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专题四 《函数》讲义
5.5 单调性
知识梳理 . 单调性
1．增函数、减函数
定义：设函数f(x)的定义域为I：
(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x ，x ，当xf(x)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
1 2
2．单调性、单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
3.判断函数单调性常用方法
(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升
或下降确定单调性.
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.
(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及
f(x)±g(x)增减性质进行判断；
②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的
单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.
4．函数的最值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．
(2)存在x∈I，使得f(x)＝M.
0 0
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．
题型一 . 常见函数的单调性（单调区间）
1．函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x （﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），
令t＝x2﹣2x﹣8，则y＝lnt，
∈∵x （﹣∞，﹣2）时，t＝x2﹣2x﹣8为减函数；
x （∈4，+∞）时，t＝x2﹣2x﹣8为增函数；
y∈＝lnt为增函数，
故函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），
故选：D．
2．已知函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取
值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【解答】解：因为函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函
数
由复合函数的单调性知，必有t＝|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数
又t＝|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，
所以[1，+∞） [a，+∞），故有a≤1，
故选：B． ⊆
3．已知函数f（x）
=
{x2+(4a−3)x+3a，x＜0（a＞0且a≠1）是R上的单调函数，
log (x+1)+2，x≥0
a
则a的取值范围是（ ）
3 3 2 3 2 3
A．（0， ] B．[ ，1） C．[ ， ] D．（ ， ]
4 4 3 4 3 4
【解答】解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满足0＜a＜1，
b b
根据二次函数开口向上，二次函数在（﹣∞，− ）单调递减，可得− ≥0．且
2a 2a
[x2+（4a﹣3）x+3a] ≥[log （x+1）+2] ，
min a max
4a−3 3 2
故而得：− ≥0，解答a≤ ，并且3a≥2，a （0，1）解得：1＞a≥ ．
2 4 3
∈
2 3
∴a的取值范围是[ ， ]，
3 4
故选：C．
{(a−2)x，x≥2
4 ． 已 知 函 数 f （ x ） ， 满 足 对 任 意 的 实 数 x ≠ x ， 都 有
= 1 x 1 2
( ) −1，x＜2
2f(x
1
)−f(x
2
)
＜
0成立，则实数a的取值范围为（ ）
x −x
1 2
13 13 13
A．（1，+∞） B．(−∞， ] C．(−∞， ) D．( ，+∞)
8 8 8
【解答】解：由于f（x）满足对任意的实数x ≠x ，都有f(x )−f(x ) 0成立，
1 2 1 2 ＜
x −x
1 2
∴f（x）为R上的减函数，
{(a−2)x，x≥2
又函数f（x） ，
= 1 x
( ) −1，x＜2
2
{ a−2＜0
∴ ，解得a 13，
1 ≤
2(a−2)≤( ) 2−1 8
2
13
∴实数a的取值范围为(−∞， )．
8
故选：C．
题型二 . 利用函数单调性求值域、最值
1．若函数 f（x）
{(1−2a)x+3a，x＜1的值域为
R，则 a 的取值范围是
=
2x−1，x≥1
（ ）
1 1 1 1
A．[0， ） B．（ ，1] C．[﹣1， ） D．（0， ）
2 2 2 2
【解答】解：由题意可得，y＝（1﹣2a）x+3a单调递增且1﹣2a+3a≥1，
{1−2a＞0 1
故 ，解可得，0≤a＜ ．
1+a≥1 2
故选：A．
1
2．已知函数 f（x）＝lg（ax2+（2﹣a）x+ ）的值域为 R，则实数 a 的取值范围是
4
（ ）
A．（1，4） B．（1，4）∪{0} C．（0，1]∪[4，+∞） D．[0，
1]∪[4，+∞）1 1
【解答】解：对a分类讨论：a＝0时，函数f（x）＝lg（2x+ ），由2x+ ＞0，可得
4 4
函数f（x）的值域为R，因此a＝0满足题意．
1
a≠0 时，要使得函数 f（x）＝lg（ax2+（2﹣a）x+ ）的值域为 R，则
4
{ a＞0
，解得0＜a≤1，或a≥4．
1
△=(2−a) 2−4a× ≥0
4
则实数a的取值范围是[0，1]∪[4，+∞），
故选：D．
{x2−2ax+12，x≤1
3．已知函数f（x） ，若f（x）的最小值为f（1），则实数a的取
= 4
x+ +a，x＞1
x
值范围是 [ 3 ， + ∞） ．
【解答】解：由题意可知要保证f（x）的最小值为f（1），需满足{ a≥1 ，
f(2)≥f(1)
{ a≥1
即 ，
4
2+ +a≥1−2a+12
2
解得a≥3．
故答案为：[3，+∞）
4．已知函数f（x）＝2x，则函数f（f（x））的值域是（ ）
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．[1，+∞） D．R
【解答】解：由指数函数的性质可知，函数f（x）＝2x的值域为（0，+∞），
令t＝2x，则t＞0，
∴f（f（x））＝f（t）＝2t＞20＝1，即所求函数的值域为（1，+∞）．
故选：B．
1
5．已知函数f（x）＝lnx− ax2+（a﹣1）x+a（a＞0）的值域与函数f（f（x））的值域
2
相同，则a的取值范围为（ ）4 4
A．（0，1] B．（1，+∞） C．(0， ] D．[ ，+∞）
3 3
1
【解答】解：函数f（x）＝lnx− ax2+（a﹣1）x+a（a＞0），其定义域满足：x＞0．
2
1
则f′（x）= −ax+（a﹣1）（a＞0）
x
1
令f′（x）＝0，可得x=− （舍去），x＝1．
a
当x （0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在区间（0，1）递增；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在区间（1，+∞）递减；
∈ 3
∴当x＝1时，f（x）取得最大值为 a−1；
2
3
f（x））的值域为（﹣∞， a−1]，
2
3
∴函数f（f（x））的值域为（﹣∞， a−1]，
2
3
则 a−1≥1；
2
4
解得：a≥ ．
3
4
则a的取值范围为[ ，+∞）；
3
故选：D．
题型三 . 利用函数单调性比较大小
1．已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x ＞x ＞1时，[f（x ）﹣f（x ）]
2 1 2 1
1
（x ﹣x ）＜0恒成立，设a＝f（− ），b＝f（2），c＝f（e），则a，b，c的大小关系
2 1
2
为（ ）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c
【解答】解：∵当x ＞x ＞1时，[f（x ）﹣f（x ）]（x ﹣x ）＜0恒成立，
2 1 2 1 2 1
∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，
又∵函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
1 5
∴a＝f（− ）＝f（ ），
2 2又∵b＝f（2），c＝f（e），
5
且2＜ ＜e，f（x）在（1，+∞）上单调递减，
2
5
∴f（2）＞f（ ）＞f（e），
2
1 5
∵a＝f（− ）＝f（ ），b＝f（2），c＝f（e），
2 2
∴b＞a＞c，
故选：D．
2．已知函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，且f（﹣x）＝f（x），若a＝f（
log 13），b＝f（2﹣1.2），c＝f（ 1 ），则a，b，c的大小关系为（ ）
2 2
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c
【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，
又由函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，则f（x）在（0，+∞）上递减，
a＝f（ log 13）＝f（log 3），b＝f（2﹣1.2），c＝f（ 1 ）＝f（2﹣1），
2
2 2
又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log 3，
2
则b＞c＞a，
故选：B．
3．（2013·天津）设函数f（x）＝ex+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝
0，g（b）＝0，则（ ）
A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a）
C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0
【解答】解：①由于y＝ex及y＝x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）＝ex+x﹣2
在R上单调递增，
分别作出y＝ex，y＝2﹣x的图象，∵f（0）＝1+0﹣2＜0，f（1）＝e﹣1＞0，f（a）＝
0，∴0＜a＜1．
同理 g（x）＝lnx+x2﹣3 在 R+上单调递增，g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，g（√3）
1
=ln√3+(√3) 2−3= ln3＞0，g（b）＝0，∴1＜b＜√3．
2
∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，f（b）＝eb+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0．
∴g（a）＜0＜f（b）．
故选：A．
题型四 . 利用 ( 抽象 ) 函数单调性解不等式
1．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）＝0，若f（x﹣1）＞0，则x的取
值范围是 （﹣ 1 ， 3 ） ．
【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）＝0，
∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），
即f（|x﹣1|）＞f（2），
∴|x﹣1|＜2，
解得﹣1＜x＜3，
故答案为：（﹣1，3）
2．已知函数 {−x2+2x−1，x≤1，若f（a2﹣4）＞f（3a），则实数a的取值范围
f(x)=
|x−1|，x＞1
是（ ）
A．（﹣4，1） B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）
C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）
【解答】解：由分段函数的性质可知 {−x2+2x−1，x≤1，f（x）在R上单调
f(x)=
|x−1|，x＞1
递增，
若f（a2﹣4）＞f（3a），
则a2﹣4＞3a，
解可得，a＞4或a＜﹣1．
故选：D．1 √2
3．（2012·全国）当0＜x≤ 时，不等式4x＜log x恒成立，则实数a的取值范围是（ ，
a
2 2
1 ） ．
1
【解答】解：当0≤x≤ 时，函数y＝4x的图象如下图所示：
2
若不等式4x＜log x恒成立，则y＝log x的图象恒在y＝4x的图象的上方（如图中虚线所
a a
示）
1 √2
∵y＝log x的图象与y＝4x的图象交于（ ，2）点时，a= ，
a
2 2
√2
故虚线所示的y＝log x的图象对应的底数a应满足 ＜a＜1，
a
2
√2
故答案为：（ ，1）．
2
4．（2017·全国3）设函数f（x） {x+1，x≤0，则满足f（x）+f（x 1）＞1的x的取
= −
2x，x＞0 2
1
值范围是 （− ， + ∞） ．
4
1 1
【解答】解：若x≤0，则x− ≤− ，
2 2
1 1 1 1
则f（x）+f（x− ）＞1等价为x+1+x− +1＞1，即2x＞− ，则x＞− ，
2 2 2 41
此时− ＜x≤0，
4
1 1
当x＞0时，f（x）＝2x＞1，x− ＞− ，
2 2
1 1 1
当x− ＞0即x＞ 时，满足f（x）+f（x− ）＞1恒成立，
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
当0≥x− ＞− ，即 ≥x＞0时，f（x− ）＝x− +1＝x+ ＞ ，
2 2 2 2 2 2 2
1
此时f（x）+f（x− ）＞1恒成立，
2
1
综上x＞− ，
4
1
故答案为：（− ，+∞）．
4
