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专题四 《函数》讲义
5.6 奇偶性
知识梳理 . 奇偶性
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任
偶函数 意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那 关于y轴对称
么函数f(x)是偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任
奇函数 意一个x，都有f(－x)＝－f(x)， 关于原点对称
那么函数f(x)是奇函数
2.判断函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解
析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图象法：
(3)性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D，D，那么在它们的公共定义域上：
1 2
奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，
奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
题型一 . 判断奇偶性
1．已知函数f 2x+1 ，则下列结论正确的是（ ）
(x)= ，g(x)=2x
2x−1
A．f（x）g（x）为奇函数
B．f（x）g（x）为偶函数
C．f（x）+g（x）为奇函数D．f（x）+g（x）为非奇非偶函数
2．下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（ ）
A． B．y＝sinx
y=log (√x2+1−x)
2
C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝|x﹣1|
3．设函数f（x）＝x（ex+e﹣x），则对f（x）的奇偶性和在（0，+∞）上的单调性判断的结
果是（ ）
A．奇函数，单调递增 B．偶函数，单调递增
C．奇函数，单调递减 D．偶函数，单调递减
题型二 . 已知奇偶性求参、求值
1．若函数f（x） k−2x （k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为 ．
=
1+k⋅2x
2．若函数f（x）＝xln（x ）为偶函数，则a的值为（ ）
+√a+x2
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
3．（2019·全国2）已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，
则a＝ ．
题型三 . 两个重要结论
1．已知函数f（x） ，f（a）＝4，则f（﹣a）＝ ．
=ln(√1+x2−x)+1
2．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1在[﹣1，3]上的最大值为M，最小值为
m，则M+m＝ ．题型四 . 奇偶性和单调性综合
1．设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（ ）
1
A．是偶函数，且在 ( ，+∞)单调递增
2
1 1
B．是奇函数，且在 (− ， )单调递增
2 2
1
C．是偶函数，且在(−∞，− )单调递增
2
1
D．是奇函数，且在 (−∞，− )单调递增
2
2．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则三个数 a＝f
2π
（﹣log 13），b＝f（2cos ），c＝f（20.6）的大小关系为（ ）
3
5
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b
3．（2017•新课标Ⅰ）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣
1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
4．（2020•海南）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则
满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]
C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣1，0]∪[1，3]
5．已知定义域为R的函数f（x） −2x+b是奇函数．若对任意的t R，不等式f（t2﹣2t）
=
2x+1+a
∈
+f（2t2﹣k）＜0恒成立，则k的取值范围为 ．
6．（2007•天津）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2，若对任意
的x [t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．∈[√2，+∞) B．[2，+∞） C．（0，2] D．
[−√2，−1]∪[√2，√3]
1
7．（2017•江苏）已知函数f（x）＝x3﹣2x+ex− ，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣
ex
1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是 ．
1
8．（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln（1+|x|）− ，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成
1+x2立的x的取值范围是（ ）
1 1 1 1 1
A．（﹣∞， ）∪（1，+∞） B．（ ，1） C．（− ， ） D．（﹣∞，− ）
3 3 3 3 3
1
∪( ，+∞)
3
