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专题四 《函数》讲义
5.6 奇偶性
知识梳理 . 奇偶性
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任
偶函数 意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那 关于y轴对称
么函数f(x)是偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任
奇函数 意一个x，都有f(－x)＝－f(x)， 关于原点对称
那么函数f(x)是奇函数
2.判断函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解
析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图象法：
(3)性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D，D，那么在它们的公共定义域上：
1 2
奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，
奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
题型一 . 判断奇偶性
1．已知函数f 2x+1 ，则下列结论正确的是（ ）
(x)= ，g(x)=2x
2x−1
A．f（x）g（x）为奇函数
B．f（x）g（x）为偶函数
C．f（x）+g（x）为奇函数D．f（x）+g（x）为非奇非偶函数
【解答】解：f（x）的定义域为2x﹣1≠0，x≠0，
2−x+1 1+2x
，故函数f（x）为奇函数，
f(−x)= = =−f(x)
2−x−1 1−2x
g（x）定义域为R且g（﹣x）＝﹣g（x），函数g（x）也为奇函数，
∴f（x）g（x）为偶函数，f（x）+g（x）为奇函数，
故选：BC．
2．下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（ ）
A． B．y＝sinx
y=log (√x2+1−x)
2
C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝|x﹣1|
【解答】解：因为f（﹣x）+f（x）＝log （ ）+log （ ）＝log
2 √(−x) 2+1+x 2 √x2+1−x 2
（x2+1﹣x2）＝0，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，
但是f（1）＝log （√2−1），f（0）＝0，f（1）＜f（0），不满足单调递增，不符合
2
题意；
y＝sinx在R上不单调，不符合题意；
y＝2x﹣2﹣x在R上单调递增，且f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，符
合题意；
y＝|x﹣1|为非奇非偶函数，不符合题意；
故选：C．
3．设函数f（x）＝x（ex+e﹣x），则对f（x）的奇偶性和在（0，+∞）上的单调性判断的结
果是（ ）
A．奇函数，单调递增 B．偶函数，单调递增
C．奇函数，单调递减 D．偶函数，单调递减
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x（ex+e﹣x），其定义域为R，
有f（﹣x）＝（x）（e﹣x+ex）＝﹣x（ex+e﹣x）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，
又由f′（x）＝（ex+e﹣x）+x（ex﹣e﹣x），
区间（0，+∞）上，ex＞1＞e﹣x＞0，则有f′（x）＞0，
则f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，故选：A．
题型二 . 已知奇偶性求参、求值
1．若函数f（x） k−2x （k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为 ± 1 ．
=
1+k⋅2x
【解答】解：∵函数f（x） k−2x
=
1+k⋅2x
∴f（﹣x）＝﹣f（x）
∴
k−2−x k−2x
=−
1+k⋅2−x 1+k⋅2x
∴（k2﹣1）（2x）2＝1﹣k2
∴（k2﹣1）＝0
∴k＝±1
验证k＝±1时，满足函数f（x）在定义域上为奇函数，
故答案为：±1．
2．若函数f（x）＝xln（x ）为偶函数，则a的值为（ ）
+√a+x2
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
【解答】解：∵函数f（x）＝xln（x ）为偶函数，x R，
+√a+x2
∈
∴设g（x）＝ln（x ）是奇函数，
+√a+x2
则g（0）＝0，
即ln√a=0，则√a=1，则a＝1．
故选：B．
3．（2019·全国2）已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，
则a＝ ．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣ln2）＝﹣8，
又∵当x＜0时，f（x）＝﹣eax，
∴f（﹣ln2）＝﹣e﹣aln2＝﹣8，
∴﹣aln2＝ln8，∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3题型三 . 两个重要结论
1．已知函数f（x） ，f（a）＝4，则f（﹣a）＝ ﹣ 2 ．
=ln(√1+x2−x)+1
【解答】解：根据题意，f（x） ，则f（﹣x）
=ln(√1+x2−x)+1 =ln(√1+x2+x)+1
，
则f（x）+f（﹣x）＝2，即有f（a）+f（﹣a）＝2，
又由f（a）＝4，则f（﹣a）＝﹣2；
故答案为：﹣2
2．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1在[﹣1，3]上的最大值为M，最小值为
m，则M+m＝ 4 ．
【解答】解：∵f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1＝[（x﹣1）2﹣1]sin（x﹣1）+x﹣
1+2
令g（x）＝（x﹣1）2sin（x﹣1）﹣sin（x﹣1）+（x﹣1），
而g（2﹣x）＝（x﹣1）2sin（1﹣x）﹣sin（1﹣x）+（1﹣x），
∴g（2﹣x）+g（x）＝0，
则g（x）关于（1，0）中心对称，则f（x）在[﹣1，3]上关于（1，2）中心对称．
∴M+m＝4．
故答案为：4．
题型四 . 奇偶性和单调性综合
1．设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（ ）
1
A．是偶函数，且在 ( ，+∞)单调递增
2
1 1
B．是奇函数，且在 (− ， )单调递增
2 2
1
C．是偶函数，且在(−∞，− )单调递增
2
1
D．是奇函数，且在 (−∞，− )单调递增
2
{2x+1≠0 1
【解答】解：由 ，得x≠± ．
2x−1≠0 2
又f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，
2x+1
由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝ln| |，
2x−1
1
2x+1 2 +
∵ =1+ =1 1．
2x−1 2x−1 x−
2
2x+1
可得内层函数t＝| |的图象如图，
2x−1
1 1 1 1
在（﹣∞，− ），（（ ，+∞）上单调递减，在（− ， ）上单调递增，
2 2 2 2
又对数式y＝lnt是定义域内的增函数，
1 1
由复合函数的单调性可得，f（x）在（− ， ）上单调递增，
2 2
1 1
在（﹣∞，− ），（（ ，+∞）上单调递减．
2 2
故选：B．
2．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则三个数 a＝f
2π
（﹣log 13），b＝f（2cos ），c＝f（20.6）的大小关系为（ ）
3
5
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b
2π π
【解答】解：根据题意，2＝log 9＜log 13＜log 27＝3，0＜2cos ＜2cos =1，1
3 3 3
5 3
＜20.6＜21＝2，
2π
则有2cos ＜1＜20.6＜2＜log 13，
5 3
函数f（x）是定义在R上的偶函数，则a＝f（﹣log 13）＝f（log 13），
3 3
2π
又由f（x）在[0，+∞）上单调递增，则f(−log 13)＞f(20.6 )＞f(2cos )，即a＞
3 5
c＞b，故选：B．
3．（2017•新课标Ⅰ）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣
1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．
若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，
又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，
∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），
∴﹣1≤x﹣2≤1，
解得：x [1，3]，
故选：D∈．
4．（2020•海南）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则
满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]
C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣1，0]∪[1，3]
【解答】解：∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f
（x）的大致图象如图：
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；
故f（﹣1）＜0；
当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，
{ x＞0
此时 ，此时1＜x≤3，
0＜x−1≤2
当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，{ x＜0
即 ，得﹣1≤x＜0，
−2≤x−1＜0
综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，
即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，
故选：D．
5．已知定义域为R的函数f（x） −2x+b是奇函数．若对任意的t R，不等式f（t2﹣2t）
=
2x+1+a
∈
1
+f（2t2﹣k）＜0恒成立，则k的取值范围为 k＜− ．
3
【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0 b＝1；
⇒
从而有f（x） 1−2x ，又由f（﹣1）＝﹣f（1） a＝2；
=
2x+1+a
⇒
∴f（x） 1−2x 1 1 ，
= =− +
2+2x+1 2 1+2x
由上式可知f（x）在R上为减函数，又∵f（x）为奇函数，
f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），
∵f（x）是R上的减函数，⇔由上式可得t2﹣2t＞k﹣2t2，
即对一切t R有3t2﹣2t﹣k＞0，
∈ 1
从而△＝4+12k＜0，解得k＜− ．
3
6．（2007•天津）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2，若对任意
的x [t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．∈[√2，+∞) B．[2，+∞）
C．（0，2] D．[−√2，−1]∪[√2，√3]
【解答】解：（排除法）当t=√2则x∈[√2，√2+2]得f(x+√2)≥2f(x)，即
在 时恒成立，而
(x+√2) 2≥2x2 ⇒x2−2√2x−2≤0 x∈[√2，√2+2] x2−2√2x−2
最大值，是当x=√2+2时出现，故x2−2√2x−2的最大值为0，则f（x+t）≥2f（x）恒
成立，排除B项，
同理再验证t＝3时，f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除C项，t＝﹣1时，f（x+t）≥2f（x）不成立，故排除D项
故选：A．
1
7．（2017•江苏）已知函数f（x）＝x3﹣2x+ex− ，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣
ex
1
1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是 [ ﹣ 1 ， ] ．
2
1
【解答】解：函数f（x）＝x3﹣2x+ex− 的导数为：
ex
f′（x）＝3x2﹣2+ex 1 2+2√ 1 0，
+ ≥− ex ⋅ =
ex ex
可得f（x）在R上递增；
1
又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex− = 0，
ex
可得f（x）为奇函数，
则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，
即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）
由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），
f（2a2）≤f（1﹣a），
即有2a2≤1﹣a，
1
解得﹣1≤a≤ ，
2
1
故答案为：[﹣1， ]．
2
1
8．（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln（1+|x|）− ，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成
1+x2
立的x的取值范围是（ ）
1 1
A．（﹣∞， ）∪（1，+∞） B．（ ，1）
3 3
1 1 1 1
C．（− ， ） D．（﹣∞，− ）∪( ，+∞)
3 3 3 3
1
【解答】解：∵函数f（x）＝ln（1+|x|）− 为偶函数，
1+x2
1
且在x≥0时，f（x）＝ln（1+x）− ，
1+x21 2x
导数为f′（x） = + ＞0，
1+x (1+x2
)
2
即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，
∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），
即|x|＞|2x﹣1|，
平方得3x2﹣4x+1＜0，
1
解得： ＜x＜1，
3
1
所求x的取值范围是（ ，1）．
3
故选：B．
