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专题四 《函数》讲义
5.2 二次函数与幂函数
知识梳理 . 二次函数与幂函数
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)．
1 2
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
在上单调递减； 在上单调递增；
单调性
在上单调递增 在上单调递减
对称性 函数的图象关于x＝－对称
2．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见
的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
题型一 . 二次函数
考点 1 . 二次函数根的分布、恒成立问题
1 ． 函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，则实数a的取值
范围是（ ）
A．[﹣3，0） B．（﹣∞，﹣3] C．[﹣2，0] D．[﹣3，0]【解答】解：∵函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，
①当a＝0时，f（x）＝﹣3x+1，
∵﹣3＜0，
∴f（x）在R上单调递减，符合题意；
②当a＞0时，函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1为二次函数，
∵二次函数在对称轴右侧单调递增，
∴不可能在区间[﹣1，+∞）上递减，
故不符合题意；
a−3
③当a＜0时，函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1为二次函数，对称轴为x=− ，
2a
∵二次函数在对称轴右侧单调递减，且f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上
是递减的，
a−3
∴− ≤−1，解得﹣3≤a＜0，
2a
∴实数a的取值范围是﹣3≤a＜0．
综合①②③，可得实数a的取值范围是[﹣3，0]．
故选：D．
2．设f（x）＝x2﹣2x+a．若函数f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，则实数a的取值范围
为 （﹣ 3 ， 1 ] ．
【解答】解：f（x）的对称轴为x＝1．
∵函数f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，
∴{ △≥0 ，即{4−4a≥0，
f(−1)＞0 3+a＞0
解得﹣3＜a≤1．
故答案为（﹣3，1]．
3．方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m的取值范围为（
）
A．m＞1 B．m＞3+2√2
C．m＞3+2√2或0＜m＜3−√2 D．3﹣2√2＜m＜1
【解答】解：构造函数f（x）＝mx2﹣（m﹣1）x+1，图象恒过点（0，1）
∵方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，m＞0
{
m−1
∴ 0＜ ＜1
2m
f(1)＞0
△＞0
{ m＞0
∴
m＞1
(m−1) 2−4m＞0
∴m＞3+2√2
故选：B．
4．已知命题p： x R，x2+（a﹣1）x+1＜0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围为
（ ） ∃ ∈
A．[1，3] B．[﹣1，3] C．（﹣1，3） D．[0，2]
【解答】解：依题意x2+（a﹣1）x+1≥0对任意实数x都成立，所以△＝（a﹣1）2﹣
4≤0，解得﹣1≤a≤3．
故选：B．
1
5．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+2，若对一切x [ ，2]，f（x）＞0都成立，则实数a的取值
2
∈
范围为（ ）
1 1
A．[﹣4，+∞） B．（﹣4，+∞） C．[ ，+∞） D．（ ，+∞）
2 2
1
【 解 答 】 解 ： 由 题 意 得 ， 对 一 切 x [ ， 2] ， f （ x ） ＞ 0 都 成 立 ， 即 a
2
∈
2x−2 2 2 1 1 1
＞ = − =−2（ − ）2+ ，
x2 x x2 x 2 2
1 1 1 1 1
而﹣2（ − ）2+ ≤ ，则实数a的取值范围为：（ ，+∞）．
x 2 2 2 2
故选：D．
6．已知不等式 kx2﹣4kx﹣3＜0 对任意 k [﹣1，1]时均成立，则 x 的取值范围为
(2−√7，1)∪(3，2+√7) ． ∈
【解答】解：令f（k）＝kx2﹣4kx﹣3＝（x2﹣4x）k﹣3，看作关于k的一次函数，
∵不等式kx2﹣4kx﹣3＜0对任意k [﹣1，1]时均成立，
∈∴{f(−1)＜0，即{−x2+4x−3＜0，解得
或 ．
2−√7＜x＜1 3＜x＜2+√7
f(1)＜0 x2−4x−3＜0
∴x的取值范围为(2−√7，1)∪(3，2+√7)．
故答案为：(2−√7，1)∪(3，2+√7)．
考点 2 . 二次函数的值域与最值
1．函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值为2，m的取值范围是（
）
A．（﹣∞，2] B．[0，2] C．[1，2] D．[1，+∞）
【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图所示，
当x＝1时，y最小，最小值是2，当x＝2时，y＝3，
函数f（x）＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，
则实数m的取值范围是[1，2]．
故选：C．
2．求函数y＝﹣x（x﹣a）在x [﹣1，1]上的最大值．
∈ a a2
【解答】解：函数y＝﹣（x− ）2+ 图象开口向下，
2 4
a
对称轴方程为x= ，
2a
（1）当 ＜−1，即a＜﹣2时，由图可知，当x＝﹣1时，y ＝﹣a﹣1；
max
2
a
（2）当﹣1≤ ≤1，即﹣2≤a≤2时，由图可知，
2
a a2
当x= 时，y = ；
2 max 4
a
（3）当 ＞1，即a＞2时，由图可知，当x＝1时，y ＝a﹣1；
max
2
{
−(a+1)，a＜−2
故y
max=
a2
，−2≤a≤2
．
4
a−1，a＞2
3．已知函数f（x） 的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围
=√mx2−(m−2)x+m−1
2
是 [ 0 ， √3 ] ．
3
【解答】解：当 m＝0 时，（x） ，值域是
=√mx2−(m−2)x+m−1=√2x−1
[0，+∞），满足条件；
当m＜0时，f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；
当m＞0时，f（x）的被开方数是二次函数，△≥0，
即（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）≥0，
2 2
∴− √3≤m≤ √3，
3 3
2
综上，0≤m≤ √3，
3
2
∴实数m的取值范围是：[0， √3]，
3
2
故答案为：[0， √3]，
3
4．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m R）是奇函数，若对于任意的x R，关
于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数∈a的取值范围是 （﹣∞， 1 ） ∈．
【解答】解：由奇函数的性质可得，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x＝﹣（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x，
故m﹣2＝0即m＝2，此时f（x）＝﹣6x单调递减的奇函数，
由不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，可得x2+1＞a恒成立，
结合二次函数的性质可知，x2+1≥1，
所以a＜1．
故答案为：（﹣∞，1）
题型二 . 幂函数
考点 1 . 幂函数的图像与性质
1
1 ． 已知幂函数y＝x 的图象过点( ，4)，则该函数的单调递减区间为（ ）
2
α
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，0） C．[0，+∞） D．（0，+∞）
1
【解答】解：根据幂函数y＝x 的图象过点( ，4)，
2
α
1 α
得( ) =4，解得 ＝﹣2，
2
α
所以函数y＝x﹣2，x≠0；
所以函数y的单调递减区间为（0，+∞）．
故选：D．
2．幂函数y＝（m2﹣m﹣5）x❑ m2−4m+1的图象分布在第一、二象限，则实数 m的值为 m
＝ 3
【解答】解：∵幂函数y＝（m2﹣m﹣5）x❑ m2−4m+1的图象分布在第一、二象限，
∴m2﹣m﹣5＝1，且m2﹣4m+1为偶数，求得m＝3，
故答案为：3．
3．幂函数 （a，m N）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则
f(x)=(a−1)xm2−2m−3
∈
a+m＝ 3 ．
【解答】解：∵幂函数
f(x)=(a−1)xm2−2m−3
（a，m N），在（0，+∞）上是减函数，
∈
∴a﹣1＝1，且m2﹣2m﹣3＜0，
∴a＝2，﹣1＜m＜3，
又∵m N，∴m＝0，1，2，
又∵幂∈函数f（x）为偶函数，∴m＝1，∴a+m＝3，
故答案为：3．
4．已知函数f（x） ，且f（2）＞f（3），则实数k的取值范围是 （﹣∞，﹣
=x−k2+k+2
1 ）∪（ 2 ， + ∞） ．
【解答】解：因为f（x） ，且f（2）＞f（3），
=x−k2+k+2
所以其在（0，+∞）上是减函数，
所以根据幂函数的性质，有﹣k2+k+2＜0，即k2﹣k﹣2＞0，
所以k＜﹣1或k＞2．
故答案为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
考点 2 . 利用幂函数比较大小
5 1 2 3 5 1
1．已知a＝（ ） ，b＝（ ） ，c＝（ ） ，则a，b，c的大小关系是（
3
❑3
3
❑4
3
❑4
）
A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【解答】解：对于y
=log
x是增函数，
5
3
5 1 5 1
故c＝（ ） a＝（ ） ，
3
❑4＜
3
❑3
2 3 5 0 5 1
而b＝（
3
） ❑4＜ 1=(
3
) ＜c＝（
3
） ❑4 ，
故b＜c＜a，
故选：A．
2．设 3 1 4 1 2 3，则a，b，c的大小顺序是（ ）
a=( )2，b=( )4，c=( )4
4 3 3
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
3 1 9 1
【解答】解：a=( )2=( )4＜1，
4 16
4 1
b=( )4＞1，
3
2 3 8 1
c=( )4=( )4＜1；
3 278 9 1
且0＜ ＜ ＜1，函数y 在（0，+∞）上是单调增函数，
27 16
=x4
8 1 9 1
所以( )4＜( )4，
27 16
所以c＜a；
综上知，c＜a＜b．
故选：A．
3．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2x❑ m2−4m+2（m R），在（0，+∞）上单调递增．设a＝
∈
log 4，b＝log❑ 3，c＝0.5﹣0.2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系是（ ）
5 1
5
A．f（b）＜f（a）＜f（c） B．f（c）＜f（b）＜f（a）
C．f（c）＜f（a）＜f（b） D．f（a）＜f（b）＜f（c）
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m﹣1）2x❑ m2−4m+2（m R），在（0，+∞）上单调递
增， ∈
∴{ (m−1) 2=1 ，解得m＝0，
m2−4m+2=0
∴f（x）＝x2，
故选：A．
