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专题 11 坐标系与参数方程
1．（2021·江苏高考真题）以抛物线 的焦点为圆心，且与直线 ( 为参数）相切的圆的
标准方程是____________.
【答案】
【分析】将抛物线方程化为标准方程,直线参数方程化为普通方程,结合点到直线的距离公式求得圆的半径,
进而得答案.
【详解】解：将抛物线方程化为标准方程得 ，所以焦点坐标为 ，
将直线的参数方程化为普通方程得 ，
所以点 到直线 的距离为 ，
所以所求圆的方程为 .
故答案为：
2．（2021·全国高考真题（文））在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线C的极坐标方程为 ．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为 ，M为C上的动点，点P满足 ，写出Р的轨迹 的参数方
程，并判断C与 是否有公共点．
【答案】（1） ；（2）P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数），C与 没有公共点.
【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为 ，将 代入可得；
（2）设 ，设 ，根据向量关系即可求得P的轨迹 的参数方程，求
出两圆圆心距，和半径之差比较可得.
【详解】（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线C的直角坐标方程为 ；
（2）设 ，设
，
，
则 ，即 ，
故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数）
曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2，
则圆心距为 ， ， 两圆内含，
故曲线C与 没有公共点.
【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出 的参数坐标，利用向量关系求解.1．（2021·上海普陀区·高三其他模拟）已知直线l的参数方程是 （ ， 为参数），
则直线l的倾斜角的大小为___________.
【答案】110°
【分析】把直线的参数方程转换成标准式即可直接得出结果.
【详解】解：直线l的参数方程是 （ ， 为参数），
转换为标准式为 (t为参数)，
所以直线的倾斜角为110°，
故答案为：110°.
2．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））在平面直角坐标系 中，直线 的参
数方程为 ( 为参数， 为直线的倾斜角)，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建
立极坐标系，曲线 的极坐标方程 .
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）已知点 ，直线 与曲线 交于 ､ 两点，与 轴交于 点，若 ，求直
线 的普通方程.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【分析】（1）化简 ，然后根据 代入化简即可.（2）分别假设点 所对应的参数，然后直线参数代入（1）中的直角坐标方程，结合韦达定理，然
后计算即可.
【详解】（1）由 可得 ，
，由
， 曲线 的直角坐标方程是 .
（2）设 ､ 两点对应的参数分别为 ､ ，
联立直线 的参数方程与曲线 的普通方程，整理得
，
，
设点 对应的参数为 ，由 ，可得 ，
由 得 ，
即 ，
，
，即 ，
直线 的斜率 ，故直线 的方程为 或 .
3．（2021·陕西高三其他模拟（文））在极坐标系中，曲线 的方程为 ，以极点为
直角坐标系的原点，极轴为 轴正半轴建立直角坐标系
（1）求曲线 的直角坐标方程，并说明 是什么曲线；
（2）直线 的参数方程为 为参数， ，点 的直角坐标为 ，直线 与曲
线 交于 两点，求 的最大值.
【答案】（1） ；曲线 是以 为圆心，半径为2的圆；（2）2.
【分析】（1）化简极坐标方程，将极坐标与直角坐标方程的转化公式 ，代入求得直角坐标
方程，并描述曲线；
（2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，根据参数方程的几何意义，求出问题的表达式，从而求
得最大值.
【详解】（1）
由 知， ，即
曲线 是以 为圆心，半径为2的圆；
（2）联立 ，化简得则由韦达定理知 ，
则由直线的参数方程几何意义知，设 ， ，
则 ，
由 ，当且仅当 时，取得最大值2.
4．（2021·山西太原市·太原五中高三二模（文））平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
( 为参数)，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标
方程为 .
（1）写出曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，点 ，求 的值.
【答案】（1） 的普通方程 ， 的直角坐标方程为 ；（2） .
【详解】解：（1）曲线 的参数方程为 ，
消去参数 得曲线 的普通方程 .
∵ ，
∴ .
又 ，∴直线 的直角坐标方程为 .
（2）法一：设直线 的参数方程为 ( 为参数，将其代入曲线 的直角坐标方程化简得
，
∴ ， .
∴ .
法二：由 ，
化简得 ，
则 ， .
从而 ， .
∴ .
（1）直接利用转换关系，在参数方程､极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）(法一)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.
(法二)利用方程组的解法和两点间的距离公式的应用求出结果.
本题考查的知识要点：参数方程､极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式
的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.
5．（2021·四川眉山市·仁寿一中高三其他模拟（文））在同一直角坐标系 中，经过伸缩变换后，曲线 变成曲线 .
（1）求曲线 的参数方程；
（2）设 ，点 是 上的动点，求 面积的最大值，及此时 的坐标.
【答案】（1） 为参数 ；（2）面积的最大值为2，此时 的坐标为 或
.
【分析】（1）用 分别表示 ，代入曲线 ，可得到曲线 的方程，从而写出其参
数方程；
（2）设 ，并求出直线 的方程，根据距离公式分别求出点 到直线
的距离的最大值， 的长度，即可得到 面积的最大值，及此时 的坐标．
【详解】（1）由伸缩变换 得到 ①
将①代入 得到 ②
所以 的参数方程为
（2）设 ，直线
所以 到直线 的距离为所以
当 时， 的面积的最大值为2
此时 的坐标为 或 ．
6．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三三模（文））在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程
为 ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
（1）当 为参数， 时，曲线 与 只有一个公共点，求 ；
（2）当 为参数， 时，曲线 与 相交于 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） 或 ；（2） ．
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化，参数方程消去参数，分别化为普通方程；根据两个圆的位
置关系，内切与外切，求解即可．
（2）当 为参数时，曲线 为过点 的直线，通过弦长 ，说明直线 过圆 的圆心 ，由
此求解斜率，然后求解 的值．
【详解】解：（1）曲线 的直角坐标方程为： ，
当 为参数时，曲线 的直角坐标方程为 ，
又曲线 与 只有一个公共点，故曲线 与 的位置关系是外切或内切，（ⅰ）当 与 外切时， ，解得： ；
（ⅱ）当 与 内切时， ，解得： ，
故 或 ．
（2）当 为参数时，曲线 为过点 的直线，
又曲线 是直径为 的圆，且 ，所以直线 过圆 的圆心 ，
则直线 的斜率 ，因为 ，所以 ．
7．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））在直角坐标系 中，曲线 的方程为
( 为参数)，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）点 为 上任意一点，若 的中点 的轨迹为曲线 ，求 的极坐标方程；
（2）若点 ， 分别是曲线 和 上的点，且 ，证明： 为定值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）先求得 的极坐标方程，然后根据 是 的中点求得 的极坐标方程.
（2）设出 的坐标，结合 以及同角三角函数的基本关系式证得 为定值.
【详解】（1）由 得 ，即 ，
所以 极坐标方程： ，
设 ， ，则 ，的轨迹方程： .
（2）设 ， ， ， ， ，
.
8．（2021·银川市第六中学高三其他模拟（文））在直角坐标系中 ，直线 的参数方程为
( 是参数).在以坐标原点为极点， 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为
.
（1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，并判断曲线 所表示的曲线；
（2）若 为曲线 上的一个动点，求点 到直线 的距离的最大值和最小值.
【答案】（1） ，曲线 所表示的曲线为圆心为 ，半径 的圆；
（2）最大值为 ，最小值为 .
【分析】（1）由曲线 可得 ，利用互化公式可得直角坐标方程：配方可得曲线所
表示的曲线为圆.
（2）直线 的参数方程为 ( 是参数)消去参数 化为普通方程： .求出圆心 到直线的距离 ，可得点 到直线 的距离的最大值为 ，最小值为 .
【详解】（1）由 可得 ，
化为直角坐标方程： ；配方可得： ，
曲线 表示的曲线是圆心为 ，半径 的圆；
（2）直线 可化为普通方程： .
圆心 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离的最大值为 ，最小值为 .
9．（2021·四川德阳市·高三二模（文））在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 (
为参数)，在以原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为
.
（1）求 的直角坐标方程和 的普通方程；
（2）若直线 截曲线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率.
【答案】（1）答案见解析；（2） .
【分析】（1）极坐标与普通方程的互化，直线的参数方程转化为普通方程；
（2）结合直线参数方程的几何意义与韦达定理定理来求解即可.
【详解】解：（1）因为 ，所以 ，故 的直角坐标方程为 .
当 时， 的普通方程为 ；
当 时， 的普通方程为 .
（2）设 截曲线 所得线段的两端点对应参数为 ， ，
将 代入 ，
得 的两根即为 ， ，
所以 ，
直线 截曲线 所得线段的中点坐标为 ，即所对应参数 ，
故 ，
所以 ，故 的斜率为 .
10．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（文））已知曲线 ： ( 为参数)， ：
( 为参数且 )，在以原点 为极点， 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 ：
.
（1）求曲线 ， 的普通方程.
（2）若 上的点 对应的参数 ， 为 上的点，求 的中点 到直线 距离 的最小值.【答案】（1） 的普通方程为 ， 的普通方程为：
；（2）最小值为 .
【分析】（1）由曲线 的参数方程消去参数 ，可得其普通方程；由曲线 的参数方程消去参数 ，可
得其普通方程
（2）由题意可得 ，设 ，从而得出点 的坐标，将直线 的方程化为直角坐
标方程得 ，得出点 到直线 距离 ，从而得到答案.
【详解】解：（1）曲线 ： ( 为参数)，
消去参数 ，得曲线 的普通方程为 .
曲线 ： ( 为参数)，
消去参数 ，得： .
由 ，则
所以曲线 的普通方程为：
（2）∵ 上的点 对应的参数 ，∴ ，
∵ 为 上的点，∴ ，∴ 的中点 ，
∵直线 ： ，∴直线 的直角坐标方程为 .
∴ 的中点 到直线 距离 ，
∴当 时， 的中点 到直线 距离 的最小值为 .
【点睛】关键点睛：本题考查将参数方程化为普通方程，求点到直线的距离在最值问题，解答本题的关键
是由 的参数方程设 ，得到 ，从而点 到直线 距离
，属于中档题.
11．（2021·四川自贡市·高三三模（文））在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数，0≤α＜π），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极
坐标方程为ρ2＝ ，直线l与曲线C的交点为A，B．
（1）求曲线C的直角坐标方程及α＝ 时|AB|的值；
（2）设点P（﹣1，1），求 的最大值．
【答案】（1） ；|AB|＝3；（2）2．【分析】(1)结合 即可得出曲线 的直角方程，将当α＝ 代入直线l的参数方程得出 的直
角方程为x＝﹣1，联立曲线方程解出 的值即可.
(2)把直线的参数方程代入曲线的直角方程得出关于 的一元二次方程，结合韦达定理和 的几何意义即可
求出结果.
【详解】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ2＝ ，
根据 ，转换为直角坐标方程为 ，
当α＝ 时，直线l的参数方程为 （t为参数，0≤α＜π），
转换为直角坐标方程为x＝﹣1．
所以，由 ，解得 ，
所以|AB|＝3．
（2）把直线的参数方程 ，代入 ，
得到（3+sin2α）t2+（8sinα﹣6cosα）t﹣5＝0，
设点 对应的参数为 ，点 对应的参数为 ，
故 ， ，故t、t 的符号相反，
1 2
由此时的几何意义可得：||PA|﹣|PB||＝||t|﹣|t||＝|t+t|，
1 2 1 2
＝ 2|sin（α﹣φ）|的最大值为2，(其中 ).
【点睛】(1)极坐标方程与直角坐标方程的互化方法:
①直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．
②极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．
其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．
(2)圆和圆锥曲线参数方程的应用要注意两点：
①在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参
数不具备该几何含义．
②有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化
为三角函数的最大值、最小值求解．
12．（2021·郑州市·河南省实验中学高三其他模拟（文））已知曲线 的参数方程为 ( 为参
数).
（1）求曲线 的普通方程；
（2）过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，求|PA|•|PB|的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）消去参数即可获得曲线的普通方程，注意挖去不满足题意的点；（2）根据直线的参数方程
中t的几何意义表示|PA|•|PB|，最后根据三角函数的最值进行解题即可.
【详解】解：（1）曲线 的参数方程为 ，消去参数 ，
可得 .（2）直线
代入曲线 得： .
设两根为 ， ，
故 .
【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线的参数方程中t的几何意义，属于中档题目，
在处理过程中主要把握参数t的正负取值，与线段长之间的对应关系，是解题的关键.
13．（2021·四川成都市·石室中学高三一模（文））在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
，( ， 中的一个为参数)，以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
．
（1）当 为参数， 时，判断曲线 与直线 的位置关系；
（2）当 为参数， 时，直线 与曲线 交于不同的两点 ， ，若 ，求 的值
【答案】（1）曲线 与直线 平行；（2） ．
【分析】（1）首先将曲线 和直线 的方程化简为直角坐标方程，再判断位置关系；（2）首先得到曲线的普通方程，再得将直线 的参数方程，利用 的几何意义求 的值.
【详解】（ ）当 为参数， 时，曲线 表示直线：
由 ，得 ，
将 代入方程得
因为斜率相等，所以曲线 与直线 平行；
（ ）当 为参数， 时，曲线 的参数方程
消去参数得曲线 的普通方程 ，
易知直线过 ，
故设直线 的参数方程为
联立直线 的参数方程与曲线 的普通方程，得
设 对应的参数为 ，则
故 ．
【点睛】方法点睛：本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点：
1.直角坐标系下的弦长公式 或是 ；
2.利用直线参数方程 的几何意义可知 ；3.极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长 .
14．（2021·玉林市育才中学高三三模（文））在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
( 为参数)，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点 为极点，x轴的
正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）已知射线 分别交曲线 ， 于 两点，若 是线段 的中点，求
的值.
【答案】（1） 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ；（2）
.
【分析】（1）先将曲线 化为普通方程，然后再化为极坐标方程，曲线 直接利用公式化为极坐标方程
即可；
（2）根据极径的几何意义，建立极径之间的关系，再通过三角恒等变换求解即可.
【详解】（1）因为曲线 的普通方程为 ，
所以曲线 的极坐标方程为 (写成 也给分).
因为曲线 的普通方程为 ，即 ，
所以曲线 的极坐标方程为 ，即 .（2）设 ， ，则 ， ，
因为 是线段 的中点，所以 ，
即 ，整理得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
15．（2021·陕西高三其他模拟（文））在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参
数）．以坐标原点为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为
．
（1）求圆 的标准方程，并说明直线 与圆 的位置关系．
（2）直线 与圆的相交弦为 ， 是弦 上动点，求 的取值范围．
【答案】（1） ；直线 与圆 相交且过圆心；（2）
．
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则可直接化简得到圆 的直角坐标方程，整理可得所求标准
方程；由 过圆心 可得所求位置关系；
（2）由 满足 参数方程得 ，由直线参数方程中 的几何意义可得 的范围，
由此可求得所求范围.【详解】（1）由 得： ，
化为直角坐标方程为： ，
圆 的标准方程为 ．
直线 过定点 ，即直线 过圆心 ，则直线 与圆 相交且过圆心．
（2） ， ，
由（1）知：圆 的圆心为 ，半径 ，
则由参数 的几何意义知： ，解得： ，
的取值范围为 ．
【点睛】结论点睛：若直线 参数方程为 （ 为参数），其中 为直线 的倾斜角，则 具
有几何意义：当参数 时， 表示直线 上的点 到点 的距离.
16．（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（文））在直角坐标系xOy中，点M是曲线C：
(α为参数，α∈[0，π])上的动点，O为坐标原点，△OMN是以MN为斜边的等腰直角三
角形，顶点O，M，N按顺时针方向排列，若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线C的极坐标方程；
（2）已知点C(-2，0)，求|CN|的最大值.
【答案】（1）ρ2+4ρcosθ+3=0，(ρsinθ≥0)；（2）最大值为 .
【分析】（1）消去参数，可得到普通方程，用 代入可得极坐标方程；（2）由条件可设N(ρ，θ)，则 ，代入点 的轨迹方程，可求出点 的轨迹方程，由几何性质可求出距离
的最大值.
【详解】解：（1）由 (α为参数，α∈[0，π])消去参数得：(x+2)2+y2=1，(y≥0)，
所以，曲线C的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ+3=0，(ρsinθ≥0).
（2）设N(ρ，θ)，则 ，
因为点 在曲线C上，所以 ，
即ρ2-4ρsinθ+3=0，(ρcosθ≥0)，
化为普通方程为：x2+(y-2)2=1，(x≥0)，
所以，点N的轨迹是以Q(0，2)为圆心，1为半径的圆的右半部分，
从而 ，即|CN|的最大值为 .
【点睛】易错点睛：（1）由参数方程到普通方程消参的过程中，注意参数所控制的变量的范围；（2）求
定点到圆上点距离的最值只需求定点到圆心的距离，然后加减半径即为最大最小值.
17．（2021·四川攀枝花市·高三三模（文））平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
（ 为参数， ），以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程
为 ．
（1）若 ，求曲线 的极坐标方程及曲线 的直角坐标方程；
（2）若曲线 与 交于不同的四点 ， ， ， ，且四边形 的面积为 ，求 ．
【答案】（1） ； ；（2） ．
【分析】（1）先将曲线曲线 化为直角坐标方程，再化为极坐标方程，直接将曲线 化为极坐标即可；（2）曲线的对称性可知矩形 的面积 ，结合极坐标方程列出关于 的方程解出即可.
【详解】（1）当 时，曲线 的参数方程为 （ 为参数），
转化为直角坐标方程为 ．
根据 ，得到曲线的极坐标方程为 ；
曲线 的极坐标方程为 ，
根据 ，转换为直角坐标方程为： ．
（2）设 满足 ， ，
由曲线的对称性可知矩形 的面积 ，
∴ ，
将 ，代入得 ，解得 ，
所以 ，解得 ．
18．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三一模（文））在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数），两条曲线相交于 、 两点．
（1）求 、 两点的直角坐标；
（2）根据变换公式 由曲线 变换得到曲线 ，设点 是曲线 上的一个动点，求 的
面积的最小值．
【答案】（1） 、 或 、 ；（2） ．
【分析】（1）将曲线 的极坐标方程化为普通方程，将曲线 的参数方程化为普通方程，联立两曲线的
普通方程，即可得出点 、 的坐标；
（2）求出曲线 的方程，设点 ，利用点到直线的距离公式结合三角恒等变换可求出点
到直线 的距离的最小值，进而可求得 的面积的最小值.
【详解】（1）由 ，得 ，
又 ， ，所以 ．
由 （ 为参数），消去参数得 ，
由 解得 或 .
所以 、 或 、 ；
（2）由（1）知 ，根据变换公式 由曲线 变换得到曲线 ，
则 ，
即曲线 的方程为 ，设点 ，
则点 到直线 的距离为
（其中 ， ），
故当 时， 取得最小值，且 ，
因此，当点 到直线 的距离最小时， 的面积也最小，
所以 的面积的最小值为 ．
【点睛】方法点睛：解决与圆或椭圆有关的最大值和最小值以及取值范围的问题，常常设圆或椭圆的参数
方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值以及取值范围的问题，注意三角恒等式
（其中 ，其中 ，且角 的终边过点 ）.
