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专题四 《函数》讲义
5.2 二次函数与幂函数
知识梳理 . 二次函数与幂函数
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)．
1 2
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
在上单调递减； 在上单调递增；
单调性
在上单调递增 在上单调递减
对称性 函数的图象关于x＝－对称
2．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见
的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
题型一 . 二次函数
考点 1 . 二次函数根的分布、恒成立问题
1 ． 函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，则实数a的取值
范围是（ ）
A．[﹣3，0） B．（﹣∞，﹣3] C．[﹣2，0] D．[﹣3，0]2．设f（x）＝x2﹣2x+a．若函数f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，则实数a的取值范围
为 ．
3．方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m的取值范围为（
）
A．m＞1 B．m＞3+2√2
C．m＞3+2√2或0＜m＜3−√2 D．3﹣2√2＜m＜1
4．已知命题p： x R，x2+（a﹣1）x+1＜0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围为
（ ） ∃ ∈
A．[1，3] B．[﹣1，3] C．（﹣1，3） D．[0，2]
1
5．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+2，若对一切x [ ，2]，f（x）＞0都成立，则实数a的取值
2
∈
范围为（ ）
1 1
A．[﹣4，+∞） B．（﹣4，+∞） C．[ ，+∞） D．（ ，+∞）
2 2
6．已知不等式 kx2﹣4kx﹣3＜0 对任意 k [﹣1，1]时均成立，则 x 的取值范围为
． ∈
考点 2 . 二次函数的值域与最值
1．函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值为2，m的取值范围是（
）
A．（﹣∞，2] B．[0，2] C．[1，2] D．[1，+∞）
2．求函数y＝﹣x（x﹣a）在x [﹣1，1]上的最大值．
3．已知函数f（x） ∈ 的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围
=√mx2−(m−2)x+m−1
是 ．
4．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m R）是奇函数，若对于任意的x R，关
于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数∈a的取值范围是 ． ∈
题型二 . 幂函数
考点 1 . 幂函数的图像与性质
1
1 ． 已知幂函数y＝x 的图象过点( ，4)，则该函数的单调递减区间为（ ）
2
α
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，0） C．[0，+∞） D．（0，+∞）2．幂函数y＝（m2﹣m﹣5） 的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为
xm2−4m+1
3．幂函数 （a，m N）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则
f(x)=(a−1)xm2−2m−3
∈
a+m＝ ．
4．已知函数 f（x） ，且 f（2）＞f（3），则实数 k 的取值范围是
=x−k2+k+2
．
考点 2 . 利用幂函数比较大小
5 1 2 3 5 1
1．已知 a＝（ ）3，b＝（ ）4，c＝（ ）4，则 a，b，c 的大小关系是
3 3 3
（ ）
A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a
2．设 3 1 4 1 2 3，则a，b，c的大小顺序是（ ）
a=( )2，b=( )4，c=( )4
4 3 3
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
3．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2x❑ m2−4m+2（m R），在（0，+∞）上单调递增．设a＝
∈
log 4，b＝log 3，c＝0.5﹣0.2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系是（ ）
5 1
5
A．f（b）＜f（a）＜f（c） B．f（c）＜f（b）＜f（a）
C．f（c）＜f（a）＜f（b） D．f（a）＜f（b）＜f（c）
