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中考数学几何专项练习：
相似模型--一线三等角及“K”模型
一、单选题
1．如图， 为等边三角形，点 ， 分别在边 ， 上， ，若 ， ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明 ，根据题意得出 ，进而即可求解．
【详解】解：∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∵
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是
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解题的关键．
2．矩形 中， ， ，点P是 上的动点，当 时， 的长是（ ）．
A．1 B．3 C．1或3 D．1或4
【答案】D
【分析】结合矩形的性质，证明 ，即可得 ，进而可得 ，问题随之得
解．
【详解】∵矩形 中， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理： ，
解得： ，或者 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用等知识，证明
是解答本题的关键．
3．如图，在 中， ， ，点D是 边上的一个动点，点E在 上，点D在运动过
程中始终保持 ．当 时，则 的长为（ ）
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A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】证明 ，得出 ，即 ，求出 ，得出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
4．如图，在矩形 中， ，将点 折叠到 边上点 处，折痕为 ，连接 ， ，若点
是 中点，则 长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依据矩形的性质以及折叠，即可得到 ， ， 的长；再根据 ，利用对应边
成比例即可得 的长．
【详解】解： 矩形 中， ，
，
又 是 的中点，
，
中， ，
由题可得， ，
，
，
，
，即 ，
解得 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了折叠问题、矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，翻折变
换 折叠问题 实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
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5．如图，在等边 中，点 分别在边 上， ，若 ，则 的长度
为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【详解】解： 为等边三角形，
．
．
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角
形的判定与性质．
二、填空题
6．如图，在边长为 的菱形 中， ，将菱形沿 翻折，使点A的对应点G落在对角
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线 上．若 ，则 的长为 cm， 的长为 cm．
【答案】 2 /
【分析】根据菱形的性质，折叠的性质，以及 ，可以得到 为等边三角形，根据三角形
内角和和平角的意义，得出 ，对应边成比例 ，设 ， ， ，
由比例式列出方程，再根据 ，解出 ，即可解答．
【详解】由折叠的性质可知 ， ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ， ，
∴ ，
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即 ，
又 ，
即 ，
解得 ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2； ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和，平角的意义，
相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据比例式列方程．
7．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若
AP⊥DP，则BP的长为 ．
【答案】1或2
【分析】设BP=x，则PC=3-x，根据平行线的性质可得∠B=90°，根据同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，
即可证明△CDP∽△BPA，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案．
【详解】设BP=x，则PC=3-x，
∵AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠B=180°-∠C=90°，
∴∠B=∠C，
∵AP⊥DP，
∴∠APB+∠DPC=90°，
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∵∠CDP+∠DPC=90°，
∴∠CDP=∠APB，
∴△CDP∽△BPA，
∴ ，
∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，
∴ ，
解得：x=1，x=2，
1 2
∴BP的长为1或2，
故答案为：1或2
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键．
8．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD :
DE=2 : 3，则CF= ．
【答案】2.4
【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，
∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 :
3，可得到 ，即 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，
∵∠B=60°，
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∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，
∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，
∴∠CDF=∠BED，
∴△BDE∽△CFD，
∴ ，即 ，
∵等边△ABC的边长为6 ，
∴ ，解得： ．
故答案为：2.4
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角
形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9．如图，点D是等边 边 上一点，将等边 折叠，使点A与点D重合，折痕为 （点E在边
上）．（1）当 时， ；（2）当 时， ．
【答案】
【分析】（1）由等边三角形的性质得到 ，由折叠的性质得到 ，
再由 推出 ，可得 ，由此即可得到答案；
（2），用 表示 和 ，然后证明 ，利用相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于
相似比，即可求出 ，然后用 表示 即可得到结果．
【详解】解：（1）∵三角形 是等边三角形，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
（2）
设 ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
由折叠的性质可得 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形与折叠问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形
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的判定与性质，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题关键．
10．如图，已知 是等边三角形， ，点D，E，F分别在 上， ， 同
时平分 和 ，则 ，BD的长是 ．
【答案】
【分析】根据 同时平分 和 得到 ， ，再由 ，证明
，由三角形全等性质 ， ，再根据已知条件 即可得到结论，
根据 和 是等边三角形，证明 ，设 ，利用三角形相似比构建方程
求解即可．
【详解】 同时平分 和 得到 ，
，
，
，
， ，
又 ，
故答案为：
是等边三角形，
，
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，
，
，
，
，
设 ， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质及等边三角形
的性质，利用方程思想并掌握相似三角形的相似比等与三角形对应边的比是解题的关键．
11．如图，将菱形 绕点 逆时针旋转到菱形 的位置，使点 落在 上， 与 交于点
，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】过C作 交 于F，根据菱形和旋转的性质求得 ， ，可
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得 和 的长，再由 求得 和 的比即可解答；
【详解】解：如图，过C作 交 于F，
是菱形，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，则 ，
∴ ，
由旋转性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识；掌握相似三角形的判定
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和性质是解题关键．
12．在等边 中， 为 上一点， 为 上一点，且 ， ， ，则 的
边长为 ．
【答案】
【分析】根据等边三角形的性质得 ， ，得 ，从而得出
与 相似，再根据相似三角形的性质即可得．
【详解】解： 是等边三角形，
， ，
，
，
，
， ，
；
，
， ，
，
，
的边长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理．综合利用题目
中条件证明出两个三角形相似是解题的关键．
13．如图，等边 中， 、 分别在边 ， 上， ， ， 沿直线 折叠，
使点 落在 边上的 处，则 ．
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【答案】
【分析】证明 ，由相似三角形的性质得出 ，设 ，则 ， ，
，得出 ，解得 ，可得出关于 的方程，解方程即可得出答案．
【详解】解： 是等边三角形，
， ，
沿直线 折叠，使点 落在 边上的 处，
， ， ，
，
，
，
，
，
设 ，则 ， ， ，
，
，
，
．
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，
解得 或 （不合题意，舍去）．
．
【点睛】本题考查了翻折的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三
角形的判定与性质及方程思想是解题的关键．
14．如图，在 中， ，点E是边 上一点，连接 ，过点E作
，交 于点F，且 ，则 度， 的长为 ．
【答案】
【分析】延长 至 使 ，连接 ，证明 即可求出 的长．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴
延长 至 使 ，连接 ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形
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∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解题的关键是根据一线三等角模型
构造辅助线．
15．如图，在等边 中，将 沿 翻折，点 恰好落在 边的点 处，且 ，则
．
【答案】
【分析】如图，作 ， ，垂足为 ， ，利用勾股定理和含 角的直角三角形的性质以及
等边三角形的性质得到相应的线段，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接 交 于点O，作 ， ，垂足为 ， ，如图，
设 ， ，
∵等边 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
同理可得 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了翻折变换、等边三角形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质以及相
似三角形的判定与性质，通过三角形相似求出相关线段是关键．
16．如图，矩形 中， ， ，E为 的中点，F为 上一点， ，且 ．
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对角线 与 交于点G，则 的长为 ．
【答案】
【分析】过点G作 于点H，先证明 ，得出 ，根据 ，得出 ，
，再证明 ，得出 ，证明 ，得出 ，联立求出得出
， ，最后在 中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：过点G作 于点H，
设 ，则 ，
∵E为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ， ，
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设 ，则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
整理得： ，
∴ ，解得： ，
∴ ，解得： ，
在 中，根据勾股定理可得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角
形的判定方法，以及相似三角形对应边成比例．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交
AC于点E，且cos∠α＝ ，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE
为直角三角形时，BD为8或 ；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序
号都填上）
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【答案】①②④
【分析】①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；②由BD＝6，则DC＝10，然后根据有两组对应
角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；④依据相
似三角形对应边成比例即可求得．
【详解】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACD，故①正确；
②作AG⊥BC于G，
∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝ ，
∴BG＝ABcosB，
∴BC＝2BG＝2ABcosB＝2×10× ＝16，
∵BD＝6，
∴DC＝10，
∴AB＝DC，
在△ABD与△DCE中 ，
∴△ABD≌△DCE（ASA），故②正确；
③当∠AED＝90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，
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∴∠ADC＝∠AED，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴∠ADE＝∠B＝α且cosα＝ ，AB＝10，BD＝8，
当∠CDE＝90°时，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∵∠B＝α且cosα＝ ，AB＝10，
∴cosB＝ ＝ ，
∴BD＝ ，故③错误；
④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC＝16，
设BD＝y，CE＝x，
∴ ，
∴ ，
整理得：y2−16y＋64＝64−10x，
即（y−8）2＝64−10x，
∴0＜x≤6.4，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角
形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形与全等三角形的判定和性质是解题的关键．
18．如图，等边 的边长为 ，点 是边 上一动点，将等边 沿过点 的直线折叠，该直线
与直线 交于点 ，使点 落在直线 上的点 处，且 折痕为 则 的长为 ．
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【答案】 或 ．
【分析】分情况讨论：方法一：当点 落在如图1所示的位置时，证明△BMD∽△CDN，得到
，根据 设 求出AN；方法二：当 在 的延长线上时，如图2，同
样方法求出AN.
【详解】方法一：当点 落在如图1所示的位置时，
是等边三角形，
，
，
得 ，
得 ，
，
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设
则 ，
，
，
，
解得
；
方法二：当 在 的延长线上时，如图2，
与 同理可得 .
得 .
，
，
设
则
，
，
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，
解得： ，
，
故答案为： 或 .
【点睛】此题考查等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，解题中注意题中的条件
“点 落在直线 上的点 处”故点A可在线段BC上，也可在延长线上，应分类讨论避免漏解.
19．如图，在矩形 中， ， ，分别以 、 所在直线为 轴和 轴，建立如图所示的
平面直角坐标系， 是边 上的一个动点（不与 、 重合），过 点的反比例函数 的图象
与 边交于点 ，将 沿 对折后， 点恰好落在 上的点 处，则 的值为 ．
【答案】
【分析】过点 作 轴于点 ，根据翻折的性质得到 ，进而证明 ，
再根据相似的性质得到 ，通过矩形EAOM的性质得到EM的长度，进而得到DB的长度，最后
在 中应用勾股定理即可求解．
【详解】如图，过点 作 轴于点 ，
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∵四边形AOBC为矩形，OA=3，OB=4，
∴BC=OA=3，AC=OB=4， ， ．
∴ ， ， ， ．
∵点F在边BC上，点E在边AC上，
∴ ， ．
又∵点E，F在反比例函数 的图象上，
∴ ， ．
∴ ， ．
∴ ， ．
∴ ， ．
∵ 沿EF对折后得到 ，
∴ ， ， ．
∴ ．
∵ 轴，
∴
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
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∵四边形AOBC是矩形，
∴ ．
又∵ 轴，
∴ ．
∴四边形EAOM是矩形，
∴ ．
在 中，满足 ，
即 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，坐标与长度之间的关系以及勾
股定理，作出合适的辅助线，熟练应用以上知识点是解题关键．
20．将边长为15的等边三角形纸片 进行折叠，使点A落在对边 上的点D处，折痕 交 于点
E，交 于点F，且满足 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】设 ，由等边三角形的性质得出 ， ，求出 ，
，由折叠的性质得： ， ， ，由三角形的外角性质得出
，证明 ，得出 ， ，由 得出方程，解
方程即可．
【详解】解：当点 在线段 上时，设 ，
是等边三角形，
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， ，
，
， ，
由折叠的性质得： ， ， ，
，
，
，
，即 ，
解得： ， ，
，
，
，
解得： ，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质等知
识；熟练掌握折叠变换和等边三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
三、解答题
21．课题学习：
【证明体验】
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（1）如图1，在四边形 中，点P为 上一点， ，求证： ．
【思考探究】
（2）如图2，在四边形 中，点P为 上一点，当 时，上述结论是否依然成
立？说明理由．
【拓展延伸】
（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在 中， ， ，以点A为直角顶点作等腰 ．点D在 上，点E在
上，点F在 上，且 ，若 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3）5；
【分析】（1）如图1，由 可得 ，即可证到 ，然后运
用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）如图2，由 可得 ，即可证到 ，然后运用相似三角
形的性质即可解决问题．
（3）证明 ，求出 ，再证 ，可求 ，进而解答即可．
【详解】解：（1）如图1，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）成立，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）∵ ， 等腰 ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，（负根舍去）
∴ ．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似的判定与性质，一元二次方程的解法，勾股定理的
应用，能够通过 角将问题转化为一线三等角是解题的关键．
22．如图，在矩形 中， 为 边上一点，把 沿 翻折，使点 恰好落在 边上的点 处．
(1)求证： ；
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(2)若 ， ，求 的长．
(3)当点 是线段 的中点时，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用同角的余角相等，先说明 ，再利用相似三角形的判定得结论；
（2）先利用勾股定理求出 ，再利用相似三角形的性质得方程，求解即可．
（3）由 ，可得 ，结合 为 的中点，可得 ，结合
，可得 ，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ．
∵ 沿 翻折得到 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
（2）∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ， ，
∵ 沿 翻折得到 ，
∴ ， ．
在 中， ．
设CE的长为x，则 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
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即 ．
∴ ，
即 ．
（3）∵ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，掌握“矩形的四个角都是
直角、矩形的对边相等”、“折叠前后的两个图形全等”、“两角对应相等的两个三角形相似”及“相似
三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键．
23．如图，在 中， ， ，点 为 边上一动点（不与点 、 重合），过点
作射线 交 于点 ，使 ；
(1)求证： ；
(2)设 ， ，求 与 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
(3)当 为等腰三角形时，求 的长．(直接写出答案，不写解题过程)．
【答案】(1)见解析
(2)
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(3)3或
【分析】（1）因为 ， ，得到 ，
，得到 ，即可得出 ；
（2）由（1）得到比例式 ，代入 变形得到 ；
（3） 为等腰三角形有三种情况， 、 、 分别利用相似三角形性质计算
即可求解．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图，当 时
∵ ，
∴ ，
∴ ．
如图，当 时，
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∵ ，
∴ 即点 与点 重合．
∵ 不与点 、 重合，舍去．
如图，当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，即 ，
∴ ．
综上所述， 的长为3或 ．
【点睛】本题考查相似三角形判定与性质、等腰三角形性质，重点要运用对应边成比例进行计算，第三问
关键在于能够对等腰三角形进行分类．
24．如图，在 中，点D、E分别在边 、 上，连接 、 ，且 ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，当点D在 上运动时（点D不与B、C重合），且 是等腰三角形，求此
时 的长．
【答案】(1)详见解析
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(2)当 是等腰三角形时， 的长为3或
【分析】(1)证明 即可．
(2)利用分类思想，分三种情况计算求解即可．
【详解】（1）
∵
∴
∵
∴
∴ ．
（2）
当 时
∴
∵
∴
∴
∴点D与B重合，不合题意舍去；
当 时，如图1，
∴
∵
∴
∴AD平分
∴AD垂直平分BC
∴ ；
当 时，如图2
∵ ，
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∴ ∽
∴
∴
∵
∴ ，
∵
∴
∴
综上所述，当 是等腰三角形时，BD的长为3或 ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25．如图，在 中， ， ，点 为 边上一动点（不与点 、 重合），过
点 作射线 交 于点 ，使 ．
(1)求证： ；
(2)当 为直角三角形时，求线段 长度．
【答案】(1)见解析
(2) 或
【分析】（1）由题意易得 ，则有 ，证明 ，进而问题可证；
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（2）当 为直角三角形时，则可分当 时和当 时进行分类讨论求解．
【详解】（1）证明：如图1，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由题意知，
①当 时，如图2，
由（1）知，
，
点 为 中点，
，
，
②当 时，如图3，
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由（1）知， ，
作 于点 ，
则 ， ，
，
，
，
，
．
的长是 或 ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
26．如图，在 中， ， ，点 、 分别在线段 、 上运动，并保持
(1)当 是等腰三角形时，求 的长；
(2)当 时，求 的长．
【答案】(1) 或2或1
(2)
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【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，得到啊 ， ， 是等
腰三角形分三种情况讨论：①当 时；②当 时；③当 时，根据等腰三角形的性质
和全等三角形的判定和性质分别求解，即可得到答案；
（2）取 的中点 ，连接 ，根据等腰直角三角形的性质，得到 ， ，进
而得到 ， ，再利用勾股定理，求出 ，然后证明 ，利用对应
边成比例，即可求出．
【详解】（1）解： 在 中， ， ，
，
由勾股定理得： ，
①如图1，当 时， 是等腰三角形，此时，点 、 分别与点 、 重合，
；
②如图2，当 时， 是等腰三角形，此时， ，
， ，
，即 是等腰三角形，
，
点 是 的中点，
；
③如图3，当 时， 是等腰三角形，
，且 ，
，
在 和 中，
，
，
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， ，
，
综上可知，当 是等腰三角形时， 的长为 或2或1；
（2）解：取 的中点 ，连接 ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
， ，
在 中， ，
由（1）③可知， ，
又 ，
，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的
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判定和性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质是解题关键．
27．已知等边三角形 的边长为4．
(1)如图，在边 上有一个动点 ，在边 上有一个动点 ，满足 ，求证： ；
(2)如图，若点 在射线 上运动，点 在直线 上，满足 ，当 时，求 的长；
(3)在（2）的条件下，将点 绕点 逆时针旋转 到点 ，求 的面积．
【答案】(1)见详解
(2)7
(3)
【分析】（1）先利用三角形的内角和得出 ，再用平角得出 ，进
而得出 ，即可得出结论；
（2）过点 作 于 ，构造出含 角的直角三角形，求出 的长度，再用勾股定理求出 ，
进而求出 的值，再判断出 ，得出比例式即可得出结论；
（3）先求出 的值，进而得出 的值，再构造出直角三角形求出 的长度，进而得出 的值，再
求出 的长度，最后用面积差即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ；
（2）如下图，过点 作 于 ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，边长为4，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，根据勾股定理得， ，
在 中， ，
根据勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如下图，
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由（2）知， ，
∵ ，
∴ ，
由旋转知， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
过点 作 于 ，
在 中， ，
根据勾股定理得， ，
过点 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得， ，
∴ ，
∴ ．
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【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识，
解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活运用．
28．已知：如图，在 中， ， ， ， 是斜边 上的一个动点， ，
交射线 于点 与 、 不重合）， 是边 上一点，且 ．设 、 两点的距离为 ，
的面积为 ．
(1)若 时，求 的值．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
(3)当 与 相似时，求 的长度．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据勾股定理得到 ，求得 ，
根据等腰三角形的判定定理得到 ，过 作 于 ，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）过 作 于 ，得到四边形 是矩形，根据矩形的性质得到 ，根据
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，求得 ，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）设 ，得到 ，当点 在线段 上时，当点 在 的延长线上时，根据相似三角
形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解： 在 中， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过 作 于 ，
，
， ，
，
，
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，
；
（2） ， ，
，
，
过 作 于 ，则四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
即 ；
（3）设 ，
由（1）知， ，
，如图1，
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，
，
，
，
，
，
当点 在线段 上时，
，
，
当 与 相似时，
有 或 ，
，
与 相似，
或 ，
或 ，
解得： 或 （不合题意舍去），
当点 在 的延长线上时，如图2， ，
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当 与 相似时，
有 ，
，
，
，
，
解得： ，
或 ．
【点睛】本题考查了相似形三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三
角形的面积公式，正确的理解题意是解题的关键．
29．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D
与点E．
（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；
（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；
（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．
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【答案】（1）∠BDP＝∠EPC，理由见解析；（2）8；（3）BD＝ ，BD的最大值为4．
【分析】（1）根据等边三角形的性质、三角形的外角性质解答；
（2）证明△BDP≌△CPE，根据全等三角形的性质得到BD＝CP，BP＝CE，结合图形计算，得到答案；
（3）证明△BDP∽△CPE，根据相似三角形的性质列式求出BP与BD的关系，根据二次函数的性质求出BD
的最大值．
【详解】解：（1）∠BDP＝∠EPC，
理由如下：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠DPE＝60°，
∴∠DPE＝∠B，
∵∠DPC是△BDP的外角，
∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，
∴∠EPC＝∠BDP；
（2）∵△PDE为正三角形，
∴PD＝PE，
在△BDP和△CPE中，
∴△BDP≌△CPE（AAS），
∴BD＝CP，BP＝CE，
∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；
（3）∵DE∥BC，△ABC为等边三角形，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE，
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∴BD＝CE，
∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，
∴△BDP∽△CPE，
∴ ，即
整理得，BD＝ ，
﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，
∴BD的最大值为4．
【点睛】此题主要考查等边三角形的性质、三角形的外角性质、全等三角形的判断与性质、相似三角形的
判断与性质以及二次函数的性质，灵活运用知识点进行逻辑证明是解题关键．
30．如图，点D是等边 边 上一点，将等边 折叠，使点A与点D重合，折㢃为 （点E在
边 上）．
(1)当点D为 的中点时， 的值为______．
(2)当点D为 的三等分点时， 的值为______．
【答案】(1)1
(2) 或
【分析】（1）连接 ，根据三线合一和折叠得到 ， ，进而得到
，再证明 是等边三角形即可得到 即可求出结果；
（2）分两种情况， 和 ，用k表示 和 ，然后利用相似三角形的性质：相
似三角形的周长比等于相似比，即可求出 ，然后用k表示 即可得到结果．
【详解】（1）解：连接 ，如下图所示，
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∵点D为 的中点， 为等边三角形，
∴ ， ， ，
∵将等边 折叠，使点A与点D重合，折痕为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ,
即 ；
（2）解：当点D为 的三等分点时，共有两种情况：
情况一：当 时，设 ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，由折叠可知，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，设 ，
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同上一种情况得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 .
【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，翻折变换，利用折叠得出等边三
角形是解第一问的关键，利用相似三角形的周长比等于相似比，再适当的用k表示边是解第二问的关键.
31．如图所示，直线 与 轴相交于点 ，与y轴相交于点B，将 沿着y轴折叠，使
点A落在x轴上，点A的对应点为点C．
(1)求点C的坐标；
(2)设点P为线段 上的一个动点，点P与点A、C不重合，连接 ，以点P为端点作射线 交 于点
M，使 ，
①求证： ；
②是否存在点P使 为直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①见解析；②存在，点 有两个 ，
【分析】（1）根据A与C关于y轴对称，据此即可确定C的坐标；
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（2）①根据点C与点A关于y轴对称，即可得到 ，则 ，再根据三角形的外角的性
质即可证得 ，从而证得两个三角形相似；
②首先求得B的坐标，当 时，则有 ，根据相似三角形的对应边的比相等，即
可求得 的长，求得P的坐标；
当 时，则 时， ，则此时点P与点O重合．则P的坐标可以求得．
【详解】（1）解： ，且点C与点A关于y轴对称，
；
（2）①证明： ，且 ， ，
，
又∵点C与点A关于y轴对称，且 ，
，
；
②解：存在．
由题意： ， ， ，
当 时，则有 ，
∴ ，即 ，
，即： ；
当 时，则 ，
，
，
，
，
过点B只有一条直线与 垂直，
∴此时点P与点O重合，即：符合条件的点 的坐标为： ．
∴使△PBM为直角三角形的点P有两个 ， ．
【点睛】本题是属于一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质、待定系数法、一次函数的应用等
知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题是解题关键．
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32．在矩形 中，点 在 上， ， ， ．
(1)如图1，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ，证明： 是等腰三角形；
(2)如图2，点 在矩形 的边 上（点 不与点 、 重合），连接 ，过点 作 ，交
于点 ，连接 ．求证： ；
(3)如图3，若 交 于点 ， ，其他条件不变，且 的面积是6，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先利用矩形性质得 ，再利用同角的余角相等得 ，根据已知边
的长度计算出 ，则由 证得 ，据此即可求解；
（2）利用两角对应相等证明 ；
（3）作辅助线，构建如图②一样的相似三角形，利用探究得 ，则 ，所以 ，
再利用 的面积是6，列式可得 ，两式结合可求得 的长，利用勾股定理求 ，从而
得出 的长．
【详解】（1）证明：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）证明：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图③，过F作 于G，则四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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在 中，由勾股定理得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，解题的关
键是熟练掌握相似三角形，全等三角形的判定和性质，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
33．阅读下列材料：
如图1，点A、D、E在直线l上，且 ，
则： ，
又 ，
故 ．
像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．
请根据以上阅读解决下列问题：
(1)如图2， 中， ， ，直线ED经过点C，过A作 于点D，过B作
于点E．求证： ．
(2)如图3，在 中，点D在 上， ， ， ， ，求点C到
边的距离．
(3)如图4，在平行四边形 中，E为边 上一点，F为边 上一点．若 ， ，
， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)15
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【分析】（1）由 可证 ，由 可证 ，进
一步可证 ；
（2）过点D作 于点F，过点C作 ，交 延长线于点E，由等腰三角形三线合一，得
，进一步证得 ，可证∴ ，于是 ，得解点C
到 的距离为 ；
（3）以点D为端点，作线段 ，交 延长线于点M，则 ，可证 ，于
是 ，得 ，从而求得 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ．
∴ ．
在 与 中，
，
∴ ；
（2）解：过点D作 于点F，过点C作 ，交 延长线于点E，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
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∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 与 中，
，
∴ ．
∴ ．
即点C到 的距离为 ；
（3）解：以点D为端点，作线段 ，交 延长线于点M，
则 ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线
构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键．
34．如图，在 中， ， ，点 是 的中点，将含有 的三角板的锐角顶点
与点 重合，并绕着点 旋转，交边 于 、 两点，交 的延长线于点 ．
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(1)如图1，求证：
(2)如图2，连接 ， ， ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)15
【分析】（1）证明 ，即可得到 ；
（2）如图，连接 ，过 作 于 ，设 ，则 ，
，证明 ， ，可得 ，可得 ，
，同理：由直角三角形斜边上的中线的性质可得： ，
，证明 ，可得 ，则 ，可得
， ，结合 ，可得 ，从而可
得答案．
【详解】（1）证明：∵ ， ，将含有 的三角板的锐角顶点与点 重合，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ．
（2）如图，连接 ，过 作 于 ，
∵ ， ， 为 中点，
∴ ， ， ，
设 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
同理：由直角三角形斜边上的中线的性质可得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，（负根舍去），
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查的等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，相似三
角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
35．如图1，点P是线段 上与点A，点B不重合的任意一点，在 的同侧分别以A，P，B为顶点作
，其中∠1与∠3的一边分别是射线 和射线 ， 的两边不在直线 上，我们规定这
三个角互为等联角，点P为等联点，线段 为等联线．
(1)如图2，在 个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1， 为端点在格点的已知线段．
请用三种不同连接格点的方法，作出以线段 为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，
保留作图痕迹；
(2)如图3，在 中， ，延长 至点B，使 ，作 的等联角 和
．将 沿 折叠，使点A落在点M处，得到 ，再延长 交 的延长线于E，连接
并延长交 的延长线于F，连接 ．
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①确定 的形状，并说明理由；
②若 ，求等联线 和线段 的长（用含k的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①等腰直角三角形，理由见解析；②等联线 ，线段
【分析】（1）根据新定义，画出等联角即可；
（2）① 是等腰直角三角形，过点C作 交 的延长线于N，由折叠得
，证明四边形 为正方形，进而证明
，得出 ，即可求解；
②过点F作 于Q， 交 的延长线于R，则 ．证明 ，得出
，在 中， ， ，进而证明四边形 为正方形，则
，由 ，得出 ，根据相似三角形的性质得出 ，根据
即可．
【详解】（1）解：作图如下：（方法不唯一）
（2）① 是等腰直角三角形．理由为：
如图，过点C作 交 的延长线于N．
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由折叠得 ，
∵ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
②如图，过点F作 于Q， 交 的延长线于R，
则 ，
∵ ，
∴ ，
由 是等腰直角三角形知： ，
∴ ，
∴ ，
而 ，
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∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为正方形， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
解得： ，
由①知： ，
∴ ，
答：等联线 ，线段 ．
【点睛】点评本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似
三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键．
36．如图，已知等腰 ， ， ，点P是 边上的动点（点P不与点B、C重合），作
．射线 交 边于点M．
(1)求证： ；
(2)若 为等腰三角形，求 的长；
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(3)如图，延长 到点N，使得 ，当 时，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 或
(3)
【分析】（1）先根据等边对等角证明 ，则 ，再根据三角形外角的性质证明
，即可证明 ；
（2）分当 时，则 ，当 时，则 ，当 时，则
，三种情况讨论求解即可；
（3）如图所示，过点A作 于E，过点P作 于G，过点N作 于H，设 ，
利用三线合一定理和勾股定理求出 ， ，证明 ，推出 ，
，证明 ，得到 ，则可设 ，根据三
线合一定理得到 ，证明 ，得到 ，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：当 时，则 ，
∵ ，
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∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （不合题意值舍去），
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ；
综上所述，当 为等腰三角形， 的长为 或
（3）解：如图所示，过点A作 于E，过点P作 于G，过点N作 于H，设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ；
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形外角的性质，
正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
37．【感知】
如图①，在四边形 中，点P在边 上（不与A、B重合）， ．
易证： （不要求证明）．
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【探究】
如图②，在四边形 中，点P在边 上（点P不与点A、B重合）， ．
(1)求证： ．
(2)若 ，则 的长为_____________．
【应用】
如图③，在 中， ．点P在边 上（点P不与点A、B重合），连结 ，作
与边 交于点E．
(3)当 时，求 的长．
(4)当 是等腰三角形时，直接写出 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3) 或 ；
(4) 或 ．
【分析】（1）利用三角形外角的性质，得到 ，即可求解；
（2）设 ，利用相似三角形的性质，求解即可；
（3）通过三角形外角的性质，得到 ，利用相似三角形的性质，求解即可；
（4）分两种情况， 、 ，分别求解即可．
【详解】（1）证明：由三角形外角的性质可得： ；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：设 ，
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由（1）得 ，则 ，即
解得 ，
（3）解：设 ，则
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即
化简可得： ，
解得 或
即 或
（4）解：由（3）可得，
∴ ，
则 为等腰三角形，有两种情况， 或
当 时
由（3）可得， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
，
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由 可得， ，即 ，
解得 ，
，
综上， 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，灵活运用分情况
讨论思想是解题的关键．
38．如图， 和 都是等腰直角三角形， ， 的顶点 与 的斜边
的中点重合．将 绕点 旋转，旋转过程中，线段 与线段 相交于点 ，射线 与线段
相交于点 ，与射线 相交于点 ．
(1)求证： ∽ ．
(2)当 ， ，求 的长．
(3)在（2）的条件下，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
(3)
【分析】 由 和 是两个等腰直角三角形，易得 ，然后利用三角形的
外角的性质，即可得 ，则可证得 ；
由相似三角形的性质可求 ，可求 ， ，即可求 的长；
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首先解 ，求出 的长，再证明 ，进而解决问题．
【详解】（1）证明： 和 是两个等腰直角三角形，
，
，
即 ，
，
，
，
（2）解： ，
，且 ， ，
，
，
，
， ，
；
（3）解：过点 作 于 ，
， ，
，
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，
在 中，由勾股定理得， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查相似形综合题、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，
解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
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