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中考数学几何专项练习：
相似模型--一线三等角及“K”模型
一、单选题
1．如图， 为等边三角形，点 ， 分别在边 ， 上， ，若 ， ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．矩形 中， ， ，点P是 上的动点，当 时， 的长是（ ）．
A．1 B．3 C．1或3 D．1或4
3．如图，在 中， ， ，点D是 边上的一个动点，点E在 上，点D在运动过
程中始终保持 ．当 时，则 的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．如图，在矩形 中， ，将点 折叠到 边上点 处，折痕为 ，连接 ， ，若点
是 中点，则 长为（ ）
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A． B． C． D．
5．如图，在等边 中，点 分别在边 上， ，若 ，则 的长度
为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
6．如图，在边长为 的菱形 中， ，将菱形沿 翻折，使点A的对应点G落在对角
线 上．若 ，则 的长为 cm， 的长为 cm．
7．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若
AP⊥DP，则BP的长为 ．
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8．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD :
DE=2 : 3，则CF= ．
9．如图，点D是等边 边 上一点，将等边 折叠，使点A与点D重合，折痕为 （点E在边
上）．（1）当 时， ；（2）当 时， ．
10．如图，已知 是等边三角形， ，点D，E，F分别在 上， ， 同
时平分 和 ，则 ，BD的长是 ．
11．如图，将菱形 绕点 逆时针旋转到菱形 的位置，使点 落在 上， 与 交于点
，若 ， ，则 的长为 ．
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12．在等边 中， 为 上一点， 为 上一点，且 ， ， ，则 的
边长为 ．
13．如图，等边 中， 、 分别在边 ， 上， ， ， 沿直线 折叠，
使点 落在 边上的 处，则 ．
14．如图，在 中， ，点E是边 上一点，连接 ，过点E作
，交 于点F，且 ，则 度， 的长为 ．
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15．如图，在等边 中，将 沿 翻折，点 恰好落在 边的点 处，且 ，则
．
16．如图，矩形 中， ， ，E为 的中点，F为 上一点， ，且 ．
对角线 与 交于点G，则 的长为 ．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交
AC于点E，且cos∠α＝ ，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE
为直角三角形时，BD为8或 ；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序
号都填上）
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18．如图，等边 的边长为 ，点 是边 上一动点，将等边 沿过点 的直线折叠，该直线
与直线 交于点 ，使点 落在直线 上的点 处，且 折痕为 则 的长为 ．
19．如图，在矩形 中， ， ，分别以 、 所在直线为 轴和 轴，建立如图所示的
平面直角坐标系， 是边 上的一个动点（不与 、 重合），过 点的反比例函数 的图象
与 边交于点 ，将 沿 对折后， 点恰好落在 上的点 处，则 的值为 ．
20．将边长为15的等边三角形纸片 进行折叠，使点A落在对边 上的点D处，折痕 交 于点
E，交 于点F，且满足 ，则 的长为 ．
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三、解答题
21．课题学习：
【证明体验】
（1）如图1，在四边形 中，点P为 上一点， ，求证： ．
【思考探究】
（2）如图2，在四边形 中，点P为 上一点，当 时，上述结论是否依然成
立？说明理由．
【拓展延伸】
（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在 中， ， ，以点A为直角顶点作等腰 ．点D在 上，点E在
上，点F在 上，且 ，若 ，求 的长．
22．如图，在矩形 中， 为 边上一点，把 沿 翻折，使点 恰好落在 边上的点 处．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
(3)当点 是线段 的中点时，求证： ．
23．如图，在 中， ， ，点 为 边上一动点（不与点 、 重合），过点
作射线 交 于点 ，使 ；
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(1)求证： ；
(2)设 ， ，求 与 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
(3)当 为等腰三角形时，求 的长．(直接写出答案，不写解题过程)．
24．如图，在 中，点D、E分别在边 、 上，连接 、 ，且 ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，当点D在 上运动时（点D不与B、C重合），且 是等腰三角形，求此
时 的长．
25．如图，在 中， ， ，点 为 边上一动点（不与点 、 重合），过
点 作射线 交 于点 ，使 ．
(1)求证： ；
(2)当 为直角三角形时，求线段 长度．
26．如图，在 中， ， ，点 、 分别在线段 、 上运动，并保持
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(1)当 是等腰三角形时，求 的长；
(2)当 时，求 的长．
27．已知等边三角形 的边长为4．
(1)如图，在边 上有一个动点 ，在边 上有一个动点 ，满足 ，求证： ；
(2)如图，若点 在射线 上运动，点 在直线 上，满足 ，当 时，求 的长；
(3)在（2）的条件下，将点 绕点 逆时针旋转 到点 ，求 的面积．
28．已知：如图，在 中， ， ， ， 是斜边 上的一个动点， ，
交射线 于点 与 、 不重合）， 是边 上一点，且 ．设 、 两点的距离为 ，
的面积为 ．
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(1)若 时，求 的值．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
(3)当 与 相似时，求 的长度．
29．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D
与点E．
（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；
（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；
（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．
30．如图，点D是等边 边 上一点，将等边 折叠，使点A与点D重合，折㢃为 （点E在
边 上）．
(1)当点D为 的中点时， 的值为______．
(2)当点D为 的三等分点时， 的值为______．
31．如图所示，直线 与 轴相交于点 ，与y轴相交于点B，将 沿着y轴折叠，使
点A落在x轴上，点A的对应点为点C．
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(1)求点C的坐标；
(2)设点P为线段 上的一个动点，点P与点A、C不重合，连接 ，以点P为端点作射线 交 于点
M，使 ，
①求证： ；
②是否存在点P使 为直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
32．在矩形 中，点 在 上， ， ， ．
(1)如图1，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ，证明： 是等腰三角形；
(2)如图2，点 在矩形 的边 上（点 不与点 、 重合），连接 ，过点 作 ，交
于点 ，连接 ．求证： ；
(3)如图3，若 交 于点 ， ，其他条件不变，且 的面积是6，求 的长．
33．阅读下列材料：
如图1，点A、D、E在直线l上，且 ，
则： ，
又 ，
故 ．
像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．
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请根据以上阅读解决下列问题：
(1)如图2， 中， ， ，直线ED经过点C，过A作 于点D，过B作
于点E．求证： ．
(2)如图3，在 中，点D在 上， ， ， ， ，求点C到
边的距离．
(3)如图4，在平行四边形 中，E为边 上一点，F为边 上一点．若 ， ，
， ，求 的长．
34．如图，在 中， ， ，点 是 的中点，将含有 的三角板的锐角顶点
与点 重合，并绕着点 旋转，交边 于 、 两点，交 的延长线于点 ．
(1)如图1，求证：
(2)如图2，连接 ， ， ，求 的面积．
35．如图1，点P是线段 上与点A，点B不重合的任意一点，在 的同侧分别以A，P，B为顶点作
，其中∠1与∠3的一边分别是射线 和射线 ， 的两边不在直线 上，我们规定这
三个角互为等联角，点P为等联点，线段 为等联线．
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(1)如图2，在 个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1， 为端点在格点的已知线段．
请用三种不同连接格点的方法，作出以线段 为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，
保留作图痕迹；
(2)如图3，在 中， ，延长 至点B，使 ，作 的等联角 和
．将 沿 折叠，使点A落在点M处，得到 ，再延长 交 的延长线于E，连接
并延长交 的延长线于F，连接 ．
①确定 的形状，并说明理由；
②若 ，求等联线 和线段 的长（用含k的式子表示）．
36．如图，已知等腰 ， ， ，点P是 边上的动点（点P不与点B、C重合），作
．射线 交 边于点M．
(1)求证： ；
(2)若 为等腰三角形，求 的长；
(3)如图，延长 到点N，使得 ，当 时，求 的长．
37．【感知】
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如图①，在四边形 中，点P在边 上（不与A、B重合）， ．
易证： （不要求证明）．
【探究】
如图②，在四边形 中，点P在边 上（点P不与点A、B重合）， ．
(1)求证： ．
(2)若 ，则 的长为_____________．
【应用】
如图③，在 中， ．点P在边 上（点P不与点A、B重合），连结 ，作
与边 交于点E．
(3)当 时，求 的长．
(4)当 是等腰三角形时，直接写出 的长．
38．如图， 和 都是等腰直角三角形， ， 的顶点 与 的斜边
的中点重合．将 绕点 旋转，旋转过程中，线段 与线段 相交于点 ，射线 与线段
相交于点 ，与射线 相交于点 ．
(1)求证： ∽ ．
(2)当 ， ，求 的长．
(3)在（2）的条件下，求 的长．
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