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中考数学几何专项练习：动点路径线段最值问题
一、填空题
1．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B
逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是 ．
【答案】 ．
【分析】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．证明△ABF≌△KBE
（SAS），推出AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，用勾股定理求出EK即可解决
问题．
【详解】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．
∵BE＝BF，BK＝BA，
又∵∠EBF＝∠ABK＝60°，
∴∠ABF＝∠KBE，
∴△ABF≌△KBE（SAS），
∴AF＝EK，
根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝45°，
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∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵∠BAK＝60°，
∴∠EAK＝75°，
∵∠AEK＝90°，
∴∠AKE＝15°，
∵TA＝TK，
∴∠TAK＝∠AKT＝15°，
∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，
设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET= a，
在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，
∴a2+（2a+ a）2＝4，
∴a＝ ，
∴EK＝2a+ a＝ ，
∴AF的最小值为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线
段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，学会用转化
的思想思考问题．
2．如图，在一个 的网格中，点 都在格点上， ，点P是线段AB上的一个动点，
连接OP，将线段OA沿直线OP进行翻折，点A落在点C处，连接BC，以BC为斜边在直线BC的左侧（或下
方）构造等腰直角三角形 ，则点P从A运动到B的过程中，线段BC的长的最小值为 ，
线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点） ．
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【答案】 4
【分析】根据 仅当C在OB上时等号成立，由折叠性质可知OA=OC，从而求出BC的最小值；
再证明 ，而且相似比为 ：1，从而得出点D在以 为半径的圆弧 上运动，由
此画出图形即可得出格点的个数．
【详解】解：如图，连接OB，AD．
∵ ，
∴ ，
又∵ 仅当C在OB上时等号成立，
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∴BC的最小值 ，
又∵ ，
∴BC的最小值 ，
∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴如图：点D在以 为半径的圆弧 上运动，当点P与点A重合时，点D在 处，当点P与点B重
合时，点D在 处，
∴线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）4个．
故答案为： ，4．
【点睛】本题主要考查了对称变换和旋转相似，解题关键是通过旋转相似证明 ，从而
得出点D在以 为半径的圆弧 上运动，再根据画图得出结论．
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻
边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
【答案】 / /4.8
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【分析】设 ， 交于点 ，四边形PAQC是平行四边形，则 ，即求 的最小值即可，当
时， 取得最小值，即 最小，过点 作 于点 ，当 重合时， 最小，据此
即可求得 的最小值．
【详解】如图，设 ， 交于点 ，过点 作 于点 ，
四边形PAQC是平行四边形，
，
当 时， 取得最小值，即 最小，当 重合时， 最小，
∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
，
又
故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，相似三角形的性质与判定，求得 的长是解题的
关键．
4．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作
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平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段
最短得到点P的位置，再证明△CAB∽△CP′O利用对应线段的比得到OP的长度，继而得到PQ的长度．
【详解】∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝ ＝5，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴ ，
∴ ，
∴OP′＝ ，
∴则PQ的最小值为2OP′＝ ，
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故答案为： ．
【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂
线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，F为AC中点，D是线段AB上一动点，连接CD，将线段
CD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接EF，则点D在运动过程中，EF的最大值为 ，最小值
为 ．
【答案】
【分析】取BC的中点G，连接DG，依据△DCG≌△ECF（SAS），即可得出EF＝DG，再根据点D是线段AB上
一动点，利用勾股定理即可得到EF的最大值以及最小值．
【详解】解：如图所示，取BC的中点G，连接DG，
由旋转可得DC＝EC，∠DCE＝90°，
又∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，F为AC中点，
∴CG＝CF，∠DCG+∠ACD＝∠ECF+∠ACD＝90°，
∴∠DCG＝∠ECF，
∴△DCG≌△ECF（SAS），
∴EF＝DG，
①如图1所示，
当GD⊥AB时，DG最短，此时△BDG是等腰直角三角形，
∴DG＝BG×sin45°＝4× ＝2 ，
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即EF的最小值为2 ；
②当D与B重合时，DG＝BG＝4；
③如图2所示，
当D与A重合时，DG＝ ＝ ＞4，
即EF的最大值为 ．
故答案为： ，2 ．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及旋转的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三
角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
6．已知：如图，等腰直角 ， ， ，点D为 外一点， ，连接
CD， ， ，BC的长为 ．
【答案】
【分析】过 作 于 ，过 作 交 的延长线于 ，由 ， ，得到
，证出 ，推出 ，得到 ， ，设
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， ，根据勾股定理得到 ， ，
，于是得到 ．
【详解】解：过 作 于 ，过 作 交 的延长线于 ，
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
， ，
，
，
设 ， ，
在 中， ，即： ，
解得： ； （不合题意，舍去）．
， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，正确的作出辅
助线构造全等三角形是解题的关键．
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7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作
△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为 ．
【答案】
【分析】如图，连接EC，作AH⊥BC于H．首先证明EC⊥BC，推出EN⊥EC时，EN的值最小，解直角三角形
求出CH，DH即可解决问题；
【详解】解：如图，连接EC，作AH⊥BC于H．
∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED=∠ACD，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠DAE+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠DAE=90°，
∴EC⊥BC，
∴NE⊥EC时，EN的值最小，作AG⊥CE交CE的延长线于G．
在Rt△ABC中，∵BC=5，AB=3，
∴AC=4，
∵△ENC∽△△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴EC= ，
∴AH=CG= ，
∵NE∥AG，AN=NC，
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∴GE=EC= ，
∵∠HAG=∠DAE，
∴∠DAH=∠EAG，
∵∠AHD=∠G=90°，
∴△AHD∽△AGE，
∴ ，
∴ ，
∴DH= ，
∴CD=DH+CH= ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、勾股定理、垂线段最短、四点共圆等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考填空题中的压轴题．
8．如图，在 中， ， ， ，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点
F，使得 ，以EC、EF为邻边构造 ，连接EG，则EG的最小值为 ．
【答案】9 ．
【分析】连接FC，作DM//FC，得△DEM∽△FEO，△DMN∽△CON，进一步得出DM= ，EO= ，过C
作CH⊥AB于H，可求出CH= ，根据题意，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩
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形，故可得EN=CH= ，代入EO= 求出EO即可得到结论．
【详解】解：连接FC，交EG于点O，过点D作DM//FC，交EG于点M，如图所示，
∵
∴
∵DM//FC，
∴△DEM∽△FEO，
∴ ，
∵DM//FC，
∴△DMN∽△CON，
∴ ,
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴CO=FO，
∴
∴ ,
∴ ,
过点C作CH⊥AB于点H，
在Rt△CBH，∠B=60︒，BC=8，
∴CH=BCsin60︒=4 ，
根据题意得，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，
∴EN=CH=4 ，
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∴EO= ,
∴EG=2EO=9 ．
故答案为：9 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
9．如图，在矩形 中， ， ， ， 分别为 ， 边的中点．动点 从点 出发沿
向点 运动，同时，动点 从点 出发沿 向点 运动，连接 ，过点 作 于点 ，连接
．若点 的速度是点 的速度的2倍，在点 从点 运动至点 的过程中，线段 长度的最大值为
，线段 长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，由于 ，而PG=3，所以当
GQ最大时PQ最大，由题意可得当P、A重合时GQ最大，据此即可求出PQ的最大值；设EF与PQ交于点M，
连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，易证△FQM∽△EPM，则根据相似三角形的性质可得EM为定值
2，于是BM的长度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，于是当D、H、O
三点共线时，DH的长度最小，最小值为DO－OH，为此只需连接DO，求出DO的长即可，可过点O作ON⊥CD
于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，构建Rt△DON，利用勾股定理即可求出DO的长，进而可得答案．
【详解】解：连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，则PE=GF，PG=AD=3，
设FQ=t，则GF=PE=2t，GQ=3t，
在Rt△PGQ中，由勾股定理得： ，
∴当t最大即EP最大时，PQ最大，
由题意知：当点P、A重合时，EP最大，此时EP=2，则t=1，
∴PQ的最大值= ；
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设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，
∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，
∴ ，
∵EF=3，
∴FM=1，ME=2，
∴ ，
∵∠BHM=∠BEM=90°，
∴B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，
∴ ，
∴当D、H、O三点共线时，DH的长度最小，
连接DO，过点O作ON⊥CD于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，则OK=BK=1，
∴NO=2，CN=1，∴DN=3，
则在Rt△DON中， ，
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∴DH的最小值=DO－OH= ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆以及线段的最值等知识，
涉及的知识点多、综合性强、具有相当的难度，属于中考压轴题，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是
解题的关键．
10．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM
上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是 ．
【答案】 +2
【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共
线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半求出OE的长，两者相加即可得解．
【详解】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=4，BC=2，
∴OE=AE= AB=2，
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DE= = ，
∴OD的最大值为： +2，
故答案为 +2.
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角
形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键．
11．如图，点E，F分别在矩形 的边 上，连接 ，将 沿直线 翻折得到
．连接 ，当点F在线段 上运动时，则四边形 面
积的最小值是 ．
【答案】
【分析】连接 ，作 于点M，利用 得到 ，求出 ，再由
，当 的面积最小时， 的面积最小计算即可．
【详解】如图，连接 ，作 于点M，
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在 中，
，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
即：
，
， ，
∴当 的面积最小时， 的面积最小，
∵当 与 重合时，点H到直线 的距离最小，最小值为： ，
∴ 最小值为： ，
∴ 的面积最小值为：
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，利用分割法表示四边形的面积是解题的关键．
12．已知菱形 中， ， ，边 上有点 点 两动点，始终保持 ，连
接 取 中点 并连接 则 的最小值是 ．
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【答案】3
【分析】过D点作DH⊥BC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M，连接BM．由菱形性质和 可
证明 ，进而可得 ，由BM最小值为BH即可求解．
【详解】解：过D点作DH⊥BC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M，连接BM．
∵在菱形 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴当BM最小时FG最小，
根据点到直线的距离垂线段最短可知，BM的最小值等于BH，
∵在菱形 中， ，
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∴
又∵在Rt△CHD中， ，
∴ ，
∴ ，
∴AM的最小值为6，
∴ 的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了动点线段的最小值问题，涉及了菱形的性质、等腰三角形性质和判定、垂线段最短、
中位线定理等知识点；将“两动点”线段长通过中位线转化为“一定一动”线段长求解是解题关键．
13．如图，在四边形ABCD中， ， ， 且 ，点E是AB的中点，连接DE，当
DE取最大值时，AC的长为 ．
【答案】
【分析】如图1，连接CE，过点E作EF⊥ED，且EF=DE，连接CF、DF，根据等腰直角三角形的性质可得
CE=AE，CE⊥AB，根据角的和差关系可得∠AED=∠CEF，利用SAS可证明△AED≌△CEF，根据全等三角形的
性质可得AD=CF，根据三角形三边关系可得当C、D、F共线时DF最长，此时DE取最大值，如图2，过E作
EG⊥DF于G，根据等腰直角三角形的性质可得EG= DF=3，进而可求出CG的长，利用勾股定理可求出CE的
长，利用勾股定理即可得答案．
【详解】如图1，连接CE，过点E作EF⊥ED，且EF=DE，连接CF、DF，
∵ 且 ，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点E为AB中点，
∴CE=AE，CE⊥AB，
∵∠DCE+∠AED=90°，∠DCE+∠CEF=90°，
∴∠AED=∠CEF，
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在△AED和△CEF中， ，
∴△AED≌△CEF，
∴AD=CF，
∵在△CDF中，CD+CF＞DF，
∴当C、D、F共线时DF最长，此时DF=CD+CF=CD+AD=6，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴DF取最大值时，DE取最大值，
如图2，当C、D、F共线时，过E作EG⊥DF于G，
∵DF=6，△DEF是等腰直角三角形，
∴EG=DG= DF=3，
∴CG=DG-CD=3-2=1，
∴CE= = = ，
∴AC= = ．
故答案为：
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟
练掌握等腰三角形“三线合一”的性质及全等三角形的判定定理是解题关键．
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14．如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝12，AB＝15，D为直线AB上方一点，连接AD，BD，且∠ADB＝90°，
过D作直线BC的垂线，垂足为E，则线段BE的长度的最大值为 ．
【答案】12．
【分析】依题意得 ，所以 是直角三角形，又因为∠ADB＝90°，所以点A、D、C、B
在以AB为直径的圆上，依题意可知当 时，BE最大，据此求解即可．
【详解】解：在△ABC中，BC＝9，AC＝12，AB＝15，
，
，
，
∵∠ADB＝90°，
共圆
取 的中点 连接 ，过点 作 于点
如图，当 时， 最大，此时 ， ，
，
四边形 是矩形，
，
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，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了四点共圆，平行线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质等知识，判定四点共圆是解
题的关键．
15．如图，在 和 中， ，E为 的中点，
将 绕点O旋转，直线 ， 交于点F，连接 ，则 的最小值是
．
【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ，则 ，当 三点共线时， 最小，证明
，进而推出 ，进而得到 ，根据三角形中位线定理以及斜边上的中
线等于斜边的一半，求出 ，进而求出 的最小值．
【详解】解：取 的中点 ，连接 ，
则 ，
∴当 三点共线时， 最小，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的中点， 为 的中点，
∴ ，
∴ 的最小值为： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，中位线定理，斜边上的中线．熟练掌握相似三角形的判定方
法，证明三角形相似，是解题的关键．
16．如图，△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，点D在直线BC上运动，连接AD，在AD的右侧
作△ADE∽△ABC，点F为AC中点，连接EF，则EF的最小值为 ．
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【答案】
【分析】作射线CE，设AC交DE于点J，过点A作AH⊥BC于点H．利用相似三角形的判定和性质证明∠ACE
＝60°，推出点E的运动轨迹是射线CE，当EF⊥CE时，EF的值最小，此时EF＝CF•sin60°．
【详解】解：作射线CE，设AC交DE于点J，过点A作AH⊥BC于点H．
在Rt△ABH中，AH＝AB•sin60°＝ ，
∵∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝ ，AC＝ AH＝ ，
∴AF＝CF＝ ，
∵△ADE∽△ABC，
∴∠JCD＝∠AEJ，∠ABC＝∠ADE＝60°，
∵∠AJE＝∠DJC，
∴△AJE∽△DJC，
∴ ，
∴ ，
∵∠AJD＝∠EJC，
∴△AJD∽△EJC，
∴∠ADJ＝∠ACE＝60°，
∴点E的运动轨迹是射线CE，
∴当EF⊥CE时，EF的值最小，此时EF＝CF•sin60°＝ ．
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故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解
决问题，属于中考常考题型.
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC ，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直
角顶点与O重合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DH⊥OF于点H，连接AH.在转动的过程中，AH的最
小值为 ．
【答案】2 ﹣2
【分析】取OD的中点G，过G作GP⊥AD于P，连接HG，AG，依据∠ADB=30°，可得PG DG=1，依据
∠DHO=90°，可得点H在以OD为直径的⊙G上，再根据AH+HG≥AG，即可得到当点A，H，G三点共线，且
点H在线段AG上时，AH最短，根据勾股定理求得AG的长，即可得出AH的最小值．
【详解】如图，取OD的中点G，过G作GP⊥AD于P，连接HG，AG．
∵AB=4，BC=4 AD，∴BD 8，∴BD=2AB，DO=4，HG=2，∴∠ADB=30°，∴PG DG=1，
∴PD ，AP=3 ．
∵DH⊥OF，∴∠DHO=90°，∴点H在以OD为直径的⊙G上．
∵AH+HG≥AG，∴当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，此时，Rt△APG中，AG
，∴AH=AG﹣HG=2 2，即AH的最小值为2 2．
故答案为2 2．
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【点睛】本题考查了圆和矩形的性质，勾股定理的综合运用，解决问题的关键是根据∠DHO=90°，得出点
H在以OD为直径的⊙G上．
18．如图，点 在线段 上，等腰 的顶角 ，点 是矩形 的对角线 的中点，
连接 ，若 ， ，则 的最小值为为 ．
【答案】
【分析】过D作DG⊥AC于G，取FC中点H，连接MH，HB由等腰 的顶角 ，可得DG平分
∠ADC，AG=CG= ，可求∠GDC=60°，∠DCG=30°，在Rt△DGC中，由勾股定理DC2=DG2+GC2，即
4DG2=DG2+9，可求DG= ，CD=2 由M，H为中点，可得MH= ，根据两点之间线段最短，可得MB
MH+HB，MH为定值，HB最小时，MB最短，BH⊥CF，可求∠HCB=60°，CH= ，由勾
股定理BH= ，BH = ．
最小
【详解】解：过D作DG⊥AC于G，取FC中点H，连接MH，HB，
∵等腰 的顶角 ，
26 试卷第页，共3页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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∴DG平分∠ADC，AG=CG= ，
∴∠GDC=60°，∠DCG=90°-∠GDC=90°-60°=30°，
∴CD=2DG，
在Rt△DGC中，由勾股定理DC2=DG2+GC2，即4DG2=DG2+9，
∴DG= ，CD=2 ，
∵M，H为中点，
∴MH= ，
根据两点之间线段最短，则有MB MH+HB，MH为定值，
∴HB最小时，MB最短，
∴BH⊥CF，
∠HCB=180°-∠DCA-∠DCF=180°-30°-90°=60°，
CH= ，
BH= ，
BH = ，
最小
故答案为： ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，30°角直角三角形性质，三角形中位线，三角形三边关
系，掌握等腰三角形的性质，勾股定理，30°角直角三角形性质，三角形中位线，三角形三边关系是解题
关键．
19．如图，正方形 的边长为8，线段 绕着点 逆时针方向旋转，且 ，连接 ，以 为
边作正方形 ， 为 边的中点，当线段 的长最小时， ．
27 试卷第页，共3页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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【答案】
【分析】连接BD，BF，FD，证明△EBC∽△FBD，根据题意，知道M，F，D三点一线时，FM最小，然后过点
M作MG⊥BD，垂足为G，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分别求出MG和DG的长，再根据正切的定义
计算即可．
【详解】解：连接BD，BF，FD，如图，
∵ ，
∴ ，
∵∠FBD+∠DBE=45°，∠EBC+∠DBE=45°，
∴∠FBD=∠EBC，
∴△EBC∽△FBD，
∴∠FDB=∠ECB， ，
∴DF= ，
由题意知：FM、DF、DM三条线段满足FM+DF≥MD，其中DM、DF的值一定，
∴当M，F，D三点一线时，FM最小，
过点M作MN⊥BD，垂足为G，
28 试卷第页，共3页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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∵∠MBN=45°，BM= AB=4，
∴MN=BN=2 ，
∵MD= =4 ，
∴DG= =6 ，
∴ = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，手拉手相似模型，锐角三角函数，勾股定理，三角形面积，线段最值
模型，熟练构造相似模型，准确确定线段最小值的条件是解题的关键．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝ ，M为BC边中点，E为AD边上的一动点，过点A作BE的垂线，
垂足为F，连接FM，则FM的最小值为 ．在线段FM上取点G，使GM＝ FM，将线段GM绕点M顺时
针旋转60°得到NM，连接GN，CN，则CN的最小值为 ．
【答案】 2
【分析】如图，取AB的中点O，连接OF，OM，在MO上截取MR，使得MR= MO，将MR绕点M顺时针旋转
60°得到MT，连接RT，TN，CT，RG．求出TN，TC，根据CN≥TC-TN，可得结论．
【详解】解：如图，取AB的中点O，连接OF，OM，在MO上截取MR，使得MR= MO，将MR绕点M顺时针旋
转60°得到MT，连接RT，TN，CT，RG．
29 试卷第页，共3页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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∵MR= MO，MG= FM，
∴ ，
∴RG∥OF，
∴ ，
∴RG= ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBM=90°，
∵AB＝4，BC＝ ，M为BC边中点，O为AB边中点，
∵OB=2，BM=2 ，
∴OM= =4，
∵FM≥OM-OF，
∴FM≥4-2=2，
∴FM的最小值为2，
∵tan∠BMO= ，
∴∠BMO=30°，
∵∠RMT=60°，
∴∠BMT=∠TMC=90°，
∵MT=MR= OM=3，
∴CT= ，
∵∠RMT=∠GMN=60°，
30 试卷第页，共3页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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∴∠RMG=∠TMN，
在△RNG和△TMN中，
，
∴△RMG≌△TMN（SAS），
∴RG=TN= ，
∴CN≥CT-TN= ，
∴CN的最小值为 ．
故答案为：2， ．
【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助项，构造全等三角形解决问题，属于填空题
中的压轴题．
21．如图，在矩形 中， ， ，动点 从点 出发沿 运动，同时，点 从点 出发沿
运动．连接 ，过点 作 于点 ，连接 ，若点 的运动速度是点 的 倍，则在点
从点 运动到点 的过程个，线段 的最小值是 ．
【答案】
【分析】如图，延长 交 的延长线于 ，证明 ， ，可得 ，由
，可得 在以 为直径的圆上运动，而 ，设 的中点为 ，则
，过 作 ，由 ，则 在 上，可得 ，
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， ，当 ， ， 三点共线时， 最小，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长 交 的延长线于 ，
∵点 的运动速度是点 的 倍，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
，
又
在以 为直径的圆上运动，而 ，
设 的中点为 ，则 ，
过 作 ，由 ，则 在 上，
∴ ，
则 ， ，
，
当 ， ， 三点共线时， 最小，
∴ ．
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故答案为： ．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，证
明 在以 为直径的圆上运动是解本题的关键．
22．如图，在矩形 中， ．点E是 上的动点，点F是 的中点 相交于点
G，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图：分别以 所在直线建立直角坐标系，作 ,延长 交 于点
P；先通过判定 、 得到 、 ；设 ,
则 ，得到 ，即 ；说明点G在直线 上且 ， 的最
小值为点A到直线 的垂线段长度，最后根据两点间距离公式和二次函数的性质即可解答．
【详解】解：如图：分别以 所在直线建立直角坐标系，作 ,延长 交 于
点P
∵四边形 为矩形
33 试卷第页，共3页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴ ,
∴
又∵ 分别是 和 对应边上的高
∴
∴
设 ,则
∴ ，即
∵
∴
∴
∴ ，即
∴ ，即
34 试卷第页，共3页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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∵
∴点G在直线 上且
∴ 的最小值为点A到直线 的垂线段长度
∴
∵
∴
∴当 时， 有最小值 ，则 的最小值为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识点，通过三角形
的判定与性质得到点G在直线 上且 成为解答本题的关键．
23．如图，在边长为4的正方形 中，点 是边 上的动点（点 不与 ， 重合），连接 ，过
点 作 于点 ，点 是点 关于直线 的对称点，连接 ， ， .则当 取得最小值时，
的面积是 .
【答案】
【分析】先确定F点的位置，再求出G点到 的距离，最后求出G点到 的距离后即可求解．
【详解】解：∵点 是点 关于直线 的对称点，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴F点在以 为直径的圆上，如图所示，连接 ，
当C点、F点、O点三点共线时， 最小，
∴ 与 的交点即为当 取得最小值时F点的位置，
连接 与 的延长线交于点N，
由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过F点作 于P，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是直径，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∵点 是点 关于直线 的对称点，
∴ ，
∴ ，
设G点到 的距离为a，则到 的距离为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、轴对称、辅助圆等知识，解题关键是能利
用辅助圆确定动点的轨迹，能构造相似三角形，利用相似三角形的性质求线段的长．
24．已知在 中， ， ，点 ， 分别在直角边 和 上运动， ，
当点 到达点 时，点 停止运动，点 为 的中点，则 的最小值为 ．
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【答案】
【分析】取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，根据题意，当 在 上运动时，
在 上运动，当 时，取得最小值，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，取 的中点， ， 的中点 ，连接 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ , ，
根据题意可得，当 在 点时， 在 点，点 与点 重合，
当 在 点时， 在 点，点 与点 重合，
∴当 在 上运动时， 在 上运动，当 时，取得最小值，
在 中， ，
∴ ,
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故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形中位线的性质，确定 的运动轨迹是解题的关键．
25．如图，在边长为 的等边 中，动点 在 边上（与点 ， 均不重合），点 在边 上，且
， 与 相交于点 ，连接 当点 在 边上运动时， 的最小值为 ．
【答案】
【分析】作辅助线，建立全等三角形，证明 和 ，证明 ，
再作 的外接圆 ，即点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，计算 和 的长，计算其差可
得结论．
【详解】解：如图，过点 作 ，过点 作 ，
是等边三角形，
四边形 是菱形， ，
， ， ，
，
，
，
， ，
， ， ，
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，
，
，
，
如图，作 的外接圆 ，即点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
，
，
，
连接 ，交 于 ，交 于 ，此时 最小， 是 的垂直平分线，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的全等的性质和
判定，圆周角定理，垂径定理等知识，正确作辅助线证明 是解本题的关键．
26．在菱形 中， ，点P是对角线 上一动点，点Q是 边上一动点， 与 始
终相等，连结 ，交点为E，连结 ，则 的最小值是 ．
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【答案】
【分析】先证明 ，根据定长定角构造辅助圆，当 与 相切时， 最大，此时
最小，设半径 ，然后利用解直角三角形和相似三角形的性质列出关于 的方程，表示出
即可求出 的最小值．
【详解】解：∵在菱形 中， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P在对角线 上运动时， 的大小保持不变，
作 的外接圆，圆心为O，连接 、连接 交 于点F，
则 ， ，
当 与 相切时， 最大，此时 最小，
设 ，则菱形边长为 ， ，
∴在 中 ，
在 中 ，
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∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了几何最值问题，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，相似三
角形的判定和性质，难度较大，解题的关键是根据定长定角构造辅助圆，利用相似三角形的性质列出方程
求解．
27．如图，在菱形 中， ，对角线 ， 交于点 ，将点 绕点 顺时针旋转 得到点
，连接 ， ，当线段 的长度最小时， 的长为 ．
【答案】
【分析】如图，连接 延长 到T，使得 ，连接 ．构造三角形的中位线，求
出 最小时， 的位置，可得结论．
【详解】如图，连接 延长 到T，使得 ，连接 ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴
∴
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∵
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 的最小值为
∴ 与 在同一直线上，即D,C,T三点共线
∵
∴
∴当点T在 的延长线上时， 值最小，即 的值最小，如图2中，过点 作 于点J．
∴ ，
∴
∵
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，解直角三角形，勾股定理，旋转变换等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
28．如图，在正方形ABCD中，AB＝2 ，将线段CD绕点C顺时针旋转α至射线l，作点D关于射线l的
对称点M，连接BM交直线l于点N，当α＝ °时，线段AN取得最大值；线段AN的最大值为 ．
【答案】 45 4
【分析】通过证明∠BCD=∠BND=90°，可得点N在以BD为直径的圆上，可得AN最大值为直径BD=4，即此
时点N与点C重合，可求α的值．
【详解】解：连接BD，DN，CM
44 试卷第页，共3页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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∵四边形ABCD是正方形
∴BC＝CD＝2 ，∠BCD＝90°
∴
∵点D，点M关于射线l对称
∴CM＝CD，MN＝DN，且CN＝CN
∴△MCN≌△DCN（SSS）
∴∠CMB＝∠CDN
∵CD＝BC，CM＝CD
∴CM＝BC
∴∠CBM＝∠CMB
∴∠CBM＝∠CDN，且∠BOC＝∠DON
∴∠BCD＝∠BND＝90°
∴点N在以BD为直径的圆上，
∴AN最大值为直径BD
∴AN最大值为4，
即点N与点C重合，且∠MND＝90°
∴α＝45°
故答案为45，4
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，确定点N的轨迹是本题的关键．
29．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB
的最大值是 ．
45 试卷第页，共3页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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【答案】
【分析】取 中点 ，连接 ， ，可证四边形 是平行四边形，可得 ，由三角形中
位线定理可得 ，可得点 在 上，可证 ，则当点 与点 重合时，此时点 与点
重合， 有最大值，在直角三角形 中，由勾股定理可求 的长．
【详解】解：如图，取 中点 ，连接 ， ，设 与 的交点为 ，连接 ，
四边形 是矩形，
， ， ，
点 是 中点，点 是 中点，
，
四边形 是平行四边形，
，
点 是 的中点，点 是 的中点，
，
点 在 上，
，
， ，
，
，
，
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，
当点 与点 重合时，此时点 与点 重合， 有最大值，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理
等知识，确定点 的运动轨迹是本题的关键．
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣ x＋4的图象与x轴、y轴交于A、B点，点C在线
段OA上，点D在直线AB上，且CD＝2，△DEC是直角三角形（∠EDC＝90°），DE＝ DC，连接AE，则AE
的最大值为 ．
【答案】
【分析】以CD为边作等边三角形DCG，以G点为圆心，DG为半径作⊙G，利用圆周角定理说明点A在⊙G上，
得AG=DG=DC=2，再在△EHG中，求EG，当A、G、E三点共线时，AE最大，即可求解．
【详解】解：如图，以CD为边作等边三角形DCG，以G点为圆心，DG为半径作⊙G，
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在直线y＝ 中，当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x＝ ，
∴A点坐标为（ ，0），B点坐标为（0，4），
在Rt△AOB中，OA＝ ，OB＝4，
∴tan∠DAC＝ ，
∴∠DAC＝30°，
∴点A在⊙G上，
∴AG＝DG＝DC＝2，
∵DEC是直角三角形（∠EDC＝90°），DE＝ DC，
∴∠DEC＝30°，DE＝2 ，
在Rt△DGH中，∠HDH＝30°，
∴DE＝ ，GH＝1，
在Rt△EHG中，EG＝ ＝ ＝2 ，
当A、G、E三点共线时，AE最大，最大值为2 +2．
【点睛】本题考查了定边对定角模型的建立，圆周角定理，勾股定理，一次函数图象上点的特征，解题关
键是线段最值问题时看三角形，已知两边，第三边的最大值就是三点共线时．
31．平面直角坐标系 如图所示，以原点 为圆心，以2为半径的 中，弦 长为 ，点 是弦
48 试卷第页，共3页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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的中点，点 坐标为 ，连接 ，当弦 在 上滑动， 的最大值是 ；线段
扫过的面积为 ．
【答案】
【分析】由垂径定理，可知OC=1，即C是以O为圆心，1为半径的圆上的动点，所以当P、O、C三点共线
时，PC最大，PC扫过的图形就是四边形PMON和大扇形MON，据此计算即可．
【详解】解：连接OC、OB
∵C为AB的中点，
∴OC⊥AB
在Rt△OBC中，
，OB=2
∴OC=
即C是以O为圆心，1为半径的圆上的动点
∴当P、O、C三点共线时，PC最大
∴PC=PO+OC=
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如图，PC扫过的图形为阴影部分，设C点运动形成的以O为圆心，1为半径的圆与x轴交于N点，
则ON=1，
∵P（1， ）
∴PN⊥x轴，即PN是⊙O的切线，
过P点作⊙O的切线PM，交⊙O于M，连接OM，则OM⊥PM，
∴△PON≌△POM
在Rt△PON中，tan∠PON=
∴∠PON=75°
∴∠MON=150°
∴PC扫过的图形的面积：
．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆的面积、勾股定理、扇形的面积，明确当P、O、C三点共线时PC取得最
大值是解题的关键．
32．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G为BC中点，以BG为边在BC右侧作正方形BEFG，直线AG，CE
交于点P．现将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．
（1）当旋转30°时，CE＝ ；
（2）当正方形BEFG绕点B旋转一周时，点P经过的路径长为 ．
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【答案】
【分析】 延长CB,过点 作 ,根据正方形的性质以及旋转的性质，得出 ，得到
， ,运用勾股定理求得CE的长；
当正方形 旋转到点 、 、 在一条直线上时，点 到达最高点，连接 、 ，求出
；当正方形 旋转到点 、 、 在一条直线上时，点 到达最低点；连接 、 ，求出
，求得点 运动弧所对圆心角，利用弧长公式 求解；
【详解】（1）解：如图，延长CB过点 作 ,
， ，
，
∵AB＝4，点G为BC中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
在 中，
∴ ，
故答案为： ；
（2） 正方形 ，正方形 ，
，
，
，
，
，
，
同理可证，正方形 绕点B旋转过程中，存在 ，所以点 在以 为直径的圆上运动，，
，
，
，
如图：
当点 、 、 在同一直线上时，点 与点 重合，
，
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，
，
，
，
，
同理可得，当点 、 、 在同一直线上时， ，
所以点 路径对应的圆心角是 ，
；
故答案为： ．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质以及旋
转的性质的综合应用，解决问题的关键是画出图形，作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理进行计算求
解．解题时注意分类讨论思想的运用．
33．如图，在 中， ．若点 为平面上一个动点，且满足 ，
则线段 长度的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】
【分析】根据题意进行分类讨论，即当点D在AC右侧时，点D在 上运动；当点D在AC左侧时，点D在
上运动，再分别计算即可．
【详解】①如图，
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以AC为底边，在AC的右侧作等腰三角形AOC，使
则
以O为圆心，以CO长为半径画优弧 ，连接BO交 于点E
则当点D在AC右侧时，点D在 上运动
过点O作 于F
过点O作 于M
四边形MCFO为矩形
在 中，
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当点D于点E不重合时，
当点D于点E重合时，
当B、D、O三点共线时（此时，点D与E重合），BD有最小值为
②如图，
以AC为底边，在AC的左侧作等腰三角形A C，使
则
以 为圆心，以C 长为半径画优弧 ，连接B 并延长交 于点E
则当点D在AC左侧时，点D在 上运动
过点O作 于F
同①可求
在 中，
当点D于点E不重合时，
当点D于点E重合时，
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当B、D、O三点共线时（此时，点D与E重合），BD有最大值为
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了动点问题，涉及等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、矩形的判定等，熟练
掌握知识点是解题的关键．
34．在 中， ， ， ，点 是直线 上一点，连接 ，将线段
绕 逆时针旋转120°得到 ，点 、 分别是线段 、 中点，连接 ，则线段 的最小值为
．
【答案】
【分析】先利用已知条件求出AB的长，再通过图形判断当P在直线CD上运动是点N的轨迹是一条直线，
当MN垂直于NN时值最小，然后通过已知条件求值即可．
1 2
【详解】解：点P在直线CD上移动时，点N的轨迹是一条直线，当MN垂直于NN时值最小，
1 2
如图所示：
当P和C重合时N是CB的中点，当PA′和CD重合时，N是PA′的中点，
1 2
∵AC=CB=4，∠ACB=120°，
∴CD⊥AB，CD=2，AD=2 ，
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则AB=2AD=4 ，
∵M、N分别是AC、BC中点，
1
∴MN∥AB，MN=2 ，DE=1
1 1
∵PA′是PA绕点P逆时针旋转120°得到的，当PA′和CD重合时，
PA′=PA，∠APA′=120°，
∴∠APD=60°，
∴ ，
DP=AP•cos60°=4× =2，
∵N是PA′的中点，
2
∴PN=2，EN=2+2+1=5，
2 2
∵MN∥AB，CD⊥AB，
1
∴MN⊥CD，
1
在△MEN和△NEN中，
2 1 2
，
∴△MEN≌△NEN，
2 1 2
NM=NN，
2 2 1
在Rt△MNE中， ，
2
∴ ，
又∵ ，
即 ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查旋转的性质、中位线，三角形全等和垂线段最短等知识，关键是对知识的掌握和运
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用．
35．如图，正方形 中， ，O是 边的中点，点E是正方形内一动点， ，连接 ，将
线段 绕点D逆时针旋转 得 ，连接 、 ．则线段 长的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM ，可得
FM=OE=2，由勾股定理可得OM= ，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
【详解】如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵ ∠EDF= ∠ODM=90°，
∴ ∠EDO=∠FDM，
在△EDO与△FDM中，
∴ △EDO≌△FDM (SAS) ，
∴ FM=OE=2，
∵正方形ABCD中，
AB=4，O是BC边的中点，
∴ OC=2，
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∴
∴
∵OF+MF OM，
∴
∴线段OF长的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查线段长度最短的问题，考查三角形的三边关系、勾股定理．正方形的性质，灵活的使用
三角形的三边关系的不等式解决最值问题是难点也是常考点．
36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2 ，点P为AB边上的一个动点，连接PC，过
点P作PQ⊥PC交BC边于点Q，则BQ的最大值为 ．
【答案】2
【分析】过Q作QE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，利用相似三角形的性质根据一元二次方程，利用根的判
别式解决问题即可．
【详解】解：过Q作QE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2 ，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4 ，BC＝ AC＝6，
∵∠AFC＝90°，∠A＝60°，
∴∠ACF＝30°，
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∴AF＝ ，CF＝3，
设PF＝x，BQ＝y，
∴QE＝ BQ＝ y，BE＝ y，
∴PE＝3 ﹣ y﹣x，
∵PQ⊥PC，
∴∠PEQ＝∠CFP＝∠CPQ＝90°，
∴∠EQP+∠EPQ＝∠EPQ+∠CPF＝90°，
∴∠PQE＝∠CPF，
∴△PEQ∽△CFP，
∴ ，
∴
∴x2+（ y﹣3 ）x+ ＝0，
∵方程有实数解，
∴△≥0，
∴（ y﹣3 ）2﹣6y≥0，
整理得，y2﹣20y+36≥0，
解得y≤2或y≥18（舍弃），
∴BQ≤2，
∴BQ的最大值为2．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解
题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
37．如图，在 中， ，D是 边上任意一点，分别作点D关于 、 的对称点E、
F，以 、 为邻边作平行四边形 ，边 交 于点H，则 的最小值为
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【答案】
【分析】根据对称轴的性质推出C、B、E三点共线，设 ， ，证明平行四边形 是正
方形，进而推出 ，得到 ，进而用 的二次函数表示出 ，利用最值即可得到
答案．
【详解】解： 点D和点E关于 对称，
， ， ，
、B、E在同一条直线上，
设 ，
，
同理可得： ， ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形 是平行四边形，
平行四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
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，
，
，
，
，
当 时， 有最小值，最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，二次函数的最值，正方形的判定和性质，平行四边形的性质，相似三
角形的判定和性质等知识，解题关键是设线段长，建立二次函数关系式求最值
38．如图，在矩形 中， ，E是 上一个动点，连接 ，过点C作 的垂线l，过点D作
交l于点F，过点D作 于点G， ，点H是 中点，连接 ，则
的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】证明 ，得出 ，再证 ，求出 ，所以
，即 ，可得 ．作 的垂直平分线 ，交 的延
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长线于点T，连接 ，过点E作 于点Q，求出 ，所以 ．求
的最小值，即为求 的最小值，过点H作 于点J， 即为所求最小值．设
，根据勾股定理可得出 ，所以 ，由 ，可求得
的长度．
【详解】解：在矩形 中， ，
∴ ，
∵ 于点C，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
同理可证 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 于点G，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
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如图，作 的垂直平分线 ，交 的延长线于点T，连接 ，过点E作 于点Q，
∴ ，
∴ ，即 ．
∴ ．
∴ ，
∴求 的最小值，即为求 的最小值，
过点H作 于点J，HJ即为所求最小值．
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可知， ，
解得 ，
∴ ．
如图，连接 ， ，
∵点H是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ．
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故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积等相
关知识，根据题意作出辅助线，将所求目标转化为求垂线段的长度是解题关键．
39．如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，沿直线
翻折，点 的对应点 恰好落在对角线 上，点 的对应点为 ，点 为线段 上一动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点M作 于点N，作点E关于 的对称点G，连接 ．由勾股定理求出 的长，根
据锐角三角函数的知识可得 ，从而可得当G，M，N三点共线时 取得最小值，即
取得最小值，然后利用锐角三角函数和勾股定理可求出 的长．
【详解】解：如图，过点M作 于点N，作点E关于 的对称点G，连接 ，则 ．
由折叠的性质可知， ， ， ，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴当G，M，N三点共线时 取得最小值，即 取得最小值，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即 取得最小值是 ．
故答案为： ．
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【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，折叠的性质，轴对称的性质，以及勾股定理等知识，正
确作出辅助线是解答本题的关键．
40．如图，矩形 中， ， ，点 是 的中点，点 是 边上一动点．将 沿着
翻折，使得点 落在点 处，若点 是矩形内一动点，连接 、 、 ，则 的最
小值为 ．
【答案】 /
【分析】将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，连接 ，由等腰三角形 得出
，再由折叠得出点 的轨迹在点 为圆心， 为半径的圆周上，所以
的最小值为 ，即 的最小值为 ，经计算答出答案即可．
【详解】解：将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
连接 ，连接 ，
则 ， ， 共线， ，
，
，
点 是 的中点，
，
，
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，
由 折叠成 ，
，
点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，
，
两点间线段最短，
，
即
，
，
则 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短的应用，掌握图形的旋转及图形的折叠对称的性质，添加辅助线是
解题关键．
二、解答题
41．如图1，在 中， ， ， ，点D，E分别是 中点，连接
．在同一平面内，将 绕点A逆时针旋转，射线 相交于点P．
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(1)如图2，在旋转过程中， 的角度是否不变？若不变，请求出 的度数．
(2)如图2，当 时，求线段 的长．
(3)连接 ，当线段 取得最小值时，求线段 的值．
【答案】(1)不变，
(2)
(3) 或
【分析】（1）首先证明出 ，然后根据三角形内角和证明即可；
（2）连接 ．首先证明出 ，进而得到 ，然后证明出 和
，利用相似三角形的性质得到 ，然后利用勾股定理求出
，最后利用相似三角形的性质求解即可；
（3）根据题意分两种情况讨论，当E，P第一次重合时和当E，P第二次重合时，分别根据勾股定理和相似
三角形的性质求解即可．
【详解】（1）不变，理由如下：
∵点D，E分别为 中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）连接 ．
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∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ， ，点D，E分别是 中点，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
（3）①如备用图1，当E，P第一次重合时，
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在 运动的过程中， ， ，
∴当 最大时， 的值最小．
在 中， ，
∴ ，∴ ．
过点D作 于点F，由 ， 可得 ， ．
∴ ．
∴ ．
②如备用图2，当E，P第二次重合时，
与①同理， ，
可证 ，可得 ，
∴ ．
连接 ，则 ．
综上所述， 或 ．
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【点睛】此题考查了旋转综合题，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以
上知识点．
42．如图，在 和 中， ， ， ，点 为 中点，连接
．
（1）如图1所示，若点 正好在 边上，求证： ；
（2）如图2所示，点 在 边上，分别延长 ， ，相交于点 ，当 ， 时，求线
段 的长度；
（3）如图3所示，若 ， ，取 的中点 ，连接 ，在 绕点 逆时针旋转过
程中，求线段 的最大值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE=∠B，可得结论．
（2）如图2中．过点G作GH⊥BC于H．首先证明D，H共点，求出AC，AG，可得结论．
（3）如图3中，取DE的中点F，AC的中点G，连接AF，BG，NG．求出BG，GN可得结论．
【详解】（1）证明：如图1中，
，
，
， ，
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，
，
， ，
，
．
（2）解：如图2中．过点 作 于 ．
， ，
，
．
，
，
可以假设 ， ，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
与 重合，
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， ，
，
，
，
．
（3）解：如图3中，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ．
， ，
，
，
，
， ，
，
， ， ，
，
，
，
的最大值为 ．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形，全等三角形的
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判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建
方程解决问题．
43．在△ABC中，AC＝BC＝5，tanA＝ ，E分别是AB，AC边上的动点，作△ADE关于DE对称的图形
△A′DE．
(1)如图1，当点A′恰好与点C重合，求DE的长；
(2)如图2，当点A’落在BC的延长线上，且A’E⊥AB，求AD的长；
(3)如图3，若AE=CE，连接A’B，F是A’B的中点，连接CF，在D点的运动过程中，求线段CF长度的最
大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由轴对称的性质可得AE＝CE，∠AED＝90°，由锐角三角函数可求解；
（2）由锐角函数和勾股定理可求AB＝8，AF＝ ，A'F＝ ，即可求解；
（3）由三角形的中位线定理可得FO＝ A'E＝ ，则点F在以点O为圆心，OF为半径的圆上运动，即当点
F在CO的延长线上时，CF有最大值，由三角形中位线定理和勾股定理可求解．
【详解】（1）由题意可得：AE＝CE，∠AED＝90°，
∵AC＝5，
∴AE＝ ，
∵tanA＝ ＝ ，
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∴ ；
（2）如图，过点 作 于 ，延长 交 于点 ，
， ，
，
，
设 ， ，
，
∴
（负值舍去），
， ，
，
，
，
，
设 ， ，
则 ，
，
，
，
，
， ，
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由题意可得： ，
，
，
；
（3）如图，过点 作 于 ，取 的中点 ，连接 ， ，过点 作 于 ，
，
，
点 是 的中点，点 是 的中点，
，
点 在以点 为圆心， 为半径的圆上运动，
当点 在 的延长线上时， 有最大值，
，点 是 的中点，
， ，
，
又 ，
，
，
， ，
，
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在 中，由勾股定理可得： ，
的最大值为 ．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，轴对称的
性质等知识，确定点 的轨迹是解题的关键．
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