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专题四 《函数》讲义
5.7 对称性与周期性
知识梳理 . 对称性与周期性
轴对称：
1.
，关于 对称
①f(x)=f(-x) x=0
，关于 对称
②f(a+x)=f(a-x) x=aa+b
2
，关于 对称
③f(a+x)=f(b-x) x=
中心对称：
2.
① ，关于 对称
f(x)-f(-x)=0 (0,0)
② ，关于 对称
f(a+x)-f(a-x)=0 (a,0)
③ ，关于 对称
f(a+x)-f(a-x)=2b (a,b)
周期性：
3.
，最小正周期为 ，有多个对称轴，有多个对称中心
①f(x)=f(x+T) T .
，
②f(x+a)=f(x+b) T=lb-al
，T=2
1
③f(x+a)=-f(x+b) lb-al
f(x)
，
④f(x+a)=± T=l2al
题型一 . 轴对称
1．已知函数f（x）＝f（2﹣x），x R，当x [1，+∞）时，f（x）为增函数．设a＝f
（1），b＝f（2），c＝f（﹣1），则a∈，b，c的∈大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
2．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x [0，1]时，f（x）＝x（3
∈31
﹣2x），则f（ ）＝（ ）
2
1 1
A．﹣1 B．− C． D．1
2 2
3．已知定义域为R的函数f（x）在[1，+∞）单调递增，且f（x+1）为偶函数，若f（3）
＝1，则不等式f（2x+1）＜1的解集为（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
题型二 . 中心对称
1．已知函数 f（2x+1）是奇函数．则函数 y＝f（2x）的图象成中心对称的点为
（ ）
1 1
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（ ，0） D．（− ，0）
2 2
2．已知函数f（x﹣1）（x R）是偶函数，且函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对
称，当x [﹣1，1]时，f（∈x）＝x﹣1，则f（2019）＝（ ）
A．﹣2 ∈ B．﹣1 C．0 D．2
x+1
3．（2016·全国2）已知函数f（x）（x R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y= 与
x
∈
m
y＝f（x）图象的交点为（x ，y ），（x ，y ），…，（x ，y ），则 （x+y）＝（
1 1 2 2 m m ∑ i i
i=1
）
A．0 B．m C．2m D．4m
题型三 . 周期性
{log (3−x)，x≤0
0.5
1．已知函数f（x）
= 1
，则f（2019）＝（ ）
− ，x＞0
f(x−4)
4 2 1 1
A． B． C． D．
5 3 2 3
2．（2017•山东）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）＝f（x﹣2）．若当
x [﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，则f（919）＝ ．
∈3．（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f
（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（ ）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
题型四 . 对称性与周期性综合
1．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（ ）
A．f（x）在（0，2）单调递增
B．f（x）在（0，2）单调递减
C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称
2．设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，
1 1
f（x）＝（ ）x﹣1，则a＝f（log 2），b＝f（﹣log❑ ），c＝f（3）的大小关系是
2 3 √32
（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a
3．已知函数 f（x）满足 f（2﹣x）＝f（x）（x R），且对任意 x ，x [1，+∞）
1 2
∈ ∈
（x ≠x ）的时，恒有f(x )−f(x ) 0成立，则当f（2a2+a+2）＜f（2a2﹣2a+4）时，
1 2 1 2 ＜
x −x
1 2
实数a的取值范围为（ ）
2 2
A．（ ，+∞） B．（−∞， ）
3 3
2 2
C．（ ，1） D．（ ，1）∪（1，+∞）
3 3
4．已知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）＝
0，则f（x+1）＞0的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣1）∪
（1，+∞）
5．（2019•新课标Ⅱ）设函数 f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x
∈
8
（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x （﹣∞，m]，都有f（x）≥− ，则m的
9
∈
取值范围是（ ）9 7 5 8
A．（﹣∞， ] B．（﹣∞， ] C．（﹣∞， ] D．（﹣∞， ]
4 3 2 3
6．（2009•山东）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在区间
[0，2]上是增函数，若方程f（x）＝m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x ，
1
x ，x ，x ，则x +x +x +x ＝ ．
2 3 4 1 2 3 4
课后作业 . 函数性质
1．若函数f（x）＝1
2x+1
sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n
+ +
2x+1
等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
1
2．（2020·全国2）设函数f（x）＝x3− ，则f（x）（ ）
x3
A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增
B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减
C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增
D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减
3．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当x （0，1]时，
f（x）＝﹣x（x﹣2），则（ ） ∈
A．f（x）是周期为2的函数 B．f（2019）+f（2020）＝﹣1
C．f（x）的值域为[﹣1，1] D．y＝f（x）在[0，2 ]上有4个零点
1
π
4．设函数f（x）＝lg（1+|2x|）− ，则使得f（3x﹣2）＞f（x﹣4）成立的x的取值范
1+x4
围是（ ）
1 3 3 3
A．（ ，1） B．（﹣1， ） C．（﹣∞， ） D．（﹣∞，﹣1）∪（ ，
3 2 2 2
+∞）
5．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当x [0，1]时，f（x）＝2x
﹣1，则（ ） ∈
11 11
A．f(6)＜f(−7)＜f( ) B．f(6)＜f( )＜f(−7)
2 2
11 11
C．f(−7)＜f( )＜f(6) D．f( )＜f(−7)＜f(6)
2 26．已知函数f（x）（x R）满足f（﹣x）＝﹣f（x）＝f（4﹣x），当x （0，2）时，f
（x）＝ln（x2﹣x+b）∈．若函数f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点，则∈实数b的取值范
围是 ．
