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专题 11 坐标系与参数方程
1．（2021·江苏高考真题）以抛物线 的焦点为圆心，且与直线 ( 为参数）相切的圆的
标准方程是____________.
2．（2021·全国高考真题（文））在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线C的极坐标方程为 ．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为 ，M为C上的动点，点P满足 ，写出Р的轨迹 的参数方
程，并判断C与 是否有公共点．
1．（2021·上海普陀区·高三其他模拟）已知直线l的参数方程是 （ ， 为参数），
则直线l的倾斜角的大小为___________.
2．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））在平面直角坐标系 中，直线 的参
数方程为 ( 为参数， 为直线的倾斜角)，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建
立极坐标系，曲线 的极坐标方程 .（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）已知点 ，直线 与曲线 交于 ､ 两点，与 轴交于 点，若 ，求直
线 的普通方程.
3．（2021·陕西高三其他模拟（文））在极坐标系中，曲线 的方程为 ，以极点为
直角坐标系的原点，极轴为 轴正半轴建立直角坐标系
（1）求曲线 的直角坐标方程，并说明 是什么曲线；
（2）直线 的参数方程为 为参数， ，点 的直角坐标为 ，直线 与曲
线 交于 两点，求 的最大值.
4．（2021·山西太原市·太原五中高三二模（文））平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
( 为参数)，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标
方程为 .
（1）写出曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，点 ，求 的值.
5．（2021·四川眉山市·仁寿一中高三其他模拟（文））在同一直角坐标系 中，经过伸缩变换后，曲线 变成曲线 .
（1）求曲线 的参数方程；
（2）设 ，点 是 上的动点，求 面积的最大值，及此时 的坐标.
6．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三三模（文））在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程
为 ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
（1）当 为参数， 时，曲线 与 只有一个公共点，求 ；
（2）当 为参数， 时，曲线 与 相交于 ，且 ，求 的值．
7．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））在直角坐标系 中，曲线 的方程为
( 为参数)，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）点 为 上任意一点，若 的中点 的轨迹为曲线 ，求 的极坐标方程；
（2）若点 ， 分别是曲线 和 上的点，且 ，证明： 为定值.
8．（2021·银川市第六中学高三其他模拟（文））在直角坐标系中 ，直线 的参数方程为
( 是参数).在以坐标原点为极点， 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为
.（1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，并判断曲线 所表示的曲线；
（2）若 为曲线 上的一个动点，求点 到直线 的距离的最大值和最小值.
9．（2021·四川德阳市·高三二模（文））在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 (
为参数)，在以原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为
.
（1）求 的直角坐标方程和 的普通方程；
（2）若直线 截曲线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率.
10．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（文））已知曲线 ： ( 为参数)， ：
( 为参数且 )，在以原点 为极点， 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 ：
.
（1）求曲线 ， 的普通方程.
（2）若 上的点 对应的参数 ， 为 上的点，求 的中点 到直线 距离 的最小值.
11．（2021·四川自贡市·高三三模（文））在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数，0≤α＜π），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝ ，直线l与曲线C的交点为A，B．
（1）求曲线C的直角坐标方程及α＝ 时|AB|的值；
（2）设点P（﹣1，1），求 的最大值．
12．（2021·郑州市·河南省实验中学高三其他模拟（文））已知曲线 的参数方程为 ( 为参
数).
（1）求曲线 的普通方程；
（2）过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，求|PA|•|PB|的取值范围.
13．（2021·四川成都市·石室中学高三一模（文））在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
，( ， 中的一个为参数)，以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
．
（1）当 为参数， 时，判断曲线 与直线 的位置关系；
（2）当 为参数， 时，直线 与曲线 交于不同的两点 ， ，若 ，求 的值
14．（2021·玉林市育才中学高三三模（文））在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为( 为参数)，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点 为极点，x轴的
正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）已知射线 分别交曲线 ， 于 两点，若 是线段 的中点，求
的值.
15．（2021·陕西高三其他模拟（文））在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参
数）．以坐标原点为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为
．
（1）求圆 的标准方程，并说明直线 与圆 的位置关系．
（2）直线 与圆的相交弦为 ， 是弦 上动点，求 的取值范围．
16．（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（文））在直角坐标系xOy中，点M是曲线C：
(α为参数，α∈[0，π])上的动点，O为坐标原点，△OMN是以MN为斜边的等腰直角三
角形，顶点O，M，N按顺时针方向排列，若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线C的极坐标方程；
（2）已知点C(-2，0)，求|CN|的最大值.
17．（2021·四川攀枝花市·高三三模（文））平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为（ 为参数， ），以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程
为 ．
（1）若 ，求曲线 的极坐标方程及曲线 的直角坐标方程；
（2）若曲线 与 交于不同的四点 ， ， ， ，且四边形 的面积为 ，求 ．
18．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三一模（文））在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的
参数方程为 （ 为参数），两条曲线相交于 、 两点．
（1）求 、 两点的直角坐标；
（2）根据变换公式 由曲线 变换得到曲线 ，设点 是曲线 上的一个动点，求 的
面积的最小值．
