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专题四 《函数》讲义
5.9 函数的零点
知识梳理 . 函数的零点
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝
f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，
那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)
＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
题型一 . 零点所在的区间
3
1．函数f（x）＝3x− −2的零点所在区间是（ ）
x
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
3
【解答】解：由于函数f（x）＝3x− −2，
x
3
∴f（1）＝3﹣3﹣2＝﹣2＜0，f（2）＝9− −2＞0，
2
∵f（1）•f（2）＜0，函数是连续增函数，
3
∴函数f（x）＝3x− −2的零点所在的区间是（1，2），
x
故选：C．
2．函数f（x）＝log x+x+2的零点所在的一个区间是（ ）
2
1 1 1 1 1 1 1
A．(0， ) B．( ， ) C．( ， ) D．( ， )
8 8 4 4 3 3 2
【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且其图象在定义域上是一条不间断的
曲线，
1 1 7 1 1 1
又f( )=−3+ +2=− ＜0，f( )=−2+ +2= ＞0，
8 8 8 4 4 4
1 1
由函数零点存在性定理可知，函数f（x）在( ， )上有零点．
8 4
故选：B．1
3．设函数y＝x3与y＝（ ）x﹣2的图象交点为（x ，y ），则x 所在的区间是（ ）
0 0 0
2
A．（0，1） B．（3，4） C．（1，2） D．（2，3）
1
【解答】解：函数y＝x3在R上单调递增，y=( ) x−2在R上是减函数．
2
1
∵x≤1时，函数y＝x3的图象在y=( ) x−2的下面；
2
1
x≥2时，函数y＝x3在y=( ) x−2的上面．
2
∴x 所在的区间是（1，2）．
0
故选：C．
题型二 . 零点的个数
1．函数f（x）＝4x|log x|﹣1的零点个数为 2 ．
0.5
1 x
【解答】解：函数的零点满足 |log x|=( ) ，
0.5 4
1 x
则零点的个数即函数y＝|log x|与y=( ) 交点的个数，
0.5
4
绘制函数图象如图所示，
观察可得，交点个数为2，故函数零点的个数为2．
故答案为：2．
2．函数f（x） { 2x−2，x≤1 的图象与函数g（x）＝ln（x+1）的图象的交点的个
=
x2−3x+2，x＞1
数是 2 ．
【解答】解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图：
由两个函数的图象可知两个函数有2个交点，
故答案为：2．3．若偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），在x [0，1]时，f（x）＝x2，则关于x的方
∈
1
程f（x）＝（ ）x在[0，4]上根的个数是 4 ．
10
【解答】解：因为偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），所以函数f（x）的图象关于
y轴对称，同时以2为周期．
根据x [0，1]时，f（x）＝x2得该函数在[0，4]上的图象为：
∈
1
再在同一坐标系中做出函数y=( ) x的图象，如图，当x [0，4]时，两函数图象有四个
10
∈
交点．
1
所以方程f（x）＝（ ）x在[0，4]上有4个根．
10
故答案为4．
4．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），当x [﹣1，1]时，f（x）＝
∈
x2，函数g（x）
=
{log
a
(x−1) x＞1 ，若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，
2x x≤1
5]上恰有8个零点，则a的取值范围为
（ ）A．（2，4） B．（2，5） C．（1，5） D．（1，4）
【解答】解：函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上恰有8个零点即
函数f（x）与函数g（x）在区间[﹣5，5]上有8个交点，
由f（x+1）＝﹣f（x）＝f（x﹣1）知，
f（x）是R上周期为2的函数，
作函数f（x）与函数g（x）在区间[﹣5，5]上的图象如下，
由图象知，当x [﹣5，1]时，图象有5个交点，故在[1，5]上有3个交点即可；
∈
故{log
a
(3−1)＜1
；
log (5−1)＞1
a
解得，2＜a＜4；
故选：A．
题型三 . 已知零点个数求参
1．若函数f（x）＝ex﹣x2+ax﹣1在区间[1，2]内有且仅有一个零点，则实数a的取值
范围为（ ）
5−e2
A．[ ，+∞) B．（﹣∞，2﹣e]
2
5−e2 5−e2
C．( ，2−e) D．[ ，2−e]
2 2
ex 1
【解答】解：依题意，−a= −x− 在x [1，2]上有且仅有一个解，
x x
∈
设 ex 1，则 ex ⋅x−ex 1 (x−1)(ex−x−1)，
g(x)= −x− g'(x)= −1+ =
x x x2 x2 x2
由ex≥x+1（当且仅当x＝0时取等号）可知，当x [1，2]时，函数g（x）单调递增，
∈ e2 1 e2−5
∴当x [1，2]时，g(x) =g(1)=e−2，g(x) =g(2)= −2− = ，
min max 2 2 2
∈e2−5
∴−a∈[e−2， ]，
2
5−e2
∴a∈[ ，2−e]．
2
故选：D．
2．若函数 f（x）＝log x﹣x+a（a＞0 且 a≠1）有两个零点，则实数 a 的取值范围是
a
（ ）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（1，e） D．（e，+∞）
【解答】解：令f（x）＝0，有log x＝x﹣a，
a
①当a＞1时，函数y＝log x单增，函数y＝x﹣a相当于函数y＝x向下至少移动了1个
a
单位，故函数y＝log x与y＝x﹣a的图象有两个交点；
a
②当0＜a＜1时，函数y＝log x与y＝x﹣a的图象显然仅有一个交点，
a
综上，a＞1．
故选：B．
{ 1
3．已知函数f（x） −3，x∈(−1，0]，且函数g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣
= x+1
3x，x∈(0，1]
9 3
1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是 （− ，﹣ 2 ] ∪（ 0 ， ]
4 2
．
【解答】解：由g（x）＝f（x）﹣mx﹣m＝0，即f（x）＝m（x+1），
分别作出函数f（x）（图中红色曲线），
和y＝h（x）＝m（x+1）的图象（图中绿色曲线），
为一条过点（﹣1，0）的直线，如图：
由图象可知f（1）＝3，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，
3
当h（x）过（1，3）时，m= ，此时两个函数有两个交点，
2
3
此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤ ①．
2
当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）＝﹣2，解得m＝﹣2，
此时两个函数有两个交点．
1
当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时 x+3＝m（x+1），
x+3即m（x+1）2+3（x+1）﹣1＝0，
当m＝0时，只有1解；
9
当m≠0，由△＝9+4m＝0得m=− ，此时直线和f（x）相切．
4
9
∴要使函数有两个零点，则− ＜m≤﹣2 ②．
4
综上可得，函数g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，
9 3
则实数m的取值范围为（− ，﹣2]∪（0， ]，
4 2
9 3
故答案为：（− ，﹣2]∪（0， ]．
4 2
4．已知函数f（x）＝e2x﹣a（x+2）．当a＝2时，f（x）的增区间为 （ 0 ， + ∞） ；若f
（x）有两个零点，则实数a的取值范围为 （ 2 e ﹣ 3 ， + ∞） ．
【解答】解：当a＝2时，f（x）＝e2x﹣2（x+2），
f′（x）＝2e2x﹣2，
令f′（x）＞0，解得x＞0，
则f（x）的增区间为（0，+∞）．
f′（x）＝2e2x﹣a，x R．
①当a≤0时，f′（x∈）＞0，f（x）单调递增，至多有一个零点，不合题意；
1 a
②当a＞0时，令f′（x）＝0 x= ln ，
2 2
⇒
1 a 1 a
可得f（x）在（﹣∞， ln ）单调递减，在（ ln ，+∞）单调递增，
2 2 2 2
1 a a 1 a a a 3
故f（x）的最小值为f（ ln ）= −a（ ln +2）=− ln − a．
2 2 2 2 2 2 2 2
∵f（x）有两个零点，当x→±∞时，f（x）→+∞，a a a a 3
∴f（ ln ）＜0 ln + a＞0，解得a＞2e﹣3，
2 2 2 2 2
⇒
所以实数a的取值范围为（2e﹣3，+∞）
故答案为：（0，+∞）；（2e﹣3，+∞）．
1
5．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x [0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x+ |，若
2
∈
函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是
1
（ 0 ， ） ．
2
【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x [0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x
∈
1
+ |，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系
2
1
中画出函数f（x）与y＝a的图象如图：由图象可知a∈(0， )．
2
1
故答案为：（0， ）．
2
6．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），当0≤x≤1时，f
（x）＝2x2，g（x）＝log |x﹣1|（√2＜a＜2），则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）所有零
a
点的和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：函数f（x）是定义域为R的偶函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），可得对称
轴x＝1，所以可得周期T＝2，
又g（x）＝log |x﹣1|（√2＜a＜2），可得g（x）也是关于x＝1对称，
a
令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝0，可得g（x）＝f（x），
在同一坐标系中在作y＝f（x）与y＝g（x）的图象如图所示：因为√2＜a＜2，g（x）＝log |x﹣1|，
a
所以g（2）＝0，g（5）＝log 4 （2，4），与f（x）无交点，g（3）＝log 2 （1，2）
a a
与f（x）有两个交点，所以x＞1∈时，g（x）与f（x）有3个交点， ∈
所以x R时，g（x）与f（x）有3对关于x＝1对称的点，所以所以交点之和为2+2+2＝
6，即函∈数h（x）＝f（x）﹣g（x）所有零点的和为6，
故选：D．
1
7．已知函数g（x）＝a﹣x2（ ≤x≤e（e为自然对数的底数）与h（x）＝2lnx的图象上存
e
在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）
1 1
A．[1， +2] B．[ +2，e2﹣2]
e e2
C．[e2﹣2，+∞） D．[1，e2﹣2]
【解答】解：因为h（x）＝2lnx的图象上存在关于 x轴对称的函数为：f（x）＝﹣
2lnx，
1
所以可得g（x）＝f（x）有零点，即a＝x2﹣2lnx（ ≤x≤e）有解，
e
1
令t（x）＝x2﹣2lnx（ ≤x≤e），
e
2 (x−1)(x+1)
则t'（x）＝2x− =2⋅ ，
x x
1
当x （ ，1）时，t'（x）＜0，则t（x）单调递减，
e
∈
x （1，e）时，t（x）＞0，t（x）单调递增，
而 ∈ t（ 1 ）= 1 −2ln 1 = 1 + 2，t（1）＝12﹣2ln1＝1，t（e）＝e2﹣2lne＝e2﹣2＞t( 1 )，
e e2 e e2 e
所以t（x） [1，e2﹣2]．
∈所以a的取值范围为[1，e2﹣2]．
故选：D．
8．已知函数f（x）＝3e|x﹣1|﹣a（2x﹣1+21﹣x）﹣a2有唯一零点，则负实数a＝（ ）
1 1
A．− B．− C．﹣3 D．﹣2
3 2
【解答】解：函数f（x）＝3e|x﹣1|﹣a（2x﹣1+21﹣x）﹣a2有唯一零点，
设x﹣1＝t，
则函数f（t）＝3e|t|﹣a（2t+2﹣t）﹣a2有唯一零点，
则3e|t|﹣a（2t+2﹣t）＝a2，
设g（t）＝3e|t|﹣a（2t+2﹣t），
∵g（﹣t）＝3e|t|﹣a（2t+2﹣t）＝g（t），
∴g（t）为偶函数，
∵函数f（t）有唯一零点，
∴y＝g（t）与y＝a2有唯一的交点，
∴此交点的横坐标为0，
∴3﹣2a＝a2，
解得a＝﹣3或a＝1（舍去），
故选：C．
题型四 . 复合函数的零点
1．已知f（x）＝x2ex，若函数g（x）＝f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，则实数k
的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（2，4 e2）
+
e2 4
C．（8 ，2） D．（4 e2，+∞）
+
e2 e2 4
【解答】解：f′（x）＝2xex+x2ex＝x（x+2）ex，
令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝﹣2，
∴当x＜﹣2或x＞0时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单
调递增，4
∴当x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值f（﹣2）= ，
e2
当x＝0时，f（x）取得极小值f（0）＝0．
作出f（x）的大致函数图象如图所示：
4
令f（x）＝t，则当t＝0或t＞ 时，关于x的方程f（x）＝t只有1解；
e2
4
当t = 时，关于x的方程f（x）＝t有2解；
e2
4
当0＜t＜ 时，关于x的方程f（x）＝t有3解．
e2
∵g（x）＝f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，
4 4
∴关于t的方程t2﹣kt+1＝0在（0， ）上有1解，在（ ，+∞）∪{0}上有1解，
e2 e2
显然t＝0不是方程t2﹣kt+1＝0的解，
4 4
∴关于t的方程t2﹣kt+1＝0在（0， ）和（ ，+∞）上各有1解，
e2 e2
∴16 4k ，解得k 4 e2．
− +1＜0 ＞ +
e4 e2 e2 4
故选：D．
2．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有两个极值点x ，x ，若f（x ）＝x ，则关于x的方程3
1 2 1 2
（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．以上都有可能
【解答】解：由题意可得，f′（x）＝3x2+2ax+b＝0有两个不同的实数根x ，x ，
1 2
不妨设x ≠x ，
1 2
所以3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根f（x）＝x ，f（x）＝x ，
1 2
若x ＜x ，易得函数f（x）在（﹣∞，x ）上单调递增，在 x ，x ）上单调递减，在
1 2 1 1 2（x ，+∞）上单调递增，
2
此时f（x）＝x 有2个根，f（x）＝x 可能的根3或2或1，
2 1
此时关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数5或4或3个，
当x ＞x ，同理可得关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数3个，
1 2
故选：D．
3．已知函数 f（x）
{
(
1
)
x−4，x≤−1
，若 f（f（x））＜0，则 x 的取值范围为
= 2
ln(x+1)，x＞−1
（ ）
1
A．（﹣2，0） B．(−∞， −1)
e2
1 1
C．(−2， −1) D．(−2，−1)∪( −1，0)
e2 e2
【解答】解：令f（x）＝t，则f（t）＜0，
1 t
t≤﹣1时，( ) −4＜0，所以2﹣t＜4，解得﹣2＜t≤﹣1；
2
t＞﹣1时，ln（t+1）＜0，解得﹣1＜t＜0；
综上知，t的取值范围是﹣2＜t＜0，
即﹣2＜f（x）＜0．
1 x
由f（x）＝﹣2，x≤﹣1时，( ) −4＝﹣2，解得x＝﹣1；
2
1
x＞﹣1时，ln（x+1）＝﹣2，解得x = −1；
e2
1
综上知，x＝﹣1或x= −1，
e2
画出函数f（x）的图象，如图所示：根据分段函数f（x）的图象得，
1
f（f（x））＜0的解集为(−2，−1)∪( −1，0)．
e2
故选：D．
4．已知函数 f（x）＝x3﹣3x，则函数 h（x）＝f[f（x）]﹣c，c [﹣2，2]的零点个数
（ ） ∈
A．5或6个 B．3或9个 C．9或10个 D．5或9个
【解答】解：设t＝f（x），则由y＝f[f（x）]﹣c＝0，
得f[f（x）]＝c，
即f（t）＝c，t＝f（x），
函数f（x）的导数f′（x）＝3﹣3x2，
由f′（x）＞0得﹣1＜x＜1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此时函数单调递减，
即函数在x＝1，取得极大值f（1）＝3﹣1＝2，
函数在x＝﹣1，取得极小值f（﹣1）＝﹣3+1＝﹣2，
又由f（﹣2）＝﹣2，f（2）＝2得：
若f（t）＝c，c （﹣2，2），则方程有三个解，
满足﹣2＜t
1
＜﹣∈1，0＜t
2
＜1，1＜t
3
＜2，
则当﹣2＜t ＜﹣1时，方程t＝f（x），有3个根，
1
当0＜t ＜1时，方程t＝f（x），有3个根，
2
当1＜t ＜2时，方程t＝f（x），有3个根，
3此时共有9个根，
若f（t）＝c，c＝2，则方程有两个解，
满足t ＝﹣2，t ＝1，
1 2
则当t ＝﹣2时，方程t＝f（x），有2个根，
1
当t ＝1，有3个根，
2
此时共有5个根，
同理f（t）＝c，c＝﹣2时，也共有5个根
故选：D．
课后作业 . 函数的零点
1．设定义在R上的函数
f(x)=
{ 2x，x≤0 ，g（x）＝f（x）﹣a，则当实数a
|log x|，x＞0
2
满足0＜a＜1时，函数y＝g（x）的零点个数为 3 个．
【解答】解：定义在R上的函数
f(x)=
{ 2x，x≤0 ，函数的图象如图：
|log x|，x＞0
2
g（x）＝f（x）﹣a，则当实数a满足0＜a＜1时，函数y＝g（x）的零点个数，就是y＝
f（x）与y＝a图象的交点个数，
由图象可知，零点个数为3个．
故答案为：3．
2．已知函数f（x） {|x+1|，x≤0 ，若方程f（x）＝a（a R）有四个不同的解x ，
= 1
|log x|，x＞0
2
∈
x ，x ，x ，且x ＜x ＜x ＜x ，则（x +x ）x 的取值范围是 [ ﹣ 4 ，﹣ 2 ） ．
2 3 4 1 2 3 4 1 2 4
【解答】解：由题意作函数f（x） {|x+1|，x≤0 与y＝a的图象如下，
=
|log x|，x＞0
2，
结合图象可知，
x +x ＝﹣2，0＜log x ≤1，
1 2 2 4
故x +x ＝﹣2，1＜x ≤2，
1 2 4
故﹣4≤（x +x ）x ＜﹣2，
1 2 4
故答案为：[﹣4，﹣2）．
3．已知函数 {|lnx|，x＞0 ，若g（x）＝ax（a R）使得方程f（x）＝g
f(x)=
|x2+4x+3|，x≤0
∈
1
（x）恰有3个不同的实根，则实数a的取值范围为 [0， )∪{2√3−4} ．
e
【解答】解：由已知得f（x）得图象如图（1），
（1）当a＞0时，要使得方程f（x）＝g（x）恰有3个不同根，则需存在x＞1，使得lnx
lnx
＞ax，即a＜ ，
x
lnx 1
又y= 的图象如图（2），故0＜a＜ ；
x e
（2）当a＜0时，由图象（1）知y＝ax需与函数f（x）＝|x2+4x+3|＝﹣x2﹣4x﹣3相切，
设切点为（m，n），则y﹣f（m）＝f'（m）（x﹣m），
即y﹣（﹣m2﹣4m﹣3）＝（﹣2m﹣4）（x﹣m）过点（0，0），
故m2＝3，因为m＜0，故m=−√3，所以a＝f'（m）=2√3−4，
（3）当a＝0时，显然符合题意，
1
综上，实数a的取值范围为[0， )∪{2√3−4}．
e
1
故答案为：[0， )∪{2√3−4}．
e3 3 1
{x3− x+ ，0≤x≤
4．已知函数 f（x） 4 2 2，g（x）＝ex﹣ax（a R），若存在 x ，
= 1
1 1
2x+ ， ＜x≤1
∈
2 2
x [0，1]，使得f（x ）＝g（x ）成立，则实数a的取值范围是（ ）
2 1 2
∈ 5
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，e﹣2] C．（﹣∞，e− ] D．（﹣∞，e]
4
1 3 3 3
【解答】解：①当0≤x≤ 时，f（x）＝x❑ 3− x+ ，则f′（x）＝3x❑ 2− ≤0在
2 4 2 4
1
[0， ]上恒成立，
2
1 1
所以函数 f（x）在区间[0， ]上单调递减，则 f（ ）≤f（x）≤f（0），即
2 2
5 3
≤f(x)≤ ，
4 2
1 1 1
②当 ＜x≤1时，f（x）＝2x+ ，函数在区间（ ，1]上单调递增，
2 2 2
1 3 5
所以f（ ）＜f（x）≤f（1），即 ＜f(x)≤ ，
2 2 2
5 5
综上，函数f（x）的值域为[ ， ]；
4 2
又g′（x）＝ex﹣a，x [0，1]，
若a≤0时，则g′（x）∈ ＞0，函数g（x）在[0，1]上单调递增，所以g（0）≤g（x）
≤g（1），即g（x） [1，e﹣a]，
∈ 5 5
此时若要满足题意，只需[1，e﹣a]∩[ ， ]≠ ，当a≤0时恒成立；
4 2
∅
若a＞0时，令g′（x）＝ex﹣a＝0，解得x＝lna，
当0＜a＜e时，函数g（x）在[0，1]上单调递增，所以g（0）≤g（x）≤g（1），即
1≤g（x）≤e﹣a，{ 5
又因为[1，e﹣a]∩[5 5]≠ ，所以 e−a≥ ，解得0＜a 5，
， 4 ≤e−
4 2 4
∅ 0＜a＜e
当a＞e时，g（x）在[0，1]上单调递减，所以g（1）≤g（x）≤g（0），即e﹣a≤g
（x）≤1，
5 5
此时[e﹣a，1]∩[ ， ]=∅，所以不存在x ，x [0，1]，使得f（x ）＝g（x ）＝g
1 2 1 2
4 2
∈
（x ），
2
5
综上，实数a的取值范围为（−∞，e− ]，
4
故选：C．
{
a，x=1
5．已知函数f（x） ，若方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有5
= 1
( )
|x−1|+1，x≠1
2
个不同的实数解，则a的范围是（ ）
3 3
A．（1， ）∪（ ，2） B．（1，2）∪（2，3）
2 2
C．（1，+∞） D．（1，3）
【解答】解：方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0，
3
解得f（x）＝a或f（x）= ，
2
{
a，x=1
若a 3，f（x） ，
= = 1
2 ( )
|x−1|+1，x≠1
2
可得x＝1或0或2，不满足题意；
3
则a≠ ，
2
3
由f（x）= ，可得原方程有3个不等实根；
2
1
只要1+（ ）|x﹣1|＝a有2个不等实根即可．
2
1
由|x﹣1|＞0可得0＜（ ）|x﹣1|＜1，
2即有1＜a＜2，
3 3
综上可得a （1， ）∪（ ，2）．
2 2
∈
故选：A．
6．已知f（x）
{x2−4，x≤a（其中a＜0，e为自然对数的底数），若
g（x）＝f[f
=
ex−1，x＞a
（x）]在R上有三个不同的零点，则a的取值范围是 [−√2 ， 0 ） ．
【解答】解：（1）当x≤a时，f（x）＝x2﹣4，
①当x2﹣4≤a时，由f（f（x））＝f（x2﹣4）＝（x2﹣4）2﹣4＝0得x=−√2；
②当x2﹣4＞a时，由f（f（x））＝f（x2﹣4） 1＝0 得 x＝﹣2
=ex2−4−
（2）当x＞a时，f（x）＝ex﹣1，
①当ex﹣1≤a时，由f（f（x））＝f（ex﹣1）＝（ex﹣1）2﹣4＝0得ex＝﹣1 无解，
②当ex﹣1＞a时，由f（f（x））＝f（ex﹣1） 1＝0解得x＝0，
=eex−1−
{−√2≤a
因为g（x）＝f（f（x））在R上有三个不同的零点，所以 ，
−2≤a
0＞a
解得：−√2≤a＜0，
故答案为：[−√2，0）．
