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专题四 《函数》讲义
5.8 函数的图像
题型一 . 不会画的函数图像，选择题
sin2x
1．（2017•新课标Ⅰ）函数y= 的部分图象大致为（ ）
1−cosx
A． B．
C． D．
sin2x
【解答】解：函数y= ，
1−cosx
可知函数是奇函数，排除选项B，
√3
π π 2
当x= 时，f（ ）= =√3，排除A，
3 3 1
1−
2
x＝ 时，f（ ）＝0，排除D．
故选π：C． π
sinx
2．（2017•新课标Ⅲ）函数y＝1+x + 的部分图象大致为（ ）
x2
A． B．C． D．
sinx sinx
【解答】解：函数y＝1+x + ，可知：f（x）＝x + 是奇函数，所以函数的图象关
x2 x2
于原点对称，
sinx
则函数y＝1+x + 的图象关于（0，1）对称，
x2
当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x＝ 时，y＝1+ ，排除B．
故选：D． π π
3．（2016•新课标Ⅰ）函数y＝2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵f（x）＝y＝2x2﹣e|x|，
∴f（﹣x）＝2（﹣x）2﹣e|﹣x|＝2x2﹣e|x|，
故函数为偶函数，
当x＝±2时，y＝8﹣e2 （0，1），故排除A，B；
当x [0，2]时，f（x）∈＝y＝2x2﹣ex，
∴f′∈（x）＝4x﹣ex＝0有解，
故函数y＝2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，
故选：D．
4．（2018•新课标Ⅲ）函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．
函数的导数f′（x）＝﹣4x3+2x＝﹣2x（2x2﹣1），
由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，
√2 √2
得x＜− 或0＜x＜ ，此时函数单调递增，
2 2
由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，
√2 √2
得x＞ 或− ＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，
2 2
也可以利用f（1）＝﹣1+1+2＝2＞0，排除A，B，
故选：D．
5．（2013•四川）函数y x3 的图象大致是（ ）
=
3x−1
A． B．
C． D．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x→﹣∞时，y→+∞，排除B，
当x→+∞时，x3＜3x﹣1，此时y→0，排除D，
故选：C．
x
6．（2011•山东）函数y= −2sinx的图象大致是（ ）
2
A． B．
C． D．
【解答】解：当x＝0时，y＝0﹣2sin0＝0
故函数图象过原点，
可排除A
1
又∵y'= −2cosx
2
故函数的单调区间呈周期性变化
分析四个答案，只有C满足要求
故选：C．
x−sinx
7．（2021•渭南二模）函数y= 的图象大致为（ ）
ex+e−x
A． B．C． D．
x−sinx
【解答】解：设f（x）= ，
ex+e−x
则f（﹣x） −x−sin(−x) x−sinx f（x），
= =− =−
ex+e−x ex+e−x
故函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故选项C错误；
π
又f（﹣ ）=− ＜0，故选项A错误；
eπ+e−π
π
当x→+∞时，x+sinx＞0，所以f（x）＞0，故选项D错误，选项B正确．
故选：B．
cos6x
8．（2012•山东）函数y = 的图象大致为（ ）
2x−2−x
A． B．
C． D．
cos6x
【解答】解：令y＝f（x）= ，
2x−2−x
∵f（﹣x） cos(−6x) cos6x f（x），
= =− =−
2−x−2x 2x−2−x
cos6x
∴函数y = 为奇函数，
2x−2−x
∴其图象关于原点对称，可排除A；
又当x→0+，y→+∞，故可排除B；
当x→+∞，y→0，故可排除C；
而D均满足以上分析．故选：D．
题型二 . 高中必会画的 1 0 个函数图像
1．（2021•滨海县校级一模）函数y＝2|x|﹣1的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：函数的定义域为R，排除A，D，
当x＞0时，y＝2x﹣1＞0，排除B，
故选：C．
2．（2014•贵港模拟）下列区间中，函数 f（x）＝|ln（2﹣x）|在其上为增函数的是
（ ）
4 3
A．（﹣∞，1] B．[﹣1， ] C．[0， ） D．[1，2）
3 2
【解答】解：由2﹣x＞0得，x＜2，∴f（x）的定义域为（﹣∞，2），
当x＜1时，ln（2﹣x）＞0，f（x）＝|ln（2﹣x）|＝ln（2﹣x），
∵y＝lnt递增，t＝2﹣x递减，∴f（x）单调递减；
当1≤x＜2时，ln（2﹣x）≤0，f（x）＝|ln（2﹣x）|＝﹣ln（2﹣x），
∵y＝﹣t递减，t＝ln（2﹣x）递减，
∴f（x）递增，即f（x）在[1，2）上单调递增，
故选：D．|x2−1|
3．（2012•天津）已知函数y= 的图象与函数y＝kx﹣2的图象恰有两个交点，则
x−1
实数k的取值范围是 （ 0 ， 1 ）∪（ 1 ， 4 ） ．
【解答】解：y |x2−1| {x+1，x≤−1或x＞1，
= =
x−1 −x−1，−1＜x＜1
|x2−1|
作出函数y= 与y＝kx﹣2的图象如图所示：
x−1
|x2−1|
∵函数y= 的图象与函数y＝kx﹣2的图象恰有两个交点，
x−1
∴0＜k＜1或1＜k＜4．
故答案为：（0，1）∪（1，4）．
4．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（ ）
1
A．是偶函数，且在（ ，+∞）单调递增
2
1 1
B．是奇函数，且在（− ， ）单调递减
2 2
1
C．是偶函数，且在（﹣∞，− ）单调递增
2
1
D．是奇函数，且在（﹣∞，− ）单调递减
2
{2x+1≠0 1
【解答】解：由 ，得x≠± ．
2x−1≠0 2
又f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数；|2x+1| 2x+1
由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|=ln =ln| |，
|2x−1| 2x−1
2x+1 2x−1+2 2 2 1
= =1+ =1+ =1+
∵2x−1 2x−1 2x−1 1 1．
2(x− ) x−
2 2
2x+1
可得内层函数t＝| |的图象如图，
2x−1
1 1 1
在（﹣∞，− ）上单调递减，在（− ， ）上单调递增，
2 2 2
1
则（ ，+∞）上单调递减．
2
又对数式y＝lnt是定义域内的增函数，
1
由复合函数的单调性可得，f（x）在（﹣∞，− ）上单调递减．
2
故选：D．
5．（2019•新课标Ⅰ）关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数
π
②f（x）在区间（ ， ）单调递增
2
π
③f（x）在[﹣ ， ]有4个零点
④f（x）的最大π值π为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数f（x）是偶函
数，故①正确，
π
当x （ ， ）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx，
2
∈ π
则f（x）＝sinx+sinx＝2sinx为减函数，故②错误，当0≤x≤ 时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+sinx＝2sinx，
由f（x）＝π0得2sinx＝0得x＝0或x＝ ，
由f（x）是偶函数，得在[﹣ ，0）上π还有一个零点x＝﹣ ，即函数f（x）在[﹣ ， ]
有3个零点，故③错误， π π π π
当sin|x|＝1，|sinx|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，
故正确是①④，
故选：C．
6．（2012•湖北）已知定义在区间（0，2）上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝﹣f
（2﹣x）的图象为（ ）
A． B．
C． D．
{x，0＜x≤1
【解答】解：由（0，2）上的函数y＝f（x）的图象可知f（x）=
1，1＜x＜2
当0＜2﹣x＜1即1＜x＜2时，f（2﹣x）＝2﹣x
当1≤2﹣x＜2即0＜x≤1时，f（2﹣x）＝1{ −1，0＜x≤1
∴y＝﹣f（2﹣x）= ，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项B
x−2，1＜x＜2
正确
故选：B．
7．（2015秋•林芝县校级期末）若直线y＝x+b与曲线x 恰有一个公共点，则b的
=√1−y2
取值范围是（ ）
A．﹣1＜b≤1 B．﹣1≤b≤1
C．−√2≤b≤﹣1 D．﹣1＜b≤1或b=−√2
【解答】解：曲线x 即 x2+y2＝1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，如图所示．
=√1−y2
当直线y＝x+b经过点A（0，1）时，求得b＝1，
当直线y＝x+b经过点B（1，0）时，求得b＝﹣1，
当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y＝x+b的距离等于半径，
|0−0+b|
可得 =1，求得b=−√2，或b=√2（舍去）．
√2
故当直线y＝x+b与曲线x 恰有一个公共点时 b的取值范围是﹣1＜b≤1或b
=√1−y2
=−√2，
故选：D．
8．（2013•浙江）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）＝（ex﹣1）（x﹣1）k（k＝1，
2），则（ ）
A．当k＝1时，f（x）在x＝1处取得极小值
B．当k＝1时，f（x）在x＝1处取得极大值
C．当k＝2时，f（x）在x＝1处取得极小值
D．当k＝2时，f（x）在x＝1处取得极大值
【解答】解：当k＝1时，函数f（x）＝（ex﹣1）（x﹣1）．求导函数可得f'（x）＝ex（x﹣1）+（ex﹣1）＝（xex﹣1），
f'（1）＝e﹣1≠0，
则f（x）在x＝1处取不到极值，
当k＝2时，函数f（x）＝（ex﹣1）（x﹣1）2．
f'（x）＝ex（x﹣1）2+2（ex﹣1）（x﹣1）＝（x﹣1）（xex+ex﹣2），
∴f'（1）＝0，且当x＞1时，f'（x）＞0，当x ＜x＜1时（x 为极大值点），f'（x）＜
0 0
0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
在（x ，1）上是减函数，从而函数f（x）在x＝1取得极小值．
0
故选：C．
9．（2020•海淀区校级模拟）已知函数f（x） { 2−x−1，x≤0 ，若方程f（x）＝x+a
=
f(x−1)，x＞0
有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（0，1） D．[0，+∞）
【解答】解：函数f（x） { 2−x−1，x≤0 的图象如图所示，
=
f(x−1)，x＞0
当a＜1时，函数y＝f（x）的图象与函数y＝x+a的图象有两个交点，
即方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根．
故选：A．
10．（2015•天门模拟）已知定义在 R 上的奇函数 f（x），当 x＞0 时，f（x）{2|x−1|−1，0＜x≤2
则关于x的方程6[f（x）]2﹣f（x）﹣1＝0的实数根个数为（
= 1
f(x−2)，x＞2
2
）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：设t＝f（x），则关于x的方程6[f（x）]2﹣f（x）﹣1＝0，等价6t2﹣t﹣1＝
0，
1 1
解得t= 或t=− ，
2 3
当x＝0时，f（0）＝0，此时不满足方程．
1 1
若2＜x≤4，则0＜x﹣2≤2，即f（x）= f(x−2)= （2|x﹣3|﹣1），
2 2
1 1
若4＜x≤6，则2＜x﹣2≤4，即f（x）= f(x−2)= （2|x﹣5|﹣1），
2 4
{2|x−1|−1，0＜x≤2
作 出 当 x ＞ 0 时 ， f （ x ） 的 图 象 如 图 ：
= 1
f(x−2)，x＞2
2
1 1
当t= 时，f（x）= 对应3个交点．
2 2
∵函数f（x）是奇函数，
1
∴当x＜0时，由f（x）=− ，
3
1
可得当x＞0时，f（x）= ，此时函数图象对应4个交点，
3
综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B．
