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中考数学几何专项练习：最值问题之隐圆
一、填空题
1．如图，四边形 中， ， ， ， ，点 是四边形
内的一个动点，满足 ，则 面积的最小值为．
【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于 ，
交 于 ，则 ，通过计算得出当 三点共线时， 有最小值，求出最小值即可．
【详解】解：如图，
取 的中点 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于 ，交
于 ，则 ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
1 试卷第页，共32页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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，
四边形 为等腰梯形，
，
， ， ，
，
点 在以点 为圆心，2为半径的圆上，
，
，
，
， ，
，
，
， ， ，
，
当 三点共线时， 有最小值 ，
面积的最小值为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点 位置的确定是解题关键．
2．如图，点A，B的坐标分别为 为坐标平面内一点， ，M为线段 的中点，
连接 ，当 取最大值时，点M的坐标为．
【答案】
2 试卷第页，共32页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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【分析】根据题意可知：点C在半径为 的⊙B上．在x轴上取OD=OA=6，连接CD，易证明OM是△ACD
的中位线，即得出OM= CD，即当OM最大时，CD最大，由D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上
时，OM最大，根据勾股定理求出BD的长，从而可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值．
【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点， ，
∴C在⊙B上，且半径为 ，
在x轴上取OD=OA=6，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM= CD，
∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=OD=6，∠BOD=90°，
∴BD= ，
∴CD= ，且C(2,8),
∴OM= CD ，即OM的最大值为 ，
∵M是AC的中点，则M（4,4），
故答案为：（4,4）．
【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识．确定OM为最大值时点C的位置是
解题关键，也是难点．
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3．如图，在矩形 中， ， ，点 、 分别是边 、 上的动点，且 ，点 是
的中点， 、 ，则四边形 面积的最小值为．
【答案】38
【分析】首先连接AC，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，三角形ACG面积取最小值，此时四边形AGCD
面积取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G点轨迹圆，该轨迹与BH交点即为所求最小值时的G点，利用
面积法求出BH、GH的长，代入三角形面积公式求解即可．
【详解】解：连接 ，过 作 于 ，
当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，
四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，
即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24．
连接BG，由G是EF中点，EF=4知，
BG=2，
故G在以 为圆心， 为半径的圆弧上，圆弧交 于 ，此时四边形AGCD面积取最小值，如图所示，
由勾股定理得：AC=10，
∵ AC·BH= AB·BC，
∴BH=4.8，
∴ ，
即四边形 面积的最小值= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的直
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线等于斜边的一半确定出 点的运动轨迹．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将
△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为．
【答案】 /
【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在
B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可．
【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，
可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD= ，
∴BF=BD－DF= ，
5 试卷第页，共32页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中
考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．
5．如图，已知 ，外心为 ， ， ，分别以 ， 为腰向形外作等腰直角三角形
与 ，连接 ， 交于点 ，则 的最小值是．
【答案】
【分析】由 与 是等腰直角三角形，得到 ， ，根据全等
三角形的性质得到 ，求得在以 为直径的圆上，由 的外心为 ， ，得到
，如图，当 时， 的值最小，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解： 与 是等腰直角三角形，
，
，
在 与 中，
，
≌ ，
，
，
，
在以 为直径的圆上，
的外心为 ， ，
，
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如图，当 时， 的值最小，
，
，
， ，
．
则 的最小值是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的
作出辅助线是解题的关键．
6．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段
EF的中点，连接BG、CG，则BG+ CG的最小值为 ．
【答案】5
【分析】因为DG＝ EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，从
而得出GI＝ CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值
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【详解】解：如图，
在Rt△DEF中，G是EF的中点，
∴DG＝ ，
∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
在CD上截取DI＝1，连接GI，
∴ ＝ ＝ ，
∴∠GDI＝∠CDG，
∴△GDI∽△CDG，
∴ ＝ ，
∴IG＝ ，
∴BG+ ＝BG+IG≥BI，
∴当B、G、I共线时，BG+ CG最小＝BI，
在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，
∴BI＝5，
故答案是：5．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点 的运动轨迹是解题的关键．
7．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝ ，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的
最小值是
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【答案】 /
【分析】作AH⊥BC于H，证明△ACH为等腰直角三角形，求得BC= +1，在BC上截取BO=AB=2，则△OAB
为等边三角形，以O为圆心，2为半径作⊙O，根据∠ADB=30°，可得点D在⊙O上运动，当DB经过圆心O
时，CD最小，其最小值为⊙O的直径减去BC的长．
【详解】解：如图，作AH⊥BC于H，
∵AB=2，AC= ，∠ABC=60°，
∴BH= AB=1，
∴AH= ，
CH= ，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
BC=CH+BH= +1，
在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，
以O为圆心，2为半径作⊙O，
∵∠ADB=30°，
∴点D在⊙O上运动，
当DB经过圆心O时，CD最小，
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最小值为4-（ +1）=3- ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定
理．解题的关键是得出点D在⊙O上运动．
8．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线
段DE长度的最小值为．
【答案】
【分析】先判断出四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ACD=∠ABD=30°，根据题意知点E在以FG为直径
的⊙P上，连接PD交⊙P于点E，此时DE长度取得最小值，证明∠APD=90°，利用含30度角的直角三角形
的性质求解即可．
【详解】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ACD=∠ABD=30°，
∴∠ADB=60°，
∵AD=2，
∴BD=2AD=4，
分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG，
∵E是AC的中点，
∴EF∥BC，EG∥CD，
∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，
∴∠AEF+∠AEG =∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG =90°，
∴点E在以FG为直径的⊙P上，如图：
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当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，
连接PA，
∵F、G分别是AB、AD的中点，
∴FG∥BD，FG= BD=2，
∴∠ADB=∠AGF=60°，
∵PA=PG，
∴△APG是等边三角形，
∴∠APG=60°，
∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°，
∴∠GPD=∠GDP=30°，
∴∠APD=90°，
∴PD= ，
∴DE长度的最小值为( ) ．
故答案为：( )．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角
形的性质，得到点E在以FG为直径的⊙P上是解题的关键．
9．如图，点 ， 的坐标分别为 ， ， 为坐标平面内一动点，且 ，点 为线段
的中点，连接 ，当 取最大值时，点 的纵坐标为．
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【答案】
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在AB的延长线上时，AC
最大，根据中点坐标公式可得结论．
【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
∴当C在AB的延长线上时，AC最大，
过点C作CD⊥x轴，
∵点 ， 的坐标分别为 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ．
∵CD⊥x轴，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
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∵ ，即 ，
解得： ，
∴C点的纵坐标为 ，
∵点 为线段 的中点，
∴点 的纵坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，动点线段最值问题，勾股定理等知识，确定AC为最大值时点C的
位置是解题的关键．
10．如图，正方形ABCD，边长为4，点P和点Q在正方形的边上运动，且PQ＝4，若点P从点B出发沿
B→C→D→A的路线向点A运动，到点A停止运动；点Q从点A出发，沿A→B→C→D的路线向点D运动，到
达点D停止运动．它们同时出发，且运动速度相同，则在运动过程中PQ的中点O所经过的路径长为．
【答案】
【详解】解：画出点O运动的轨迹，如图虚线部分，
则点P从B到A的运动过程中，PQ的中点O所经过的路线长等于 3π，
故答案为：3π．
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂
线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为．
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【答案】
【详解】解：∵AQ⊥CQ，
∴∠AQC＝90°，
∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长，
在Rt△ABC中，∵AB＝4，∠B＝30°，
∴AC AB＝2，
∴点Q的运动路径长为 π
12．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路
径长为．
【答案】
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
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∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是 ，如图所示：
连接OA、OC，作OD⊥AC于D，
则AD＝CD AC＝1，
∵ 所对的圆心角＝2∠APC＝240°，
∴劣弧AC所对的圆心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAD＝30°，
∵OD⊥AC，
∴OD AD ，OA＝2OD ，
∴ 的长为 π；
故答案为： π．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作
CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是 ．
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【答案】
【分析】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．证明OE＝ AC＝1，推出点E的在以O为
圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大．
【详解】解：如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．
∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，AC＝ AB＝2，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∵AO＝OC＝1，
∴OE＝ AC＝1，
∴点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，
∴当FT与⊙O相切时，CF的值最大，
∵直线CF，直线EF都是⊙O的切线，
∴FC＝FE，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，
∴∠CAE＝∠FCE，
∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，
∴∠FEC＝∠EAT，
∴∠CAE＝∠EAT＝30°，
∵CF＝FE，OC＝OE，
∴OF⊥EC，
∵AD⊥CE，
∵OF∥AD，
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∴∠COF＝∠CAD＝30°，
∴CF＝OC•tan30°＝ ，
∴CF的最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查直角三角形30°角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等知识，
解决本题的关键是发现点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大．
14．如图， 中， ， ， ， 是 内部的一个动点，且满足
，则线段 长的最小值为.
【答案】2：
【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出
OC即可解决问题．
【详解】∵∠PAB+∠PBA=90°
∴∠APB=90°
∴点P在以AB为直径的弧上（P在△ABC内）
设以AB为直径的圆心为点O，如图
接OC，交☉O于点P，此时的PC最短
∵AB=6，
∴OB=3
∵BC=4
∴
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∴PC=5-3=2
【点睛】此题考查了三角形与圆的综合题，重点是发现满足什么条件时PC有最小值.关于三点共线的最短
距离是中考偏好考的考点之一，此类问题借助图形进行理解，发现点O的位置是关键.
15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直
线折叠得到ΔEB' F，连接B' D，则B' D的最小值是．
【答案】 .
【分析】如图所示，点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B'、E共线时，B'D的值最小，根据
勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B'E=BE=2，即可求出B'D．
【详解】如图所示点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B'、E共线时，B'D的值最小，根据折
叠的性质，△EBF≌△EB'F，∴∠B=∠EB'F，EB'=EB．
∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB'=2．
∵AD=6，∴DE 2 ，∴B'D=2 2．
故答案为2 2．
【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；确定点B'在
何位置时，B'D的值最小是解决问题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形内部一动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的最小值
是．
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【答案】 ﹣4．
【分析】连接OC与圆O交于点P,先证明点P在以AB为直径的圆O上，再利用勾股定理求出OC即可.
【详解】
∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，
在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=5，OB=4，
∴OC= ，
∴PC=OC﹣OP= ﹣4．
∴PC最小值为 ﹣4．
故答案为 ﹣4．
【点睛】本题考查了点与圆的的位置关系、圆周角定理及最短路径等知识，会求圆外一点到圆的最大距离
和最小距离是解题的关键.
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二、解答题
17．如图，在正方形 中，点E在直线 右侧，且 ，以 为边作正方形 ，射线 与
边 交于点M，连接 、 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)若正方形 的边长为4，
①如图2，当G、C、M三点共线时，设 与 交于点N，求 的值；
②如图3，取 中点P，连接 ，求 长度的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)① ，②当P、B、F三点共线时，PF有最大值为
【分析】（1）对角线 是正方形 的对称轴，即可得 ；
（2）①当G、C、M三点共线时，根据 ， ， 进而即可求得
的值；
②连接 ，证明 ，求出相似比，求出 ，当P、B、F三点共线时，即可求出最
大值．
【详解】（1）如图1，
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∵对角线 是正方形 的对称轴，
∴ ；
（2）如图2，
①当G、C、M三点共线时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
②如图3，
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∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
在 中，
，
当P、B、F三点共线时，
PF有最大值： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
18．已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形 ， 为线段 上的动点，将 沿直线
对折，使 点落在 处．
(1)如图①，当 时，求点 的坐标；
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(2)如图②，连接 ，当 时．
①求点 的坐标；
②连接 ，求 与 重叠部分的面积；
(3)当点 在线段 （不包括端点）上运动时，请直接写出线段 的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ，②
(3)
【分析】（1）如图，连接 交 于 过 作 于 由对折可得：
证明 是等边三角形，可得
再利用三角函数可得答案；
（2）①利用平行线的性质证明 从而可得答案；②如图，连接 交 于 交
于 过 作 交 于 过 于 再分别求解 的坐标，利用函数解析
式与三角形的面积公式可得答案；
（3）如图，由对折可得 则 在以 为圆心， 为半径的 上运动，与 不重合，连接
AC，交 于 当 重合时， 取得最小值，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，连接 交 于 过 作 于
由对折可得：
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是等边三角形，
，
（2）①
而
②如图，连接 交 于 交 于 过 作 交 于 过 于
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由①得：
设 则
解得： （不符合题意的根舍去）
而
设 为 则
解得：
∴ 为
同理可得：AM为 OB为
解得： 即
所以 即
同理可得：
与 重叠部分的面积为：
（3）如图，由对折可得
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∴ 在以 为圆心， 为半径的 上运动，与 不重合，
连接AC，交 于
当 重合时， 取得最小值，
此时
所以 的取值范围为：
【点睛】本题考查的是正方形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，一次函数的几何应用，
圆的基本性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用一次函数的性质解决几何图形面积问题，利用圆的基本
性质求解线段长度的最小值是解本题的关键．
19．如图，抛物线 （a为常数， ）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C，且OB＝OC．
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(1)求a的值；
(2)点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当
∠PBA＝∠CBD时，求m的值；
(3)点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求得 , 点的坐标，进而根据 即可求得 的值；
（2）过点 作 轴于点 ，证明 是直角三角形，进而 ，根据相似的性质列出比
例式进而代入点 的坐标解方程即可；
（3）接 ，取 的中点 ，连接 ,根据题意，点 在以 为圆心，2为半径的圆上，则 在以 为
圆心， 为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得 的解析式为 ，根据
,设直线 的解析式为 ，将点 代入求得 ，进而设 ，根据 ，
进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可．
【详解】（1）
令 ，解得
令 ，
抛物线 （a为常数， ）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交
于点C，
抛物线与 轴的交点为
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解得
（2）如图，过点 作 轴于点 ，
是直角三角形，且
又
在抛物线 上，
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整理得
解得 （舍）
在第三象限，
（3）如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ,
是 的中位线
根据题意点 在以 为圆心，2为半径的圆上，
则 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
当 三点共线，且 在 的延长线上时， 最大，如图，
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即
设直线 的解析式为 ，代入点 ，
即
解得
直线 的解析式为
设直线 的解析式为
解得
则 的解析式为
设点 ，
，
解得 （舍去）
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【点睛】本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确的添
加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．问题发现：
（1）正方形ABCD和正方形AEFG如图①放置，AB＝4，AE＝2.5，则 ＝___________．
问题探究：
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在矩形的内部，∠BPC＝135°，求AP长的最小值．
问题拓展：
（3）如图③，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝
45°，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）AP的最小值为 ；（3）存在，BD的最大值为6 +6
【分析】（1）连接AC、AF、DG、CF，证△ADG∽△ACF，根据线段比例关系可求；
（2）以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以O为圆心BO为半径画圆，则P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣
弧BC上，连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，根据给出数据求值即可；
（3）以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，根据△DAB∽△CAE，得出BD= CE，以AB为斜
边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，根据C点的轨迹求出CE最大值，即求出BD最
大值．
【详解】解：（1）如图①，连接AC、AF、DG、CF，
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在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB=4，AE=2.5，
∴AC= AB，AF= AE，AG=AE=2.5，AD=AB=4，
∴ ，
又∵∠DAG=∠DAC-∠GAC=45°-∠GAC，∠CAF=∠GAF-∠GAC=45°-∠GAC，
∴∠DAG=∠CAF，
∴△DGA∽△CFA，
∴ ，
故答案为 ；
（2）如图②，以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，
以O为圆心BO为半径画圆，则∠BPC作为圆周角刚好是135°，
∴P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，
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连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，
作OE垂直AB延长线于点E，
∵△BOC为等腰直角三角形，BC=4，
∴OB=OC= BC= ×4=2 ，∠OBC=45°，
∴∠OBE=90°-∠OBC=90°-45°=45°，
又∵OE⊥AE，
∴△BEO为等腰直角三角形，
∴BE=OE= OB= ×2 =2，
又∵AB=3，
∴AE=AB+BE=3+2=5，
∴ ，
∵OP=OB=2 ，
∴AP=AO-OP= -2 ，
即AP的最小值为 -2 ；
（3）存在，如图3，以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，
则∠EAB=45°， ，
∵AC=AD，∠ACD=90°，
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∴DAC=45°， ，
∴ ，∠DAB=∠CAE=45°，
∴△DAB∽△CAE，
∴ ，
∴BD= CE，
∴当CE最大时，BD取最大值，
以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，
∵∠AOB=90°，∠ACB=45°，
∴点C在优弧AB上，
由图知当C在OE延长线C'位置时C'E有最大值，
此时C'E=OE+OC'，
∵AB=6，△AOB和△AEB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴四边形AOBE为正方形，
∴OE=AB=6，OC'=OA= AB=3 ，
∴CE的最大值为6+3 ，
∵BD= CE，
∴BD的最大值为 ×（6+3 ）=6 +6．
【点睛】本题主要考查了图形的变换，三角形相似，等腰直角三角形，正方形，圆周角，圆心角等知识点，
熟练掌握并灵活运用这些知识点是解题的关键．
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