文档内容
专题 08 平面解析几何
一、单选题
1．（2020·全国·高考真题（理））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为
12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
2．（2021·北京·高考真题）已知直线 （ 为常数）与圆 交于点 ，当 变化时，
若 的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为 ，半径为2，
则圆心到直线的距离 ，
则弦长为 ，
则当 时，弦长 取得最小值为 ，解得 .
故选：C.
3．（2020·全国·高考真题（文））点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（ ）A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点 ，设 ，当直线 与 垂直时，点
到直线 距离最大，即可求得结果.
【详解】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
即为 .
故选：B.
4．（2022·全国·高三练习）若圆 上存在点P，且点P关于直线y＝x的对称点Q
在圆 上，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用对称圆，把问题转化为两圆的位置关系问题进行处理.
【详解】根据题意，圆 的圆心坐标为（0，1），半径为r，其关于直线y＝x的对称圆 的方程为
，根据题意，圆 与圆 有交点，既可以是外切，也可以是相交，也可以是内切．
又圆 ，所以圆 与圆 的圆心距为 ，所以只需
，解得 ．故B，C，D错误.
故选：A.
5．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知椭圆C： 的离心率为 ，直线l：
交椭圆C于A，B两点，点D在椭圆C上（与点A，B不重合）．若直线AD，BD的斜率分别
为 ， ，则 的最小值为（ ）A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】不妨假设 ， ，则可求 ，将B，D代入椭圆，然后两式进行相减可得 ，整理出
，代入 之后再结合基本不等式即可求出答案
【详解】解：设 ， ，则 ．
∵点B，D都在椭圆C上，∴ 两式相减，得 ．
∴ ，即 ．
∴ ．当且仅当 时取“=”．
故选：B．
6．（2022·全国·高三练习）已知抛物线 ： ，点 为抛物线上任意一点，过点 向圆 ：
作切线，切点分别为 ， ，则四边形 的面积的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接 ，则 ，而
，所以当 最小时，四边形 的面积最小，再抛物线的定义转化为点 到抛物线的
准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果
【详解】如图，连接 ，圆 ： ，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则 ．
又 ，所以当四边形 的面积最小时， 最小．
过点 向抛物线的准线 作垂线，垂足为 ，则 ，
当点 与坐标原点重合时， 最小，此时 ．
故 ．
故选：C
7．（2021·河南·高三开学考试（理））已知 为双曲线 的右顶点， 为双曲线右支上
一点，若点 关于双曲线中心 的对称点为 ，设直线 、 的倾斜角分别为 、 ，且
，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出 坐标，根据题意得 ，代入斜率公式，由 点在双曲线上，消元整理得到
的关系，进一步求得双曲线的离心率.
【详解】设 ，则 ，因为 ，即 ，由 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，得 ，所以 ，即
又 ，所以 ，即 ，所以 ，故双曲线的离心率为 ．
故选：D.
8．（2021·四川省内江市第六中学高三开学考试）已知 为坐标原点， 是椭圆 的
左焦点， 分别为椭圆 的左､右顶点， 为椭圆 上一点，且 轴.过点 的直线 与线段 交于
点 ，与 轴交于点 .若直线 经过 的中点，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画图，利用 相似于 ，和 相似于 列方程求解即可.
【详解】如图，由题意得 ､ ､ ，
设 ，因为 轴，所以 ，所以 ，得 ①，又由 ， 中点为 ，得 ，得 ②，
由①②得 ，则 .
故选：A.
9．（2022·全国·高考真题（理））椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于
y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，则 ，根据斜率公式结合题意可得 ，再根据 ，将
用 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】解： ，
设 ，则 ，
则 ，
故 ，
又 ，则 ，
所以 ，即 ，所以椭圆 的离心率 .
故选：A.
10．（2022·广西柳州·模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线
经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：
的左、右焦点分别为 ， ，从 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且
， ，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用 表示 ，再在两个直角三角形中借
助勾股定理求解作答.
【详解】依题意，直线 都过点 ，如图，有 ， ，设 ，则 ，显然有 ， ，
，因此， ，在 ， ，
即 ，解得 ，即 ，令双曲线半焦距为c，在
中， ，即 ，解得 ，
所以E的离心率为 .
故选：B
11．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆 ，点 是 上任意一点，若圆
上存在点 、 ，使得 ，则 的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，设直线 、 分别与圆 切于点A、B， ，根据题意得到 ，在直角
三角形中，利用正弦函数的定义得到 ，再结合 ，得到 的离心率的取值范围．
【详解】连接 ，当 不为椭圆的上、下顶点时，设直线 、 分别与圆 切于点A、B，
，∵存在 、 使得 ，∴ ，即 ，
又 ，∴ ，
连接 ，则 ，∴ ．
又 是 上任意一点，则 ，
又 ，∴ ，
则由 ，得 ，
又 ，∴ ．
故选：C．
12．（2022·全国·模拟预测（文））已知过点 作圆 的两条切线 ， ，
切点分别为 ， ，则直线 必过定点（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】通过过点 作圆 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，能得
到 是以 为直径的圆和圆 的公共弦，将两圆的方程相减可得直线 的方程，从而求得直线 恒
过定点坐标.
【详解】圆 的方程可化为 ，所以圆心 .
则以 为直径的圆的圆心为 ，设以 为直径的圆的半径为 ，
则 .
所以以 为直径的圆的方程为 .
过点 作圆 的切点分别为 ， ,
两圆的交点为 , ,即两圆的公共弦为 .
将两圆的方程相减可得直线 的方程为 ，
即 .令 得 .
所以直线 必过定点 .
故选：A.
二、填空题
13．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三模拟）已知 为双曲线 的两个焦
点，过点 且垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且 ，则此双曲线的渐近线方程为
___________.
【答案】
【分析】设 ，在 中，根据 ，可以求出 的长，根据双曲线的定义可以求出 ，求出离心率，利用 ，可以求出 之间的关系，最后求出双曲线的渐近线方程.
【详解】设 ，所以 ， ，由双曲线定义可知：
，所以双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
14．（2022·全国·高三练习）已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为 上一点且在第一象限，以 为圆
心，线段 的长度为半径的圆交 的准线于 ， 两点，且 ， ， 三点共线，则 ______．
【答案】6
【分析】根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．
【详解】如图所示，连接 ．因为 ， ， 三点共线，所以 为圆 的直径，所以 ，
点 到抛物线 的准线的距离为3，则易知 ，由抛物线定义知 ．
故答案为：6．
15．（2022·安徽省临泉第一中学高三阶段练习）已知椭圆 与双曲线有相同的焦点 ，椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，点 为
椭圆 与双曲线 的第一象限的交点，且 ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】设 ，则由椭圆和双曲线的定义结合余弦定理可得 ，设
，则可得 ，然后根据正弦函数的性质可得其范围
【详解】解：设 ，
由椭圆的定义得 ①，
由双曲线的定义得 ②，
① ② 得， ，
① ② 得， ，
由余弦定理可得 ，
所以 ③，
设 ，则 ，解得
所以 ，当 时， 最大值为 时， 的值为2，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
16．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高三阶段练习（理））已知双曲线 的左，右焦点分别为
， ，过右焦点 且倾斜角为 直线l与该双曲线交于M，N两点（点M位于第一象限）， 的
内切圆半径为 ， 的内切圆半径为 ，则 为___________.
【答案】 ##
【分析】设 ， ， ，利用双曲线的定义可得 ，作出图
形，结合图形分析，可知 与直线 的倾斜角相等，利用直角三角形中的边角关系，即求.
【详解】设 的内切圆为圆 ，与三边的切点分别为 ，如图所示，
设 ， ， ，设 的内切圆为圆 ，由双曲线的定义可得 ，得 ，
由此可知，在 中， 轴于点 ，同理可得 轴于点 ，
所以 轴，
过圆心 作 的垂线，垂足为 ，
因为 ，
所以 ，
∴ ，即
∴ ，即
故答案为： .
