文档内容
专题四 《函数》讲义
5.9 函数的零点
知识梳理 . 函数的零点
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝
f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，
那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)
＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
题型一 . 零点所在的区间
3
1．函数f（x）＝3x− −2的零点所在区间是（ ）
x
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
2．函数f（x）＝log x+x+2的零点所在的一个区间是（ ）
2
1 1 1 1 1 1 1
A．(0， ) B．( ， ) C．( ， ) D．( ， )
8 8 4 4 3 3 2
1
3．设函数y＝x3与y＝（ ）x﹣2的图象交点为（x ，y ），则x 所在的区间是（ ）
0 0 0
2
A．（0，1） B．（3，4） C．（1，2） D．（2，3）
题型二 . 零点的个数
1．函数f（x）＝4x|log x|﹣1的零点个数为 ．
0.5
2．函数f（x） { 2x−2，x≤1 的图象与函数g（x）＝ln（x+1）的图象的交点的个
=
x2−3x+2，x＞1
数是 ．
3．若偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），在x [0，1]时，f（x）＝x2，则关于x的方
∈
1
程f（x）＝（ ）x在[0，4]上根的个数是 ．
10
4．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），当x [﹣1，1]时，f（x）＝
∈x2，函数g（x）
=
{log
a
(x−1) x＞1 ，若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，
2x x≤1
5]上恰有8个零点，则a的取值范围为
（ ）
A．（2，4） B．（2，5） C．（1，5） D．（1，4）
题型三 . 已知零点个数求参
1．若函数f（x）＝ex﹣x2+ax﹣1在区间[1，2]内有且仅有一个零点，则实数a的取值
范围为（ ）
5−e2
A．[ ，+∞) B．（﹣∞，2﹣e]
2
5−e2 5−e2
C．( ，2−e) D．[ ，2−e]
2 2
2．若函数 f（x）＝log x﹣x+a（a＞0 且 a≠1）有两个零点，则实数 a 的取值范围是
a
（ ）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（1，e） D．（e，+∞）
{ 1
3．已知函数f（x） −3，x∈(−1，0]，且函数g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣
= x+1
3x，x∈(0，1]
1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是 ．
4．已知函数f（x）＝e2x﹣a（x+2）．当a＝2时，f（x）的增区间为 ；若f
（x）有两个零点，则实数a的取值范围为 ．
1
5．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x [0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x+ |，若
2
∈
函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是
．
6．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），当0≤x≤1时，f
（x）＝2x2，g（x）＝log |x﹣1|（√2＜a＜2），则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）所有零
a
点的和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
1
7．已知函数g（x）＝a﹣x2（ ≤x≤e（e为自然对数的底数）与h（x）＝2lnx的图象上存
e在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）
1 1
A．[1， +2] B．[ +2，e2﹣2]
e e2
C．[e2﹣2，+∞） D．[1，e2﹣2]
8．已知函数f（x）＝3e|x﹣1|﹣a（2x﹣1+21﹣x）﹣a2有唯一零点，则负实数a＝（ ）
1 1
A．− B．− C．﹣3 D．﹣2
3 2
题型四 . 复合函数的零点
1．已知f（x）＝x2ex，若函数g（x）＝f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，则实数k
的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（2，4 e2）
+
e2 4
C．（8 ，2） D．（4 e2，+∞）
+
e2 e2 4
2．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有两个极值点x ，x ，若f（x ）＝x ，则关于x的方程3
1 2 1 2
（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．以上都有可能
3．已知函数 f（x）
{
(
1
)
x−4，x≤−1
，若 f（f（x））＜0，则 x 的取值范围为
= 2
ln(x+1)，x＞−1
（ ）
1
A．（﹣2，0） B．(−∞， −1)
e2
1 1
C．(−2， −1) D．(−2，−1)∪( −1，0)
e2 e2
4．已知函数 f（x）＝x3﹣3x，则函数 h（x）＝f[f（x）]﹣c，c [﹣2，2]的零点个数
（ ） ∈
A．5或6个 B．3或9个 C．9或10个 D．5或9个课后作业 . 函数的零点
1．设定义在R上的函数
f(x)=
{ 2x，x≤0 ，g（x）＝f（x）﹣a，则当实数a
|log x|，x＞0
2
满足0＜a＜1时，函数y＝g（x）的零点个数为 个．
2．已知函数f（x） {|x+1|，x≤0 ，若方程f（x）＝a（a R）有四个不同的解x ，
= 1
|log x|，x＞0
2
∈
x ，x ，x ，且x ＜x ＜x ＜x ，则（x +x ）x 的取值范围是 ．
2 3 4 1 2 3 4 1 2 4
3．已知函数 {|lnx|，x＞0 ，若g（x）＝ax（a R）使得方程f（x）＝g
f(x)=
|x2+4x+3|，x≤0
∈
（x）恰有3个不同的实根，则实数a的取值范围为 ．
3 3 1
{x3− x+ ，0≤x≤
4．已知函数 f（x） 4 2 2，g（x）＝ex﹣ax（a R），若存在 x ，
= 1
1 1
2x+ ， ＜x≤1
∈
2 2
x [0，1]，使得f（x ）＝g（x ）成立，则实数a的取值范围是（ ）
2 1 2
∈ 5
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，e﹣2] C．（﹣∞，e− ] D．（﹣∞，e]
4
{
a，x=1
5．已知函数f（x） ，若方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有5
= 1
( )
|x−1|+1，x≠1
2
个不同的实数解，则a的范围是（ ）
3 3
A．（1， ）∪（ ，2） B．（1，2）∪（2，3）
2 2
C．（1，+∞） D．（1，3）
6．已知f（x）
{x2−4，x≤a（其中a＜0，e为自然对数的底数），若
g（x）＝f[f
=
ex−1，x＞a
（x）]在R上有三个不同的零点，则a的取值范围是 ．
