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专题 04 立体几何
1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱
锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上
的高与底面正方形的边长的比值为
A． B． C． D．
2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．
若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为
A． B． C．1 D．
3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
4．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙
的面积为 ， ，则球 的表面积为
A． B． C． D．
5．【2020年高考天津】若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． B．
C． D．
6．【2020年高考北京】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为
A． B．
C． D．
7．【2020年高考浙江】某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是A． B． C．3 D．6
8．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n两
两相交”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面
的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平
面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所
在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为
A．20° B．40°
C．50° D．90°
10．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设有下列四个命题：p：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
1
p：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
2
p：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
3
p：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
4
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
① ② ③ ④
11．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体
积为_________．
12．【2020年高考浙江】已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆
锥的底面半径(单位：cm)是_______．
13．【2020年高考江苏】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面
正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲ cm.
14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD–ABC D 的棱长均为2，∠BAD=60°．以 为球心，
1 1 1 1
为半径的球面与侧面BCC B 的交线长为________．
1 1
15．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底面的内接
正三角形， 为 上一点，∠APC=90°．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)设DO= ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥P−ABC的体积.
16．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】如图，已知三棱柱ABC−ABC 的底面是正三角形，侧面BBC C是矩形，
1 1 1 1 1
M，N分别为BC，BC 的中点，P为AM上一点．过BC 和P的平面交AB于E，交AC于F．
1 1 1 1
(1)证明：AA//MN，且平面AAMN⊥平面EBC F；
1 1 1 1
(2)设O为△ABC 的中心，若AO=AB=6，AO//平面EBC F，且∠MPN= ，求四棱锥B−EBC F的体
1 1 1 1 1 1 1
积．
17．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在长方体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，
且 ， ．证明：(1)当 时， ；
(2)点 在平面 内．
18．【2020年高考江苏】在三棱柱ABC－ABC 中，AB⊥AC，BC⊥平面ABC，E，F分别是AC，BC的
1 1 1 1 1
中点．
(1)求证：EF∥平面ABC ；
1 1
(2)求证：平面ABC⊥平面ABB．
1 1
19．【2020年高考浙江】如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，
DC =2BC．
(Ⅰ)证明：EF⊥DB；
(Ⅱ)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．1．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考(三诊)数学】已知直线l和两个不同的
平面 ， ，则下列结论正确的是
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
2．【2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期第二次“战疫”线上测试数学】已知如图，点 ， ， ，
的
分别是正方体 中棱 ， ， ， 中点，则
A． ，且直线 ， 是相交直线B． ，且直线 ， 是异面直线
C． ，且直线 ， 是相交直线
D． ，且直线 ， 是异面直线
3．【河北省衡水中学2020届高三下学期第九次调研数学】如图，已知正三棱柱 的底面边
长为 ，高为 ，一质点自 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 点的最短路线的长为
A．12 B．13 C． D．15
4．【2020届广西河池市高三上学期期末考试数学】某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为
45°的扇形，则该几何体的表面积为
A． B．
C． D．5．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积
为
A． B． C．13 D．18
6．【安徽省马鞍山市第二中学2019-2020学年高三第二次阶段性素质测试数学】某几何体的三视图如何所
示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
7．【甘肃省武威市第十八中学2020届高三上学期期末考试数学】已知某几何体的三视图如图所示，则该
几何体的体积为A． B． C． D．
8．【山东省日照五莲县丶潍坊安丘市、潍坊诸城市、临沂兰山区2020届高三6月模拟数学试题】唐朝的
狩猎景象浮雕银杯如图1所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛
酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示.已知球
的半径为R，酒杯内壁表面积为 ,设酒杯上部分(圆柱)的体积为 ，下部分(半球)的体积为 ，
则
A．2 B． C．1 D．
9．【山东省日照五莲县丶潍坊安丘市、潍坊诸城市、临沂兰山区2020届高三6月模拟数学】如图，正方
体 的棱长为1，线段 上有两个动点E、F，且 ，则下列结论中正确的
是A．线段 上存在点E、F使得 B． 平面ABCD
C． 的面积与 的面积相等 D．三棱锥A-BEF的体积为定值
10．【2020届河南省郑州市高三第二次质量预测文科数学试题】在正方体ABCD-ABCD 中，三棱锥A-
1 1 1 1 1
的
BCD内切球 表面积为 ，则正方体外接球的体积为
1
A． B．36 C． D．
11．【山西省大同市第一中学2019-2020学年高三下学期3月月考数学】已知圆锥的底面圆心为 ，
为圆锥的两条母线，且 与圆锥底面所成的角为 ， ，则 与平面 所
成的角的正弦值为
A． B． C． D．
12．【安徽省马鞍山市第二中学2019-2020学年高三第二次阶段性素质测试数学】在正方体
的
中，E为棱 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．0
13．【广东省深圳市高级中学2020届高三下学期5月适应性考试数学】已知某圆锥的侧面展开图为如图所
示的扇形，且 ， .则该圆锥的体积为______.14．【2020届湖南省常德市高三上学期期末数学】某圆柱的高为2，体积为 ，其底面圆周均在同一个
球面上，则此球的表面积为__________．
15．【2020届河北省张家口市高三上学期期末教学质量监测数学】四面体 中，
则四面体 外接球的表面积为__________.
16．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考(三诊)数学】底面为正三角形且侧棱
垂直于底面的三棱柱内接于半径为 的球，则该棱柱体积的最大值为______.
17．【2020届福建省龙岩市高三上学期期末教学质量检查数学】如图，在边长为4正方体
中， 为 的中点， ，点 在正方体表面上移动，且满足
，则点 和满足条件的所有点 构成的图形的面积是______.
18．【河北省衡水中学2020届高三下学期第九次调研数学】已知四棱锥 的所有顶点都在同一球
面上，底面 是正方形且和球心 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于 ，则球 的体积等于___.
19．【山西省太原市第五中学2020届高三下学期6月月考数学】如图，在棱长为2的正方体
中， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，P是底面 内一动点．
若直线 与平面 不存在公共点，设直线 与直线 所成角为 ，则 的取值范围是
___________________．
20.【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级下学期一调考试文数试卷】如图，三棱柱ABC﹣ABC 的
1 1 1
所有棱长都是2，AA⊥面ABC，D，E分别是AC，CC 的中点．
1 1
(1)求证：AE⊥平面ABD；
1
(2)求三棱锥B﹣ABE的体积．
1
21．【江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期第三次月考数学】如图，在四棱锥
中，底面 的边长是 的正方形， ， ， 为 上的点，且
平面 .(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
22．【辽宁省锦州市黑山县黑山中学2020届高三6月模拟考试数学】如图所示长方形 ，
，现沿 ， 两道折痕进行折叠， 、 均与 垂直，
，成为如图所示立体图形
(1)若 ， ，求证平面 平面
(2)在(1)的条件下，设 ，请求出四面体 的体积
23.【四川省棠湖中学2020届高三下学期第三学月考试数学(文)试题】如图，在四棱锥 中，底
面 是边长为2的菱， 是 的中点．(I)证明： 平面 ；
(II)设 是线段 上的动点，当点 到平面 距离最大时，求三棱锥 的体积．
24．【四川省资阳市2019-2020学年高三上学期第二次诊断考试数学】如图，在四棱锥 中，底
面 为正方形， 底面 ， ， 为线段 的中点．
(1)若 为线段 上的动点，证明：平面 平面 ；
(2)若 为线段 ， ， 上的动点(不含 ， )， ，三棱锥 的体积是否存在
最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．
25．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】如图①，在等腰梯形 中， ，
， . ，交 于点 .将 沿线段 折起，使得点 在平面 内
的投影恰好是点 ，如图.(1)若点 为棱 上任意一点，证明：平面 平面 .
(2)在棱 上是否存在一点 ，使得三棱锥 的体积为 ？若存在，确定 点的位置；
若不存在，请说明理由.
26．[2020届湖南省高三上学期期末统测数学(文)]如图， 是正方形，点 在以 为直径的半圆弧
上( 不与 ， 重合)， 为线段 的中点，现将正方形 沿 折起，使得平面 平
面 .
(1)证明： 平面 .
(2)若 ，当三棱锥 的体积最大时，求 到平面 的距离.
27．【2020届广东省东莞市高三期末调研测试数学】如图甲，AD，BC是等腰梯形CDEF的两条高，
，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD，BC折叠成如图乙所示
的四棱锥P-ABCD(E，F重合，记为点P).
甲 乙
(1)求证： ；
(2)求点M到平面BDP距离h.
