文档内容
专题十一 《立体几何》讲义
11.1 空间几何体
知识梳理 . 空间几何体
1．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′
轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于 x轴和z轴的线
段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似
相交于一点，但不一定相
侧棱 互相平行且相等 延长线交于一点
等
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球▲
图形
互相平行且相 长度相等且相交
母线 延长线交于一点
等，垂直于底面 于一点
全等的等腰三角
轴截面 全等的矩形 全等的等腰梯形 圆
形
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
4．空间几何体的表面积与体积公式
名称
表面积 体积
几何体
柱体(棱柱和圆柱) S ＝S ＋2S V＝Sh
表面积 侧 底
锥体(棱锥和圆锥) S ＝S ＋S V＝Sh
表面积 侧 底S ＝S ＋S ＋S
台体(棱台和圆台) 表面积 侧 上 V＝(S ＋S ＋)h
上 下
下
球 S＝4πR2 V＝πR3
题型一 . 正方体的展开与折叠问题
1．如图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是
（ ）
A． B． C． D．
【解答】解： 将其折叠起来，变成正方体后的图形中，相邻的平面中三
条线段是平行线，排除A，C；相邻平面只有两个是空白面，排除D；
故选：B．
2．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段 AB、CD、EF和GH
在原正方体中不相交的线段的对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：平面展开图还原成正方体：
G点与C点重合，
B点与F重合．
观察正方体中的线段不难发现：
GH与EF，GH与AF，CD与AF，CD与EF均不相交．
∴在正方体中不相交的线段有4对．
故选：C．3．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）
A．AE∥CD B．CH∥BE C．DG⊥BH D．BG⊥DE
【解答】解：还原正方体直观图如图，可知AE与CD为异面直线，故选项A不正确；
∥
由EH BC，可得CH∥BE，故选项B正确；
=
正方形中易得DG⊥平面BCH，所以有DG⊥BH，故选项C正确；
因为BG∥AH，且DE⊥AH，所以BG⊥DE，故选项D正确．
故选：BCD．
题型二 . 多面体表面最短距离问题
1．如图，正三棱锥S﹣ABC中，∠BSC＝40°，SB＝2，一质点自点B出发，沿着三棱
锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（ ）
A．2 B．3 C．2√3 D．3√3
【解答】解：将三棱锥S﹣ABC沿侧棱SB展开，
其侧面展开图如图所示，由图中红色路线可得结论．
根据余弦定理得，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为：√ 1
4+4+2×2×2× =2√3
2
故选：C．
2．如图，已知正三棱柱ABC﹣A B C 的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自A点出发，
1 1 1
沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 点的最短路线的长为（ ）cm．
1
A．12 B．13 C．√61 D．15
【解答】解：如图所示，
把侧面展开两周可得对角线最短：AA =√62+52=√61cm．
1
故选：C．
3．如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，
且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求绳子最短时，顶点到绳子的
4x
最短距离 （用x表示）．
√x2+16
【解答】解：∵底面半径r＝1，母线长l＝4，∴侧面展开扇形的圆心角 ＝90°
因此，将圆锥侧面展开成一α个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点A，最短距离
为Rt△ASM中，斜边AM的长度
∵SM＝x，SA＝4
∴绳子的最短长度的平方f（x）＝AM2＝x2+42＝x2+16．
绳子最短时，定点S到绳子的最短距离等于Rt△ASM的斜边上的高，设这个距离等于
d，
SM⋅AS 4x
= =
则d ，
AM √x2+16
4x
故答案为 ．
√x2+16
题型三 . 截面问题
1．如图，若 是长方体ABCD﹣A B C D 被平面EFGH截去几何体EFGHB C 后得
1 1 1 1 1 1
到的几何体，其Ω中 E为线段 A B 上异于 B 的点，F为线段 BB 上异于 B 的点，且
1 1 1 1 1
EH∥A D ，则下列结论中不正确的是（ ）
1 1
A．EH∥FG B．EF∥HG C． 是棱柱 D． 是棱台
【解答】解：因为EH∥A 1 D 1 ，A 1 D 1 ∥B 1 C 1 ， Ω Ω
所以EH∥B C ，又EH 平面BCC B ，
1 1 1 1
所以EH∥平面BCB
1
C
1
，⊄又EH 平面EFGH，
平面EFGH∩平面BCB
1
C
1
＝FG⊂，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B C ，
1 1
所以选项A、C正确，D错误；
因为平面ABB A ∩平面EFGH＝EF，
1 1
平面CDD C ∩平面EFGH＝GH，
1 1
平面ABB A ∥平面CDD C ，
1 1 1 1
所以EF∥GH，故B正确．
故选：D．
2．（2018·全国1）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则
截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） α
α 3√3 2√3 3√2 √3
A． B． C． D．
4 3 4 2
【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面 所
成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时， 截此正方体α所
得截面面积的最大， α
√2
此时正六边形的边长 ，
2
√3 √2 3√3
截此正方体所得截面最大值为：6× ×( ) 2= ．
4 2 4
α
故选：A．
3．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E
9π
是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是 ．
4
【解答】解：设正△ABC的中心为O ，连结O O、O C、O E、OE，
1 1 1 1
∵O 是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，
1
∴O O⊥平面ABC，结合O C 平面ABC，可得O O⊥O C，
1 1 1 1
∵球的半径R＝2，球心O到平⊂面ABC的距离为1，得O
1
O＝1，
∴Rt△O OC中，O C ．
1 1 =√R2−OO 2=√3
11 √3
又∵E为AB的中点，∴正△ABC中，O E= O C= ．
1 2 1 2
√3 √7
∴Rt△OO E中，OE=√O E2+OO 2= +1= ．
1 1 1 4 2
∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，
∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．
√ √7 2 3
此时截面圆的半径r=√R2−EO 2= 22−( ) = ，
1 2 2
9π
可得截面面积为S＝ r2= ．
4
π
9π
故答案为： ．
4
题型四 . 一般空间几何体的表面积与体积
1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O ，O ，过直线O O 的平面截该圆柱所得
1 2 1 2
的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A．12√2 B．12 C．8√2 D．10
【解答】解π ：设圆柱的底面直π径为2R，则高为2R， π π
圆柱的上、下底面的中心分别为O ，O ，
1 2
过直线O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，
1 2
可得：4R2＝8，解得R=√2，
则该圆柱的表面积为：π⋅(√2) 2×2+2√2π×2√2=12 ．
π
故选：B．
8π
2．母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ，则该圆锥的体积为（ ）
5
16π 8π
A．16 B．8 C． D．
3 3
π π8π
【解答】解：母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ，
5
8π
所以侧面展开图的弧长为：l＝5× =8 ，
5
π
由弧长＝底面周长，即8 ＝2 r，r＝4，
π π
所以圆锥的高为h=√52−42=3，
1 1
所以圆锥体积V= × ×r2×h= × ×42×3＝16 ．
3 3
π π π
故选：A．
3．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB
的面积为8，则该圆锥的体积为 8 ．
【解答】解：圆锥的顶点为S，母π线SA，SB互相垂直，△SAB的面积为8，可得：
1
SA2=8，解得SA＝4，
2
SA与圆锥底面所成角为30°．可得圆锥的底面半径为：2√3，圆锥的高为：2，
1
则该圆锥的体积为：V= ×π×(2√3) 2×2=8 ．
3
π
故答案为：8 ．
4．已知边长为√π3的正三角形ABC三个顶点都在球O的表面上，且球心O到平面ABC的
16π
距离为该球半径的一半，则球O的表面积为 ．
3
【解答】解：如图，设OO′⊥平面ABC，垂足是O′，设球半径为r，
∵边长为√3的正三角形ABC三个顶点都在球O的表面上，
且球心O到平面ABC的距离为该球半径的一半，
2√ 3 1
∴AO′= 3− =1，OA＝r，OO′= r，
3 4 2
∵OA2＝O′A2+OO′2，
r2 4
∴r2=1+ ，解得r2= ，
4 3
16π
∴球O的表面积S＝4 r2= ．
3
π
16π
故答案为： ．
35．如图，直三棱柱ABC﹣A B C 的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面
1 1 1
BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB A 的面积为（ ）
1 1 1 1
√2
A．2 B．1 C．√2 D．
2
【解答】解：球心在平面BCC B 的中心O上，BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°，
1 1
底面外接圆的圆心N位于BC的中点，
△A B C 的外心M在B C 中点上，
1 1 1 1 1
设正方形BCC B 的边长为x，
1 1
x x
Rt△OMC 中，OM= ，MC = ，OC ＝R＝1，
1 2 1 2 1
x x
∴( )
2+(
)
2=1，
2 2
即x=√2，则AB＝AC＝1，
∴S =√2×1=√2
矩 形AABB
1 1
故选：C．
6．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 40cm，母线长最短50cm，最长
80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝ 260 0 cm2．
π【解答】解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，
1
侧面展开图的面积 S＝（50+80）×20 ×2× =2600 cm2．
2
π π
故答案为：2600
7．已知正四棱台的π侧棱长为3cm，两底面边长分别为2cm和4cm，则该四棱台的体积为
28√7
cm 3 ．
3
【解答】解：正四棱台ABCD﹣A B C D ，O ，O是两底面的中心，
1 1 1 1 1
∵A C ＝2√2，AC＝4√2，
1 1
∴O O=√9−2=√7，
1
1 28√7
∴V= ×√7×(4+16+8)= cm3，
3 3
28√7
故答案为： cm3．
3
题型五 . 三棱锥的表面积与体积
1．（2019·全国3）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模
型为长方体ABCD﹣A B C D 挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体
1 1 1 1
的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA ＝4cm.3D打印所用原
1
料密度为0.9g/cm3．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 118. 8 g．
【解答】解：该模型为长方体ABCD﹣A B C D ，挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何
1 1 1 1
体，其中O为长方体的中心，
E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA ＝4cm，
1
∴该模型体积为：
V − V O﹣EFGH
ABCD−A B C D
1 1 1 11 1
＝6×6×4− ×(4×6−4× ×3×2)×3
3 2
＝144﹣12＝132（cm3），
∵3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，
∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9＝118.8（g）．
故答案为：118.8．
2．如图，正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为1，线段B D 上有两个动点E，F，且EF＝
1 1 1 1 1 1
1，则四面体A﹣EFB的体积为（ ）
√2 √2 √2 √2
A． B． C． D．
6 12 4 2
1 1
【解答】解：∵EF＝1，∴△BEF的面积为定值 ×EF×1= ，
2 2
设AC∩AB＝O，
∵AC⊥平面BDD B ，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，
1 1
√2
AO=
2
1 1 √2 √2
∴V
A﹣BEF
=
3
×
2
×
2
=
12
．
故选：B．3．如图，在正三棱锥A﹣BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC＝1，则
√2
正三棱锥A﹣BCD的体积是 ．
24
【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，又∵EF⊥DE，
∴AC⊥DE，
取BD的中点O，连接AO、CO，∵正三棱锥A﹣BCD，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，又AC 平面AOC，∴AC⊥BD，
又DE∩BD＝D，∴AC⊥平面ABD； ⊂
∴AC⊥AB，
√2
设AC＝AB＝AD＝x，则x2+x2＝1 x=
2
⇒
1 1 √2
V C﹣ABD = 3 S△ABD •AC = 6 AB•AD•AC= 24 ．
√2
故答案是
24
4．如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF
√2
均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为 ．
3
【解答】解：过AD做底面ABCD垂直的平面交EF于G点过BC做底面ABCD垂直的平面交EF于H点
则多面体ABCDEF被分为三棱锥E﹣ADG，三棱柱ADG﹣BCH，三棱锥F﹣HBC三个
部分
由ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，
1
易得EG＝HF= ，GH＝1
2
过点G作GO⊥AD交于点O，连接EO，
易知O为AD中点且GO⊥EF，
√ √3 1 √2
由勾股定理：GO=√EO2−EG2= ( ) 2−( ) 2= ，
2 2 2
√2
S△ADG ＝S△BCH =
4
√2 √2
∴V =V = ，V =
E−ADG F−HBC 24 ADG−BCH 4
√2 √2 √2
∴多面体ABCDEF的体积V＝2× + =
24 4 3
√2
故答案为：
3
5．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，
EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．
【解答】解：如图所示，
，
连接BE，CE，则多面体ABCDEF的体积为：V＝V四棱锥E﹣ABCD +V三棱锥E﹣BCF
1 1 1
= ×42×3+ × ×4×3×2
3 3 2
＝20．
题型六 . 空间几何体的最值问题
1．已知圆锥底面半径为1，母线长为3，某质点从圆锥底面圆周上一点A出发，绕圆
锥侧面一周，再次回到A点，则该质点经过的最短路程为 3√3 ．
【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，
再回到 A 点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦，
转化为求弦长的问题如图所示：
设展开的扇形的圆心角为 ，
∵圆锥底面半径 r＝1cm，α母线长是 OA＝3cm，
∴ 根据弧长公式得到 2 ×1＝ ×3，
2π π α2π
∴α= ，即扇形的圆心角是 ，
3 3
∴∠AOH＝60°，
∴动点P自A出发在侧面上绕一周到 A 点的最短路程为弧所对的弦长：
√3
AA′＝2AH＝2×OAsin∠AOH=2×3× =3√3．
2
故答案为：3√3．
2．如图，在正方体ABCD﹣A B C D 中，P为对角线BD 的三等分点，则P到各顶点的距
1 1 1 1 1
离的不同取值有 4 个．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|＝3，
则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A （3，0，3），B
1 1
（3，3，3），C （0，3，3），D （0，0，3），
1 1
→ → 1 →
∴BD =（﹣3，﹣3，3），设P（x，y，z），∵BP= BD =（﹣1，﹣1，1），∴
1 3 1
→ →
DP=DB+（﹣1，﹣1，1）＝（2，2，1）．
∴|PA|＝|PC|＝|PB |=√12+22+12=√6，
1
|PD|＝|PA |＝|PC |=√22+22+12=3，
1 1
|PB|=√3，
|PD |=√22+22+22=2√3．
1
故P到各顶点的距离的不同取值有√6，3，√3，2√3共4个．
故答案为：4．
3．已知正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为2，线段EF，GH分别在AB，CC 上移动，且
1 1 1 1 1
1 1
EF+GH= ，则三棱锥E﹣FGH的体积最大值为 ．
2 48
【解答】解：V
EFGH
＝V
H﹣EFC
﹣V
G﹣EFC
1 1 1 1
= × ×EF×BC×CH− × ×EF×BC×CG
3 2 3 2
1
= EF⋅GH
3
1 EF+GH
≤ ×( ) 2
3 21 1
= ．（当且仅当EF＝GH= 时取得最大值）．
48 4
1
故答案为： ．
48
4．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，√2，a，且长为a的棱与长为
√2的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
√2 √3 √2 √3
A． B． C． D．
12 12 6 6
【解答】解：设四面体的底面是BCD，AD＝a，AB＝AC＝BD＝CD＝1，BC=√2，
则0＜a＜√2，
∴V A﹣BCD ＝V B﹣AED +V C﹣AED
1 1 1 √ √2 a
= S ⋅BC= × ×a× ( ) 2−( ) 2×√2
3 △AED 3 2 2 2
√2
= ×√−a4+2a2 ．
12
√2
∴当a2＝1，即a＝1时，三棱锥的体积的最大值为 ．
12
故选：A．
5．如图所示，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A B C 中，点D为棱AC的中点，点P是侧
1 1 1
棱AA 上的动点，求△PBD面积的最大值．
1【解答】解：设PA＝x，
则PB＝4+x2，PD＝1+x2，BD＝3．
又BD2+PD2＝PB2，
1 1
∴S= BD⋅PD= ×3×(1+x2 )，
2 2
15
当x＝2时，S最大为 ．
2
15
∴△PBD面积的最大值为 ．
2
6．在棱长为 6的正方体 ABCD﹣A B C D 中，M是BC 的中点，点 P是正方体的表面
1 1 1 1
DCC D （包括边界）上的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P﹣BCD体积的最
1 1
大值是（ ）
A．12√3 B．36 C．24 D．18√3
【解答】解：∵在棱长为6的正方体ABCD﹣A B C D 中，M是BC的中点，
1 1 1 1
点P是面DCC D 所在的平面内的动点，
1 1
且满足∠APD＝∠MPC，
∴Rt△ADP∽△Rt△PMC，
AD PD
∴ = = 2，
MC PC
即PD＝2PC，
设DO＝x，PO＝h，作PO⊥CD，
∴√x2+
ℎ
2=2√(6−x) 2+
ℎ
2，化简得：3h2＝﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，
根据函数单调性判断：x＝6时，3h2最大值为36，
h最大值 ＝2√3，
∵在正方体中PO⊥面BCD，
1 1
∴三棱锥P﹣BCD的体积最大值： × ×6×6×2√3=12√3．
3 2故选：A．
7．若一个圆锥的母线长为4，高为2，则过这个圆锥的任意两条母线的截面面积的最大值
是 8 ．
【解答】解：由题意：圆锥的母线长为4，高为2，
∴圆锥的底面半径r=2√3．
任意两条母线作截面（如图）ACS，
则CS＝SA＝4，△ACS是等腰三角形．
SD是△ACS的高，且是AC的中点．
设SD＝h，AC＝m，BC＝n．
1
可得：h2+ m2＝16
4
即4h2+m2＝64，
那么：64＝4h2+m2≥4mh，（当且仅当2h＝m时取等号）
mh≤16．
1 1
则S = mℎ = ×16=8
△ACS 2 2
故答案为8．
8．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆
柱的组合体（如图2）．当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为 S平方
厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的 2倍，则
R的取值范围为（ ）√ 35 √ 3S √ S √ 3S
A．(0， ] B．[ ，+∞) C．( ， ]D．[
10π 10π 5π 10π
√ 3S √ S
， )
10π 2π
【解答】解：设圆柱的高度与半球的半径分别为 h，R，则 S＝2 R2+2 Rh，则
π π
S
πRℎ = −πR2 ，
2
2 2 S π S 4
所以酒杯的容积V = πR3+πR2 ℎ = πR3+( −πR2 )R=− R3+ R≤ πR3 ，
3 3 2 3 2 3
S
又h＞0，所以
−πR2＞0，
2
所以πR2＜ S ≤ 5 πR2 ，解得 √ 3S ≤R＜ √ S ，
2 3 10π 2π
故选：D．
课后作业 . 空间几何体
1．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 V 和V ，则V ：V
1 2 1 2
＝（ ）
A．1：3 B．1：1 C．2：1 D．3：1
【解答】解：设圆柱，圆锥的底面积为S，高为h，
1
则由柱体，锥体的体积公式得：V ：V =(Sℎ)：( Sℎ)=3：1
1 2 3
故选：D．
2．已知底面半径为1，体积为√3π的圆柱，内接于一个高为2√3圆锥（如图），线段AB
为圆锥底面的一条直径，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为（ ）A．8 B．4√3 C．4√2 D．4
【解答】解：如图，
设圆柱的高为h，则π×12×ℎ =√3π，得h=√3．
∵SO=2√3，∴CD为△SOB的中位线，
∴OB＝2，则SB=√(2√3) 2+22=4．
即圆锥的底面半径为1，母线长为4，
4π
则展开后所得扇形的弧长为4 ，圆心角为 =π．
4
π
∴从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为4√2．
故选：C．
3．已知一个圆台的下底面半径为r，高为h，当圆台的上底半径r′变化时，圆台体积的变
1
化范围是 （
πr2
ℎ ， + ∞） ．
3
1
【解答】解：V圆台 =
3
（r2+rr′+r′2）h．
π
1
∵r′＞0，∴当上底面积为0时，V圆锥 =
3
r2h，
π
随上底半径的增大，V圆台 增大．
1
∴V圆台 ＞
3
r2h，
π
1
故答案是（
πr2
ℎ，+∞）．
34．如图，已知正方体 ABCD﹣A B C D 的棱长为1，则四棱锥A ﹣BB D D的体积为（
1 1 1 1 1 1 1
）
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 4 2 6
【解答】解：如图，
∵正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为1，
1 1 1 1
1 1
∴三棱柱ABD﹣A B D 的体积为V= ×1×1×1= ，
1 1 1 2 2
1 1 1
三棱锥A ﹣ABD的体积为 × ×1×1×1= ，
1 3 2 6
1 1 1
∴四棱锥A ﹣BB D D的体积为V= − = ．
1 1 1 2 6 3
故选：A．
5．《九章算术》中，将如图所示的几何体称为刍薨，底面ABCD为矩形，且EF∥底面
V
ABCD，EF到平面ABCD的距离为h，BC＝a，AB＝b，则EF＝c时，则 B−CDEF =2时，
V
E−ABD
b
=（ ）
c1 3 2
A． B． C． D．1
2 2 3
1 1 1
【解答】解：由题意得V
E﹣ABD
＝V
F﹣BCD
=
3
×
2
abℎ =
6
abℎ，
1 1 1
∴V
B﹣DEF
=
3
×
2
×acℎ =
6
acℎ，
1
V B﹣CDEF ＝V B﹣DEF +V B﹣CDF = 6 (b+c)aℎ，
1
(b+c)aℎ
V 6
∵ B−CDEF =2，∴ = 2，
V 1
E−ABD abℎ
6
b
解得 =1．
c
故选：D．
6．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵
指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于
底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC﹣A B C 中，AC⊥BC，若A A＝AB＝4，当阳马B﹣
1 1 1 1
A ACC 体积最大时，则堑堵ABC﹣A B C 的体积为（ ）
1 1 1 1 1
16
A． B．16 C．16√2 D．32
3
【解答】解：设AC＝x，BC＝y，由题意得x＞0，y＞0，x2+y2＝16，
1 4
阳马B﹣A ACC 体积V= ×4x×y= xy，
1 1 3 3
x2+ y2
∵xy≤ =8，当且仅当x＝y＝2√2时，取等号，
2
∴当阳马B﹣A ACC 体积最大时，AC＝BC=2√2，
1 1
1
此时堑堵ABC﹣A B C 的体积V＝S •AA = ×2√2×2√2×4=16，
1 1 1 ABC 1 2
故选：B．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/7/21 16:01:09；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067
