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专题 11 直线与圆
目录一览
2023真题展现
考向一 直线与圆相切
考向二 直线与圆相交
真题考查解读
近年真题对比
考向一 直线与圆相切
考向二 直线与圆的位置关系
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 直线与圆相切
1．（2023•新高考Ⅰ•第6题）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为 ，则sin ＝
（ ）
α α
√15 √10 √6
A．1 B． C． D．
4 4 4
【答案】B
解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r=√5；
设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC=√22+22=2√2，
α √5 α √ 5 √3
△PAC中，sin = ，所以cos = 1− = ，
2 2√2 2 8 2√2
α α √5 √3 √15
所以sin ＝2sin cos =2× × = ．
2 2 2√2 2√2 4
α
故选：B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1考向二 直线与圆相交
2．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知直线x﹣my+1＝0与 C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，写出满足
8
“△ABC面积为 ”的m的一个值 ． ⊙
5
1 1
【答案】2（或﹣2或 或− ）
2 2
解：由圆C：（x﹣1）2+y2＝4，可得圆心坐标为C（1，0），半径为r＝2，
8 1 8
因为△ABC的面积为 ，可得S = ×2×2×sin∠ACB= ，
5 △ABC 2 5
4 1 4
解得sin∠ACB= ，设 ∠ACB＝ 所以∴2sin cos = ，
5 2 5
2sinθcosθ 4 2taθnθ 4 θ θ 1
可得 = ，∴ = ，∴tan = 或tan ＝2，
sin2θ+cos2θ 5 tan2θ+1 5 2
2 1 θ θ
∴cos = 或cos = ，
√5 √5
θ θ
4 2
∴圆心眼到直线x﹣my+1＝0的距离d = 或 ，
√5 √5
2 4 2 2
= =
∴ 或 ，
√1+m2 √5 √1+m2 √5
1
解得m＝± 或m＝±2．
2
1 1
故答案为：2（或﹣2或 或− ）．
2 2
【命题意图】
考查直线的倾斜角与斜率、直线方程、两直线平行与垂直、距离公式、圆的方程、直线与圆的位置关
系、圆与圆的位置关系．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2【考查要点】
常考查直线与圆的位置关系、动点与圆、圆与圆的关系。常考查由直线与圆相切或相交来解决问题
(解析法、几何法)，常与平面向量、几何概型、三角函数、函数与最值等联合考查．
【得分要点】
1．直线的倾斜角与斜率
图示
倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率 k＝0 k>0 不存在 k<0
2．直线方程的五种形式
形式 方程 局限
点斜式 y－y＝k(x－x) 不能表示斜率不存在的直线
0 0
斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线
两点式 ＝ x≠x，y≠y
1 2 1 2
截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 无
3．距离公式
（1）两点间的距离AB=√(x −x ) 2+(y −y ) 2.
1 2 1 2
|Ax +B y +C|
0 0
（2）点到线的距离d= .
√A2+B2
|C −C |
1 2
（3）平行线的距离d= .
√A2+B2
4．直线的夹角
（1）定义：两条直线l和l相交，l到l的角是θ ，l到l的角是θ ＝π﹣θ ，当直线l与l相
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2
交但不垂直时，θ 和π﹣θ，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角θ．
1 1
k −k
（2）直线l和l的夹角公式：tanθ=| 2 1 |（θ不为90°），l与l的夹角的取值范围是
1 2 1+k k 1 2
2 1
π
（0， ]．
2
5．圆的方程
D E
（1）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），其中圆心坐标为（− ，− ），半径r
2 2
1
= √D2+E2−4F．
2
（2）圆的标准方程：(x﹣a)2+(y﹣b)2＝r2，其中圆心坐标为(a,b)，半径为r．
6．圆的切线方程
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，
继而求出直线方程
（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交
点）时斜率的值，进而求出直线方程．
7．直线与圆的位置关系
8．直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2位置关系的判断方法
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
|Aa+Bb+C|
=
圆心到直线的距离d
√A2+B2
①相交：d＜r；②相切：d＝r；③相离：d＞r．
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用△判断．
{ Ax+By+C=0
由 消元，得到一元二次方程的判别式△
x2+ y2+Dx+Ey+F=0
①相交：△＞0；②相切：△＝0；③相离：△＜0．
9．圆与圆的位置关系
10．圆与圆的位置关系的判定
设两圆圆心分别为O，O，半径分别为r，r，|OO|＝d
1 2 1 2 1 2
（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断
①外离（4条公切线）：d＞r+r．
1 2
②外切（3条公切线）：d＝r+r．
1 2
③相交（2条公切线）：|r﹣r|＜d＜r+r．
1 2 1 2
④内切（1条公切线）：d＝|r﹣r|．
1 2
⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r﹣r|．
1 2
（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．
考向一 直线与圆相切
3．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心坐标为O（0，0），半径r ＝1，
1
圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16的圆心坐标为C（3，4），半径r ＝4，
2
如图：
∵|OC|＝r +r ，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
1 2
∵ ，∴l 的斜率为 ，设直线l ：y＝﹣ ，即3x+4y﹣4b＝0，
1 1
由 ，解得b＝ （负值舍去），则l ：3x+4y﹣5＝0；
1
由图可知，l ：x＝﹣1；l 与l 关于直线y＝ 对称，
2 2 3
联立 ，解得l 与l 的一个交点为（﹣1， ），在l 上取一点（﹣1，0），
2 3 2
该点关于y＝ 的对称点为（x ，y ），则 ，解得对称点为（ ，﹣ ）．
0 0
∴ ＝ ，则l ：y＝ ，即7x﹣24y﹣25＝0．
3
∴与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为：
x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．
故答案为：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．
考向二 直线与圆的位置关系
4．（多选）（2021•新高考Ⅰ）已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），
则（ ）
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
【解答】解：∵A（4，0），B（0，2），
∴过A、B的直线方程为 ，即x+2y﹣4＝0，
圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16的圆心坐标为（5，5），
圆心到直线x+2y﹣4＝0的距离d＝ ＝ ＞4，
∴点P到直线AB的距离的范围为[ ， ]，
∵ ＜5，∴ ＜1， ＜10，
∴点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故A正确，B错误；
如图，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大（P点位于P 时∠PBA最小，位于P 时
1 2
∠PBA最大），
此时|BC|＝ ，
∴|PB|＝ ，故CD正确．
故选：ACD．
5．（多选）（2021•新高考Ⅱ）已知直线l：ax+by﹣r2＝0与圆C：x2+y2＝r2，点A（a，b），则下列说法
正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
C．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
D．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
【解答】解：A中，若A在圆上，则a2+b2＝r2，而圆心到直线l的距离d＝ ＝|r|，所以直线与
圆相切，即A正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6B中，点A在圆C外，则a2+b2＞r2，而圆心到直线l的距离d＝ ＜|r|，所以直线l与圆相交，
所以B不正确；
C中，点A在直线l上，则a2+b2＝r2，而圆心到直线l的距离d＝ ＝|r|，所以直线l与圆相切，
所以C正确；
D中，点A在圆C内，则a2+b2＜r2，而圆心到直线l的距离d＝ ＞|r|，所以直线l与圆相离，
所以D正确；
故选：ACD．
6．（2022•新高考Ⅱ）设点A（﹣2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x+3）2+
（y+2）2＝1有公共点，则a的取值范围是 ．
【解答】解：点A（﹣2，3），B（0，a），k ＝ ，所以直线AB关于y＝a对称的直线的斜率为：
AB
，所以对称直线方程为：y﹣a＝ ，即：（3﹣a）x﹣2y+2a＝0，
（x+3）2+（y+2）2＝1的圆心（﹣3，﹣2），半径为1，
所以 ，得12a2﹣22a+6≤0，解得a [ ， ]．
∈
故答案为：[ ， ]．
近几年的考查方式及 难度变化不大，主要考查直线、圆的方程及位置关系，考查直线方程的求解、直
线过定点问题的求解、含参直线方程中参数取值范围求解、直线与圆的位置关系中涉及的弦长与切线方程
的求解，以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。
一．轨迹方程（共2小题）
1．（多选）（2023•保定三模）在平面直角坐标系中，A（1，0），B（3，0），C（﹣1，4），动点P满
足|PA|2+|PB|2＝10．则（ ）
A．点P的轨迹方程为（x﹣2）2+y2＝4
B．△PAB面积的最大值为2
C．过点C与点P的轨迹相切的直线只有1条
D．设|CP|的最小值为a，当m+n＝a（m＞0，n＞0）时， 的最小值为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7【解答】解：设P（x，y），|PA|2+|PB|2＝（x﹣1）2+y2+（x﹣3）2+y2＝10，即（x﹣2）2+y2＝4，故A正
确；
，故B正确；
因为（﹣1﹣2）2+42＝25＞4，所以点C在圆外，切线有两条，故C错误；
，则m+n＝3，
2 ＝ ，
当且仅当 时等号成立，故D正确．
故选：ABD．
2．（2023•河南模拟）圆M：x2+y2+2x﹣8＝0与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），点N满足 ，
直线l：y＝kx+m（k＞0）与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为 ．
【解答】解：圆M的圆心M（﹣1，0），半径r ＝3，
1
令y＝0可得x2+2x﹣8＝0，解得x＝﹣4或x＝2，由题意可得A（﹣4，0），B（2，0），
设N（x，y），由题意可得 ＝2，整理可得：x2+y2﹣8x＝0，
可得N的轨迹为圆，且圆心（4，0），半径为4，
因为直线l与两个圆相切，所以 ，两式相除可得4|﹣k+b|＝3|4k+b|，
可得4（﹣k+b）＝3（4k+b）或4（k﹣b）＝3（4k+b），
即b＝16k或b＝﹣ k，
当b＝16k时，代入 ＝3中，整理可得24k2＝1，因为k＞0，解得k＝ ；
当b＝﹣ k时，代入 ＝3中，整理可得24k2+49＝0，显然无解，
综上所述直线l的斜率k＝ ，
故答案为： ．
二．圆的切线方程（共14小题）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 83．（2023•丰台区一模）已知圆（x﹣2）2+（y+3）2＝r2与y轴相切，则r＝（ ）
A． B． C．2 D．3
【解答】解：由圆（x﹣2）2+（y+3）2＝r2的方程可得圆心的坐标（2，﹣3），
再由圆与y轴相切，可得半径r＝2，
故选：C．
4．（2023•潮州模拟）过圆x2+y2＝4上一点P作圆O：x2+y2＝m2（m＞0）的两条切线，切点分别为A，
B，若 ，则实数m＝（ ）
A． B． C．1 D．2
【解答】解：根据题意，如图：x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径R＝2，即|OP|＝2，
圆O：x2+y2＝m2，圆心为（0，0），半径r＝m，则|OA|＝|OB|＝m，
若 ，则∠OPA＝ ，
又由OA⊥AP，则|OP|＝2|OA|，则m＝1，
故选：C．
5．（2023•延庆区一模）若直线x﹣y+1＝0与圆x2+y2﹣2x+1﹣a＝0相切，则a等于（ ）
A．2 B．1 C． D．4
【解答】解：因为直线x﹣y+1＝0与圆x2+y2﹣2x+1﹣a＝0相切，
又圆x2+y2﹣2x+1﹣a＝0可化为（x﹣1）2+y2＝a，
由题意得 ，
解得a＝2．
故选：A．
6．（2023•琼海校级模拟）过点（3，2）作圆（x﹣1）2+y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程是
x + y ﹣ 5 ＝ 0 （用一般式表示）．
【解答】解：设切线方程为y﹣2＝k（x﹣3），
因为过点（3，2）作圆（x﹣1）2+y2＝r2的切线有且只有一条，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9则（3，2）在圆上，切点与圆心连线的斜率 ，
所以切线的斜率k＝﹣1，则切线方程为y﹣2＝﹣1×（x﹣3），即x+y﹣5＝0．
故答案为：x+y﹣5＝0．
7．（2023•石家庄模拟）过圆O：x2+y2＝2上一点P作圆C：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝2的切线，切点为Q，
则|PQ|的最小值为 4 ．
【解答】解：圆O：x2+y2＝2上一点P作圆C：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝2，
可得O（0，0），C（4，4），半径r＝ ，
可得|OC|＝4 ，
所以|PC|≥|OC|﹣ ＝4 ﹣ ＝3 ，
所以|PQ|≥ ＝ ＝4，
故答案为：4．
8．（2023•东城区二模）已知点 在圆C：x2+y2＝m上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角
为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解答】解：圆C：x2+y2＝m，
则圆C的圆心为C（0，0），
，
过M作圆C的切线l，
则k •k＝﹣1，即 ，
CM l
故l的倾斜角为150°．
故选：D．
9．（2023•自贡模拟）过直线l：x+y﹣5＝0上的点作圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝6的切线，则切线段长的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设直线上任意一点为P，过P作圆的切线，切点为M，圆C圆心C为（1，﹣2），半径
，
则 ，
要使|MP|最小，则|PC|最小，易知|PC|最小值为圆心C到直线l的距离，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10即 ，
∴ ．
故选：B．
10．（2023•河南模拟）过圆x2+y2＝4上的动点作圆x2+y2＝1的两条切线，则连接两切点线段的长为（
）
A．2 B．1 C． D．
【解答】解：令点P是圆x2+y2＝4上的动点，过点P作圆x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，如
图，
则OA⊥PA，而 ，于是∠APB＝2∠OPA＝60°，
又 ，
因此△PAB为正三角形， ，
所以连接两切点线段的长为 ．
故选：D．
11．（2023•贵阳模拟）过A（0，1），B（0，3）两点，且与直线 y＝x﹣1相切的圆的方程可以是
（ ）
A．（x+1）2+（y﹣2）2＝2 B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5
C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2 D．（x+2）2+（y﹣2）2＝5
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11【解答】解：对于A，圆心为（﹣1，2），半径为r＝ ，
直线y＝x﹣1，即x﹣y﹣1＝0，
圆心（﹣1，2）到直线的距离d＝ ≠r，故A错误；
对于B，圆心为（2，2），半径为r＝ ，
直线y＝x﹣1，即x﹣y﹣1＝0，
圆心（2，2）到直线的距离d＝ ≠r，故B错误；
对于C，圆心为（1，2），半径为r＝ ，
直线y＝x﹣1，即x﹣y﹣1＝0，
圆心（1，2）到直线的距离d＝ ，
（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2过点A（0，1），B（0，3），故C正确；
对于D，圆心为（﹣2，2），半径为r＝ ，
直线y＝x﹣1，即x﹣y﹣1＝0，
圆心（﹣2，2）到直线的距离d＝ ≠r，故D错误．
故选：C．
12．（2023•叙州区校级模拟）已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x﹣y+3＝0与圆C相切于点A
（2，7），则圆C的标准方程为 x 2 + （ y ﹣ 8 ） 2 ＝ 5 ．
【解答】解：如图所示，
由圆心C（0，m）与切点A的连线与切线垂直，得 ＝﹣ ，解得m＝8．
所以圆心为（0，8），半径为r＝ ＝ ．
所以圆C的标准方程为x2+（y﹣8）2＝5．
故答案为：x2+（y﹣8）2＝5．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1213．（2023•泸县校级模拟）已知直线 和圆C：x2+（y﹣1）2＝1相切，则实数k＝
或 0 ．
【解答】解：由直线与圆相切可知， ，化简得 ，解得 或0．
故答案为： 或0．
14．（2023•延边州二模）经过P（2，3）向圆x2+y2＝4作切线，切线方程为（ ）
A．5x﹣12y+26＝0 B．13x﹣12y+10＝0
C．5x﹣12y+26＝0或x＝2 D．13x﹣12y+10＝0或x＝2
【解答】解：（1）当切线的斜率不存在时，直线x＝2是圆的切线；
（2）当切线斜率存在时，设切线方程为l：y﹣3＝k（x﹣2），
由（0，0）到切线距离为 ，得 ，
此时切线方程为 ，即5x﹣12y+26＝0．
故选：C．
15．（2023•琼中县模拟）已知P是直线3x+4y+13＝0上的动点，PA，PB是圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的
切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
【解答】解：如图，设PC＝d，
则由圆的知识和勾股定理可得PB＝PA＝ ，
∴四边形PACB面积S＝2× ×PA×BC＝ ，
当d取最小值时S取最小值，
由点P在直线上运动可知当PC与直线垂直时d取最小值，
此时d恰为点C到已知直线的距离，
由点到直线的距离公式可得d＝ ＝4，
∴四边形PACB面积S的最小值为 ．
故选：C．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1316．（2023•济宁二模）在平面直角坐标系中，过点P（3，0）作圆 ＝4的两条
切线，切点分别为A，B．则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：圆 的圆心为 ，半径为2，
以 P （ 3 ， 0 ） 、 为 直 径 ， 则 PO 的 中 点 坐 标 为 ，
，
∴以N为圆心，PO为直径的圆的方程为 ，
因为过点P（3，0）圆 的两条切线切点分别为A，B，
∴AB是两圆的公共弦，
将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程为： ．
故选：A．
三．直线与圆相交的性质（共4小题）
17．（2023•红桥区二模）已知直线x﹣ y+8＝0和圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点．若|AB|＝6，
则r的值为 ．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝r2的圆心为（0，0），半径为r；
则圆心到直线x﹣ y+8＝0的距离d＝ ＝4，
若|AB|＝6，则有r2＝d2+（ ）2＝16+9＝25，
故r＝5；
故答案为：5
18．（2023•顺义区二模）若圆（x﹣1）2+y2＝4与y轴交于A，B两点，则|AB|＝（ ）
A．2 B．4 C． D．2
【解答】解：当x＝0时，圆（x﹣1）2+y2＝4与y轴交于A（0， ）、B（0，﹣ ），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14∴弦AB的长|AB|＝ + ＝2 ．
故选：D．
19．（2023•曲靖模拟）已知圆C的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，直线4x﹣3y﹣2＝0与圆C相交于A、B
两点，且|AB|＝6，则圆C的标准方程为
【解答】解：由题意可知，圆心C（0，1），
∴圆心C（0，1）到直线4x﹣3y﹣2＝0的距离d＝ ，
又∵直线4x﹣3y﹣2＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，
∴圆C的半径r＝ ＝ ，
∴圆C的标准方程为：x2+（y﹣1）2＝10，
故答案为：x2+（y﹣1）2＝10．
20．（2023•南关区校级模拟）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直线l：x﹣y+3＝0，当直线
l被C截得弦长为 时，则a＝ ．
【解答】解：由题意可得圆心C（a，2）半径r＝2
则圆心（a，2）到直线x﹣y+3＝0的距离d＝ ＝
Rt△CBM中由勾股定理可得，d2+BM2＝BC2
∵a＞0
∴ 或a＝ （舍去）
故答案为：
四．直线与圆的位置关系（共23小题）
21．（2023•福建模拟）设圆C：x2﹣2x+y2﹣3＝0，若直线l在y轴上的截距为1，则l与C的交点个数为（
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15）个
A．0 B．1
C．2 D．以上都有可能
【解答】解：∵直线l在y轴上的截距为1，
∴直线l过定点（0，1），
∵02﹣2×0+12﹣3＝﹣2＜0，
∴点（0，1）在圆内，
∴直线l与C的交点个数为2个．
故选：C．
22．（2023•三模拟）已知x2+y2＝2x，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设 ，则kx﹣y+2k＝0，
x2+y2＝2x，即（x﹣1）2+y2＝1，圆心为（1，0），半径为1，
∵圆心（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离小于等于1，
∴ ，解得 ，
∴ 的最大值为 ．
故选：C．
23．（2023•北京模拟）若直线y＝x+m与圆（x+1）2+（y+2）2＝1交于A，B两点，且|AB|＝2，则m＝（
）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【解答】解：根据圆的标准公式可知圆的圆心为（﹣1，﹣2），直径为2，
因为|AB|＝2，所以直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，
得﹣2＝﹣1+m，解得m＝﹣1．
故选：A．
24．（2023•海淀区校级模拟）直线l：ax+by＝0和圆C：x2+y2﹣2ax﹣2by＝0在同一坐标系的图形只能是
（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16C． D．
【解答】解：∵圆C的方程可化为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝a2+b2，
∴圆心C（a，b），r＝ ＞0，
又直线l的方程可化为：y＝﹣ x，
又4个选项的圆心C都在第三象限，
∴a＜0，b＜0，∴ ，∴排除C，D选项；
又圆心C到直线的距离d＝ ，
∴直线l与圆C相切，A选项正确，B选项错误．
故选：A．
25．（2023•忻州模拟）已知直线l ：（a﹣1）x﹣（2a+3）y+a+4＝0与圆C：x2+y2+2x﹣m﹣2＝0，则“m
1
＞2”是“直线l与圆C一定相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：直线l ：（a﹣1）x﹣（2a+3）y+a+4＝0，即a（x﹣2y+1）+（﹣x﹣3y+4）＝0，
1
令 ，解得 ，即直线l 过定点（1，1），
1
圆C：x2+y2+2x﹣m﹣2＝0，即（x+1）2+y2＝m+3，圆心为（﹣1，0），半径为 ，
充分性：当m＞2时， ，则定点（1，1）在圆内，充分性成立，
必要性：当直线l与圆C相交时，根据直线与圆相交的性质可得圆心到直线的距离小于半径，
由于直线中的a没有范围界定，故无法求得m的范围，
这里结合图象思考，举出反例：当直线l 为y＝x，m＝1时，满足圆与直线相交，但不满足m＞2，
1
故必要性不成立；
故“m＞2”是“直线l与圆C一定相交”的充分不必要条件．
故选：A．
26．（2023•连云港模拟）设直线（a+1）x﹣ay﹣1＝0（a R）与圆x2+y2＝4交于A，B两点，则|AB|的取
值范围为（ ）
∈
A． B． C．[2，4] D．
【解答】解：设直线（a+1）x﹣ay﹣1＝0（a R）为直线l，
∈
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17∵直线（a+1）x﹣ay﹣1＝0，即a（x﹣y）+x﹣1＝0，
∴直线恒过定点D（1，1），
∵圆x2+y2＝4，
∴圆心C（0，0），半径r＝2，D在圆的内部，
当直线CD⊥l时，弦|AB|最短，
∵|CD|＝ ＝ ，
∴|AB|＝2 ＝2 ，
当直线l过圆心时，弦|AB|最长，为2r＝4，
故|AB|的取值范围为[2 ，4]．
故选：D．
27．（2023•海淀区一模）已知直线y＝x+m与圆O：x2+y2＝4交于A，B两点，且△AOB为等边三角形，
则m的值为（ ）
A． B． C．±2 D．
【解答】解：由题意，圆心到直线的距离为 ，
∴ ＝ ，
∴m＝± ，
故选：D．
28．（2023•天津模拟）P点是圆C：（x﹣3）2+y2＝9上一点，则P到直线l：mx﹣y+m+2＝0距离的最大
值是 ．
【解答】解：∵圆C：（x﹣3）2+y2＝9，
∴圆心C为（3，0），半径r＝3，
又直线l：mx﹣y+m+2＝0，
即m（x+1）+（2﹣y）＝0，
∴直线l过定点A（﹣1，2），
∴当过点A的直线l与CA垂直时，满足圆C上的点P到直线l的距离最大，
且最大值为|CA|+r＝ ＝ ．
故答案为： ．
29．（2023•酒泉模拟）点M在圆C：x2+（y﹣1）2＝4上，点 ，则|MN|的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵圆C：x2+（y﹣1）2＝4的圆心C（0，1），半径为r＝2，
又 ，∴N在圆外，
∴|MN| ＝|NC|+r＝4+2＝6．
max
故选：D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1830．（2023•济宁一模）若过点P（0，﹣1）的直线l与圆 有公共点，则直线l的倾斜角
的最大值（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：直线的倾斜角最大时，直线与圆相切，此时斜率存在，如图所示：
圆 的圆心为 ，半径r＝1，
设直线方程y＝kx﹣1，即kx﹣y﹣1＝0，
∴直线到圆心的距离为 ，解得 或k＝0，
当 时，倾斜角最大为 ，
故选：C．
31．（2023•密云区三模）已知M是圆C：x2+y2＝1上一个动点，且直线l ：mx﹣ny﹣3m+n＝0与直线l ：
1 2
nx+my﹣3m﹣n＝0（m，n R，m2+n2≠0）相交于点P，则|PM|的取值范围是（ ）
A． ∈ B． C． D．
【解答】解：依题意，直线l ：mx﹣ny﹣3m+n＝0恒过定点A（3，1），直线l ：nx+my﹣3m﹣n＝0恒
1 2
过定点B（1，3），
显然直线l ⊥l ，因此，直线l 与l 交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，
1 2 1 2
其方程为：（x﹣2）²+（y﹣2）²＝2，圆心N（2，2），半径r ＝ ，而圆C的圆心C（0，0），半
2
径r ＝1，如图：
1
|NC|＝2 ＞r +r ，两圆外离，由圆的几何性质得：|PM| ＝|NC|﹣r ﹣r ＝ ，|PM| ＝|NC|+r +r
1 2 min 1 2 max 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19＝3 +1，
所以|PM|的取值范围是：[ ，3 ]．
故选：C．
32．（2023•北京模拟）已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝4（m，n R）上两个不同的点（C为圆
心），且满足 ，则|AB|＝（ ） ∈
A． B． C．2 D．4
【解答】解：设圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝4与y轴交于A，B两点，取线段AB的中点D，
则由弦的性质可得CD⊥AB，且 ＝ （ + ），故CD的长度即为圆心C到弦AB的距离．
∴圆心C到AB的距离为d＝ | + |＝ ×2 ＝ ，由于圆的半径为r＝2，
故AB＝2 ＝2，
故选：C．
33（多选）．（2023•沈阳模拟）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，点M是直线l：y＝﹣x﹣1上的动点，
过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．切线长|MA|的最小值为
B．四边形ACBM面积的最小值为
C．若PQ是圆C的一条直径，则 的最小值为7
D．直线AB恒过
【解答】解：圆心C（1，2），C到l的距离为 ，令M（m，n），则n＝﹣m﹣1，
设切线长为l，l＝ ，故A正确；
，故B正确；
＝ ，故C不正确；
切点弦AB的方程为（m﹣1）（x﹣1）+（n﹣2）（y﹣2）＝2，
将n＝﹣m﹣1代入，整理得m（x﹣y+1）﹣（x+3y﹣5）＝0，
由 ，解得 ，即直线AB恒过 ，故D正确．
故答案为：ABD．
34．（2023•顺义区一模）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣8＝0，点A、B在圆M上，且P（0，2）为AB的中点，
则直线AB的方程为 x ﹣ 2 y + 4 ＝ 0 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20【解答】解：由圆M：x2+y2﹣2x﹣8＝0，配方为（x﹣1）2+y2＝9，可得圆心C（1，0），
∵P（0，2）为AB的中点，k ＝﹣2，
CP
∴k ＝﹣ ＝ ，
AB
∴直线AB的方程为y＝ x+2，化为x﹣2y+4＝0，
故答案为：x﹣2y+4＝0．
35．（2023•全国四模）圆O：x2+y2＝4与直线l：x+（ ﹣1）y﹣ ＝0交于M、N，当|MN|最小时， 的值
为（ ）
λ λ λ
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【解答】解：直线l：x+（ ﹣1）y﹣ ＝0，即（y﹣1） +（x﹣y）＝0，
λ λ λ
令 ，解得 ，
即直线l恒过定点C（1，1），又12+12＝2＜4，所以点C（1，1）在圆内，
所以当OC⊥l时弦|MN|最小，因为k ＝1，
OC
所以k＝﹣1，即 ，解得 ＝2．
l
故选：B．
λ
36．（2023•二七区校级模拟）已知直线l：mx+y﹣m﹣1＝0与圆M：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4交于A，B
两个不同点，则当弦AB最短时，圆M与圆N：x2+（y﹣m）2＝1的位置关系是（ ）
A．内切 B．相离 C．外切 D．相交
【解答】解：由题直线l：mx+y﹣m﹣1＝0过定点P（1，1），
圆M：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4的圆心M（2，2），半径为2，
当弦AB最短时直线l垂直PM，
又k ＝ ＝1，
PM
所以1•（﹣m）＝﹣1，
解得m＝1，
此时圆M的方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21其中圆心M（2，2），半径为2，
又圆N：x2+（y﹣1）2＝1的圆心N（0，1），半径为1，
所以两圆圆心之间的距离|MN|＝ ＝ ，
又2﹣1＜ ＜2+1，所以这两圆相交．
故选：D．
37．（2023•甘肃模拟）已知A，B是圆O：x2+y2＝4上的两个动点，若点P（1，2）在以AB为直径的圆上，
则|AB|的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，设AB的中点为M，连接PM，
因为点P（1，2）在以AB为直径的圆上，
所以PA⊥PB，
所以 ，
连接AO，BO，MO，则|AO|＝|BO|＝2，
所以OM⊥AB，
所以|OM|2+|AM|2＝|OM|2+|PM|2＝|OA|2＝4，
设M（x，y），则x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，
整理得 ，
所以点M的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆，
因为|AB|＝2|PM|，所以当|PM|取最大值时，|AB|取最大值，
又因为 ，
故|AB|的最大值为 ．
故选：B．
38．（多选）（2023•湖北模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（x ，y ）（y ＞0）是圆M：（x﹣
1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 222）2+y2＝1上的一个动点，直线OP与圆M交于另一点Q，过点O作直线OP的一条垂线，与圆N：
（x+2）2+y2＝4交于点E（x ，y ），则下列说法正确的是（ ）
2 2
A．x ＞﹣1
2
B．4y ＝OP•OE
1
C．若PQ＝OE，则S△NOE ＝3S△MPQ
D．∠PEQ的最大正切值为
【解答】解：由题意结合图像可得，点P（x ，y ）（y ＞0）在第一象限，
1 1 1
设直线OP的倾斜角为 ，当直线OP与圆相切时，有|OM|＝2，|MP|＝1，
α
此时 ，即 ，
∵直线OP与圆M交于另一点Q，
∴可得 ， ，
对于选项A，如下图，在△NOE中，|NO|＝|NE|＝2， ，
故可得∠ENO＝2 ，由正弦定理可得 ，化简可得|OE|＝4sin ，
α α
所以有 ，故A正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23对于选项B，由点P（x ，y ）在角 终边上，可得 ，
1 1
α
将|OE|＝4sin 代入 ，可得 ，即有4y
1
＝OP⋅OE，故B正确；
α
对于选项C，由图可得，S△NOE ＝ •|NO|•|NE|sin2 ＝2sin2 ，
设线段PQ的中点为B，连接MB，在△OMB中，|OM|＝2，所以|MB|＝2sin ，
α α
在△MPQ中，|MB|＝2sin ，|MP|＝1，所以 ． α
而|PQ|＝|OE|＝4sin ，
α
所以 α ，
解得 ，故 ，所以 ，
而S△MPQ ＝ |PQ|•|MB|＝ •4sin •2sin ＝4sin2 ＝ ，
所以S△NOE ≠3S△MPQ ，故C错误；α α α
对于选项D，由上面选项可得，|OP|＝|OB|﹣|BP|，|OQ|＝|OB|+|BQ|，而|BP|＝|BQ|，
故|OP|⋅|OQ|＝|OB|2﹣|BP|2＝（2cos ）2﹣（1﹣4sin2 ）＝3，
不妨设点P在点Q的左边，
α α
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24所 以 ＝
＝ ，
令t＝16sin2 ，则t （0，4），可得 ，
α ∈
设 ，t （0，4），求导可得 ，
∈
令f′（t）＝0，解得 ，
t
f'（t） + 0 ﹣
f（t） ↗ 极大值 ↘
∴函数f（t）的极大值为f（ ）＝ ，此时 ，
故∠PEQ的最大正切值为 ，故D正确．
故选：ABD．
39．（2023•扬州三模）已知向量 ，满足 的动点M（x，
y）的轨迹为E，经过点N（2，0）的直线l与E有且只有一个公共点A，点P在圆
上，则AP的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【解答】解：∵向量 ， ，
∴x2﹣1+5﹣y2＝0，∴y2﹣x2＝4，
∴点M的轨迹E的方程为y2﹣x2＝4，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25∴双曲线是等轴双曲线，渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为（0，±2 ），
∴经过点N（2，0）的直线l与E有且只有一个公共点A，
∴直线l的方程为y＝±（x﹣2），可得A（0，±2），
当A为（0，2）时，点A在圆 内，可得PA的最小值为3﹣2 ，
当A为（0，﹣2）时，点A在圆 外，可得PA的最小值为2 +1．
故选：A．
40．（2023•辽宁模拟）已知点P为直线l：x﹣y+1＝0上的动点，若在圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上存
在两点M，N，使得∠MPN＝60°，则点P的横坐标的取值范围为（ ）
A．[﹣2，1] B．[﹣1，3] C．[0，2] D．[1，3]
【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1的圆心C（2，1），半径为r＝1，
当PM，PN 与圆C相切且∠MPN＝60°时，|PC|＝2，
以C（2，1）为圆心，2为半径的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，
由 ，消去y得x2﹣2x＝0，
解得x＝0或x＝2，
∴|PC|2＝（x ﹣1）2+（2.5﹣0.5x ）2＝4，
0 0
∴点P的横坐标的取值范围是[0，2]．
故选：C．
41．（2023•保定一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知圆O的半径为3，直线l ，l 互相垂直，
1 2
垂足为M（1， ），且l 与圆O相交于A，C两点，l 与圆O相交于B，D两点，则四边形ABCD的
1 2
面积的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
【解答】解：设圆心到直线l 的距离为d ，圆心到直线l 的距离为d ，
1 1 2 2
∵直线l ，l 互相垂直，垂足为M（1， ），∴ + ＝|OM|2＝6，
1 2
∴|AC|＝2 ，∴|BD|＝2 ，
∴S ＝ ×|AC|×|BD|＝2 × ≤9﹣ +9﹣ ＝18﹣6＝12．
ABCD
故选：B．
42．（2023•湖北二模）过三点A（1，0），B（2，1），C（2，﹣3）的圆与直线x﹣2y﹣1＝0交于M，N
两点，则|MN|＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，设圆ABC的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，D2+E2﹣4F＞0，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26于是 ，解得D＝﹣6，E＝2，F＝5，
则圆ABC的方程为x2+y2﹣6x+2y+5＝0，即（x﹣3）2+（y+1）2＝5，其圆心为（3，﹣1），半径 ，
点（3，﹣1）到直线x﹣2y﹣1＝0的距离为 ，
所以 ．
故选：B．
43．（2023•洛阳模拟）已知直线l ：ax﹣y﹣2a+1＝0，l ：x+ay﹣2﹣a＝0，圆E：x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0，
1 2
则以下命题正确的是 ．
①直线l ，l 均与圆E不一定相交；②直线l 被圆E截得的弦长的最小值2 ；③直线l 被圆E截得
1 2 1 2
的弦长的最大值为6；④若直线l 与圆E交于A，C两点，l 与圆E交于B，D两点，则四边形ABCD的
1 1
面积最大值为14．
【解答】解：由l ：ax﹣y﹣2a+1＝0，得a（x﹣2）＝y﹣1，故l 过定点P（2，1）；
1 1
由l ：x+ay﹣2﹣a＝0，得x﹣2+a（y﹣1）＝0，故l 过定点P（2，1），
2 2
E：x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0的圆心为E（2，﹣1），半径r＝3，
因为 ，
故直线l ，l 均与圆E均相交；故①不正确；
1 2
当PE⊥l 时，直线l 被圆E截得的弦长最小，
1 1
最小值为 ，故②正确；
当直线l 经过圆心E（2，﹣1）时，直线l 被圆E截得的弦长最大，
2 2
最大值为2r＝2×3＝6，故③正确；
当a＝0时，l ⊥l ；当a≠0时， ，得 l ⊥l ，
1 2 1 2
故直线l 与直线l 恒垂直．
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27圆心E到直线l 的距离 ，
1
圆心E到直线l 的距离 ，
2
故 ，
，
所 以 四 边 形 ABCD 的 面 积
，
令t＝a2+1，则t≥1，所以S＝2 ＝2 ，
因为t≥1，所以 ，所以当 ，即t＝2，a＝±1时，S取得最大值14，故④正确．
故答案为：②③④．
五．圆与圆的位置关系及其判定（共6小题）
44．（2023•唐山二模）已知圆C ：x2+y2﹣2x＝0，圆C ：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝4，则C 与C 的位置关
1 2 1 2
系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
【解答】解：圆C 的圆心为（1，0），r ＝1，
1 1
圆C 的圆心为（3，1），r ＝2，
2 2
所以 ，
所以圆C 与C 的位置关系是相交．
1 2
故选：C．
45．（2023•沙坪坝区校级模拟）圆C ：x2+y2+4x﹣2y﹣10＝0与圆C ：x2+y2＝r2（r＞0）的公共弦恰为圆
1 2
C 的直径，则圆C 的面积是（ ）
1 2
A．2 B．4 C．10 D．20
资料整理【π淘宝店铺：向阳百分百】π 28 π π【解答】解：因为圆C ：x2+y2+4x﹣2y﹣10＝0，①
1
圆C ：x2+y2＝r2，②
2
①﹣②可得：4x﹣2y﹣10+r2＝0，此即两圆的公共弦所在直线方程，
由题意，公共弦所在直线为圆C 的直径，
1
则圆心C （﹣2，1）满足直线方程，即﹣8﹣2﹣10+r2＝0，即r2＝20，
1
则圆C 的面积为 r2＝20 ．
2
故选：D．
π π
46．（2023•沈阳模拟）已知圆 和圆 ，其中a＞0，则使得两圆相
交的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．3＜a＜5 B．3＜a＜6 C．4＜a＜5 D．2＜a＜5
【解答】解：圆 和圆 ，其中a＞0，则使得两圆相交的充要条件
满足： ，（a＞0），
解得：3＜a＜5，
根据选项：（4，5） （3，5），
故充分不必要条件为：（4，5）．
⊂
故选：C．
47．（2023•湖南模拟）若a，b R且ab≠0，圆C ：（x+a）2+y2＝4和圆C ：x2+（y﹣b）2＝9有且只有
1 2
∈
一条公切线，则 的最小值为 ．
【解答】解：圆C 的圆心为（﹣a，0），半径为2；
1
圆C 的圆心为（0，b），半径为3．
2
∵圆C 和圆C 只有一条公切线，
1 2
∴圆C 与圆C 内切，圆心距等于3﹣2＝1，
1 2
∴a2+b2＝1，∴ ，
当且仅当a2＝b2取等号，又a2+b2＝1，则a2＝b2＝ 时等号成立，
∴ 的最小值为4．
故答案为：4．
48．（2023•辽宁二模）已知圆O：x2+y2＝1与圆C：（x﹣3）2+y2＝r2外切，直线l：x﹣y﹣5＝0与圆C相
交于A，B两点，则|AB|＝（ ）
A．4 B．2 C． D．
【解答】解：圆O：x2+y2＝1的圆心O的坐标为（0，0），半径为1，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29圆C：（x﹣3）2+y2＝r2的圆心C的坐标为（3，0），半径为|r|，
因为圆O与圆C外切，所以|OC|＝1+|r|，所以r2＝4，
设圆心C（3，0）到直线l的距离为d，则 ，
所以 ．
故选：D．
49．（2023•河南模拟）若圆 与圆 的公共弦AB的长为1，则
直线AB的方程为（ ）
A．2ax+by﹣1＝0 B．2ax+by﹣3＝0
C．2ax+2by﹣1＝0 D．2ax+2by﹣3＝0
【解答】解：将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2﹣2ax﹣2by＝0，
即2ax+2by﹣a2﹣b2＝0，
因为圆C 的圆心为（0，0），半径为1，且公共弦AB的长为1，
1
则C （0，0）到直线2ax+2by﹣a2﹣b2＝0的距离为 ，
1
所以 ，解得a2+b2＝3，
所以直线AB的方程为2ax+2by﹣3＝0．
故选：D．
六．两圆的公切线条数及方程的确定（共3小题）
50．（2023•重庆模拟）圆O ：x2+y2﹣1＝0与圆O ：x2+y2﹣4x＝0的公切线方程为 ．
1 2
【解答】解：圆 即x2+y2＝1，圆心O （0，0），半径为r ＝1，
1 1
圆 即（x﹣2）2+y2＝4，圆心O （2，0），半径为r ＝2，
2 2
因为|O O |＝2，所以r ﹣r ＜|O O |＜r +r ，
1 2 2 1 1 2 1 2
所以两圆相交，故公切线有两条，
易得公切线的斜率存在，可设公切线方程为y＝kx+b，即kx﹣y+b＝0，
则 ，可整理得2|b|＝|2k+b|，所以b＝2k或 ，
当b＝2k时， ，解得 或 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30当 时， ，解得k无解；
故两圆的公切线方程为 即 或 即 ，
故答案为： 或 ．
51．（2023•滨州二模）写出与两圆（x﹣1）2+y2＝1，x2+y2﹣10x+6y+18＝0均相切的一条直线方程为 ．
【解答】解：由（x﹣1）2+y2＝1，圆心为（1，0），半径为1，
由（x﹣5）2+（y+3）2＝16，圆心为（5，﹣3），半径为4，
所以圆心距为 ，故两圆外切，如图，
公切线斜率存在，设为y＝kx+m，
所以 ，解得 或 或 ，
所以公切线方程有y＝1或4x﹣3y﹣9＝0或24x+7y+1＝0．
故答案为：y＝1（答案不唯一）
52．（2023•渝中区校级模拟）已知圆O ：x2+y2＝1，圆O ：（x﹣4）2+y2＝4，请写出一条与两圆都相切
1 2
的直线的方程： ．
【解答】解：由题可知：两圆外离，所以两圆有4条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为A（x ，
0
y ）．
0
①当切线为外公切线时： ，所以 ，
得 ，所以A（﹣4，0），设公切线l：y＝k（x+4），所以圆心O 到切线l的距离 ，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31解得 ，所以公切线为 或 ；
②当切线为内公切线时： ，所以 ，所以
，
设公切线 ，所以圆心O 到切线l的距离 ，解得 ，
1
所以公切线为 或 ．
故答案为： 或 或 或 （答案不
唯一）．
七．相交弦所在直线的方程（共3小题）
53．（2023•和平区校级二模）圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0与圆x2+y2＝4的公共弦所在的直线方程为 ．
【解答】解：联立 ，两式相减得x﹣y+2＝0．
故答案为：x﹣y+2＝0．
54．（2023•和平区校级一模）圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为 ．
【解答】解：圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的方程相减得：x﹣y+2＝0，
由圆x2+y2﹣4＝0的圆心（0，0），半径r为2，
且圆心（0，0）到直线x﹣y+2＝0的距离d＝ ＝ ，
则公共弦长为2 ＝2 ＝2 ．
故答案为：2 ．
55．（2023•红桥区一模）已知两圆x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB
的方程是 ．
【解答】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第
二个圆的方程
将两个圆方程作差，得直线AB的方程是：x+3y＝0，
故答案为 x+3y＝0．
八．直线和圆的方程的应用（共3小题）
56．（2023•贵阳模拟）由直线x+2y﹣7＝0上一点P引圆x2+y2﹣2x+4y+2＝0的一条切线，切点为A，则|
PA|的最小值为 ．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣2x+4y+2＝0的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝3，圆心为（1，﹣
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 322），半径为 ，
设圆心为M，则|PA|2＝|PM|2﹣r2，
分析可得：当|PM|取得最小值时，|PA|取得最小值，
|PM|的最小值为圆心M到直线x+2y﹣7＝0的距离，则有d＝ ＝2 ，
则|PA|2＝|PM|2﹣r2＝20﹣3＝17；
即|PA|的最小值为 ；
故答案为： ．
57．（2023•河西区一模）与直线x﹣y﹣4＝0和圆x2+y2+2x﹣2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是 ．
【解答】解：由题意圆x2+y2+2x﹣2y＝0的圆心为（﹣1，1），半径为 ，
∴过圆心（﹣1，1）与直线x﹣y﹣4＝0垂直的直线方程为x+y＝0，
所求的圆的圆心在此直线上，
又圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4＝0的距离为 ＝3 ，
则所求的圆的半径为 ，
设所求圆心坐标为（a，b）
则 ，且a+b＝0
解得a＝1，b＝﹣1
故答案为（x﹣1）2+（y+1）2＝2
58．（2023•南关区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，已知MN是 C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2的一条
弦，且CM⊥CN，P是MN的中点．当弦MN在圆C上运动时，直线l：x﹣3y﹣5＝0上存在两点A，
⊙
B，使得∠APB≥ 恒成立，则线段AB长度的最小值是 ．
【解答】解：因为P为MN的中点，所以CP⊥MN，又因为CM⊥CN，所以三角形CMN为等腰直角三
角形，所以CP＝1，即点P在以C为圆心，以1为半径的圆上，点P所在圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣
2）2＝1，
要使得∠APB≥ 恒成立，则点P所在的圆在以AB为直径的圆的内部，
而AB在直线l：x﹣3y﹣5＝0上，
C到直线l：x﹣3y﹣5＝0的距离d＝ ＝ ．
所以以AB为直径的圆的半径的最小值为r＝ +1，
所以AB的最小值为2r＝2 +2．
故答案为：2 +2．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33九．圆方程的综合应用（共2小题）
59．（2023•浑南区校级模拟）已知
， C 与 C
1 2
相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r 1 r 2 为 ． ⊙ ⊙
【解答】解：设两圆的公切线为y＝7x+t，即7x﹣y+t＝0，
已知圆心C （2，2），C （﹣1，﹣1），
1 2
设C ，C 到公切线的距离为d ，d ，
1 2 1 2
可得d ＝r ＝ ，d ＝r ＝ ，
1 1 2 2
由于公切线在两圆的同侧，
r +r ＝ ﹣ ＝ ＝|C C |＝3 ，
1 2 1 2
即|t+3|＝15，可得t＝12或﹣18，
当t＝12时，r r ＝ ＝ ；
1 2
当t＝﹣18时，r r ＝ ．
1 2
综上可得r r ＝ ．
1 2
故答案为： ．
60．（2023•和平区校级一模）已知圆C ：（x+3）2+y2＝a2（a＞7）和C ：（x﹣3）2+y2＝1，动圆M与圆
1 2
C ，圆C 均相切，P是△MC C 的内心，且 ，则a的值为（ ）
1 2 1 2
A．9 B．11 C．17或19 D．19
【解答】解：根据题意：圆C ：（x+3）2+y2＝a2（a＞7），其圆心C （﹣3，0），半径R ＝a，
1 1 1
圆C ：（x﹣3）2+y2＝1，其圆心C （﹣3，0），半径R ＝1，
2 2 2
又因为a＞7，所以圆心距|C C |＝6＜R +R ＝a+1，所以圆C 内含于圆C ，如图1，
1 2 1 2 2 1
因为动圆M与圆C ，圆C 均相切，设圆M的半径为r，
1 2
分2种情况讨论：
①动圆M与圆C 内切，与圆C 外切（r＜a），
1 2
则有C M＝R ﹣r＝a﹣r，C M＝R +r＝1+r，
1 1 2 2
所以C M+C M＝a+1，
1 2
即M的轨迹为以C ，C 为焦点，长轴长为a+1的椭圆，
1 2
因为P为△MC C 的内心，设内切圆的半径为r ，
1 2 0
又由 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34则有所以 ×C M×r + ×C M×r ＝3× ×C C ×r ，
1 0 2 0 1 2 0
所以C M+C M＝3C C ，
1 2 1 2
所以3C C ＝18＝a+1，
1 2
所以a＝17，
②圆C 内切于动圆M，动圆M内切于圆C ，
2 1
则有C M＝R ﹣r＝a﹣r，C M＝R +r＝r﹣1，
1 1 2 2
所以C M+C M＝a﹣1，
1 2
同理可得：3C C ＝18＝a﹣1，则有a＝19；
1 2
综合可得：a＝17或19；
故选：C．
1.与圆的几何性质有关的最值问题
类型 方法
最大值：d+r；最小值：d−r（d为该定点到圆心的距
圆外一定点到圆上一动点距离的最值
离）
最大值：d+r；最小值：d−r（d为圆心到直线的距
圆上一动点到圆外一定直线距离的最值
离）
过园内一定点的弦的最值 最大值：直径；最小值：与过该点的直径垂直的弦
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 352.与圆的代数结构有关的最值问题
类型 代数表达 方法
截距式 求形如 mx+ny 的最值 转化为动直线斜率的最值问题
y−m
斜率式 转化为动直线截距的最值问题
求形如 x−n 的最值
(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2
距离式 的最值 转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
求形如
【注意】 截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值 . 同时，需
要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36
