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[基础题组练]
1．圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是( )
A．4πS B．2πS C．πS D.πS
解析：选A.由πr2＝S得圆柱的底面半径是，故侧面展开图的边长为2π·＝2，所以圆柱的
侧面积是4πS，故选A.
2．(2019·武汉调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视
图，则此几何体的体积为( )
A. B.
C. D．3
解析：选D.如图，三棱锥PABC为三视图所对应几何体的直观图，
由三视图可知，S ＝×2×3＝3，点P到平面ABC的距离h＝3，则V ＝S ·h＝
△ABC PABC △ABC
×3×3＝3，故选D.
3．(2019·昆明调研)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大
米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看
成一个简单的组合体)的体积为( )
A．63π B．72π
C．79π D．99π
解析：选A.由三视图得，凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体，其中半球的半径为
3，体积为×π×33＝18π，圆柱的底面半径为3，高为5，体积为π×32×5＝45π.所以凿去部分
的体积为18π＋45π＝63π.故选A.4．(2019·唐山市摸底考试)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆
弧)，则该几何体的表面积为( )
A．1－ B．3＋
C．2＋ D．4
解析：选D.由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的圆柱后得到
的，如图所示，所以表面积S＝2×(1×1－×π×12)＋2×(1×1)＋×2π×1×1＝4.故选D.
5．(2019·福州模拟)已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在
同一个球面上，则这个球的体积等于( )
A.π B.π
C．16π D．32π
解析：选B.设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以
所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π，故选B.
6．(2019·沈阳质量监测)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是________．
解析：由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥PABCD，
如图所示，其中PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝2，AB
＝2，PB＝2，所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和，即S
＝2×＝4＋4.
答案：4＋4
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的
三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6，高为14的圆柱，所
以该几何体的体积V＝×32×π×14＝63π.
答案：63π
8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的x的值是
________．
解析：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，则体积V＝
××2×x＝3，解得x＝3.
答案：3
9．已知一个几何体的三视图如图所示．
(1)求此几何体的表面积；
(2)如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，
从P到Q点的最短路径的长．
解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的
侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S ＝(2πa)·(a)＝πa2，
圆锥侧
S ＝(2πa)·(2a)＝4πa2，
圆柱侧S ＝πa2，
圆柱底
所以S ＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2.
表
(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图．
则PQ＝＝＝a，
所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.
10．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．
解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.
故AC⊥平面BED.
又AC 平面AEC，
所以平面AEC⊥平面BED.
⊂
(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.
因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.
由已知得，三棱锥EACD的体积V ＝×·AC·GD·BE＝x3＝，故x＝2.
三棱锥EACD
从而可得AE＝EC＝ED＝.
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.
故三棱锥EACD的侧面积为3＋2.
[综合题组练]
1．(2019·福州市质量检测)如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以为半径作一个
球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( )
A. B.π
C. D.
解析：选C.正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面
截得的弧长是以A 为圆心，1为半径的圆周长的，所以所有弧长之和为3×＝.故选C.
12．三棱柱ABCABC 的底面是边长为的正三角形，侧棱AA⊥底面ABC，若球O与三棱
1 1 1 1
柱ABCABC 各侧面、底面均相切，则侧棱AA 的长为( )
1 1 1 1
A. B.
C．1 D.
解析：选C.因为球O与直三棱柱的侧面、底面均相切，所以侧棱AA 的长等于球的直径，
1
设球的半径为R，则球心在底面上的射影是底面正三角形ABC的中
心，如图所示．因为AC＝，所以AD＝AC＝.因为tan ＝，所以球的半
径R＝MD＝ADtan ＝×＝，所以AA＝2R＝2×＝1.
1
3．(2018·高考全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的
球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为( )
A．12 B．18
C．24 D．54
解析：选B.如图，E是AC中点，M是△ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因
为S ＝AB2＝9，所以AB＝6，BM＝BE＝＝2.易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，
△ABC
OM＝＝2，所以当D，O，M三点共线且DM＝OD＋OM时，三棱锥DABC的体积取得最大值，
且最大值V ＝S ×(4＋OM)＝×9×6＝18.故选B.
max △ABC
4．(应用型)如图，正方体ABCDABC D 的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC 上的
1 1 1 1 1
动点，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面为S，当CQ＝1时，S的面积为________．
解析：当CQ＝1时，Q与C 重合．如图，取AD，AD的中点分别
1 1 1
为F，G.连接AF，AP，PC ，C F，PG，DG，AC ，PF.
1 1 1 1
因为F为AD 的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，
1 1所以AF＝FC ＝AP＝PC ＝，PG綊CD，AF綊DG.
1 1 1
由题意易知CD綊C D，
1 1
所以PG綊C D，所以四边形C DGP为平行四边形，
1 1 1 1
所以PC 綊DG，所以PC 綊AF，
1 1 1
所以A，P，C ，F四点共面，
1
所以四边形APCF为菱形．
1
因为AC ＝，PF＝，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面S为菱形APCF，
1 1
所以其面积为AC ·PF＝××＝.
1
答案：
5．(创新型)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角
为45°.若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．
解析：如图所示，设 S 在底面的射影为 S′，连接 AS′，SS′.△SAB 的面积
为·SA·SB·sin∠ASB＝·SA2·＝·SA2＝5，所以SA2＝80，SA＝4.因为SA与底面所成的角为
45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos 45°＝4×＝2.所以底面周长l＝2π·AS′＝4π，所以圆锥
的侧面积为×4×4π＝40π.
答案：40π
6．(2019·泉州模拟)在三棱锥ABCD中，AC＝CD＝，AB＝AD＝BD＝BC＝1，若三棱锥的
所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是________．
解析：由已知可得，BC⊥AB，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD，
设三棱锥外接球的球心为O，正三角形ABD的中心为 O，
1
则OO ⊥平面ABD，
1
连接OB，OO ，OC，
1 1
在直角梯形OBCO中，有OB＝，BC＝1，OC＝OB＝R，
1 1
可得：R2＝，
故所求球的表面积为4πR2＝π.
答案：π
