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专题05 函数性质的综合运用（选填题7种考法）考法一 函数的单调性
【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【例1-2】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知 ，且 ，函数 在
上单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．2．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间 上
单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）下列函数中，即是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·河南·校联考模拟预测）（多选）已知函数 在R上单调递增，函数 在 上单调递增，
在 上单调递减，则（ ）
A．函数 在R上单调递增
B．函数 在 上单调递增
C．函数 在 上单调递减
D．函数 在 上单调递减
考法二 函数的奇偶性
【例2-1】（2023·全国·统考高考真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【例2-2】（2023·山东·校联考模拟预测）若函数 在其定义域 上是奇函数，则 的值为
（ ）
A． B．3 C． 或3 D．不能确定
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）若 为偶函数，则 （ ）．A． B．0 C． D．1
2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数 为奇函数，则 的值是
（ ）
A．0 B． C．12 D．10
3．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的函数是
（ ）
A． B．
C． D．
考法三 解不等式
【例3-1】（2023·四川雅安·校考模拟预测）已知函数 ，则不等式 的
解集为（ ）
A． B．
C． D．
【例3-2】（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）设函数 则满足
的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）定义在 上的函数 满足：对 ，且 都有 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南·统考模拟预测）函数 是定义在 上的奇函数，且 在区间 上单调递增，
若关于实数t的不等式 恒成立，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）若定义在 上的函数 同时满足：① 为奇函数；
②对任意的 ，且 ，都有 ，则称函数 具有性质 ．已知函数
具有性质 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·江西鹰潭·统考一模）已知函数 ，且 ，则实数a的取值
范围（ ）
A． B．
C． D．5．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数 ，若对于一切的实数 ，不等式
恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考法四 函数性质的综合运用
【例4-1】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 成中心对称
【例4-2】（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知定义在 上的偶函数 满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的一个周期为2
C．
D．函数 的图象关于直线 对称
【例4-3】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数 是 上的偶函数，且 的图象关于点
对称，当 时， ，则 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【变式】1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数 及其导函数 定义域均为 ，记 ，
且 ， 为偶函数，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023·陕西西安·校考三模）已知 是定义域为 的奇函数，若 的最小正周期为
1，则下列说法中正确的个数是（ ）
① ②
③ 的一个对称中心为 ④ 的一条对称轴为
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）（多选）已知函数 是定义域为 的奇函数， ，
若 ， ， ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 是周期为4的周期函数
C． D．
考法五 函数的图像
【例5-1】（2022·天津·统考高考真题）函数 的图像为（ ）A． B． C． D．
【例5-2】（2023·天津·统考高考真题）函数 的图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是
（ ）A． B． C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南·统考模拟预测）函数 的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
考法六 抽象函数
【例6】（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【变式】1（2023·河南·模拟预测）已知不恒等于零的函数 的定义域为 ，满足
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的图象关于原点对称
C． D． 的最小正周期是6
2．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）函数 对任意x， 总有
，当 时， ， ，则下列命题中正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是R上的减函数
C． 在 上的最小值为 D．若 ，则实数x的取值范围为
3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
考法七 函数角度解三角函数
【例7】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 ，则下列
结论错误的是（ ）
A． 是周期函数
B． 在区间 上是增函数
C． 的值域为D． 关于 对称
【变式】
1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）（多选）下列函数中，以 为最小正周期的函数是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）（多选）已知函数 ，则（ ）
A．函数 在区间 上单调递增
B．直线 是函数 图象的一条对称轴
C．函数 的值域为
D．方程 最多有8个根，且这些根之和为
3．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）（多选）已知函数 ，则
（ ）
A． 是 的周期
B． 的图象有对称中心，没有对称轴
C．当 时，
D．对任意 ， 在 上单调一、单选题
1．（2023·四川雅安·校考模拟预测）定义在R上的奇函数 满足 是偶函数，当 时，
，则 （ ）
A． B． C．0 D．2
2．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若 为奇函数，则 （ ）
A．－1 B．0 C． D．1
3．（2023·湖南永州·统考一模）“函数 在 上单调递减”是“函数 是偶
函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知定义在 上的奇函数 满足 ，
当 时， ，则 （ ）
A． B．1 C．0 D．
5．（2023·云南·校联考模拟预测）若函数 为偶函数，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．0
6．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数 是定义域为 上的奇函数，满足
，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图为函数 的大致图象，其解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
8．（2023·辽宁·校联考模拟预测）若 为奇函数，则 的单调递增区间
是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知 的定义域为 为奇函数， 为偶函数，
若当 时， ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．e
10．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）函数 和 的定义域均为 ，且
为偶函数， 为奇函数，对 ，均有 ，则 （ ）
A．615 B．616 C．1176 D．2058
11．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数 满足 ，
， ，且 在区间 上单调，若函数 在区间 内有4个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·福建·校联考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且对任意非零实数 ，
都有 .则函数 是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
13．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数 ，若 ，不等式
恒成立，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数 ，若 成立，则
实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023·广东·校联考模拟预测）设函数 为奇函数且在 上为减函数，则关于
的值表述正确的是（ ）
A． B．C． D．
16．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 的图象关于点
对称， ，且对任意的 ， ，满足 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2023·江西九江·统考三模）已知定义在R上的函数 在 上单调递增， 是奇函数，
的图像关于直线 对称，则 （ ）
A．在 上单调递减 B．在 上单调递增
C．在 上单调递减 D．在 上单调递增
二、多选题
18．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·河南·校联考模拟预测）已知非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ，若
为奇函数， 为偶函数，则（ ）A． B．
C． D．
20．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． 时，
B．若方程 有两个根，则
C．若直线 与 有两个交点，则 或
D．函数 有3个零点
21．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知定义域为 的偶函数 ，使 ，则下列函数中符
合上述条件的是（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·浙江·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 且 ，
则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为周期函数
23．（2023·湖南永州·统考一模）已知函数 与 的定义域均为 ，
，且 ， 为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．4为 的一个周期 B．C． D．
24（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）设函数 的定义域为 ，其图象关于直线 对称，且
.当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为偶函数 B．
C． 的图象关于直线 对称 D． 在区间 上单调递减
25．（2023·浙江·模拟预测）设 是定义在 上的函数，对 ，有
，且 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数 ， 的定义域为 ， 是 的导函数，且
， ，若 为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
27．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知 为定义在R上的偶函数，当时，有 ，且当 时， ，下列命题正确的是（ ）
A．
B．函数 在定义域上是周期为2的函数
C．函数 的值域为
D．直线 与函数 的图象有2个交点
28．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数 的定义域 ，满足 ，且
当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是定义在 上的偶函数
B． 在 上单调递增
C．若 ，则
D．当 是钝角 的两个锐角时，
29．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）定义在R上的偶函数 满足 ，且
在 上是增函数，则（ ）
A． 关于 对称 B．
C． D．
30．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数 ，则（ ）A． 的最小正周期为
B． 的图象关于直线 对称
C． 时， 在区间 单调递增
D． 时， 在区间 既有极大值点也有极小值点
31．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数 定义域为 ， 是奇函
数， ，函数 在 上递增，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B．函数 在 上递减
C．若 ，则 D．若 ，则
32．（2023·浙江·校联考模拟预测）若定义在 上的函数 满足 ，且当
时， ，则下列结论正确的是（ ）．
A．若 ， ， ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 的图像关于点 对称
D．若 ，则
33．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数，满足 ，当
时， ，设函数 ，则下列结论成立的是（ ）A．函数 的图象关于 对称
B．
C．当实数 时，函数 在区间 上单调递减
D．在区间 内，若函数 有4个零点，则实数 的取值范围是
34．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且
， 时， ， ，则（ ）
A．
B．函数 在区间 单调递增
C．函数 是奇函数
D．函数 的一个解析式为
35．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，
，且 ．当 时， ，则（ ）
A．
B． 是偶函数
C． 为增函数
D．当 ，且 ， 时，三、填空题
36．（2023·全国·统考高考真题）若 为偶函数，则 ．
37．（2023·陕西咸阳·咸阳彩虹学校校考模拟预测）已知 分别是定义域为 的偶函数和奇函数，
且 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的最大值是
．
38．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若函数 的图象关于 轴对称，
则 ．
39．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，若对任意 ，
且 ，都有 ，则不等式 的解集为 ．
40．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数 ，若不等式
恒成立，则a的最小值为 .
41．（2023·河南郑州·三模）已知函数 ， ，对于下述四个结论：
①函数 的零点有三个；
②函数 关于 对称；
③函数 的最大值为2；
④函数 在 上单调递增．
其中所有正确结论的序号为： ．
42．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数 ，若对定义域内两任意的 （ ），都有 成立，则a的取值范围是 ．
43．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数 则 ；若当
时， ，则 的最大值是 ．
44．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 ， ．
45．（2022·北京·统考高考真题）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为
；a的最大值为 ．
