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专题四 《函数》讲义
5.1函数的三要素
知识梳理 . 函数的概念
1．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值
相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是
判断两函数相等的依据．
2．函数的三种表示法
解析法 图象法 列表法
就是把变量x，y之间的关系
就是把x，y之间的关系绘制 就是将变量x，y的取值列成
用一个关系式 y＝f(x)来表
成图象，图象上每个点的坐 表格，由表格直接反映出两
示，通过关系式可以由 x的
标就是相应的变量x，y的值. 者的关系.
值求出y的值.
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的
函数通常叫做分段函数．
题型一 . 定义域
考点 1 . 具体函数定义域
1 ． 函数f（x）＝ − 1 （2x﹣1）0的定义域是（ ）
（1﹣x） 2+
1 1
A．（﹣∞，1] B．（−∞， ）∪（ ，1）
2 2
1
C．（﹣∞，1） D．( ，1)
22．函数 1 的定义域为M，g（x）＝ln（x2+3x+2）的定义域为N，则M∪ N
f(x)= R
√1−x2
∁
＝（ ）
A．[﹣2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，+∞） D．（﹣∞，1）
考点 2 . 抽象函数定义域
3．若函数f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（x）的定义域是 ．
4．函数 y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数 y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为
（ ）
A．[﹣1，3] B．[0，2] C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]
考点 3 . 已知定义域求参
5．已知函数 f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是
．
6．若函数f（x）＝（2a2+5a+3）x2+（a+1）x﹣1 的定义域、值域都为R，则实数a满足（
）
3 13
A．a＝﹣1或a=− B．− ＜a＜−1
2 9
3 3
C．a≠﹣1或a≠− D．a=−
2 2
题型二 . 解析式
考点 1 . 待定系数法
1 ． 已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求函数f（x）的解析式．
2．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x，则f（x）的解析式
是 ．
考点 2 . 换元法
3．已知f(√x−1)=x−2√x，则函数f（x）的解析式为 ．
4．已知f（1−x） 1−x2，求f（x）的解析式．
=
1+x 1+x2
考点 3 . 凑配法1 x
5．（1）已知f（ ）= ，求f（x）的解析式；
x 1−x2
1 1
（2）已知f（x+ ）＝x2+ ，求f（x）．
x x2
6．已知f（3x）＝4xlog 3+10，则f（2）+f（4）+f（8）+…+f（210）的值等于 ．
2
考点 4 . 方程组法
7．已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x，则f（1）＝ ．
8．已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2•3x，
则函数f（x）＝ ．
考点 5 . 求谁设谁
9．已知函数f（x）为奇函数，当x （0，+∞）时，f（x）＝log x，（1）求f（x）的
2
解析式； （2）当f（x）＞0时．求x∈的取值范围．
10．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）＝2f（x），且当x （0，1]时，f（x）＝x2﹣
x，则当x （﹣1，0]时，f（x）的值域为（ ） ∈
1 ∈ 1 1 1 1
A．[− ，0] B．[− ，0] C．[− ，− ] D．[0， ]
8 4 8 4 4
考点 6 . 利用对称求解析式
11．下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（ ）
A．y＝ln（1﹣x） B．y＝ln（2﹣x） C．y＝ln（1+x） D．y＝ln（2+x）
12．设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝
1，则a＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
题型三 . 值域
考点 1 . 利用单调性求值域
1
1 ． 下列函数中，与函数f(x)=( ) x的定义域和值域都相同的是（ ）
5
A．y＝x2+2x，x＞0 B．y＝|x+1|
1
C．y＝10﹣x D．y=x+
x
1
2．已知函数f（x）＝log （x﹣2）的定义域为A，则函数g（x）＝（ ）2﹣x（x A）的值
3
2
∈域为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．[1，+∞） D．（1，+∞）
考点 2 . 换元法
3．函数y=2x+4√1−x的值域为（ ）
A．（﹣∞，﹣4] B．（﹣∞，4] C．[0，+∞） D．[2，+∞）
4．函数f（x）＝log （x2﹣2x+3）的值域为（ ）
2
A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．R D．[2，+∞）
考点 3 . 分离常数
2x+1
5．函数y= 在x [0，+∞）上的值域是 ．
x+1
∈
x2+4
6．已知函数f(x)= ，则该函数在（1，3]上的值域是（ ）
x
13 13
A．[4，5） B．（4，5） C．[ ，5) D．[ ，5]
3 3
x2+2x+2
7．函数y= 的值域是 ．
x+1
8．下列求函数值域正确的是（ ）
5x−1 5
A．函数y= ，x [﹣3，﹣1]的值域是{y|y≠ }
4x+2 4
∈
x 1
B．函数y= 的值域是{y|y≤−1，y≥− }
x2−3x+1 5
sinx+1 π 4 1
C．函数y= ，x∈[ ，2)∪(2，π]的值域是{y|y≤ ，y≥ }
x−2 2 π−4 π−2
D．函数 的值域是
y=x+√1−x2 {y|−1≤ y≤√2}
课后作业 . 函数的三要素
2
1．函数f(x)=√−x2+9x+10−
的定义域为（ ）
ln(x−1)
A．[1，10] B．[1，2）∪（2，10]
C．（1，10] D．（1，2）∪（2，10]2．已知函数f（x）
=
{log
2
x，x＞0 ，则
f [f(
1
)]
的值为（ ）
3x，x＜0 4
1 1
A． B． C．﹣2 D．3
9 3
3．已知 ，则函数f（x）的解析式为（ ）
f(√x)=x2−2x
A．f（x）＝x4﹣2x2（x≥0） B．f（x）＝x4﹣2x2
C．f(x)=x−2√x(x≥0) D．f(x)=x−2√x
4．已知函数f（x）满足2f（x﹣1）+f（1﹣x）＝2x﹣1，求：f（x）解析式．
5．已知f（x） {(1−2a)x+3a(x＜1)的值域为R，那么a的取值范围是（ ）
=
lnx(x≥1)
1 1
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣1， ） C．[﹣1， ） D．（0，1）
2 2
6．用 min{a，b，c}表示 a，b，c三个数中的最小值设 f（x）＝min{2x，x+2，10﹣x}
（x≥0），则f（x）的最大值为 ．
