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专题 04 立体几何
1．（2021·全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体
截去三棱锥 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.
【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，
所以其侧视图为 ，故选D．
2．（2021·全国高考真题（理））在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所
成的角为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】平移直线 至 ，将直线 与 所成的角转化为 与 所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接 ，因为 ∥ ，
所以 或其补角为直线 与 所成的角，
因为 平面 ，所以 ，又 ， ，
所以 平面 ，所以 ，
设正方体棱长为2，则 ，
，所以 .
故选D．
3．（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A． B．3C． D．
【答案】A
【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.
【详解】几何体为如图所示的四棱柱 ，其高为1，底面为等腰梯形 ，
该等腰梯形的上底为 ，下底为 ，腰长为1，故梯形的高为 ，
故 ，
故选：A.
4．（2021·北京高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）A． B．4C． D．2
【答案】A
【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.
【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥 ，
其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，
由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，
故其表面积为 ，
故选：A.
5．（2021·北京高考真题）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（ ）来判断降雨程度．其中小雨（
），中雨（ ），大雨（ ），暴雨（ ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】B
【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.
【详解】由题意，一个半径为 的圆面内的降雨充满一个底面半径为
，高为 的圆锥，
所以积水厚度 ，属于中雨.
故选：B.
6．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体 ，M，N分别是 ， 的中点，则（
）A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 相交，直线 平面
D．直线 与直线 异面，直线 平面
【答案】A
【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证 平面 ，即可得出结论.
【详解】
连 ，在正方体 中，
M是 的中点，所以 为 中点，
又N是 的中点，所以 ，
平面 平面 ，所以 平面 .
因为 不垂直 ，所以 不垂直
则 不垂直平面 ，所以选项B,D不正确；
在正方体 中， ，
平面 ，所以 ，
，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，
且直线 是异面直线，
所以选项B错误，选项A正确.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个
面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.
7．（2021·全国高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 则该圆锥的侧面积为
________.
【答案】
【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.
【详解】∵
∴
∴
∴ .故答案为： .
8．（2021·全国高考真题（文））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组
成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．
【答案】③④（答案不唯一）
【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.
【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，如图所示，长方体 中， ，
分别为棱 的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥 .
故答案为：③④.
【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关
系.
9．（2021·全国高考真题（文））如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，M为
的中点，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求四棱锥 的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）由 底面 可得 ，又 ，由线面垂直的判定定理可得平面 ，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面 平面 ；
（2）由（1）可知， ，由平面知识可知， ，由相似比可求出 ，再根据四
棱锥 的体积公式即可求出．
【详解】（1）因为 底面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 平面 ，
而 平面 ，
所以平面 平面 ．
（2）由（1）可知， 平面 ，所以 ，
从而 ，设 ， ，
则 ，即 ，解得 ，所以 ．
因为 底面 ，
故四棱锥 的体积为 ．
【点睛】本题第一问解题关键是找到平面 或平面 的垂线，结合题目条件 ，所以垂线
可以从 中产生，稍加分析即可判断出 平面 ，从而证出；第二问关键是底面矩形面积
的计算，利用第一问的结论结合平面几何知识可得出 ，从而求出矩形的另一个边长，从而
求得该四棱锥的体积．
10．（2021·浙江高考真题）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，
，M，N分别为 的中点， .（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）要证 ，可证 ，由题意可得， ，易证 ，从而
平面 ，即有 ，从而得证；
（2）取 中点 ，根据题意可知， 两两垂直，所以以点 为坐标原点，建立空间直角
坐标系，再分别求出向量 和平面 的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．
【详解】（1）在 中， ， ， ，由余弦定理可得 ，
所以 ， ．由题意 且 ， 平面 ，
而 平面 ，所以 ，又 ，所以 ．
（2）由 ， ，而 与 相交，所以 平面 ，因为 ，所
以 ，取 中点 ，连接 ，则 两两垂直，以点 为坐标原点，如图所示，
建立空间直角坐标系,则 ,
又 为 中点，所以 .
由（1）得 平面 ，所以平面 的一个法向量
从而直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【点睛】
本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明 ，可以考虑 ，
题中与 有垂直关系的直线较多，易证 平面 ，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由
第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．
11．（2021·全国高考真题（文））已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点， .（1）求三棱锥 的体积；
（2）已知D为棱 上的点，证明： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】(1)首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；
(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的
结论.
【详解】(1)如图所示，连结AF，
由题意可得： ，由于AB⊥BB，BC⊥AB， ，故 平面 ，
1
而 平面 ，故 ，
从而有 ，
从而 ，
则 ， 为等腰直角三角形，
， .
(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 ，如图所示，取棱 的
中点 ，连结 ，
正方形 中， 为中点，则 ，
又 ，
故 平面 ，而 平面 ，
从而 .
【点睛】
求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择
其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.
1．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，
若三棱锥 为鳖臑， 平面 ， ， ， ，若三棱锥
有一个内切球 ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由给定条件求出三棱锥 的体积，连接OA，OB，OC，OP，可得四个小锥体，由小锥体
体积和即可求出球半径.
【详解】因 平面 ，则 ，而 ， ，于是得 平面 ，
，而 ， ，
又 ， ，则有 ，
三棱锥 的表面积为
，
连接OA，OB，OC，OP，如图：三棱锥 被分割为四个三棱锥 ，它们的高均为球O的半
径r，
，
而 ，则 ，得 ，
所以球 的体积为 .
故选：C
2．（2021·全国高三其他模拟）《九章算术》是中国古代的一部数学著作，著作中记载：“刍甍者，下有
袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.
刍甍字面意思为茅草屋顶”.现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD是边长为4的正方形，△ADE与△BCF
是等边三角形，EF//AB，AB＝2EF，则该刍甍的外接球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】连接 交于点 ，过 点作 平面 ，设 为外接球的球心，取 的中
点分别为 ，证得 平面 ，求得 ，设 ，得到
，结合求得截面性质，列出方程，即可求解.
【详解】连接 交于点 ，过 点作 平面 ,
因为四边形 为正方形，所以外接球的球心在 上，设 为外接球的球心，
取 的中点分别为 ，连接 ，
因为 ，可得 ，
因为 为等比三角形，所以 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，即 ，
所以 ，所以 .
故选：A.3．（2021·重庆高三其他模拟）已知正方体ABCD﹣ABC D 的棱长为2，E为AB 的中点，下列说法中正
1 1 1 1 1 1
确的是（ ）
A．ED 与BC所成的角大于60°
1 1
B．点E到平面ABCD 的距离为1
1 1
C．三棱锥E﹣ABC 的外接球的表面积为
1
D．直线CE与平面ADB 所成的角为
1
【答案】D
【分析】利用平行线转移求异面直线成角的正切值，判断A错误；利用平行线上点到平面的距离相等求点
到面距离，判断B错误；先判断三棱锥 的外接球即四棱锥 的外接球，再结合球中几
何关系求球的半径，再求表面积，判断C错误；利用线面成角的定义求正弦值，判断D正确.
【详解】对于A，取DC中点F，连接 ，则 为ED 与BC所成的角，因为
1 1
，所以 ，故 ，
即A错误；对于B，由 平面 知， 到平面 的距离等于 到平面 的距离，连接 ，
交 于 ，则 平面 ，而 ，故 到平面 的距离为 ，即B错误；
对于C，三棱锥 的外接球即四棱锥 的外接球.因为四边形 是矩形，
，四棱锥 的高为 ，设四棱锥
的外接球半径为R，则 ，解得 .
所以三棱锥 的外接球的表面积为 ，即C错误；
对于D，连接 ，取 的中点H，连接 ，交EC于K，连接CH，HK，因为 ，所以
是直线CE与平面ADB 所成的角， ，故 ，在直角三角形
1
中， ， ， ，即D正确.
故选：D.
4．下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，下列叙述正确的有（ ）A． B．
C． 与 所成的角为 D． 平面
【答案】ACD
【分析】将平面展开图以ABCD为下底面，折起还原为正方体，然后利用异面直线所成角定义判定选项
A,C,选项B易于判定，利用线面平行判定定理判定选项D.
【详解】将平面展开图以ABCD为下底面，折起还原为正方体，各顶点的字母标记如图所示，
连接DE,则AH⊥DE,FC∥DE,∴AH⊥FC,故选项A正确；
AC∥EG,EG与BG相交，∴AC与BG显然不平行，故选项B错误；
∵DE∥CF, BDE为等边三角形，∴∠BDE=60°，故异面直线BD与FC所成角为60°，故选项C正确；
∵AC∥EG,△AC 平面BEG,EG 平面BEG,∴AC∥平面BEG,故选项D正确.
故选：ACD. ⊄ ⊂
5．如图，在棱长为2的正四面体P-ABC中，D､E分別为AB､AC上的动点(不包含端点)，F为PC的中点，
则下列结论正确的有（ ）A．DE+EF的最小值为 ；
B．若E为AC中点，则DF的最小值为 ；
C．若四棱锥F-BDEC的体积为 ，则DE的取值范围是
D．若 ，则CE=1
【答案】BC
【分析】（1）将平面PAC和平面BAC沿AC边展开为平面四边形PABC即可求解；
（2）设PD=m，易知m≥ ，又有 PAD CAD，所以CD=PD=m，又DF⊥PC，根据勾股定理即可求
解；
（3）由 得 ，又 ，
所以 ，又 ，可得 ，再利用余弦定理及均值不等式即可求解 的取
值范围；
（4）由 即可求解.
【详解】解：对于A选项，如下展开图易知AF⊥AB，则有DE+EF≥AF= ，又因为D､E不能是端点，故有DE+EF> ，没有最小值，A错误；
对于B选项，设PD=m，易知m≥ ，又有 PAD CAD，所以CD=PD=m，
连接DF，则有DF⊥PC，故 ，B正确；
对于C选项，设等边 ABC的中心为O，连接PO，
易知PO⊥平面ABC，则 ，
所心 得 ，
所以 ，又 ，
则有 ，又 ，可得 ，所以 ，C正确；
对于D选项，设CE=t， ，
解得 或1，即 或1，D错误；
故选：BC.
6．（2021·广东高三其他模拟）已知E、F分别是长方体 的棱AB、 的中点，若
， ，则四面体 的外接球的体积为________．
【答案】
【分析】首先根据锥体的性质，求出外接球的半径，进一步利用公式求出结果．
【详解】四面体 的外接球就是直三棱柱 的外接球，
设棱柱 的底 的外接圆圆心为 ，三棱柱 的外接球球心为 ， 的外
接圆半径 ． ，解得 ，
外接球的半径 ，
四面体 的外接球的体积为 ，故答案为：
7．（2021·全国高三其他模拟）将三个边长为6的正方形分别沿相邻两边中点裁剪而成(1､2)部分，与正六
边形组合后图形如图所示，将此图形折成封闭的空间几何体，则这个几何体的体积是___________，外接
球表面积为___________.
【答案】108
【分析】（1）设P在底面的射影为O，过O作OH⊥EF过点H，易得DE=DC= ， ，由折
叠得到 ，进而求得PO，PQ,再由PQ，PR，PS两两垂直，分别求得 ，，然后由 求解.
（2）易得多面体球心 在OP上，设球半径为R，然后由 ，即
，求得半径即可.
【详解】（1）如图所示：
设P在底面的射影为O，过O作OH⊥EF过点H，DE=DC= ，
，斜线 ，
∴高 ，
.
，
易知PQ，PR，PS两两垂直，且PQ=PR=PS=9，
且 ，∴所求多面体体积 .
（2）设AF，BC，DE中点分別为U，V，W
易知U，V，W分别为 AKF， BCM， DEN的外心
∴多面体球心 在OP上，设球半径为R，
，
，
，
，
，
8．（2021·上海市崇明中学高三其他模拟）如图，在四棱锥 中， 底面 是
直角梯形， ， ，点 是 的中点.
（1）证明：直线 平面 ；（2）者直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）由 平而 ，证得 ，再由 ，得到 ，结合
线面垂直的判定定理，即可证得 平面 ；
（2）由（1）得到 为 与平面 所成角，在直角 中，可求得 ，得到 ，
结合 ，即可求解.
【详解】（1）因为 平而 ， 平面 ，所以 ，
又由 ，且 是直角梯形，
可得 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 .
（2）由（1）知 平面 ，所以 即为直线 与平面 所成角，
在直角 中，可得 ，所以 ，则 ，
所以 .
9．（2021·河南高三其他模拟（文））如图，在三棱柱ABC—ABC 中，
1 1 1
.（1）证明：平面ABC⊥平面AACC .
1 1
（2）若 ，求B 到平面ABP的距离.
1 1
【答案】（1）证明见解析；(2)
【分析】（1）作 的中点 ,连接 ，证明 平面 和 平面 得证
（2）利用等体积法 求得
【详解】(1)证明：作 的中点 ,连接
平面 , 平面
平面 , 平面
平面ABC⊥平面AACC .
1 1
(2).过 作 于 ,连接由(1)知 平面 ，所以 平面
因为 ，所以
因为 ，所以
因为 ，所以 ，所以
在△ 中，因为
所以
因为 ，所以
所以
所以△ 面积为
因为
设B 到平面ABP的距离为
1 1
则 解得
所以B 到平面ABP的距离为
1 1
10．（2021·河南高三其他模拟（文））如图，在四棱锥 中，底面ABCD为边长为4的菱形，
， ，E为AB的中点，O为AD的中点， .（1）证明： .
（2）求点O到平面PBD的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）利用菱形结合中位线证得 ，然后利用线面垂直判定定理证得 平面POE，然
后利用线面垂直的性质定理证得结论.（2）利用等体积法求得点面距离.
【详解】（1）证明：如图，连接OE.
因为底面ABCD是菱形，所以 .
又OE为 的中位线，所以 ，从而 .
因为 ， ，所以 平面POE，
所以 .
（2）解：因为PO是等腰三角形PAD的中线，所以 ，由（1）知 ，所以 平面
， .
由题可知点O到平面PBD的距离等于点A到平面PBD距离的一半.设点A到平面PBD的距离为h，在 中， ， ， ，
可求 ， ，
所以 .
易求 .
由 ，得 ，解得 .
故点O到平面PBD的距离为 .
11．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））如图，四棱锥 中， 平面
， ， ， ， 为线段 上一点，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2） .【分析】（1）通过证明 平面 来证得平面 平面 .
（2）利用等体积法求得 到平面 的距离.
【详解】（1）∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
又 平面 ， ，
∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴平面 平面 .
（2）依题意 平面 ， ,
，
，
，
由（1）知 ，
所以 ，
设A到平面 的距离为 ，则 .
12．（2021·四川德阳市·高三二模（文））已知在空间儿何体 中， 、 、 都
是边长为 的正三角形，平面 平面 ，平面 平面 .（1） 、 、 、 四点是否共面？说明理由；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1） 、 、 、 四点共面，理由见解析；（2） .
【分析】（1）取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，证明出四边形 为平行四
边形，进而可得出结论；
（2）分析可知，点 到平面 的距离等于 到平面 的距离，利用等体积法可求得点 到平面
的距离.
【详解】（1）取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，
则 ， .
为等边三角形， 为 的中点，则 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，同理可证 平面 ， ，
又 ，故四边形 为平行四边形，
所以， 、 、 、 四点共面；
（2）由（1）知 、 、 、 四点共面，则点 到平面 的距离等于 到平面 的距离.
因为三棱锥 的体积为 .
设点 到平面 的距离为 ，
故三棱锥 的体积 ，所以， ，
在 中， ， ，故
，
所以， ，即点 到平面 的距离为 .
