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专题四 《函数》讲义
5.1函数的三要素
知识梳理 . 函数的概念
1．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值
相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是
判断两函数相等的依据．
2．函数的三种表示法
解析法 图象法 列表法
就是把变量x，y之间的关系
就是把x，y之间的关系绘制 就是将变量x，y的取值列成
用一个关系式 y＝f(x)来表
成图象，图象上每个点的坐 表格，由表格直接反映出两
示，通过关系式可以由 x的
标就是相应的变量x，y的值. 者的关系.
值求出y的值.
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的
函数通常叫做分段函数．
题型一 . 定义域
考点 1 . 具体函数定义域
1 ． 函数f（x）＝ − 1 （2x﹣1）0的定义域是（ ）
（1﹣x） 2+
1 1
A．（﹣∞，1] B．（−∞， ）∪（ ，1）
2 2
1
C．（﹣∞，1） D．( ，1)
2
{1−x＞0
【解答】解：要使f（x）有意义，则 ；
2x−1≠01
解得x＜1，且x≠ ；
2
1 1
∴f（x）的定义域为(−∞， )∪( ，1)．
2 2
故选：B．
2．函数 1 的定义域为M，g（x）＝ln（x2+3x+2）的定义域为N，则M∪ N
f(x)= R
√1−x2
∁
＝（ ）
A．[﹣2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，+∞） D．（﹣∞，1）
【解答】解：由1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，
∴M＝（﹣1，1），
由x2+3x+2＞0，解得x＜﹣2或x＞﹣1，
∴N＝（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞），
∴ N＝[﹣2，﹣1]，
R
则∁M∪
R
N＝[﹣2，1）．
故选：A∁．
考点 2 . 抽象函数定义域
3．若函数f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（x）的定义域是 [ ﹣ 1 ， 5 ] ．
【解答】解：∵函数f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，
即﹣1≤x≤2，
∴﹣2≤2x≤4
∴﹣1≤3﹣2x≤5
∴函数f（x）的定义域是[﹣1，5]
故答案为：[﹣1，5]
4．函数 y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数 y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为
（ ）
A．[﹣1，3] B．[0，2] C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]
【解答】解：∵函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，
{−1≤1+x≤2
∴由 ，解得﹣1≤x≤1．
−1≤1−x≤2
∴函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为[﹣1，1]．故选：C．
考点 3 . 已知定义域求参
9
5．已知函数f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为R，则实数a的取值范围是 （ ，
8
+ ∞） ．
【解答】解：根据条件可知ax2+3x+2＞0恒成立，
9
则a＞0，且△＝9﹣8a＜0，解得a＞ ，
8
9
故a的取值范围是（ ，+∞）．
8
9
故答案为：（ ，+∞）．
8
6．若函数f（x）＝（2a2+5a+3）x2+（a+1）x﹣1 的定义域、值域都为R，则实数a满足（
）
3 13
A．a＝﹣1或a=− B．− ＜a＜−1
2 9
3 3
C．a≠﹣1或a≠− D．a=−
2 2
【解答】解：函数函数f（x）＝（2a2+5a+3）x2+（a+1）x﹣1 的定义域为R，对a没有
范围限制，
若值域为R，则函数为一次函数，即{2a2+5a+3=0，解得a 3．
=−
a+1≠0 2
故选：D．
题型二 . 解析式
考点 1 . 待定系数法
1 ． 已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求函数f（x）的解析式．
【解答】解：设f（x）＝ax+b，a、b R，
则f[f（x）]＝f[ax+b]＝a（ax+b）+b ∈
即a2x+ab+b＝9x+4，
∴{ a2=9 ；
ab+b=4{a=3 {a=−3
解得 ，或 ；
b=1 b=−2
∴f（x）＝3x+1，或f（x）＝﹣3x﹣2．
2．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x，则f（x）的解析式
是 f （ x ）＝ x 2 ﹣ x + 1 ．
【解答】解：设y＝ax2+bx+c（a≠0）
由f（0）＝1得，c＝1 …（2分）
∵f（x+1）﹣f（x）＝2x，
∴a（x+1）2+b（x+1）﹣ax2﹣bx＝2x，
即2ax+a+b＝2x…（8分）
{ 2a=2
∴ ⋯（11分）
a+b=0
∴f（x）＝x2﹣x+1．
故答案为：f（x）＝x2﹣x+1
考点 2 . 换元法
3．已知f(√x−1)=x−2√x，则函数f（x）的解析式为 f （ x ）＝ x 2 ﹣ 1 ，（ x ≥﹣ 1 ）
．
【解答】解：令t=√x−1≥﹣1，则√x=t+1，x＝（t+1）2，
∴f（t）＝（t+1）2﹣2（t+1）＝t2﹣1，（t≥﹣1），
∴f（x）＝x2﹣1，（x≥﹣1）
故答案为“f（x）＝x2﹣1，（x≥﹣1）．
4．已知f（1−x） 1−x2，求f（x）的解析式．
=
1+x 1+x2
1−x 1−t
【解答】解：设 =t，则x= （t≠﹣1）；
1+x 1+t
1−t 2
1−( )
1+t 2t
∴f（t）= = ；
1−t 2 1+t2
1+( )
1+t
2x
f（x）= （x≠﹣1）．
1+x2考点 3 . 凑配法
1 x
5．（1）已知f（ ）= ，求f（x）的解析式；
x 1−x2
1 1
（2）已知f（x+ ）＝x2+ ，求f（x）．
x x2
1 1 1 x
【解答】解：（1）设t= ，则x= （t≠0），代入f（ ）= ，
x t x 1−x2
1
t t
得到f(t)= = ，
1−(
1
) 2
t2−1
t
x
所以f(x)= （x≠0，x≠±1）．
x2−1
1 1 1
（2）f（x+ ）＝x2+ =(x+ ) 2−2，
x x2 x
所以f（x）＝x2﹣2（x≥2或x≤﹣2）．
6．已知f（3x）＝4xlog 3+10，则f（2）+f（4）+f（8）+…+f（210）的值等于 32 0 ．
2
【解答】解：∵f（3x）＝4xlog 3+10，
2
∴设t＝3x，则x＝log t，
3
∴f（t）＝4×log t×log 3+10＝4log t+10，
3 2 2
∴f（2）+f（4）+f（8）+…+f（210）
＝ 4
（log 2+log 4+log 8+log 16+log 32+log 64+log 128+log 256+log 512+log 1024）+10×10
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
＝4（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+100
＝320．
故答案为：320．
考点 4 . 方程组法
7．已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x，则f（1）＝ ﹣ 3 ．
【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x，
令x＝1可得：f（1）+2f（﹣1）＝3，①
令x＝﹣1可得：f（﹣1）+2f（1）＝﹣3，②
联立①②，解可得：f（1）＝﹣3；
故答案为：﹣3．8．已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2•3x，
则函数f（x）＝ 3 x + 3 ﹣ x ．
【解答】解：因为函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g
（x）＝2•3x，
所以f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）﹣g（x）＝2•3﹣x，
解得f（x）＝3x+3﹣x．
故答案为：3x+3﹣x．
考点 5 . 求谁设谁
9．已知函数f（x）为奇函数，当x （0，+∞）时，f（x）＝log x，（1）求f（x）的
2
解析式； （2）当f（x）＞0时．求x∈的取值范围．
【解答】解：（1）设x＜0，﹣x＞0；
∴f（﹣x）＝log （﹣x）＝﹣f（x）；
2
∴f（x）＝﹣log （﹣x）；
2
∴ f(x)= { log 2 x x＞0 ；
−log (−x) x＜0
2
（2）①x＞0时，由f（x）＞0得，log x＞0；
2
∴x＞1；
②x＜0时，由f（x）＞0得，﹣log （﹣x）＞0；
2
∴log （﹣x）＜0；
2
∴0＜﹣x＜1；
∴﹣1＜x＜0；
∴x的取值范围为（﹣1，0）∪（1，+∞）．
10．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）＝2f（x），且当x （0，1]时，f（x）＝x2﹣
x，则当x （﹣1，0]时，f（x）的值域为（ ） ∈
1 ∈ 1 1 1 1
A．[− ，0] B．[− ，0] C．[− ，− ] D．[0， ]
8 4 8 4 4
【解答】解：∵f（x+1）＝2f（x），
1
∴f（x）= f（x+1）；
2
当x （﹣1，0]时，x+1 （0，1]；
∈ ∈1 1
故f（x）= f（x+1）= [（x+1）2﹣（x+1）]；
2 2
1
∴− ≤（x+1）2﹣（x+1）≤0，
4
1 1
∴− ≤ [（x+1）2﹣（x+1）]≤0，
8 2
故选：A．
考点 6 . 利用对称求解析式
11．下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（ ）
A．y＝ln（1﹣x） B．y＝ln（2﹣x） C．y＝ln（1+x） D．y＝ln（2+x）
【解答】解：首先根据函数y＝lnx的图象，
则：函数y＝lnx的图象与y＝ln（﹣x）的图象关于y轴对称．
由于函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称．
则：把函数y＝ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y＝ln（2﹣x）．
即所求得解析式为：y＝ln（2﹣x）．
故选：B．
12．设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝
1，则a＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
【解答】解：∵与y＝2x+a的图象关于y＝x对称的图象是y＝2x+a的反函数，
y＝log x﹣a（x＞0），
2
即g（x）＝log x﹣a，（x＞0）．
2
∵函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，
∴f（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣log （﹣x）+a，x＜0，
2
∵f（﹣2）+f（﹣4）＝1，
∴﹣log 2+a﹣log 4+a＝1，
2 2
解得，a＝2，
故选：C．
题型三 . 值域
考点 1 . 利用单调性求值域
1
1 ． 下列函数中，与函数f(x)=( ) x的定义域和值域都相同的是（ ）
5A．y＝x2+2x，x＞0 B．y＝|x+1|
1
C．y＝10﹣x D．y=x+
x
1
【解答】解：函数f(x)=( ) x的定义域R，值域（0，+∞），
5
A：函数的定义域不同，不符合题意；
B：y＝|x+1|≥0，值域不同，不符合题意；
C：y＝10﹣x定义域R，值域（0，+∞），符合题意；
1
D：y＝x+ 的定义域{x|x≠0}，定义域不同，不符合题意．
x
故选：C．
1
2．已知函数f（x）＝log （x﹣2）的定义域为A，则函数g（x）＝（ ）2﹣x（x A）的值
3
2
∈
域为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．[1，+∞） D．（1，+∞）
【解答】解：要使函数有意义，则 x﹣2＞0 得 x＞2，即函数 f（x）的定义域为
（2，+∞），即A＝（2，+∞），
1 1
g（x）＝（ ）2﹣x= •2x，为增函数，
2 4
1
则g（x）＞g（2）= •22＝1，即g（x）的值域为（1，+∞），
4
故选：D．
考点 2 . 换元法
3．函数y=2x+4√1−x的值域为（ ）
A．（﹣∞，﹣4] B．（﹣∞，4] C．[0，+∞） D．[2，+∞）
【解答】解：设t=√1−x，则t≥0，则x＝1﹣t2，
则函数等价为y＝2（1﹣t2）+4t＝﹣2t2+4t+2，
4
对称轴为t=− =1，
2×(−2)
则当t＝1时，函数取得最大值y＝﹣2+4+2＝4，
即y≤4，即函数的值域为（﹣∞，4]，
故选：B．
4．函数f（x）＝log （x2﹣2x+3）的值域为（ ）
2A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．R D．[2，+∞）
【解答】解：∵x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2≥2，
∴ log 2＝1，
f(x)=log (x2−2x+3)≥ 2
2
故函数f（x）的值域是[1，+∞），
故选：B．
考点 3 . 分离常数
2x+1
5．函数y= 在x [0，+∞）上的值域是 [ 1 ， 2 ） ．
x+1
∈
2x+1 1
【解答】解：当x≥0时，函数y= =2− 在[0，+∞）上是增函数，
x+1 x+1
故当x＝0时，函数取得最小值为1，
又y＜2，故函数f（x）的值域为[1，2），
故答案为：[1，2）．
x2+4
6．已知函数f(x)= ，则该函数在（1，3]上的值域是（ ）
x
13 13
A．[4，5） B．（4，5） C．[ ，5) D．[ ，5]
3 3
x2+4 4
【解答】解：f(x)= =x+ ，
x x
∴f（x）在（1，2）上单调递减，在[2，3]上单调递增，
13
∴f（2）＝4是f（x）在（1，3]上的最小值，且f（1）＝5，f（3）= ，
3
∴f（x）在（1，3]上的值域为[4，5）．
故选：A．
x2+2x+2
7．函数y= 的值域是 （﹣∞，﹣ 2 ] ∪ [ 2 ， + ∞） ．
x+1
x2+2x+2 (x+1) 2+1 1
【解答】解：y= = =(x+1)+ ．
x+1 x+1 x+1
1 1
当x+1＞0时，y＝（x+1）+ ≥2，当且仅当x+1= ，即x＝0时“＝”成立；
x+1 x+1
1 1
当x+1＜0时，y＝（x+1）+ =−[﹣（x+1）+ ]≤﹣2，当且仅当﹣（x+1）
x+1 −(x+1)1
=− ，即x＝﹣2时“＝”成立．
x+1
x2+2x+2
∴函数y= 的值域是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
x+1
故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
8．下列求函数值域正确的是（ ）
5x−1 5
A．函数y= ，x [﹣3，﹣1]的值域是{y|y≠ }
4x+2 4
∈
x 1
B．函数y= 的值域是{y|y≤−1，y≥− }
x2−3x+1 5
sinx+1 π 4 1
C．函数y= ，x∈[ ，2)∪(2，π]的值域是{y|y≤ ，y≥ }
x−2 2 π−4 π−2
D．函数 的值域是
y=x+√1−x2 {y|−1≤ y≤√2}
5x−1 5 7
【解答】解：对于A，函数y= = − ，
4x+2 4 4(2x+1)
7 7 7 8
因为x [﹣3，﹣1]，所以﹣5≤2x+1≤﹣1，故 ≤− ≤ ，所以 ≤ y≤3，
20 4(2x+1) 4 5
∈
8
则函数的值域为[ ，3]，故选项A错误；
5
对于B，当x＝0时，y＝0；
当y≠0时，则有yx2﹣（3y+1）x+y＝0，所以△＝（3y+1）2﹣4y2≥0，解得y≤﹣1或
1
y≥− ；
5
1
综上所述，函数的值域为{y|y≤−1或y≥− }，故选项B正确；
5
对于C，因为 (x−2)cosx−sinx−1 在 π ∪（2， ]上恒成立，
y'= ＜0 [ ，2)
(x−2) 2 2
π
sinx+1 π
故函数y= 在[ ，2)和（2， ]上单调递减，且x＝2是函数的渐近线，
x−2 2
π
sinx+1 4 1
故函数y= 的值域为是{y|y≤ 或y≥ }，故选项C正确；
x−2 π−4 π−2
对 于 D ， 函 数 ， 设 x ＝ cos ， [0 ， ] ， 所 以 y ＝ cos +sin
y=x+√1−x2
α α∈ π α απ
=√2sin(α+ )，
4
π π 5π π √2
因为 [0， ]，所以α+ ∈[ ， ]，故sin(α+ )∈[− ，1]，
4 4 4 4 2
α∈ π
所以函数的值域为{y|−1≤ y≤√2}，故选项D正确．
故选：BCD．
课后作业 . 函数的三要素
2
1．函数f(x)=√−x2+9x+10−
的定义域为（ ）
ln(x−1)
A．[1，10] B．[1，2）∪（2，10]
C．（1，10] D．（1，2）∪（2，10]
{−x2+9x+10≥0
【解答】解：要使f（x）有意义，则： ；
x−1＞0
x−1≠1
解得1＜x≤10，且x≠2；
∴f（x）的定义域为（1，2）∪（2，10]．
故选：D．
1
2．已知函数f（x）=¿，则f [f( )]的值为（ ）
4
1 1
A． B． C．﹣2 D．3
9 3
【解答】解：∵函数f（x）=¿，
1 1
∴f（ ）=log =−2，
4 24
1 1
f [f( )]=f（﹣2）＝3﹣2= ．
4 9
故选：A．
3．已知 ，则函数f（x）的解析式为（ ）
f(√x)=x2−2x
A．f（x）＝x4﹣2x2（x≥0） B．f（x）＝x4﹣2x2
C．f(x)=x−2√x(x≥0) D．f(x)=x−2√x
【解答】解： ，
f(√x)=x2−2x=(√x) 4−2(√x) 2∴f（x）＝x4﹣2x2（x≥0）．
故选：A．
4．已知函数f（x）满足2f（x﹣1）+f（1﹣x）＝2x﹣1，求：f（x）解析式．
【解答】解：∵函数f（x）满足2f（x﹣1）+f（1﹣x）＝2x﹣1，
∴令t＝x﹣1，则x＝t+1，
代入2f（x﹣1）+f（1﹣x）＝2x﹣1，
得：2f（t）+f（﹣t）＝2t+1，
∴{ 2f(t)+f(−t)=2t+1 ，
2f(−t)+f(t)=−2t+1
1
解得f（t）＝2t+ ，
3
1
∴函数解析式为f（x）＝2x+ ．
3
5．已知f（x） {(1−2a)x+3a(x＜1)的值域为R，那么a的取值范围是（ ）
=
lnx(x≥1)
1 1
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣1， ） C．[﹣1， ） D．（0，1）
2 2
【解答】解：当x≥1时，f（x）＝lnx，其值域为[0，+∞），
那么当x＜1时，f（x）＝（1﹣2a）x+3a的值域包括（﹣∞，0），
∴1﹣2a＞0，且f（1）＝（1﹣2a）+3a≥0，
1
解得：a＜ ，且a≥﹣1．
2
故选：C．
6．用 min{a，b，c}表示 a，b，c三个数中的最小值设 f（x）＝min{2x，x+2，10﹣x}
（x≥0），则f（x）的最大值为 6 ．
【解答】解：f（x）＝min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0）如图所示，
则f（x）的最大值为y＝x+2与y＝10﹣x交点的纵坐标，
即当x＝4时，y＝6．
故答案为6．
