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专题 05 函数类型的识别与应用模型构建
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：二次函数与幂模型................................................................................................................2
题型二：分段函数模型........................................................................................................................3
题型三：对勾函数模型........................................................................................................................6
题型四：指数函数模型........................................................................................................................8
题型五：对数函数模型........................................................................................................................9
重难点突破：函数模型的选择..........................................................................................................10
02 重难创新练....................................................................................................................................14题型一：二次函数与幂模型
1．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份
元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出
250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买
进报纸
A．215 份 B．350 份
C．400 份 D．250 份
【答案】C
【解析】设每天从报社买进 （ ， ）份报纸时，每月所获利润为 元，具体情况如下表．
数量/份 单价/元 金额/元
买
2
进
卖
3
出
退
回
则推销员每月所获得的利润
又由 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最大值8700．
故选C．
即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8700元．故选C．
2．某灯具商店销售一种节能灯，每件进价8元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式： （ 且 ），则灯具商店每月的最大利润为（ ）
A．2560元 B．3496元 C．3520元 D．3528元
【答案】D
【解析】设灯具商店每月的利润为 ，
则
，
故当 时， 的最大值为3528，
所以灯具商店每月的最大利润为3528元.
故选:D.
3．“相约哈尔滨，逐梦亚冬会”．哈尔滨地铁3号线预计年底全线载客运营，届时，哈尔滨地铁1号线2
号线3号线将形成“十字+环线”地铁线网，将为哈尔滨2025年第九届亚冬会的举办提供有力交通保障.通
车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足 ，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间
隔相关，当 时列车为满载状态，载客量为500人，当 时，载客量会减少，减少的人数
与 的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，则当发车时间间隔为 时，列
车的载客量为（ ）
A．410 B．420 C．450 D．480
【答案】C
【解析】当 时，载客量为 ，设 ，
由题意可知， ，解得 ，
当 时， ，此时载客量为 ，
故选：C.题型二：分段函数模型
4．（2024·海南·模拟预测）某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公
司统计了该饮料一年中每个月份的盈利情况，得到月利润 万元与销售月份 之间的关系为
.
(1)求一年中最高月利润及对应的月份；
(2)求该饮料月利润超过3万元的月份.
【解析】（1）当 时，令 ，则 ，且 ，
则 ，
因 ，故 时，即 时， 取得最大值3；
当 时，
因 ，故 时， 取得最大值7.
综上，第8个月的月利润最大，为7万元.
（2）由（1）可知前5个月中，最大月利润为第3个月的3万元，
故超过3万元的月份只可能在后面的7个月里，
即 ，由 可得， ，
解得 .
又 ，所以 ，
故月利润超过3万元的月份有第6，7，8，9，10月.
5．（2024·山东滨州·二模）某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年
男子身高160 及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 及其以上的是理所当然的高个
子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高 的
函数关系式 .【答案】 ，(只要写出的函数满足在区间 上单调递增，且过点
和 即可.答案不唯一)
【解析】由题意函数 是 上的增函数，设 ， ，
由 ，解得 ，所以 ，
所以
故答案为：
注：在 上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如 ，
等等．
6．（2024·河南安阳·二模）某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方
案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于
100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47
名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为 元.
【答案】11710
【解析】方案一：满10人可打9折，则单人票价为270元，
方案二：满5000元减1000元，按原价计算 ，则满5000元至少凑齐17人，
，则单人票价为 ，
满10000元时， ，则需34人，单人票价为241元，
满15000元时， ，人数不足，因为 ，
所以用方案二先购买34张票，剩余13不满足方案二，但满足方案一，
所以总费用为 （元），
故答案为：11710
7．（2024·浙江·模拟预测）旅行社为某旅游团租飞机旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅游团中每
人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数不超过35人，则飞机票每张收费800元；若旅游团
的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，机票每张少收10元，但旅游团的人数不超过60人．设该旅游
团的人数为 人，飞机票总费用为 元，旅行社从飞机票中获得的利润为 元，当旅游团的人数
时，旅行社从飞机票中可获得最大利润．
【答案】 或
【解析】解析：依题意，得 则旅行社的利润
当 且 时，
；当 且 时， ，当 或 时，
最大，最大为18060．综上，当 或 时，旅行社可获最大利润．
题型三：对勾函数模型
8．（2024·江苏南京·模拟预测）现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮 ，准备用它做成一只
无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为 ，不考虑焊接处损失．如图，若长方形 的一个角剪下一
块铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x cm，高为y
cm，体积为 ．(1)求出x与 的关系式；
(2)求该铁皮盒体积 的最大值．
【解析】（1）由题意得 ，
即 ， ．
（2）铁皮盒体积 ，
，
令 ，
得 ，
∵ ， ， 是增函数；
， ， 是减函数，
∴ ，在 时取得极大值，也是最大值，
其值为 ．
答：该铁皮盒体积 的最大值是 ．
9．（2024·上海静安·二模）某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计
当一袋桃酥的售价为 元 时，一年的销售量为 万袋，并且全年该桃酥食品共需支付 万元
的管理费. 一年的利润 一年的销售量 售价 （一年销售桃酥的成本 一年的管理费）.（单位：万元）
(1)求该超市一年的利润 （万元）与每袋桃酥食品的售价 的函数关系式；
(2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润 最大，并求出 的最大值.
【解析】（1）由题意知，分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为
；
（2） ，因为 ，所以，
当且仅当 即 时取等号，此时 最大为9万元.当每件产品的售价为9元时，该分公司一
年的利润最大，且最大利润9万元.
10．（2024·全国·模拟预测）对某种药剂进行稀释，初始时药剂有 ，浓度为100%，加入 水后，药
剂浓度被稀释为60%，若每次稀释都向上一次所得稀释液中加入 水，则要使稀释液中药剂浓度低于初
始浓度的10%，则要加水 次．
【答案】14（答案不唯一）
【解析】设要加水 次， ，根据题意可得 ，
解得 ，
所以要至少加水14次可以使稀释液中药剂浓度低于初始浓度的10%．
故答案为：14（答案不唯一）
题型四：指数函数模型
11．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂
一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数
据： ）（ ）
A．3小时 B．4小时 C．5小时 D．6小时
【答案】C
【解析】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要 分钟，则 ，
两边同时取对数得， ，解得 ，
所以大约需要 小时.故选：C.
12．（2024·四川泸州·三模）在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变
凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为 ，则经过一定时间，即 分钟后
的温度 满足 称为半衰期，其中 是环境温度.若 ，现有一杯 的热水
降至 大约用时1分钟，那么水温从 降至 大约还需要（ ）（参考数据：
）
A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟
【答案】C
【解析】根据题意得 ，即 ；
则 ，所以 ，可得 ，
两边取常用对数得 ，
故选：C.
13．（2024·河南·模拟预测）为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑
令”明确规定商场､超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物
袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已
知某种环保塑料袋的降解率 与时间 （月）满足函数关系式 （其中 为大于零的常数）.若经过2
个月，这种环保塑料袋降解了 ，经过4个月，降解了 ，那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需
要经过（ ）（结果保留整数）（参考数据： ）A．5个月 B．6个月 C．7个月 D．8个月
【答案】A
【解析】由题意可得 ， ，
即有 ，即 ，则 ，
令 ，即 ，即 ，
则 .
故这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过5个月.
故选：A.
题型五：对数函数模型
14．（2024·湖南长沙·三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔
斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为 ，其中 表示某地地震的里氏震级，
表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅， 表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震
中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这
次地震的里氏震级约为（ ）（参考数据： ）
A．6.3级 B．6.4级 C．7.4级 D．7.6级
【答案】B
【解析】由题意，某地地震波的最大振幅为 ，且这次地震的标准地震振幅为 ，
可得 .
故选：B.
15．（2024·山东泰安·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，
通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 和小数记录法的数据 满足
．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为 和 ，记小明和小李视力的小数记录法
的数据分别为 ，则 的值所在区间是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意， ，两式相减得 ，
解得 ，所以 .
故选：D
重难点突破：函数模型的选择
16．近年来，天然气表观消费量从2006年的不到600×108m3激增到2021年的3726×108m3. 从2000年开
始统计，记k表示从2000年开始的第几年， ， .经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间
的变化情况符合V =V (1+r ) k ，其中 是从2000年后第k年天然气消费量， 是2000年的天然气消费
k 0 a
量， 是过去20年的年复合增长率.已知2009年的天然气消费量为900×108m3，2018年的天然气消费量
为2880×108m3，根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气消费量约为（ ）
2 2 2
（参考数据： 2.883≈2.02 ， 3.23≈2.17，43≈2.52
A．5817.6×108m3 B．6249.6×108m3
C．6928.2×108m3 D．7257.6×108m3
【答案】B
【解析】据题意V =V (1+r ) 9=900×108m3 ，V =V (1+r ) 18=2880×108m3 ，两式相除可得
9 0 a 18 0 a
(1+r ) 9=3.2，
a
2
又因为 V =V (1+r ) 6=2880×108×(3.2)3≈6249.6×108m3，
24 18 a
故选：B．
17．（多选题）常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录数据和小数记录数据，把小数记录数据记为 ，对应的五分记录数据记为 ，现有两个函数模型：① ；② ．根
据如图所示的标准对数视力表中的数据,下列结论中正确的是（ ）
(参考数据:10-0.2≈0.6,10-0.15≈0.7,10-0.1≈0.8,10-0.05≈0.9)
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为 ，则小明视力的小数记录数据为
D．小明去检查视力，医生告诉他视力为 ，则小明视力的小数记录数据为
【答案】BD
【解析】将 代入① ；② ，
分别可得 ，
所以标准对数视力表对应函数模型②，故A错误，B正确；
令 ，解得 ，所以小明视力的小数记录数据为 ，故C错误；
代入 ，故D正确，
故选；BD.
18．（2024·上海金山·二模）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的
日销售量 （百件）与时间第 天的关系如下表所示：
第 天 1 3 10 30
日销售量 （百件） 2 3未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润 （元）与时间第 天的函数关系式为
，且 为整数 ，而后15天此商品每天每件的利润 元 与时间第 天的函数关
系式为 （ ，且 为整数）.
(1)现给出以下两类函数模型：① （ 为常数）；② 为常数， 且 .分
析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；
(2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？
并说明理由.
【解析】（1）若选择模型（1），将 以及 代入可得
解得 ，即 ，经验证，符合题意；
若选择模型（2），将 以及 代入可得 ，
解得 ，即 ，
当 时， ，故此函数模型不符题意，
因此选择函数模型（1），其解析式为 （ 且 为整数）
（2）记日销售利润为 ，
当 且 为整数时， ，
对称轴 ，故当 时，利润 取得最大值，且最大值为392（百元）
当 且 为整数时， ，当 时，利润 单调递减，
故当 时取得最大值，且最大值为 （百元）
所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型.
19．流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了
解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团
队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为 ，经过3分钟覆盖面积为
，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积 （单位： ）与经过时间 （单位： ）的关
系现有三个函数模型：① （ ， ），② （ ），③ （ ）可供选
择.（参考数据： ， ）
(1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
(2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过 ？（结果保留到整数）
【解析】（1）因为 （ ， ）的增长速度越来越快，
（ ）和 （ ）的增长速度越来越慢，
所以应选函数模型 （ ， ）.
由题意得 ，解得 ，
所以该函数模型为 （ ）；
（2）由题意得 ，即 ，
所以 ，又 .
所以至少经过 培养基中菌落的覆盖面积能超过 .1．（2024·吉林长春·一模）某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用
的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数 来表
示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（
）秒.
A．15 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【解析】由题意可得： ，
解得： ，
设达到50米的高度需要 秒.
，
解得： ，
所以达到50米的高度需要 秒.
故选：C
2．（2024·北京朝阳·模拟预测）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：
甲 乙 丙
接单量t（单） 7831 8225 8338
油费s（元） 107150 110264 110376
平均每单里程k（公里） 15 15 15
平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7
出租车空驶率 ，依据上述数据，小明建立了求解三辆车空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、x%，则 （ ）（精确到0.01）
A．20.16 B．20.68 C．21.56 D．21.79
【答案】B
【解析】依题意，因为出租车行驶的总里程为 ，出租车有载客时行驶的里程为 ，
所以出租车空驶率 ，
对于甲， ，满足题意；
对于乙， ，满足题意；
所以上述模型满足要求，
则丙的空驶率为 ，即 .
故选：B
3．（2024·广东广州·模拟预测）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的
游速 （单位： ）可以表示为 ，其中 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为
时耗氧量的单位数为 ，游速为 时耗氧量的单位数为 ，则 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】根据题意可得 ， ，
两式相减得 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：C.
4．大荔冬枣是陕西省渭南市大荔县的特产.大荔冬枣果个大，果实近圆形，果面平整光洁，果皮薄，完熟
期呈浅黄片状赭红色，肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酰脆且味香甜.假设某水果店销售的大荔冬枣的单价（单位：元/斤）与单果的直径 （单位： ）满足关系式 .当单果的直径为 时，大荔冬枣
的单价为8元/斤；当单果的直径为 时，大荔冬枣的单价为24元/斤.当单果的直径为 时，大荔
冬枣的单价约为（ ）（参考数据： ）
A．11.5元/斤 B．12.5元/斤 C．10元/斤 D．14元/斤
【答案】A
【解析】根据题意有当单果的直径为 时，大荔冬枣的单价为8元/斤；
当单果的直径为 时，大荔冬栙的单价为24元/斤，
所以 ， ，
两式相除可得 ，所以 ，所以 ，解得 ，
当单果的直径为 时，大荔冬枣的单价为 (元/斤).
故选：A.
5．（2024·陕西榆林·模拟预测）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤
文》）是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是 ；如果
每天的“退步”率都是1%，那么一年后是 ，一年后“进步”的是“退步”的
倍．若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的
100倍以上，最少要经过（参考数据： ， ）（ ）
A．10天 B．11天 C．12天 D．13天
【答案】C
【解析】设经过x天后，“进步”的是“退步”的100倍以上，则 ，即 ，∴ （天）．
故最少要经过12天
故选：C
6．（2024·内蒙古包头·三模）冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，
使臭氧量Q呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式 ，其
中 是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位．若按照关系式 推算，
经过 年臭氧量还保留初始量的四分之一，则 的值约为（ ）（ ）
A．584年 B．574年 C．564年 D．554年
【答案】D
【解析】由题意知， ，
则 ，解得 年.
故选：D．
7．（2024·福建福州·模拟预测）当药品 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时 的速度减少，
另一种药物 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时 的速度减少．现同时给两位患者分别注
射 药品A和 药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（ ）
（参考数据： ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设经过 小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等，
由题意得： ，整理得： ，
两边取常用对数得： ，即 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以大约经过 时，两位患者体内药品的残余量恰好相等．
故选：C．
8．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口， 于1898年提
出蓄电池的容量 （单位： ），放电时间 （单位： ）与放电电流 （单位： ）之间关系的经验公
式： ，其中 为 常数.为测算某蓄电池的 常数 ，在电池容量不变的条件下，当放
电电流 时，放电时间 ；当放电电流 时，放电时间 .若计算时取 ，
，则该蓄电池的 常数 大约为（ ）
A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55
【答案】C
【解析】根据题意由 可得 ，
两式相除可得 ，即可得 ，
两边同时取对数可得 ，即可得 ；
即 .
故选：C
9．（多选题）（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子
和两个中子组成，并带有放射性，会发生 衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量 随时间 (单位:
年)的衰变规律满足 ，其中 表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据: )A．
B．经过 年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过 年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若 年后，样本中氚元素的含量为 ，则
【答案】CD
【解析】由题意得 ，故有 ，
左右同时取对数得 ，故得 ，故A错误，
当 时， ，故B错误，
而当 时， ，
得到经过 年后，样本中的氚元素变为原来的 ，故C正确，
由题意得 ，化简得 ，
，
将 代入其中，可得 ，故D正确.
故选：CD
10．（多选题）（2024·辽宁·二模）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两
年，用 表示从 开始，晶体管数量随时间 变化的函数，若 ，则下面选项中，符合摩尔
定律公式的是（ ）
A．若 是以月为单位，则B．若 是以年为单位，则
C．若 是以月为单位，则
D．若 是以年为单位，则
【答案】BC
【解析】选项A， ， ，A不符合；
选项B， ， ， ， ，符合；
选项C， ，则 ， ， ，
， ，符合，
选项D， ， ，
， ，不符合．
故选：BC．
11．（多选题）（2024·安徽蚌埠·模拟预测）科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．
如果物体的初始温度为 ，空气温度 保持不变，则t分钟后物体的温度 （单位： ）满足：
．若空气温度为 ，该物体温度从 （ ）下降到 ，大约所需的
时间为 ，若该物体温度从 ， 下降到 ，大约所需的时间分别为 ，则（ ）（参考数据：
）
A． B． C． D．
【答案】BC【解析】有题意可知， ，
当 ，则 ，
即 ， ，
则 ，
其是关于 的单调递增函数，
当 时， ，
当 时， ，
则 ，故B正确；
当 时， ，
故A错误；
当 时， ，
此时满足 ， ，故C正确，D错误，
故选：BC.
12．（多选题）（2024·河南·模拟预测）1889年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式： （
和 均为大于0的常数）， 为反应速率常数（与反应速率成正比）， 为热力学温度（ ），在同一
个化学反应过程中 为大于0的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为 和 时，反应速率
常数分别为 和 （此过程中 ， 与 的值保持不变），则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】AD
【解析】由 ， ， ，根据不等式性质可得 ，
所以 ，又 ，所以 ，故 ，故A选项正确，B选项错误；
易知 ，
若 ，可得 ，所以 ，故C选项错误，D选项正确.
故选：AD.
13．（2024·北京东城·二模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（ ），劳累程
度T（ ），劳动动机b（ ）相关，并建立了数学模型 ，已知甲、乙为该公
司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强；
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【解析】设甲与乙的工人工作效率为 ，工作年限为 ，劳累程度为 ，劳动动机为 ，
对于①， ， ， ， ， ，
， ，则 ，
，即甲比乙工作效率高，故①正确；
对于②， ， ， ，
， ，
则 ，
，即甲比乙工作效率高，故②正确；
对于③， ， ， ， ，
， ，
，所以 ，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；
对于④， ， ， ，
， ，
，所以 ，即甲比乙劳累程度弱，故④正确.
故答案为：①②④.
14．（2024·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发
点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数， 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习
率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰
减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为 ．（参考数据：（ ）
【答案】74【解析】由于 ，所以 ，
依题意 ，则 ，
则 ，
由 ，
所以，即 ，
所以所需的训练迭代轮数至少为74次．
故答案为：74.
15．（2024·上海崇明·二模）在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条
直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的
车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．
面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，
因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设
．
【答案】①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；
或③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等）；
（答案不唯一，只要写出一个即可）
【解析】根据题意可知和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，例如①
等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；
②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；
③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；
④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等；
故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（不唯一）.
16．（2024·北京朝阳·一模）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型： ，其中正实数 ， 分别为红、蓝两方初
始兵力，t为战斗时间； ， 分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方
对红方的战斗效果系数； 和 分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、
蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列
四个结论：
①若 且 ，则 ；
②若 且 ，则 ；
③若 ，则红方获得战斗演习胜利；
④若 ，则红方获得战斗演习胜利．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【解析】对于①，若 且 ，则 ，
即 ，所以 ，
由 可得 ，即①正确；
对于②，当 时根据①中的结论可知 ，所以蓝方兵力先为0，
即 ，化简可得 ，即 ，两边同时取对数可得 ，
即 ，所以战斗持续时长为 ，
所以②正确；
对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，
设红方兵力为0时所用时间为 ，蓝方兵力为0时所用时间为 ，
即 ，可得
同理可得
即 ，解得
又因为 都为正实数，所以可得 ，红方获得战斗演习胜利；
所以可得③错误，④正确.
故答案为：①②④.
17．（2024·上海松江·一模）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车
辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，
等于危险距离时就自动刹车.某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间 、人的反
应时间 、系统反应时间 、制动时间 ，相应的距离分别为 、 、 、 .当车速为v（米/秒），且
时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，
）2、系统反
阶段 0、准备 1、人的反应 3、制动
应
时间 秒 秒
距离 米
米
(1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式 ，并求 时，若汽车达到报警距
离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到0.1
秒）
(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒
以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？
【解析】（1）由题意得 ， ，
当 时， ，
若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，
则汽车撞上固定障碍物的时间 （秒），
即最短时间为3.1秒；
（2）根据题意，要求对于任意 ， 恒成立，
即对于任意 ， ，即 恒成立，
由 得 ， ，即 ，
解得 ， （米/秒）， （千米/小时），
汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时．18．（2024·江苏苏州·模拟预测）生物学中，我们常用Sigmoid型曲线描述当某生态系统中存在某一物种
的天敌且食物、空间等资源也不充足时，该物种种群数量随时间的变化．利用该曲线，从事有关生物行业
的一些人们可以依据定义在R上的函数 来辅助决策，如何时捕捞才能实现可持续发展等．
(1)记 的导数为 ，若 ，求 ；
(2)若 是 的渐近线，则我们称 为该生态系统的 值．某鱼塘的某种鱼的种群数量变化满
足Sigmoid模型，其 值为 ．通过计算求该鱼塘中该种鱼种群数量为多少时，该鱼塘可持续获得最大捕
捞量（即 瞬时变化率最大）．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
此时
因为 ，
所以
即 ，由 ，
所以 ，解得 ．
（2）由（1）知 ，
要函数 瞬时变化率最大，
即求 的最大值，
则令 ，
令 ，则 ，
解得 （舍）， ，解得 ．因此可列表：
x
＋ －↗ ↘
因此可得 是 的极大值点，
因此在 时，该鱼塘可以持续获得最大捕捞量，
因此 ．
而 ，
因此可知当种群数量为 时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量．
19．（2024·浙江金华·模拟预测）太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组
件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功
率密度 （E为入射光能量且 为入射光入射有效面积），电池板转换效率 与
入射光功率密度 成反比，且比例系数为k．
(1)若 平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式；
(2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量 ，锂离子蓄电
池的放电量 ．设 ，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，
应该选择哪种蓄电池？
注：①蓄电池电能储存量 ；
②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好．
【解析】（1） ，
若 平方米，则 ；
（2）由 ，即 ，
铅酸蓄电池的放电量为： ，
锂离子蓄电池的放电量为： ，则
，
令 ，可得 ，
即 时， ，此时应选择铅酸蓄电池，
当 时， ，此时应选择锂离子蓄电池，
当 时， ，两种电池都可以.
20．（2024·上海青浦·一模）上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组
织、尽快地疏散撤离．对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到
达安全出口处）所用时间．数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究．为此，他们
提出如下模型假设：
1、疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物；
2、所有人员排成单列行进撤离；
3、队列中人员的间隔是均匀的；
4、队列匀速地撤离建筑物．
(1)上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由；
(2)如图，设第一间教室（图中右）的人数为 ，第二间教室（图中左）的人数为 ，每间教室的长度为 ，其中 ， 都是正整数， ，忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的时间．请再引
入适当的变量，建立两个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型．
【解析】（1）四个模型假设都合理．理由如下（供参考）：
假设1是为了保证撤离人员的安全，基本符合实际情况；
假设2 是为了方便模型的建立，与假设1相呼应；
假设3 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法；
假设4 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法．
（2）设队列人与人之间的距离为 ，队列行进的速度为 ，
先考虑第一间教室人员的疏散，该教室最后一个人达到出口即为疏散完毕，所用时间 ；第二间
教室最后一个人达到出口所用时间为 ．
在所有人员排成单列行进撤离的假设下，建立模型（供参考）
情况一：
当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室已经撤空（即第一间教室的最后一个人
不影响第二间教室人员的撤离），这种情形出现的条件是 ，这时两个教室内的人员完全撤离所
用时间为 ；
情况二：
当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室还没有撤空，此时需要等第一间教室撤
空后第二间教室的队伍再继续行进，这种情形出现的条件是 ，这时两个教室内的人员完全撤离
所用时间为 ，
.
