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专题05 函数性质的综合运用（选填题7种考法）
【淘宝店铺：向阳百分百】考法一 函数的单调性
【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
【例1-2】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知 ，且 ，函数 在
上单调，则 的取值范围是（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 在 上单调，
由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，
故 在R上单调递减，
所以 ，解得： .故选：D.
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，函数图象的对称轴为 ，函数在 上单调递减，在 上单调递增，故A错
误；
对于B，当 时， ，所以函数在 上单调递增，故B正确；
对于C， ，函数在 上单调递增，在 上单调递减，故C错误；
对于D，当 时， 是常数函数，D错误，
故选：B.
2．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间 上
单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】对于A选项：当 时， 的导函数为 ，
所以 在 时单调递减，故A选项不符合题意；
对于B选项：当 时， 的导函数为 ，
所以 在 时单调递减，故B选项不符合题意；
对于C选项：当 时， 的导函数为 ，
所以 在 时单调递减，故C选项不符合题意；
对于D选项：当 时， 的导函数为 ，
所以 在 时单调递增，
又函数 的定义域为 ，且 ，故D选项符合题意.
故选：D.
3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）下列函数中，即是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A选项， 在R上单调递减，不合题意；
B选项， ， ，当 时， ， 单调递减，不合题意；
C选项， ，定义域为R， ，函数为奇函数，
由函数 和 都是R上的增函数，所以 为R上的增函数，C选项正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】D选项， ，
当 时，结合二次函数性质可知，函数 单调递减，则 单调递减，不合题意.
故选：C.
4．（2023·河南·校联考模拟预测）（多选）已知函数 在R上单调递增，函数 在 上单调递增，
在 上单调递减，则（ ）
A．函数 在R上单调递增
B．函数 在 上单调递增
C．函数 在 上单调递减
D．函数 在 上单调递减
【答案】AB
【解析】因为 在R上单调递增，所以 在R上单调递增，故A正确；
因为 在R上单调递增， 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，故B正确；
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，因为 的值域是否在 上无法判
断，
所以 在 上的单调性无法判断，故C错误；
因为 在R上单调递减， 在 上单调递减，因 的值域是否在 上无法判断，所以
在 上的单调性无法判断，故D错误.
故选：AB.
考法二 函数的奇偶性
【淘宝店铺：向阳百分百】【例2-1】（2023·全国·统考高考真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .
故选：D.
【例2-2】（2023·山东·校联考模拟预测）若函数 在其定义域 上是奇函数，则 的值为
（ ）
A． B．3 C． 或3 D．不能确定
【答案】B
【解析】函数 在其定义域 上是奇函数，
由于奇函数定义域关于原点对称，所以 ，
即 ，解得 或 ，
由区间定义可知 ，当 时， ，不合题意；
当 时， ，符合题意；
可得 .
故选：B．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【解析】因为 为偶函数，则 ，解得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
，
故此时 为偶函数.
故选：B.
2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数 为奇函数，则 的值是
（ ）
A．0 B． C．12 D．10
【答案】D
【解析】因为函数 为奇函数，
所以 ，即 ，即 或 ，
显然函数 的定义域为 关于原点对称，
且当 时，有 ，从而有 ，
当 时，有 ，但 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：D.
3．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的函数是
（ ）
A． B．
【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】C
【解析】对于A，因为 的定义域为 不关于原点对称，所以 不是偶函数，
故A选项不符合题意；
对于B，因为 ，所以 的定义域为 关于原点对
称，
但 ，所以 是奇函数不是偶函
数，
故B选项不符合题意；
对于C，因为 的定义域为 关于原点对称，且 ，
所以 是偶函数，
又 ，注意到当 时，有 ，
所以此时 ，所以 在 上单调递增，
故C选项符合题意；
对于D，因为 的定义域为 关于原点对称，但 ，
所以 是奇函数不是偶函数，
故D选项不符合题意.
故选：C.
考法三 解不等式
【例3-1】（2023·四川雅安·校考模拟预测）已知函数 ，则不等式 的
解集为（ ）
A． B．
【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，函数 的定义域为 .
又因为 恒成立，
所以 在 上单调递减.
则由 可得 ，解得 ，
即原不等式的解集为 .
故选：C.
【例3-2】（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）设函数 则满足
的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】假设 ，
所以 ，所以 ，
所以 为奇函数，
而 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】则其图象是 的图象向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到的，
所以 的对称中心为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
易得 ，当且仅当 时等号成立，
而 ，则 ，
所以 恒成立，即 在 上单调递增，
所以 在R上单调递增，
因为 得 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
【变式】
1．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）定义在 上的函数 满足：对 ，
且 都有 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意：当 时， ，
当 时,
可得函数 在 单调递增.
【淘宝店铺：向阳百分百】则
，
在同一坐标系中画出 与 图象.
得 ，则不等式的解集为 ，
故选：B.
2．（2023·河南·统考模拟预测）函数 是定义在 上的奇函数，且 在区间 上单调递增，
若关于实数t的不等式 恒成立，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，所以 ，
所以函数 是偶函数，
又 ，
则 ，即为 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，
又因 在区间 上单调递增，
所以 ，解得 或 ，
所以t的取值范围是 .
故选：A.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）若定义在 上的函数 同时满足：① 为奇函数；
②对任意的 ，且 ，都有 ，则称函数 具有性质 ．已知函数
具有性质 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为对任意的 ，且 ，都有 ，
即对任意两个不相等的正实数 不妨设 ，都有 ，
所以有 ，
所以函数 是 上的减函数，
【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 为奇函数，即有 ，有 ，
所以有 ，
所以 为偶函数，
所以 在 上单调递增．
当 ，即 时，有 ,由 ，得 ，
所以 ，解得 ，此时无解；
当 ，即 时，由 ，得 ，
所以 ，解得 或 ．
综上所述，不等式 的解集为 ．
故选：C.
4．（2023·江西鹰潭·统考一模）已知函数 ，且 ，则实数a的取值
范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 ，定义域为R，
，
所以 为奇函数，
【淘宝店铺：向阳百分百】又 .
当 时，令 ，
则有 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
又因为 为奇函数，所以 在R上单调递增，
所以 ，可转化为 ， ，
所以 ，所以 ，即 ，解得
即实数a的取值范围是 .故选：C.
5．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数 ，若对于一切的实数 ，不等式
恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知函数 的定义域为 ，
则 ，
因为 ， ，
所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ，所以 ，即 恒成立，
故函数 是 上的单调递增函数，
因为 ，所以 ，即 ，
当 时，左边 成立，故 符合题意；
当 时，有 ，解得： ，
综上所述： 的取值范围为： .
故选：D.
考法四 函数性质的综合运用
【例4-1】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 成中心对称
【答案】D
【解析】对AB，由 ，易知选项A，B不正确；
对C，易得 ， ，故 ，故选项C不正确；
对D， ，故 ，
故 的图象关于点 中心对称.
故选：D.
【淘宝店铺：向阳百分百】【例4-2】（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知定义在 上的偶函数 满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的一个周期为2
C．
D．函数 的图象关于直线 对称
【答案】C
【解析】 函数 关于点 中心对称，因此选项D不正确；
又因为函数 为偶函数，所以 ，
由 ，
所以函数 的周期为 ，所以选项B不正确；
因为函数 是周期为 的偶函数，
所以 ，因此选项A不正确；
在 中，令 ，得 ，
因为函数 的周期为 ，因此选项C正确，
故选：C
【例4-3】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数 是 上的偶函数，且 的图象关于点
【淘宝店铺：向阳百分百】对称，当 时， ，则 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】D
【解析】因为函数 是 上的偶函数，所以 ，
因为 的图象关于点 对称，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，所以函数 是 上周期为4的函数，
当 时， ，所以 ， ，
又 ， ，所以 ，
所以 .故选：D.
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
2．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数 及其导函数 定义域均为 ，记 ，
且 ， 为偶函数，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为 为偶函数， ，
所以 ，
对 两边同时求导，得 ，所以有
所以函数 的周
期为 ，
在 中，令 ，所以 ，
因此 ，
因为 为偶函数，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以有 ，
，
由 可得： ，
所以 ，
故选：C
3．（2023·陕西西安·校考三模）已知 是定义域为 的奇函数，若 的最小正周期为
1，则下列说法中正确的个数是（ ）
① ②
③ 的一个对称中心为 ④ 的一条对称轴为
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【解析】因为 的最小正周期为1，所以 ；
即 ，所以2是 的周期；
因为 为奇函数，所以 ，②正确；
，不一定为零，①不正确；
因为 ，所以 的一个对称中心为 ，③正确；
通过题目条件无法得出 的一条对称轴为 ，④不正确；
故选：B
4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）（多选）已知函数 是定义域为 的奇函数， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】若 ， ， ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 是周期为4的周期函数
C． D．
【答案】ABD
【解析】由 ， ，得 ，
当 时，可得 ；
当 时， ，也满足 ；
综上所述： ，对任意实数都成立，
因此函数 的图象关于点 对称，A正确；
又 是定义域为 的奇函数，则 ，因此 是周期为4的周期函数，B正
确；
显然 ，C错误；
由 是定义域为 的奇函数，得 ， ，
又 ，
于是 ， ，因此 ，
所以
，D正确．
故选：ABD
考法五 函数的图像
【淘宝店铺：向阳百分百】【例5-1】（2022·天津·统考高考真题）函数 的图像为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，
且 ，
函数 为奇函数，A选项错误；
又当 时， ，C选项错误；
当 时， 函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
【例5-2】（2023·天津·统考高考真题）函数 的图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 ，
由 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当 时 、 ，即A、C中 上函数值为正，排除；
故选：D
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是
（ ）
A． B． C． D．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【解析】设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.
故选：A.
2．（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.
3．（2023·河南·统考模拟预测）函数 的大致图像是（ ）
A． B．
【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，
由 ，得 为奇函数，故B,D错误；
由 ，故A正确，C错误，故选：A．
考法六 抽象函数
【例6】（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．因为
， ， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知 ，
解得 ，取 ，
所以 ，则
，所以
符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以 ，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【变式】
1（2023·河南·模拟预测）已知不恒等于零的函数 的定义域为 ，满足
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的图象关于原点对称
【淘宝店铺：向阳百分百】C． D． 的最小正周期是6
【答案】D
【解析】由 ，
令 ， ，有 ，可得 , 故A错；
因为 ，令 ，则 ，则 ，
函数 是偶函数，故B错误，
令 ，则 ，故C错误，
令 ，则 ,
所以 ，
则 ，
，
所以 ，
则 周期为6，D正确．
故选：D
2．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）函数 对任意x， 总有
，当 时， ， ，则下列命题中正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是R上的减函数
C． 在 上的最小值为 D．若 ，则实数x的取值范围为
【答案】C
【解析】取 ， ，则 ，解得 ， ，
则 ．即 ，函数 是奇函数，所以选项A错误；
令 ， ，且 ，则 ，因为当 时， ，所以 ．
【淘宝店铺：向阳百分百】则 ．即 ，
函数 是R上的增函数，所以选项B错误；
因为函数 是R上的增函数，所以函数 在 上的最小值为 ，
， ， ．
故 ， 在 的最小值为-2，所以选项C正确；
，即 ，
因为函数 是R上的增函数，所以 ，所以 ，
所以实数x的取值范围为 ，所以选项D不正确．
故选：C．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
【淘宝店铺：向阳百分百】对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
显然，此时 是 的极大值，故D错误.故选： .
【淘宝店铺：向阳百分百】考法七 函数角度解三角函数
【例7】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 ，则下列
结论错误的是（ ）
A． 是周期函数
B． 在区间 上是增函数
C． 的值域为
D． 关于 对称
【答案】D
【解析】由题知， ，
，
是函数 的一个周期，故A正确；
在区间 上是增函数，其值域为 在区间 上是增函数，根据复合函
数同增异减法则知， 在区间 上是增函数，故B正确； 的值域为
在区间 上是增函数，
的值域为 ，故C正确；
不关于 对称，故 错误，
故选：D.
【变式】
1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）（多选）下列函数中，以 为最小正周期的函数是（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A， ，最小正周期为 ，故A正确；
对于B，令 ， ，故B
错误；
对于C，令 ， ，故C正确；
对于D，令 ， ，
故 的最小正周期为 ，故D错误.
故选：AC.
2．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）（多选）已知函数 ，则（ ）
A．函数 在区间 上单调递增
B．直线 是函数 图象的一条对称轴
C．函数 的值域为
D．方程 最多有8个根，且这些根之和为
【答案】BCD
【解析】 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】，
则 是偶函数，图象关于 轴对称.
，
是周期函数，周期 .
又
且 ，
，即 图象关于 轴对称，
故直线 都是 的对称轴.
当 时， ，
则 ，
令 ，则 可看成由 与 复合而成的函数，
单调递增，
当 ，则 ， 单调递增，则 单调递增；
当 ，则 ， 单调递减，则 单调递减；
且 .
结合以上性质，作出函数 的大致图象.
【淘宝店铺：向阳百分百】选项A，函数 在区间 上单调递减，故A项错误；
选项B，直线 是函数 图象的一条对称轴，故B项正确；
选项C，当 时，函数 的值域为 ，由函数周期 ，函数 的值域为 ，故C项
正确；
选项D，如图可知，方程 最多有8个根，设为 ，不妨设 ，
当 时，函数 的图象关于 对称，
则 ，
即这些根之和为 ，故D项正确.
故选：BCD.
3．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）（多选）已知函数 ，则
（ ）
A． 是 的周期
B． 的图象有对称中心，没有对称轴
C．当 时，
D．对任意 ， 在 上单调
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】ACD
【解析】对于A选项：因为 ，
则 是 的周期，所以A选项正确；
对于B选项：因为 ，
且 ，
所以 ， ，
则 的图象关于点 成中心对称，关于直线 成轴对称，所以B选项错误；
对于C选项：当 时，易知 ， ，
且 ，即 ，
则 ，
所以 ，
则 ，所以C选项正确；
对于D选项：由A选项知： 是 的周期，所以只需考虑 ， 即可，
当 时， ，所以 和 均单调递增，所以 单调递增；
当 时， ，所以 和 均单调递减，所以 单调递减，所以D选项正确.
故选：ACD．
【淘宝店铺：向阳百分百】一、单选题
1．（2023·四川雅安·校考模拟预测）定义在R上的奇函数 满足 是偶函数，当 时，
，则 （ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【解析】根据题意，函数 是定义在 上的奇函数，则 ，且 ，
又函数 是偶函数，则 ，变形可得 ，
则有 ，进而可得 ，
所以函数 是周期为4的周期函数，
则 .
故选：C.
2．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若 为奇函数，则 （ ）
A．－1 B．0 C． D．1
【答案】D
【解析】 的定义域为R，
若 为奇函数，
则 恒成立，
整理得 恒成立，
所以 ，即 .
故选：D
3．（2023·湖南永州·统考一模）“函数 在 上单调递减”是“函数 是偶
函数”的（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，
在 中，
当函数在 上单调递减时， ，
在 中，函数是偶函数，
∴ ，解得： ，
∴“函数 在 上单调递减”是“函数 是偶函数”的必要不充分条件，
故选：B.
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知定义在 上的奇函数 满足 ，
当 时， ，则 （ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】D
【解析】因为 在 上为奇函数，所以 ，
又因为 ，所以 ①，
所以 ②，
所以由①②得 ，即 的一个周期为4，
所以 .
【淘宝店铺：向阳百分百】又因为当 时， ，所以 ，
所以 .
故选：D.
5．（2023·云南·校联考模拟预测）若函数 为偶函数，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．0
【答案】D
【解析】若函数 为偶函数，则 ，都有 ，
又因为 ，
所以 ，有 ，
所以当 时，有 ，解得 .
故选：D.
6．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数 是定义域为 上的奇函数，满足
，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】因为函数 是定义域为 上的奇函数，则 ，即 ，
由 ，得 ，因此 ，即 ，
则 ，于是函数 是以4为周期的周期函数，
由 ，得 ，由 ，得 ， ，
从而 ，
所以 .
【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A
7．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图为函数 的大致图象，其解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A， 与图象不符，故A项错误；
对于B，当 时， 的振幅不会再变化，故B项错误；
对于D， ，所以函数为奇函数，与图
象不符，故D项错误．
故选：C．
8．（2023·辽宁·校联考模拟预测）若 为奇函数，则 的单调递增区间
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数 为奇函数， 的定义域为 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，∴ ，
函数 的定义域为 ，
函数 在定义域内单调递增，
当 时， 的单调递增区间为 ，
所以 的单调递增区间为 .
故选：D．
9．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知 的定义域为 为奇函数， 为偶函数，
若当 时， ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．e
【答案】C
【解析】 为奇函数，即 ，
所以 关于 中心对称，则 ，
为偶函数，即 ，
所以 ，
故 ，即 是周期为8的周期函数，
所以 ，
故选：C
10．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）函数 和 的定义域均为 ，且
为偶函数， 为奇函数，对 ，均有 ，则 （ ）
A．615 B．616 C．1176 D．2058
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】由函数 为偶函数，则 ，即函数 关于直线 对称，故
；
由函数 为奇函数，则 ，
整理可得 ，即函数 关于 对称，故 ；
由 ，可得 ，
所以 ，故 ，
解得 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
11．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数 满足 ，
， ，且 在区间 上单调，若函数 在区间 内有
4个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 的图象关于 中心对称，
【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ，所以 的图象关于 中心对称，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 的周期为 ，又因为 ，
所以令 中 ，则 ，
所以 ，又因为 在区间 上单调，
所以 ，
又因为 在区间 内有四个零点，
令 ，即 ，即 与 的图象在区间 有四个交点，
又因为直线 过定点 ，斜率为 ，
如图所示：
为临界状态，
当处于 时，此时直线的斜率为 ，
当处于 时，此时直线的斜率为 ，
因为 满足， 不满足.
【淘宝店铺：向阳百分百】所以由图可知，a的取值范围是 .
故选：C
12．（2023·福建·校联考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且对任意非零实数 ，
都有 .则函数 是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】B
【解析】令 ，则 ，所以 .
令 ，则 ，所以 .
令 ， ，则 ，
所以 为偶函数，故排除D选项；
由题意可知，函数 满足定义域为 ，
且对任意非零实数 ，
都有 ，
符合题意，但 不为奇函数，故排除AC.
故选：B.
13．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数 ，若 ，不等式
恒成立，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】因为 ，其中 ，则 ，且 不恒为零，
所以，函数 在 上为增函数，
又因为 ，故函数 为奇函数，
由 可得 ，
所以， ，所以， ，
令 ，因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以， .
故选：B.
14．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数 ，若 成立，则
实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
因为 ，
所以 为偶函数，
所以 的图象关于直线 对称，
所以 的图象关于直线 对称，
设 ，则 ，
令 ，则 ，得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上递增，
因为函数 在定义域上单调递增，
所以 在 单调递增，
所以 在 单调递增，
因为 ，
所以 ，
所以 ，化简得 ，解得 ．
所以实数a的取值范围为 ，
故选：B
15．（2023·广东·校联考模拟预测）设函数 为奇函数且在 上为减函数，则关于
的值表述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 为 上的奇函数，且递减，
所以 且 ，
即 ，
所以 ，解得 ，经检验符合题意，
【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，
因为函数 在 上为减函数，
所以 ，所以 .
故选：C.
16．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 的图象关于点
对称， ，且对任意的 ， ，满足 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 的图象关于点 对称， 的图象关于点 对称， 是定义在 上的奇函
数，
对任意的 ， ， ，满足 ， 在 上单调递减，所以 在
上也单调递减，
又 所以 ，且 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以由 可得 或 或 ，
解得 或 ，即不等式 的解集为 ．
故选：C.
【淘宝店铺：向阳百分百】17．（2023·江西九江·统考三模）已知定义在R上的函数 在 上单调递增， 是奇函数，
的图像关于直线 对称，则 （ ）
A．在 上单调递减 B．在 上单调递增
C．在 上单调递减 D．在 上单调递增
【答案】C
【解析】 是奇函数，
，即 的图象关于点 对称，
又 在 上单调递增，
在 上单调递增，即 在 上单调递增.
由 ，可得 ，
由 图像关于直线 对称可知 为偶函数，
∴ 在 上单调递减，
，
，
是周期函数，最小正周期为4，
∵ ， ，
∴ 在 上的单调性和在 上的单调性相同，
在 上单调递减.
故选：C.
二、多选题
18．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求
导，和 ，得 ，所
以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于
对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
19．（2023·河南·校联考模拟预测）已知非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ，若
为奇函数， 为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ，
若 为奇函数，则 ，则 的图象关于点 对称，且 ，故A错误；
因为 为偶函数，所以 ，即 ，
则 ，又 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
故 的周期为8，所以 ， ，在 中，令 ，得
【淘宝店铺：向阳百分百】，所以 ，故B正确；
对 两边同时求导，得 ，
所以导函数 的周期为8，所以 ，故C正确；
由 周期 ，得 ， ，对 两边同时求导，得
，令 ，得 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
20．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． 时，
B．若方程 有两个根，则
C．若直线 与 有两个交点，则 或
D．函数 有3个零点
【答案】ABD
【解析】对A：当 时， ，得 满足题意；
当 时， ，得 不满足题意，故A正确.
对B：作出 的图象，方程 有两个根可以看作 的图象与直线 有两个不同交点，
由图知 ，故B正确.
【淘宝店铺：向阳百分百】对C：直线 可化为 ，故直线 是以 为斜率且恒过 的直线，
如图， 为过 与 两点的直线，其斜率为 ，
当 位于 时，直线 与 有两个交点，
为过 且与 平行的直线， 其斜率为 ，
当 位于 时，直线 与 只有一个交点，
为过 的水平直线，其斜率为 ，
当 位于 时，直线 与 只有一个交点，
为过 的竖直直线，其斜率不存在，
当 位于 时，直线 与 只有一个交点，
由图可知，要使直线 与 有两个交点，
则 位于 之间或位于 之间，故 ，所以 ，故C错误.
对D： ，即 ，所以 或
由 得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】由 得 进而得 或 ，
所以函数 有3个零点，故D正确.
故选：ABD
21．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知定义域为 的偶函数 ，使 ，则下列函数中符
合上述条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】对于A， ，定义域为 ，所以 为偶函数，又
，故A正确；
对于B， 恒成立，故B错误；
对于C， ，定义域为 ， ，所以 为偶函数，又
，故C正确；
对于D，因为 ，所以 恒成立，故D错误．
故选：AC．
22．（2023·浙江·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 且 ，
则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为周期函数
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】ACD
【解析】依题意， ， ，
取 ，得 ，又 ，则 ，A正确；
取 ，得 ，则 ，B错误；
取 ，得 ，而 ，即 ，
于是 ，有 ，则 为偶函数，C正确；
即 ，得 ，即 ，
有 ，于是 ，即有 ，
因此 ，所以 为周期函数，D正确.
故选：ACD
23．（2023·湖南永州·统考一模）已知函数 与 的定义域均为 ，
，且 ， 为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．4为 的一个周期 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由于 为偶函数，图象关于 轴对称，
所以 图象关于 对称，
所以 ，
所以 ①，
【淘宝店铺：向阳百分百】而 ②，
两式相加得 ，则 ③，
所以 ，
所以 是 的一个周期，A选项正确.
由③令 得 ，
由①令 得 ，
由②令 得 ，则 ，
所以 ，
所以 ，C选项正确.
由①令 得 ，
由 ，
得 ，
两式相减得 ，即 ，
且 关于 对称， ，
所以 ④，
所以 ，
所以 是周期为 的周期函数，所以 ，所以B选项错误.
由④令 得 ，所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】由于 ，所以
所以 ，所以D选项正确.
故选：ACD
24（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）设函数 的定义域为 ，其图象关于直线 对称，且
.当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为偶函数 B．
C． 的图象关于直线 对称 D． 在区间 上单调递减
【答案】AC
【解析】因为函数 的定义域为 ，且 ，
所以 ，
所以函数 是以 为周期的周期函数，
又因函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 为偶函数，故A正确；
当 时， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】，故B错误；
因为 为偶函数且 的图象关于直线 对称，
所以 的图象关于直线 对称，故C正确；
因为当 时， ，
而函数 在 都是减函数，
所以函数 在 是减函数，
又因 为偶函数，
所以 在区间 上单调递增，故D错误.
故选：AC.
25．（2023·浙江·模拟预测）设 是定义在 上的函数，对 ，有
，且 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】A：在 中，
令 ，则有 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】在 中，
令 ，则有 ，
因此本选项正确；
B：若 成立，即有 ，
在 中，
令 ，则有 ，
这与 相矛盾，所以假设不成立，因此本选项不正确；
C：在 中，
以 代 ，得 ，
以 代 ，得 ，
上面两个等式相加，得
，或 ，
当 时，则有 ，显然与 矛盾，
因此 ，于是有 ，
因此函数 的周期为 ，
由 ，
由 ，
在 中，
令 ，得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，得 ，
由 ，
于是有 ，
因为 ，所以由 ，
于是 ，
因此 ，
，
因此本选项正确；
D：在 中，
令 ，所以有 ，因此有：
因为 ， ， ，
函数 的周期为 ，
所以
，因此本选项正确，
故选：ACD.
26．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数 ， 的定义域为 ， 是 的导函数，且
【淘宝店铺：向阳百分百】， ，若 为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为 ，令 ，则 ①，
，令 ，则 ②，
联立①②可得 ，故A正确；
由题可知 ，又因为 是偶函数，所以 是奇函数，
由 可得 ，
所以 的周期为4，
又∵ ，故 ，
，故 ，故B正确；
因为 ，由 得 ，
故 ，又 ， ，
若 ，则 ，
可得 ，即 ，而 不一定等于0，故C错误；
因为 ，得 ，
在 中，令 ，可得 ，又 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，又 的周期为4，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
27．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知 为定义在R上的偶函数，当
时，有 ，且当 时， ，下列命题正确的是（ ）
A．
B．函数 在定义域上是周期为2的函数
C．函数 的值域为
D．直线 与函数 的图象有2个交点
【答案】AC
【解析】由题意知，当 时，有 ，所以 ，
因为当 时， ，
当 时，可得 ，可得 ，
又因为 ，
所以 ，
又由函数 为定义在 上的偶函数，所以可作出函数 的图象如下：
对于A中，由
，所以A正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】对于B中，由图象可知函数不是周期函数，所以B是错误的；
对于C中，由图象可知函数的值域为 ，所以C正确．
对于D中，由图象可知直线 与函数 的图象只有1个交点，所以D错误.
故选：AC.
28．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数 的定义域 ，满足 ，且
当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是定义在 上的偶函数
B． 在 上单调递增
C．若 ，则
D．当 是钝角 的两个锐角时，
【答案】BC
【解析】对于A，令 得 ，即得 ，
在定义域范围内令 得 ，即 是奇函数，故A错误；
对于B，令 ，且 ，所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，且 ，所以 ，
所以 ，所以 是单调增函数，故B正确；
对于C，由 ，可得 ，即 ，即
，所以 是等比数列，
又 ，所以 ，故C正确；
对于D，因为 是钝角 的两个锐角，则 ，
所以 ，故D错误.
故选：BC.
29．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）定义在R上的偶函数 满足 ，且
在 上是增函数，则（ ）
A． 关于 对称 B．
C． D．
【答案】BC
【解析】 为偶函数，
所以 ，所以 ，
所以 关于点 对称，A错误；
【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，所以 ，B正确；
因为 在 上是增函数，
所以 ，故C正确；
因为 ，
所以 ，而 的值不确定，故D错误.
故选:BC．
30．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于直线 对称
C． 时， 在区间 单调递增
D． 时， 在区间 既有极大值点也有极小值点
【答案】BC
【解析】对于A， ，
不是 的周期，A错误；
对于B， ，
的图象关于直线 对称，B正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，
；
当 时， ， ， ，
令 ，则 ， ；
与 在 上均单调递减， 在 上单调递减，
又 在 上单调递减，
由复合函数单调性可知： 在 上单调递增，C正确；
对于D，由C知： ；
当 时， ， ， ；
令 ，则 ， ；
， 当 时， 在 上恒成立，
在 上单调递增，
又 在 上单调递增，在 上单调递减，
由复合函数单调性可知： 在 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， 在 上有极大值点 ，无极小值点，D错误.
故选：BC.
31．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数 定义域为 ， 是奇函
【淘宝店铺：向阳百分百】数， ，函数 在 上递增，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B．函数 在 上递减
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD
【解析】对于A，因为 是奇函数，所以 ，故A错误；
因为 是奇函数，所以 的图象关于点 对称，即有 ，
所以 ，所以 的图象关于直线
对称，
函数 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，故B正确；
因为 ，所以 ，即 ，故C正确；
因为 ，且 ，由函数 的图象关于直线 对称，得 ，解得
，故C正确.
故选：BCD.
32．（2023·浙江·校联考模拟预测）若定义在 上的函数 满足 ，且当
时， ，则下列结论正确的是（ ）．
A．若 ， ， ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 的图像关于点 对称
【淘宝店铺：向阳百分百】D．若 ，则
【答案】BC
【解析】令 ，则 ，
∴ 为奇函数，把y用 代替，得到 ，
设 ， ，∴ ．
又∵当 时， ，∴ ，
∴ 在 上单调递减．
∵ ， ，
当 时， ，则当 时，则 ， ，
当 时，则 ， ．
综上， ，∴A错误．
令 ，得 ，∴ ，
令 ，得 ，∴ ，∴B正确．
由 ，得 ，得 ，
又∵ ， 为奇函数，∴ ，
则 ，则 的图像关于点 对称，∴C正确．
，
【淘宝店铺：向阳百分百】假设 ，可得 ，即 ，
当 时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D错误．
故选：BC.
33．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数，满足 ，当
时， ，设函数 ，则下列结论成立的是（ ）
A．函数 的图象关于 对称
B．
C．当实数 时，函数 在区间 上单调递减
D．在区间 内，若函数 有4个零点，则实数 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】因为函数 是定义在 上的偶函数，所以 ，所以函数 的图象
关于 对称，可知A正确；
由 ，可得 ，知函数 的周期 ，
由周期和奇偶性得 ，故B不正确；
当 时，则 ， ，所以 ，
由函数为偶函数且周期为2可得 ， ，
由函数 在区间 上为单调递减函数，所以 ，即 .得C正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】函数 在区间 有4个零点， 有4个解，
即 与直线 在 有4个交点，利用周期 和偶函数，结合 在 的解析式，
可画出函数 和函数 在 上的图像.如图：
由图可得 ，即 ，实数 的取值范围是 ,D正确.
故选：ACD.
34．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且
， 时， ， ，则（ ）
A．
B．函数 在区间 单调递增
C．函数 是奇函数
D．函数 的一个解析式为
【答案】ABD
【解析】A项：因为 ，
当 时， ，令 ，
则 ，解得 ，A正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】B项：任取： ，
则 ，
因为当 时， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以函数 在区间 单调递增，B正确；
C项：令 ，则 ，
解得 或 ，当 ，且 时，令 ，
则 ，
若 为奇函数，则 ，即 ，
解得 ，与题意矛盾；
当 时 不为奇函数．
综上所述，函数 不是奇函数，C错误；
D项：当 ，
则 ，
，
所以 ，易得 在 上单调递增，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 时， ， ，
故函数 的一个解析式为 ，D正确．
故选 :ABD
35．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，
，且 ．当 时， ，则（ ）
A．
B． 是偶函数
C． 为增函数
D．当 ，且 ， 时，
【答案】ACD
【解析】因为 定义在 上，且满足 恒成立，
令 ，即 ，解得 ，故A正确；
再令 ，则 ，故 ，故 是奇函数，又 ，
所以函数 一定不是偶函数，故B错误；
任取 ，且 ，则 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，由于 ，所以 ， ，
所以 ．
【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ， ，所以 ， ，
即 在区间 上单调递增．故C正确；
对于D，因为 ， ，
因为 ，当且仅当 时，即 时等号成立；
所以 ，所以 ，又 ，所以 ．
令 ，则 ．
令 ，则 ，所以 ．
因为 ，所以 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 ，
故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
36．（2023·全国·统考高考真题）若 为偶函数，则 ．
【答案】2
【解析】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，
所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .
故答案为：2.
37．（2023·陕西咸阳·咸阳彩虹学校校考模拟预测）已知 分别是定义域为 的偶函数和奇函数，
且 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的最大值是
．
【答案】 /
【解析】因为 分别是定义域为 的偶函数和奇函数，且 ①，
所以 ，即 ②，
联立①②解得， ，
因为 在 上都为增函数，
所以 在 上单调递增， ，
故不等式
令 ，因为当 时， ， 单调递增，
所以 ，
又 ，
所以 ，
因为 在 上都为增函数，所以 在 上单调递增，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，所以 ，即实数 的最大值是 .
故答案为:
38．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若函数 的图象关于 轴对称，
则 ．
【答案】 /
【解析】函数 的定义域为R， ，
依题意，函数 是偶函数，
于是 ， ，
即
而 不恒为0，整理得 ，即 ，
因此 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
39．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，若对任意 ，
且 ，都有 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】函数 是定义在 上的奇函数，则 ，
所以 ，则 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 的图像关于直线 对称，
因为对任意 ， 且 ，都有 ，
所以 在区间 内单调递减，则 在区间 内单调递增，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
解得 ，
故不等式 的解集为 ．
故答案为： .
40．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数 ，若不等式
恒成立，则a的最小值为 .
【答案】 /
【解析】依题意， ，
， 在R上单调递增，
且 ， 为奇函数，
，
令 ，求导得 ，函数 在 上单调递增，
当 时，有 ，于是 ，当 时，显然 成立，
【淘宝店铺：向阳百分百】因此 ，即 ，令 ，求导得 ，
当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，
因此当 时， ，则 ，而 ，有 ，
所以a的最小值为 .
故答案为：
41．（2023·河南郑州·三模）已知函数 ， ，对于下述四个结论：
①函数 的零点有三个；
②函数 关于 对称；
③函数 的最大值为2；
④函数 在 上单调递增．
其中所有正确结论的序号为： ．
【答案】②③④
【解析】 ，
令 ，解得 或 ，
∵ ，∴ 或 或 或 ，故①错误；
∵ ，
∴函数 关于 对称，故②正确；
，
∵ ，∴ ，
【淘宝店铺：向阳百分百】∴当 时，函数 取最大值2，故③正确；
，
令 ，当 时， 单调递减，
∵ ，∴ ，∴ 单调递减，
∴函数 在 上单调递增，故④正确．
故答案为：②③④.
42．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数 ，若对定义域
内两任意的 （ ），都有 成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，
因为对 ，都有 成立，
设 ，则 ，于是 ，都有 成立，
因此函数 在 上单调递增，求导得 ，
则有 成立，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时，必有 ，函数 的图象过点 ，对称轴 ，从而 ，解
得 ，
而当 时， ，当且仅当 时取等号，符合题意，
所以a的取值范围是 .
【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
43．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数 则 ；若当
时， ，则 的最大值是 ．
【答案】 /
【解析】由已知 ， ，
所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
等价于 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： ， .
44．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且
且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
【淘宝店铺：向阳百分百】，解得 ，
由 得， ，
，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数
[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
【淘宝店铺：向阳百分百】45．（2022·北京·统考高考真题）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为
；a的最大值为 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【解析】若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合题
目要求；
若 时，
当 时， 单调递减， ，
当 时，
∴ 或 ，解得 ，综上可得 ；
故答案为：0（答案不唯一），1
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