文档文本内容
[基础题组练]
1.如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是△ABC的BC
边的中点，AB，BC分别与y′轴，x′轴平行，则在原图中三条线段AB，
AD，AC中( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AC，最短的是AD
解析：选B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB<AD<AC.
2．如图所示，上面的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心
为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①⑤
解析：选D.圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；
当截面不过旋转轴时，
圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件；
故截面图形可能是①⑤.
3．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有
一条直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )
解析：选C.当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚 线，排除A，D；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线
PA形成的投影，应为虚线，故答案为C.
4．如图，一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图
为( )
解析：选D.由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的正三棱柱．故选D.
5．(2019·福建漳州调研)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为(
)
A. B．2
C．3 D．2
解析：选C.在棱长为2的正方体ABCDABC D 中，M为AD的中点，该几何体的直观图
1 1 1 1
如图中三棱锥DMB C.故通过计算可得DC＝DB＝BC＝2，DM＝MC＝，MB ＝3，故最长
1 1 1 1 1 1 1 1
棱的长度为3，故选C.
6.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直
角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个
面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为________．
解析：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角
三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三
角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯
形的面积之和为×2＝12.答案：12
7．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则
这个圆台的母线长为______cm.
解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.
在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm)．
所以AB＝＝13(cm)．
答案：13
8．已知正四棱锥VABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为2，则该棱锥的高为
________．
解析：如图，取正方形ABCD的中心O，连接VO，AO，则VO就是正
四棱锥VABCD的高．因为底面面积为16，所以AO＝2.
因为一条侧棱长为2，
所以VO＝＝＝6.
所以正四棱锥VABCD的高为6.
答案：6
9．如图所示的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视
图和侧视图如图所示(单位：cm)．
(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．
解：(1)如图．(2)所求多面体的体积V＝V －V
长方体 正三棱锥
＝4×4×6－×(×2×2)×2＝(cm3)．
10．已知正三棱锥VABC的正视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的直观图和侧视图．
(2)求出侧视图的面积．
解：(1)如图．
(2)侧视图中VA＝＝＝2.
则S ＝×2×2＝6.
△VBC
[综合题组练]
1．(创新型)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )A．圆弧 B．抛物线的一部分
C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分
解析：选D.根据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截
圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.
2．(创新型)某几何体的正视图和侧视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形OABC ，
1 1 1 1
如图(2)，其中OA＝6，OC ＝2，则该几何体的侧面积为( )
1 1 1 1
A．48 B．64
C．96 D．128
解析：选C.由题图(2)及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形 OABC，设
CB与y轴的交点为D，则易知CD＝2，OD＝2×2＝4，所以CO＝＝
6＝OA，所以俯视图是以6为边长的菱形，由三视图知几何体为一个
直四棱柱，其高为4，所以该几何体的侧面积为4×6×4＝96.故选C.
3.如图，在正方体ABCDABC D 中，点P是线段AC 上的动点，
1 1 1 1 1 1
则三棱锥PBCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选D.正视图，底面B，C，D三点，其中D与C重合，随着点 P
的变化，其正视图均是三角形且点P在正视图中的位置在边BC 上移动，由此可知，设正方
1 1
体的棱长为a，则S ＝×a2；设AC 的中点为O，随着点P的移动，在俯视图中，易知当点
正视图 1 1
P在OC 上移动时，S 就是底面三角形BCD的面积，当点P在OA 上移动时，点P越靠近
1 俯视图 1A，俯视图的面积越大，当到达A 的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S
1 1 俯视图
＝a2，所以的最大值为＝2，故选D.
4．(应用型)已知正方体ABCDABC D 的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两
1 1 1 1
点)，点N为线段CC 的中点，若平面AMN截正方体ABCDABC D 所得的截面为四边形，则
1 1 1 1 1
线段BM的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由题意，正方体ABCDABC D 的棱长为1，如图所示，当
1 1 1 1
点M为线段BC的中点时，截面为四边形AMND，当0＜BM≤时，截面
1
为四边形，当BM＞时，截面为五边形，故选B.
5．(2019·株洲模拟)已知直三棱柱ABCABC 的侧棱长为6，且底面
1 1 1
是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA，BB，CC ，分别
1 1 1
交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( )
A．2 B．3
C．2 D．4
解析：选C.如图，不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，则MB2＝h2＋4，
BQ2＝m2＋4，MQ2＝(h－m)2＋4，由MB2＝BQ2＋MQ2，得m2－hm＋2＝0.Δ
＝h2－8≥0即h2≥8，该直角三角形斜边MB＝≥2.故选C.
6．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的
代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官
员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形
围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的
所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1，则该半正多面体共有
________个面，其棱长为________．
解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，
且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26
个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为
x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.
答案：26 －1
