m m＋1 n
变号数，求数列的变号数．
解：(1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a＝4.
又由a＞0得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4.
所以S＝n2－4n＋4.
n
当n＝1时，a＝S＝1－4＋4＝1；
1 1
当n≥2时，a＝S－S ＝2n－5.
n n n－1
所以a＝
n
(2)由题意得c＝
n
由c＝1－可知，当n≥5时，恒有c＞0.
n n
又c＝－3，c＝5，c＝－3，c＝－，c＝，c＝，
1 2 3 4 5 6
即c·c＜0，c·c＜0，c·c＜0.
1 2 2 3 4 5所以数列{c}的变号数为3.
n
