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专题四 《函数》讲义
5.7 对称性与周期性
知识梳理 . 对称性与周期性
轴对称：
1.
，关于 对称
①f(x)=f(-x) x=0
，关于 对称
②f(a+x)=f(a-x) x=aa+b
2
，关于 对称
③f(a+x)=f(b-x) x=
中心对称：
2.
① ，关于 对称
f(x)-f(-x)=0 (0,0)
② ，关于 对称
f(a+x)-f(a-x)=0 (a,0)
③ ，关于 对称
f(a+x)-f(a-x)=2b (a,b)
周期性：
3.
，最小正周期为 ，有多个对称轴，有多个对称中心
①f(x)=f(x+T) T .
，
②f(x+a)=f(x+b) T=lb-al
，T=2
1
③f(x+a)=-f(x+b) lb-al
f(x)
，
④f(x+a)=± T=l2al
题型一 . 轴对称
1．已知函数f（x）＝f（2﹣x），x R，当x [1，+∞）时，f（x）为增函数．设a＝f
（1），b＝f（2），c＝f（﹣1），则a∈，b，c的∈大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【解答】解：∵f（x）＝f（2﹣x），
∴函数的图象关于x＝1对称，当x [1，+∞）时，f（x）为增函数，
∴f（∈3）＞f（2）＞f（1），
a＝f（1），b＝f（2），c＝f（﹣1）＝f（3），
则a＜b＜c．
故选：D．
2．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x [0，1]时，f（x）＝x（3
∈
31
﹣2x），则f（ ）＝（ ）
2
1 1
A．﹣1 B．− C． D．1
2 2
【解答】解：根据题意，函数 f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则有f（﹣x）＝f
（x+2），
又由f（x）为奇函数，则f（x+2）＝﹣f（x），
则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
31 1 1 1 1 1
则f（ ）＝f（− +16）＝f（− ）＝﹣f（ ）＝﹣[ （3﹣2× ）]＝﹣1；
2 2 2 2 2 2
故选：A．
3．已知定义域为R的函数f（x）在[1，+∞）单调递增，且f（x+1）为偶函数，若f（3）
＝1，则不等式f（2x+1）＜1的解集为（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【解答】解：根据题意，函数f（x+1）为偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝1对
称，
又由函数f（x）在[1，+∞）单调递增且f（3）＝1，
则f（2x+1）＜1 f（2x+1）＜f（3） |2x|＜2，
解可得：﹣1＜x＜⇒1，即不等式的解集⇒为（﹣1，1）；
故选：A．
题型二 . 中心对称
1．已知函数 f（2x+1）是奇函数．则函数 y＝f（2x）的图象成中心对称的点为
（ ）1 1
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（ ，0） D．（− ，0）
2 2
【解答】解：∵函数f（2x+1）是奇函数，
∴f（﹣2x+1）＝﹣f（2x+1）
令t＝1﹣2x，代入可得f（t）+f（2﹣t）＝0，
∴函数f（x）关于（1，0）对称，
1
则函数y＝f（2x）的图象成中心对称的点为（ ，0）．
2
故选：C．
2．已知函数f（x﹣1）（x R）是偶函数，且函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对
称，当x [﹣1，1]时，f（∈x）＝x﹣1，则f（2019）＝（ ）
A．﹣2 ∈ B．﹣1 C．0 D．2
【解答】解：根据题意，函数f（x﹣1）（x R）是偶函数，则函数f（x）的对称轴为x
＝﹣1， ∈
则有f（x）＝f（﹣2﹣x），
又由函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，则f（x）＝﹣f（2﹣x），
则有f（﹣2﹣x）＝﹣f（2﹣x），即f（x+4）＝﹣f（x），
变形可得f（x+8）＝f（x），则函数是周期为8的周期函数，
f（2019）＝f（3+252×8）＝f（3）＝﹣f（﹣1）＝﹣（﹣1﹣1）＝2；
故选：D．
x+1
3．（2016·全国2）已知函数f（x）（x R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y= 与
x
∈
m
y＝f（x）图象的交点为（x ，y ），（x ，y ），…，（x ，y ），则 （x+y）＝（
1 1 2 2 m m ∑ i i
i=1
）
A．0 B．m C．2m D．4m
【解答】解：函数f（x）（x R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），
即为f（x）+f（﹣x）＝2， ∈
可得f（x）关于点（0，1）对称，
x+1 1
函数y= ，即y＝1+ 的图象关于点（0，1）对称，
x x即有（x ，y ）为交点，即有（﹣x ，2﹣y ）也为交点，
1 1 1 1
（x ，y ）为交点，即有（﹣x ，2﹣y ）也为交点，
2 2 2 2
…
m
则有 （x+y）＝（x +y ）+（x +y ）+…+（x +y ）
∑ i i 1 1 2 2 m m
i=1
1
= [（x +y ）+（﹣x +2﹣y ）+（x +y ）+（﹣x +2﹣y ）+…+（x +y ）+（﹣x +2﹣
1 1 1 1 2 2 2 2 m m m
2
y ）]
m
＝m．
故选：B．
题型三 . 周期性
{log (3−x)，x≤0
0.5
1．已知函数f（x）
= 1
，则f（2019）＝（ ）
− ，x＞0
f(x−4)
4 2 1 1
A． B． C． D．
5 3 2 3
{log (3−x)，x≤0
0.5
【解答】解：∵f（x）
= 1
，
− ，x＞0
f(x−4)
当x＞0时，f（x+8）＝f（x），
1 1
则f（2019）＝f（3）=− = ．
f(−1) 2
故选：C．
2．（2017•山东）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）＝f（x﹣2）．若当
x [﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，则f（919）＝ 6 ．
【∈解答】解：由f（x+4）＝f（x﹣2）．则f（x+6）＝f（x），
∴f（x）为周期为6的周期函数，
f（919）＝f（153×6+1）＝f（1），
由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（1）＝f（﹣1），
当x [﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，
f（﹣∈1）＝6﹣（﹣1）＝6，∴f（919）＝6，
故答案为：6．
3．（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f
（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（ ）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），
∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，
则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）＝2，
∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（0）＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f
（50）
＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，
故选：C．
题型四 . 对称性与周期性综合
1．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（ ）
A．f（x）在（0，2）单调递增
B．f（x）在（0，2）单调递减
C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称
【解答】解：f（x）的定义域为（0，2），f（x）＝ln[x（2﹣x）]＝ln（﹣x2+2x），
故f（x）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减，A，B错．
∵f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+lnx＝f（x），
∴y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误．
故选：C．
2．（2019•涪城区校级模拟）设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f（x+1）
1 1
是偶函数，且当x≥1时，f（x）＝（ ）x﹣1，则a＝f（log 2），b＝f（﹣log❑
2 3 √32），c＝f（3）的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【解答】解：∵y＝f（x+1）是偶函数，
∴f（﹣x+1）＝f（x+1），
即函数f（x）关于x＝1对称．
1
∵当x≥1时，f（x）＝（ ）x﹣1为减函数，
2
9
∵f（log 2）＝f（2﹣log 2）＝f（log ），
3 3 3
2
1
且−log =log 2＝log 4，
√32 √3 3
9
log 4＜log ＜3，
3 3
2
∴b＞a＞c，
故选：C．
3．（2018秋•余姚市校级月考）已知函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x）（x R），且对任
∈
意x ，x [1，+∞）（x ≠x ）的时，恒有f(x )−f(x ) 0成立，则当f（2a2+a+2）
1 2 1 2 1 2 ＜
x −x
1 2
∈
＜f（2a2﹣2a+4）时，实数a的取值范围为（ ）
2 2
A．（ ，+∞） B．（−∞， ）
3 3
2 2
C．（ ，1） D．（ ，1）∪（1，+∞）
3 3
【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），则函数f（x）的图象关于
直线x＝1对称，
又由对任意x ，x [1，+∞）（x ≠x ）的时，恒有f(x )−f(x ) 0成立，则f（x）
1 2 1 2 1 2 ＜
x −x
1 2
∈
在[1，+∞）上为减函数，
1 15 1 7
又由2a2+a+2＝2（a+ ）2+ ＞1，2a2﹣2a+4＝2（a− ）2+ ＞1，
4 8 2 2
若f（2a2+a+2）＜f（2a2﹣2a+4），则有2a2+a+2＞2a2﹣2a+4，2 2
解可得a＞ ，即a的取值范围为（ ，+∞）
3 3
故选：A．
4．（2016•湖南校级模拟）已知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且在[1，+∞）
上单调递减，f（0）＝0，则f（x+1）＞0的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【解答】解：由f（x）的图象关于x＝1对称，f（0）＝0，
可得f（2）＝f（0）＝0，
当x+1≥1时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（2），
由f（x）在[1，+∞）上单调递减，可得：
x+1＜2，解得x＜1，即有0≤x＜1①
当x+1＜1即x＜0时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（0），
由f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，可得：
x+1＞0，解得x＞﹣1，即有﹣1＜x＜0②
由①②，可得解集为（﹣1，1）．
故选：B．
5．（2019•新课标Ⅱ）设函数 f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x
∈
8
（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x （﹣∞，m]，都有f（x）≥− ，则m的
9
∈
取值范围是（ ）
9 7 5 8
A．（﹣∞， ] B．（﹣∞， ] C．（﹣∞， ] D．（﹣∞， ]
4 3 2 3
【 解 答 】 解 ： 因 为 f （ x+1 ） ＝ 2f （ x ） ， ∴ f （ x ） ＝ 2f （ x﹣ 1 ） ，1
∵x （0，1]时，f（x）＝x（x﹣1） [− ，0]，
4
∈ ∈
1
∴x （1，2]时，x﹣1 （0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2） [− ，0]；
2
∈ ∈ ∈
∴x （2，3]时，x﹣1 （1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3） [﹣1，0]，
∈ ∈ 8 7 8 ∈
当x （2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）=− 解得x= 或x= ，
9 3 3
∈
8 7
若对任意x （﹣∞，m]，都有f（x）≥− ，则m≤ ．
9 3
∈
故选：B．
6．（2009•山东）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在区间
[0，2]上是增函数，若方程f（x）＝m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x ，
1
x ，x ，x ，则x +x +x +x ＝ ﹣ 8 ．
2 3 4 1 2 3 4
【解答】解：∵f（x）是奇函数，
∴f（x﹣4）＝﹣f（x）＝f（﹣x），
∴f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，
又f（x﹣4）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x+4），
∴f（x﹣4）＝f（x+4），∴f（x）周期为8，
作出f（x）的大致函数图象如图：由图象可知f（x）＝m的4个根中，两个关于直线x＝﹣6对称，两个关于直线x＝2对
称，
∴x +x +x +x ＝﹣6×2+2×2＝﹣8．
1 2 3 4
故答案为：﹣8．
课后作业 . 函数性质
1．若函数f（x）＝1
2x+1
sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n
+ +
2x+1
等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【解答】解：f（x）＝1 2x+1 sinx＝3 2 sinx，
+ + − +
2x+1 2x+1
f（﹣x）＝3 2 sin（﹣x）＝3 2⋅2x sinx
− + − −
2−x+1 1+2x
∴f（x）+f（﹣x）＝4，所以f（x）是以点（0，2）为对称中心，
所以其最大值与最小值的和m+n＝4．
故选：D．
1
2．设函数f（x）＝x3− ，则f（x）（ ）
x3
A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增
B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减
C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增
D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减
1
【解答】解：因为f（x）＝x3− ，
x31
则f（﹣x）＝﹣x3+ =−f（x），即f（x）为奇函数，
x3
1
根据幂函数的性质可知，y＝x3在（0，+∞）为增函数，故y = 在（0，+∞）为减函
1 x3
1
数，y =− 在（0，+∞）为增函数，
2 x3
1
所以当x＞0时，f（x）＝x3− 单调递增，
x3
故选：A．
3．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当x （0，1]时，
f（x）＝﹣x（x﹣2），则（ ） ∈
A．f（x）是周期为2的函数
B．f（2019）+f（2020）＝﹣1
C．f（x）的值域为[﹣1，1]
D．y＝f（x）在[0，2 ]上有4个零点
【解答】解：对于A，πf（x）为R上的奇函数，f（x+1）为偶函数，
所以f（x）图象关于x＝1对称，f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x）
即f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）
则f（x）是周期为4的周期函数，A错误；
对于B，f（x）定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，f（x）是周期为4的周期函数，则f
（2020）＝f（0）＝0；
当x （0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），则f（1）＝﹣1×（1﹣2）＝1，
则f（∈2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，
则f（2019）+f（2020）＝﹣1，故B正确．
对于C，当x （0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），此时有0＜f（x）≤1，
又由f（x）为∈R上的奇函数，则x [﹣1，0）时，﹣1≤f（x）＜0，f（0）＝0，函数关
于x＝1对称， ∈
所以函数f（x）的值域[﹣1，1]．故C正确．
对于D，∵f（0）＝0，且x （0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），∴x [0，1]，f（x）＝
﹣x（x﹣2）， ∈ ∈
∴x [1，2]，2﹣x [0，1]，f（x）＝f（2﹣x）＝﹣x（x﹣2），∴x [0，2]，f（x）＝﹣x
（x∈﹣2）， ∈ ∈∵f（x）是奇函数，∴x [﹣2，0]，f（x）＝x（x+2），
∵f（x）的周期为4，∴∈x [2，4]，f（x）＝（x﹣2）（x﹣4），
∴x [4，6]，f（x）＝﹣（∈x﹣4）（x﹣6），∴x [6，2 ]，f（x）＝（x﹣6）（x﹣8），
根据∈解析式，可得x [0， ]上有4个交点，故D∈正确．π
故选：BCD． ∈ π
1
4．设函数f（x）＝lg（1+|2x|）− ，则使得f（3x﹣2）＞f（x﹣4）成立的x的取值范
1+x4
围是（ ）
1 3
A．（ ，1） B．（﹣1， ）
3 2
3 3
C．（﹣∞， ） D．（﹣∞，﹣1）∪（ ，+∞）
2 2
1
【解答】解：f（x）＝ln（1+|2x|）− ，定义域为R，
1+x4
∵f（﹣x）＝f（x），
∴函数f（x）为偶函数，
1
当x＞0时，f（x）＝ln（1+2x）− 值函数单调递增，
1+x4
根据偶函数性质可知：得f（3x﹣2）＞f（x﹣4）成立，
∴|3x﹣2|＞|x﹣4|，
∴（3x﹣2）2＞（x﹣4）2，
3
解得：x＞ 或x＜﹣1，
2
故选：D．
5．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当x [0，1]时，f（x）＝2x
﹣1，则（ ） ∈
11 11
A．f(6)＜f(−7)＜f( ) B．f(6)＜f( )＜f(−7)
2 2
11 11
C．f(−7)＜f( )＜f(6) D．f( )＜f(−7)＜f(6)
2 2
【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），
∴f（x+4）＝f[（x+2）+2]＝﹣f（x+2）＝f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数，11 3 1 1
f（6）＝f（2）＝﹣f（0）＝0，f（ ）＝f（ ）＝﹣f（− ）＝f（ ）=√2−1，f
2 2 2 2
（﹣7）＝f（1）＝1，
11
∴f(6)＜f( )＜f(−7)，
2
故选：B．
6．已知函数f（x）（x R）满足f（﹣x）＝﹣f（x）＝f（4﹣x），当x （0，2）时，f
（x）＝ln（x2﹣x+b）∈．若函数f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点，则∈实数b的取值范
1 5
围是 ＜b≤1或b= ．
4 4
【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）＝0，即0是函数f（x）的零点，
因为f（x）是定义在R上且以4为周期的周期函数，
所以f（﹣2）＝f（2），且f（﹣2）＝﹣f（2），则f（﹣2）＝f（2）＝0，
即±2也是函数f（x）的零点，
因为函数f（x）在区间[﹣2，2]上的零点个数为5，
且当x （0，2）时，f（x）＝ln（x2﹣x+b），
所以当∈x （0，2）时，x2﹣x+b＞0恒成立，且x2﹣x+b＝1在（0，2）有一解，
∈
{△=1−4b＜0 { △=1−4b＜0
即 或 ，
1 1 02−0+b−1≤0
( ) 2− +b=1
2 2 22−2+b−1＞0
1 5
解得 ＜b≤1或b= ，
4 4
1 5
故答案为： ＜b≤1或b= ．
4 4
