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专题突破卷 23 圆锥曲线大题归类
1.轨迹问题
1．已知点 ，点P是圆 上的动点，M为线段PA的中点，当点P在圆上运动时，求动点
M的轨迹方程，并分析此轨迹与圆 的位置关系.
【答案】 ，两圆相外离
【分析】利用中点坐标公式及点在圆上，结合两点间的距离公式及圆与圆的位置关系即可求解.
【详解】设 ， ，则
由中点坐标公式得 ， .
因为 在圆 上，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 .
所以点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆.
两圆的圆心距 ，
而两圆半径之和为6，即 ，
所以这两圆相外离.
2．在平面直角坐标系 中，设点 的轨迹为曲线 .①过点 的动圆恒与 轴相切， 为该圆的直
径；②点 到 的距离比 到y轴的距离大1.
在①和②中选择一个作为条件:
(1)选择条件： 求曲线 的方程；
【答案】(1)
【分析】（1）选①：由已知及抛物线的定义，通过数形结合可知，点 是以 为焦点，以直线
为准线的抛物线，从而可求其方程．
选②：设动圆的圆心为 ，则 ，通过直接法求轨迹方程的方法，列出 满足的关系
式，化简即可得到点 的轨迹方程．
【详解】（1）选①：
如图，过 作 轴的垂线，垂足为 ，交直线 于点 ，
设动圆的圆心为 ，半径为 ，则 到 轴的距离为 ，
在梯形 中，由中位线性质可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，又 ，所以 ，
由抛物线的定义知，点 是以 为焦点，以直线 为准线的抛物线，
所以曲线 的方程为： .
选②：
设动圆的圆心为 ，则 ，
由圆 与 轴相切可得 ，
即 ，整理可得 .
3．已知圆 ： ，圆 ： ，圆 ，圆 ．
(1)若动圆 与圆 内切与圆 外切. 求动圆圆心 的轨迹 的方程；
(2)若动圆 与圆 、圆 都外切. 求动圆圆心 的轨迹 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由椭圆的定义结合条件，即可得到结果；
（2）根据题意，由双曲线的定义结合条件，即可得到结果.
【详解】（1）设动圆 的半径为 ，
∵动圆 与圆 内切，与圆 外切，
∴ ，且 .
于是 ，
所以动圆圆心 的轨迹是以 为焦点，长轴长为 的椭圆.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】从而 ，
所以 .
故动圆圆心 的轨迹 的方程为 ．
（2）圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为 ，则圆 与圆 外离，
设圆 的半径为 ，由题意可得 ，所以， ，
所以，圆心 的轨迹是以点 、 分别为左右焦点的双曲线的右支，
设圆心 的轨迹方程为 ，
由题意可得 ，则 ， ，
因此，圆心 的轨迹方程为 .
4．已知反比例函数 的图象C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线．
(1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；
(2)设 为双曲线C的两个顶点，点 是双曲线C上不同的两个动点．求直线 与
交点的轨迹E的方程；
【答案】(1)顶点： 、 ；焦点： 、 ；
(2)
【分析】（1）先得到双曲线的顶点和焦点均在直线 上，联立 与 得 ，即可求双曲线C
的顶点坐标与焦点坐标；
（2）求出直线 与 方程，两式相乘，将 代入，即可求直线 与 交点的轨迹E的方
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】程；
【详解】（1）由题意得，双曲线的顶点和焦点均在直线 上，
联立 与 得， ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，故顶点坐标为 、 ，
设焦点横坐标为 ，因为双曲线为等轴双曲线，故 ，
故焦点坐标为 、 ；
（2） ， ，
两式相乘，得 ．
将 代入上式，得 ，即 ．
即直线 与 交点的轨迹E的方程为 ．
5．在平面直角坐标系 中，已知圆心为C的动圆过点 ，且在 轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为
曲线E．
(1)求E的方程；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意列出圆心满足的方程结合弦长得出的方程，化简即可得答案.
【详解】（1）设圆心 ，半径为 ，
因为圆心为C的动圆过点 ，所以 ，
因为圆心为C的动圆在 轴上截得的弦长为4，所以 ，
所以 ，即 ，所以曲线E是抛物线.
6．如图所示，以原点 为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设 为大圆上任意一点，连接 交
小圆于点 ，设 ，过点 分别作 轴， 轴的垂线，两垂线交于点 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求动点 的轨迹 的方程；
【答案】(1)
【分析】（1）根据 得到 点坐标，设出 点坐标，根据参数方程即可得到曲线 的
方程；
【详解】（1）因为 ，所以 ，
设 ，则 （ 是参数），消去 得 ，
即曲线 的方程为 ；
2.求值问题
7．（ 2023·四川·校联考一模）已知点 在椭圆C： 上，点 在椭
圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的
斜率之积为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)记 ， 分别为 ， 的面积，若 ，求m的值.
【答案】(1)
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）利用斜率乘积建立方程，把点代入求解椭圆方程；
（2）先求出点E，F的坐标，然后求出线段比例，最后代入三角形面积公式化简求解即可.
【详解】（1）设 ，依题意 ， ，
可得 ，整理可得 ，
又椭圆C过点 ，所以 ，故椭圆C的方程为 ；
（2）依题意，可知AM： ，代入椭圆方程 ，
整理得 ，从而得到 ，
又BM： ，代入椭圆方程 ，
整理得 ，从而得到 ，
所以 ，
，
则
,
由于 ，所以 ，解得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方
程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
8．已知双曲线C： 的右焦点为F，过点F的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点.
(1)若直线AB的斜率为1，求线段AB的中点坐标；
(2)若点 ， 在双曲线C的右支上，且 ， ， ，过点P且斜率为
的直线与过点Q且斜率为 的直线交于线段AB上一点M，且 ，求实数 的值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】(1)求出双曲线C的渐近线方程，然后分别和直线AB的方程为 联立，求出 坐标，从
而求得线段AB的中点坐标 ；
（2）设直线PQ的方程为 ，联立 ，韦达定理表示出 两点间关系, 然后表
示出 的斜率 ，反解出 与 ，
继而发现 的关系，最后根据M在直线 上这一条件，找到M与点 的关系，从而确定实数
的值.
【详解】（1） 渐近线为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由直线AB的斜率为1，点 ，得直线AB的方程为 ，
设 ，分别联立 和 ,
可得 ，
设线段AB的中点坐标为 ，则 ， ，
故线段AB的中点坐标为 ，
（2）
设直线PQ的方程为 ，
则 ，解得 ，
，
∵ ，∴ ， ，
∴ ， .
设点 则 ，
整理得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵ ，∴ ，
解得 .
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ .
设直线AB的方程为 ， ， ，
则 ，解得 ， ，
同理求得 ， ，
∴ ， ，
此时点M的坐标满足， ，
解得 ， ，
∴M为线段AB的中点，即 ，
∴实数 的值为2.
【点睛】圆锥曲线的解题思路：
(1)设直线方程，设而不求；
(2)联立直线与圆锥曲线方程组，韦达定理表示坐标关系；
(3)根据题目条件转化为坐标间的关系式；
(4)求解参数或者范围问题；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9．已知 为坐标原点，椭圆 的离心率为 ，椭圆的上顶点到右顶点的距离为 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为 、 ，过点 作直线与椭圆交于 、 两点，且 、 位于第一象
限， 在线段 上，直线 与直线 相交于点 ，连接 、 ，直线 、 的斜率分别记为 、
，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件可得出关于 、 、 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）不妨设 、 ，设直线 的方程为 ，可得 ，将直线 的方程与椭
圆方程联立，列出韦达定理，设 ，根据点 在直线 上，得出 ，然后利用斜率
公式以及韦达定理可求出 的值.
【详解】（1）解：由题意知， ，椭圆的上顶点到右顶点的距离为 ，
即 ，解得 ， ， ，
因此，椭圆的方程为 ．
（2）解：如下图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】不妨设 、 ，由图可知，直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，因为点 ，则 ，则 ，
联立 可得 ，
，可得 ，即 ，
解得 ，
由韦达定理可得 ，解得 ，
所以， ，易知 、 ，
由于 在直线 上，设 ，
又由于 在直线 上，则 ，所以， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
10．已知圆 ： ，圆 ： ，圆M与圆 外切，且与圆 内切．
(1)求圆心M的轨迹C的方程；
(2)若A，B，Q是C上的三点，且直线AB不与x轴垂直，O为坐标原点， ，则当
的面积最大时，求 的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）设动圆M的半径为 ，由圆与圆的位置关系分析可得 ，由椭圆
的定义分析可得轨迹M是以 ， 为焦点的椭圆，由椭圆的定义分析可得轨迹M的方程，即
可得答案；
（2）设 ， ，直线AB的方程为 ，联立直线 与椭圆 的方程可得
，利用根与系数的关系可以表示 的值，进而可以表示 面积，由基
本不等式的性质求得△AOB面积的最大值，由 ，得 ，代入 ，整
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】理可得 的值．
【详解】（1）由题意设圆M的半径为r，则 ， ，所以 ，
故圆心M的轨迹是以 ， 为焦点，4为长轴长的椭圆，
所以 ， ，则 ，
所以C的方程为 ．
（2）设 ， ， ，直线AB的方程为 ．
将 代入 ，整理得 ，
，即 ，
则 ， ，
所以
，
故 ．
又原点O到直线AB的距离为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以
，
当且仅当 ，即 （*）时，等号成立．
由 ，得 ，
代入 ，整理得 ，
即 （**）．
而
，
由（*）可知 ，代入（**）式得 ．
故 的值为1.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11．（ 2023·四川泸州·统考三模）已知椭圆 的右焦点为 ，短轴长等于焦
距．
(1)求 的方程；
(2)过 的直线交 于 ，交直线 于点 ，记 的斜率分别为 ，若
，求 的值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）由题目条件得到 ，进而求出 ，得到椭圆方程；
（2）考虑过 的直线斜率不存在和斜率存在情况，设出直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根
之积，表达出 与 ，从而得到方程，求出 ，进而得到 .
【详解】（1）根据题意得到 ， ，解得 ，
故 ，
故椭圆方程为 ；
（2）当过 的直线斜率不存在时，此时该直线与直线 无交点，舍去；
当过 的直线斜率存在时，设为 ，令 ，得 ，
故 ，
联立 与 得， ，
其中 ，
设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
，
故
，
故 ，即 ，解得 ，
不妨令 ，则直线方程为 ，
，则 ，
，
故
，
当 时，同理可得 ，
综上： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，
再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，注意考虑直线 的斜率存在和不存在两种情况.
12．已知 是椭圆 上的两点， 关于原点 对称， 是椭圆 上异于 的一点，直线
和 的斜率满足 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线 交椭圆 于 两点 异于椭圆 的上、下顶点），当 的
面积最大时，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两点的斜率公式计算化简即可；
（2）设直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式计算面积，结合基本不等式求出面积最大时
的关系式，再计算斜率之积即可.
【详解】（1）设 ，易知 ，由 ，
得 ，
化简得 ，
故椭圆 的标准方程为 .
（2）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 的方程为 ， ， ，
将 代入椭圆方程整理得，
， ，
， ，
则 ，
又原点 到 的距离为 ，
故 ，
当且仅当 时取等号，
此时 ， 的面积最大.
故
.
3.定点问题
13．如图，已知点 和点 在双曲线 上，双曲线 的左顶点为
，过点 且不与 轴重合的直线 与双曲线 交于 ， 两点，直线 ， 与圆
分别交于 ， 两点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值；
(3)证明：直线 过定点.
【答案】(1)
(2)
(3)直线 过定点 ,证明见解析.
【分析】（1）根据双曲线上的点求标准方程；
（2）利用韦达定理运算求解即可；
（3）利用联立方程组，结合韦达定理求得 的坐标，猜想 过定点 ，并用三点共线与斜率的关
系证明求解.
【详解】（1）因为点 和点 在双曲线上，
所以 ，解得 ，所以双曲线 的标准方程为 .
（2）由题可知，直线 的斜率不等于零，故可设直线 的方程为 ，
设 ，
联立 ，整理得 ，
若 ，即 ，直线 的斜率为 ，与渐近线 平行，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时直线 与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以 ，
所以
，
，
因为 ,所以
，所以 .
（3）（i）当 轴时， 且 ，
所以 ，则 ，
联立 ，整理得 ，
即 ，解得 或 ，
当 时， ，所以 ，
由于对称性， ，此时直线 过定点 ；
（ii）当 不垂直于 轴时，以下证明直线 仍过定点设为 ，
因为 ，所以联立 ，
即 ，所以 ，
解得 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，
所以 ,
同理，将上述过程中 替换为 可得 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 三点共线，即此时直线 恒过定点 ，
综上直线 过定点 .
14．已知抛物线 ，过焦点的直线 与抛物线 交于两点A， ，当直线 的倾斜角为 时，
.
(1)求抛物线 的标准方程和准线方程；
(2)记 为坐标原点，直线 分别与直线 ， 交于点 ， ，求证：以 为直径的圆过定点，
并求出定点坐标.
【答案】(1)抛物线的方程为 ，准线方程为
(2)证明见解析，定点坐标为 或
【分析】（1）根据已知得出直线 的方程，与抛物线联立，根据过焦点的弦长公式，列出关系式，即可得
出 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）设 ，联立方程根据韦达定理得出 的关系.进而表示出 的方程，求出 ， 的
坐标，得出圆的方程.取 ，即可得出定点坐标.
【详解】（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为 ，直线 的方程为 .
联立抛物线与直线的方程 可得，
.
设 ， ，由韦达定理可得 ，
则 ，所以 .
所以，抛物线的方程为 ，准线方程为 .
（2）设直线 ，
联立直线与抛物线的方程 可得， .
所以， ， .
又 ， ，所以 .
同理可得 .
设圆上任意一点为 ，则由 可得，
圆的方程为 ，
整理可得， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，可得 或 ，
所以，以 为直径的圆过定点，定点坐标为 或 .
【点睛】思路点睛：直线或圆过定点问题，先根据已知表示出直线或圆的方程，令变参数为0，得出方程，
求解即可得出求出定点的坐标.
15．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，点 在双曲线上，若
，且双曲线焦距为4．
(1)求双曲线 的方程；
(2)如果 为双曲线 右支上的动点，在 轴负半轴上是否存在定点 使得 ？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，坐标为
【分析】（1）利用双曲线的定义求解即可；
（2）在 轴负半轴上假设存在点 满足题意，当 垂直于 轴时，易得 ，当 不垂直于 轴
时，由斜率公式和二倍角正切公式也可解得 .
【详解】（1）因为点 在双曲线上，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以由双曲线的定义可得 ①，
又双曲线焦距即 ，且 ③，
①②③联立解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）假设存在点 满足题设条件，由题目可知 ，
设 为双曲线 右支上一点，
当 时， ，因为 ，
所以 ，于是 ，所以 ，即 ，
当 时， ， ，
因为 ，所以 ，
将 代入并整理得 ，
所以 ，解得 ，即 ，
综上，满足条件的点 存在，其坐标为 .
【点睛】方法点睛：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线方程联立，消去 （或 ）建立一元二次方程，然后借
助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 或不存在等特殊情形.
16．设椭圆C： 的左、右顶点分别为A、B，且焦距为2．点P在椭圆上且异于A、B
两点．若直线PA与PB的斜率之积为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 作不与 轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为： ，过点M
作 垂直于直线 ，交 于点E．判断直线 是否过定点，并说明理由．
【答案】(1)
(2)过定点 ，理由见解析
【分析】（1）由焦距为2，直线PA与PB的斜率之积为 ，列方程求出 ，可得椭圆C的标准方程；
（2）设 的直线方程，与椭圆联立方程组，结合韦达定理表示出直线 ，令 可求得直线所过的定
点.
【详解】（1）由题意有 ， ，
设 ， ，化简得 ,结合 ，
可得 ，由椭圆焦距为2，有 ，得 ， ，
椭圆C的标准方程为 ；
（2）设直线 方程： ， ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立方程 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ，
又 ，
所以直线 方程为： ，
令 ，则 ．
所以直线 过定点 .
【点睛】方法点睛：
解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系
数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后
的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
17．数学试题）已知椭圆 的焦距为2，且经过点 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为 的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的
定点T，使 恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)存在；点
【分析】（1）根据题意，得到 ，再由椭圆 经过点 ，联立方程组，求得 ，即可
求解.
（2）设直线l的方程为 ，联立方程组，得到 ，设 点坐标为 ，
由 ，得到 ，得到 ，得到 ，列出
方程，求得 ，即可求解．
【详解】（1）解：由椭圆 的焦距为2，故 ，则 ，
又由椭圆 经过点 ，代入 得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）解：根据题意，直线l的斜率显然不为零，令 ，
由椭圆右焦点 ，故可设直线l的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，
设 ， ，且 ，
设存在点 ，设 点坐标为 ，由 ，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ，
所以 ，所以 ，
所以直线 和 关于 轴对称，其倾斜角互补，即有 ，
则 ，所以 ，
所以 ，整理得 ，
即 ，即 ，
解得 ，符合题意，即存在点 满足题意．
【点睛】方法技巧：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中
核心变量（通常为变量 ）；②利用条件找到 过定点的曲线 之间的关系，得到关于 与 的
等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再
证明该定点与变量无关.
18．椭圆 的离心率是 ，点 是椭圆 上一点，过点 的动直线 与
椭圆相交于 两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 面积的最大值；
(3)在平面直角坐标系 中，是否存在与点 不同的定点 ，使 恒成立？存在，求出点 的坐
标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)存在， .
【分析】（1）由离心率及过点 列方程组求解 .
（2）设直线 为 与椭圆方程联立，将 表达为 的函数，由基本不等式求最大值
即可.
（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出 ，设点 关于 轴的对称点 ，证得 三点共线得到
成立.
【详解】（1）根据题意，得 ，解得 ，椭圆C的方程为 .
（2）依题意，设 ，直线 的斜率显然存在，
故设直线 为 ，联立 ，消去 ，得 ，
因为直线 恒过椭圆内定点 ，故 恒成立， ，
故 ，
令 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取得等号，
综上可知： 面积的最大值为 .
（3）当 平行于 轴时，设直线与椭圆相交于 两点，如果存在点 满足条件，
则有 ，即 ，所以 点在 轴上，可设 的坐标为 ；
当 垂直于 轴时，设直线与椭圆相交于 两点，如果存在点 满足条件，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则有 ，即 ，解得 或 ，
所以若存在不同于点 的定点 满足条件，则点 的坐标为 ；
当 不平行于 轴且不垂直于 轴时，设直线 方程为 ，
由（2）知 ，
又因为点 关于 轴的对称点 的坐标为 ，
又 ， ，
则 ，
所以 ，则 三点共线，所以 ；
综上：存在与点 不同的定点 ，使 恒成立，且 .
.
【点睛】方法点睛：直线 与椭圆 交于 ，当且仅当 时，
取得最大值 .
4.定值问题
19．已知半椭圆 和半圆 组成曲线 .如图所示，半椭圆内切于矩
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】形 ，CD与y轴交于点G，点P是半圆上异于A，B的任意一点.当点P位于点 处时，
的面积最大.
(1)求曲线 的方程；
(2)连接PC，PD分别交AB于点E，F，求证： 为定值.
【答案】(1) 和 ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）把点 的坐标代入半圆方程求出b即可；由面积最大可得半圆在点M处的切线与直线AG
平行，借助斜率求出a值作答.
（2）设点 ，结合（1）求出直线 方程，进而求出点 的坐标即可计算作答.
【详解】（1）由点M在半圆上，得 ，又 ，解得 ，
当半圆在点M处的切线与直线AG平行时， 的面积最大，此时 ，
直线 的斜率 ，则直线 的斜率 ，则 ，
所以曲线 的方程为 和 .
（2）由（1）及已知得 ， ，设 ，
则直线 方程为 ，令 ，得 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直线 方程为 ，令 ，得 ，即 ，
又 ， ， ，
所以
.
20．已知双曲线C： 一个焦点F到渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得 为定值？如
果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；点 ，
【分析】（1）根据点到线的距离公式去接即可；
（2）设其方程为 ， ，设 ， ， ，联立直线与双曲线的方程，得
出韦达定理，化简 可得 ，从而得到定点与定值.
【详解】（1）由双曲线得渐近线方程为 ，设 ，则 ，
∴双曲线C方程为 ；
（2）依题意，直线 的斜率不为0，设其方程为 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】代入 得 ，设 ， ， ，
则 ， ，
∴
若要上式为定值，则必须有 ，即 ，
∴ ，
故存在点 满足
21．已知抛物线 经过点 ，直线 与 交于 ， 两点（异于坐标原
点 ）．
(1)若 ，证明：直线 过定点．
(2)已知 ，直线 在直线 的右侧， ， 与 之间的距离 ， 交 于 ， 两点，试问是否
存在 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）将点 代入抛物线方程求出 ，直线与抛物线联立方程组，由 ，利用向
量数量积和韦达定理，求出 ，可得直线所过定点.
（2）设两条直线 与 的方程，分别与抛物线方程联立，求出弦长，由 和 ，求
的值.
【详解】（1）证明：将点 代入 ，得 ，即 ．
联立 得 ，
由 ，设 ， ，则 ， ．
因为 ，所以 恒成立，则 ，
所以 的方程为 ，故直线 过定点 ．
（2）联立 得 ，则
且 ，即 ，
，
设 ，同理可得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为直线 在 的右侧，所以 ，则 ，即 ．
所以 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以满足条件的 存在， .
【点睛】方法点睛：
解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与
系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定
直线、抛物线的条件；强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的
关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，长轴长为短轴长的2倍，点 在 上运动，
且 面积的最大值为8．
(1)求 的方程；
(2)若直线 经过点 ，交 于 两点，直线 分别交直线 于 ， 两点，试问
与 的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2) 与 的面积之比为定值
【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可；
（2）利用韦达定理及面积公式计算即可.
【详解】（1）由题意得 ，即 ①．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当点 为 的上顶点或下顶点时， 的面积取得最大值，
所以 ，即 ②．
联立①②，得 ．
故 的方程为 ．
（2）
与 的面积之比为定值．
由（1）可得 ，
由题意设直线 ．
联立 得 ，
则 ，
，
所以 ．
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】同理可得 ．
故 与 的面积之比为
，
即 与 的面积之比为定值 ．
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是化积为和，得到 ，最后得到面积比值表达式，
再进行代换即可得到面积比值.
23．已知点 与定点 的距离和它到定直线 的距离比是 .
(1)求点 的轨迹方程 ；
(2)若直线 与轨迹 交于 两点， 为坐标原点直线 的斜率之积等于 ，试探求
的面积是否为定值，并说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得 ，即可求解；
（2）利用韦达定理结合 ，可得 ，再利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出
三角形的面积，进而可求解.
【详解】（1）设 点坐标为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】化解可得： .
（2）设 ，联立直线和椭圆方程可得： ，
消去 可得： ，
所以 ，即 ，
则 ，
，
，
把韦达定理代入可得： ，
整理得 ，满足 ，
又 ，
而 点到直线 的距离 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】把 代入，则 ，
可得 是定值1.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
24．已知圆 ，直线 为直线 上一点，过点 作圆 的两条切线 ，其中
为切点，且 最小．
(1)求直线 的方程；
(2) 为圆 与 轴正半轴的交点，过点 作直线 与圆 交于两点 ，设 ， 的斜率分别为 ，
求证： 为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由直线与圆相切的性质，当 时， 最小，由 四点共圆，则 即为两圆公
共弦，两圆方程相减可得直线 的方程；
（2）设直线 的方程，与圆的方程联立，由韦达定理用 表示 ，将所求 整理变形为用
表示，代入韦达定理化简可得定值.
【详解】（1）圆 ，圆心为 ，半径为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】已知 是圆 的两条切线，则 ，
所以当 最小时， 最小．
最小值即为点 到直线 的距离 ，
此时 ，且直线 ，直线 的斜率 ，
设 ，则有 ，解得 ，即 ，
由 ，得 四点共在以 为直径的圆上，
圆心为 的中点，设为 ，坐标为 ，圆的半径为 ，
则圆 的方程为 ，即 ①，
又圆 ②，
则两圆方程相减得公共弦 的方程，即由② ①得， ，
即直线 的方程为 .
（2）由题意知，过点 的直线 斜率存在，
故可设方程为 ，即 ，
设 ，且 ，
由题意 的斜率 ， 的斜率 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 .
联立 ，整理得 ,
则 ，即 .
由韦达定理知， ，
则 ，
，
故 ，
故 为定值 ．
5.定直线问题
25．椭圆 ： 的上顶点为 ，下顶点为 ，离心率为 ，点 .
(1)水椭圆 的方程；
(2)过点 的动直线 交椭圆 于 ， 两点（不同于 ， 两点），若直线 与直线 交于点 ，试
问点 是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)点 在定直线 上.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）先利用题给条件求得a、b的值，进而求得椭圆的方程；
（2）设出直线的方程，并与椭圆的方程联立，利用设而不求的方法求得直线AN与直线BM交点Q的纵坐
标，化简整理即可求得点的纵坐标为定值，可得答案．
【详解】（1）椭圆的离心率为 ，则 ，则 ，又 ，
则 ，解得 ，
则椭圆的方程为 ；
（2）由题意可得， ，过点 的直线斜率存在，
设直线的方程为 ，令 ， ，
由 ，整理得 ，
则 ，即 或 ，
，
又直线AN的方程为 ，直线BM的方程为 ，
由 ，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，
则
则直线AN与直线BM交点 的纵坐标为定值1，
所以点 在定直线 上.
26．已知椭圆 过点 ，且离心率为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线 与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，试问： 的内心是否在一条定直线上？
若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 的内心在定直线 上
【分析】（1）根据题意建立关于 ， 的方程组，再求解即可得到椭圆C的标准方程；
（2）设 ， ，联立直线 和椭圆C的标准方程，得到关于 的一元二次方程，再根据韦达
定理证明 ，进而即可得出结论．
【详解】（1）依题意有 ，解得 ，
所以椭圆C的标准方程为 ．
（2）设 ， ，
联立 ，消 整理得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 恒成立，则 的平分线总垂直于x轴，
所以 的内心在定直线 上．
【点睛】关键点点睛：在解答小问（2）时，关键在于利用韦达定理得到 ，进而得到
的内心在定直线 上．
27．已知椭圆 右焦点分别为 ， 是 上一点，点 与 关于原点 对称，
的面积为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求 的标准方程；
(2)直线 ，且交 于点 ， ，直线 与 交于点 .
证明：①直线 与 的斜率乘积为定值；
② 点在定直线上.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）设为 ，根据 ，解得 ；点 在曲线 上，可得 ，解得 ，
，即可得出椭圆的标准方程．
（2）①设 ， ，直线 方程为 ， ，联立直线 与椭圆方程，消去 得，
，利用斜率计算公式、根与系数的关系即可得出 为定值．
②直线 方程为 ，直线 的方程为 ，联立直线 与直线
方程 ， ，化简结合根与系数的关系可得 为定值．
【详解】（1）设为 ， ，
则 ，即 ，
又点 在曲线 上，∴ ，
将 代入，整理得 ， ，
解得 ， ，
∴椭圆的标准方程为 .
（2）①设 ， ，直线 方程为： ， ，
联立直线 与椭圆方程，消去 得 ，
当 ，即 且 时，
， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
，
∴ ，
.
②直线 方程为： ，即 ，
直线 的方程为 ，即 ，
联立直线 与直线 方程得 ，
∴ ， ，
∴ .
∴ ，即点 在定直线 上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；
（5）代入韦达定理求解.
28．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意求得 的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线 与 的方程，联立直线方程，
消去 ，结合韦达定理计算可得 ，即交点的横坐标为定值，据此可证得点 在定直线 上.
【详解】（1）设双曲线方程为 ，由焦点坐标可知 ，
则由 可得 ， ，
双曲线方程为 .
（2）由(1)可得 ，设 ，
显然直线的斜率不为0，所以设直线 的方程为 ，且 ，
与 联立可得 ，且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 与直线 的方程可得：
，
由 可得 ，即 ，
据此可得点 在定直线 上运动.
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，
其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.
29．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的
反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，从 发出的
光线经过图2中的 、 两点反射后，分别经过点 和 ，且 ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求双曲线 的方程；
(2)设 、 为双曲线 实轴的左、右顶点，若过 的直线 与双曲线 交于 、 两点，试探究直
线 与直线 的交点 是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在直线 上
【分析】（1）延长 与 交于 ，分析可得 ，令 ，则 ， ，利
用双曲线的定义可得出 的值，利用勾股定理求出 的值，进而可求得 的值，由此可得出双曲线 的方程；
（2）分析可知，直线 不与 轴垂直，设直线 的方程为 ，设点 、 ，将直线
的方程与双曲线 的方程联立，列出韦达定理，联立直线 、 的方程，求出 的值，即可得出结论.
【详解】（1）解：如图所示：
延长 与 交于 ，因为 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，即 ，
令 ，则 ，
所以， ，
由双曲线的定义可得 ，则 ，
，则 ，
又因为 ，即 ，解得 ，
所以， ， ，
由勾股定理可得 ，则 ，
故 ，
因此，双曲线 的方程为 .
（2）解：若直线 与 轴重合，则直线 与双曲线 的交点为双曲线 的两个顶点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意可得 ，解得 ，
由韦达定理可得 ， ，
易知点 、 ，则 ， ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 、 的方程并消去 可得 ，
可得
，解得 ，
因此，直线 与直线 的交点 在定直线 上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
30．已知点 在双曲线 上．
(1)双曲线上动点Q处的切线交 的两条渐近线于 两点，其中O为坐标原点，求证： 的面积 是
定值；
(2)已知点 ，过点 作动直线 与双曲线右支交于不同的两点 ､ ，在线段 上取异于点 ､
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的点 ，满足 ，证明：点 恒在一条定直线上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出双曲线方程，设 ，则 过点 的切线方程为 ，联立
与两条渐近线方程，得到 点坐标，利用 求出面积为定值；
（2）考虑直线 斜率不存在，不合题意，故直线 斜率存在，设直线 方程 ，与双曲线方程
联立，设出 ，得到两根之和，两根之积，再设点 的坐标为 ，由
得到 ， ，消去参数得到点 恒在一条定直线 上.
【详解】（1）将 代入双曲线中， ，
解得 ，故双曲线方程为 ，
下面证明 上一点 的切线方程为 ，
理由如下：当切线方程的斜率存在时，
设过点 的切线方程为 ，与 联立得，
，
由
化简得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，代入上式得 ，
整理得 ，
同除以 得， ，
即 ，
因为 ， ，
所以 ，
联立 ，两式相乘得， ，
从而 ，
故 ，
即 ，
令 ，则 ，即 ，
解得 ，即 ，
当切线斜率不存在时，此时切点为 ，切线方程为 ，满足 ，
综上： 上一点 的切线方程为 ，
设 ，则 过点 的切线方程为 ，
故 为 过点 的切线方程，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】双曲线的两条渐近线方程为 ，
联立 与 ，解得 ,
联立 与 ，解得 ,
直线 方程为 ，即 ，
故点 到直线 的距离为 ，
且 ，
故 的面积为
，为定值；
（2）若直线 斜率不存在，此时直线 与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件，
故直线 斜率存在，设直线 方程 ，
与 联立得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，
因为 恒成立，所以 ，
故 ，
解得 ,
设 ，则 ，
设点 的坐标为 ，
则由 得， ，
变形得到 ，
将 代入，解得 ，
将 代入 中，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
故点 恒在一条定直线 上.
【点睛】方法点睛：过圆 上一点 的切线方程为：
，
过圆 外一点 的切点弦方程为： .
过椭圆 上一点 的切线方程为 ，
过双曲线 上一点 的切线方程为
6.证明问题
31．已知双曲线 ： 的离心率为2，其左、右焦点分别为 ， ，点 为 的渐近
线上一点， 的最小值为 .
(1)求 的方程；
(2)过 的左顶点 且斜率为 的直线 交 的右支于点 ，与直线 交于点 ，过 且平行于
的直线交直线 于点 ，证明：点 在定圆上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程和点到直线距离公式求解；
（2）根据题意做出几何图形，求出点 的坐标，利用斜率公式求出 ，进而可得
，从而有 ，即可证明求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）设双曲线的右焦点 ，一条渐近线的方程为 ，
因为 的最小值为 ，
所以右焦点 到渐近线 的距离为 ，
所以 ，
又因为离心率 ，所以 ，
所以 的方程为： .
（2）由题得， 的左顶点 ，右焦点 ，
所以直线 为线段 的垂直平分线，
所以 的斜率分别为 ，
所以直线 的直线方程为 与 联立有，
，
设 ，则有 ，即
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 轴时， ，则有
为等腰直角三角形，
所以 ,故直线 的方程为： ，故 ，
当 不垂直于 轴时， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以
所以 为定值，
所以点 在定圆 上.
32．已知椭圆 ，其离心率 ，长轴长为6．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)椭圆 的上下顶点分别为 ，右顶点为 ，过点 的直线 与椭圆 的另一个交点为 ，点 与点
关于 轴对称，直线 交 于 ，直线 交 于点 ，点 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）易知 ，由离心率可得 ，代入计算即求出椭圆 的标准方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）易知直线 的方程为 ，设出直线 方程为 ，联立椭圆方程利用韦达定理可解
得 点坐标，可得 点坐标，联立直线 与 解得交点 ，同理可得 ，
利用向量坐标表示可知 ，即可得出证明.
【详解】（1）根据题意可知 ，可得 ；
又 ，解得 ，所以 ，
因此椭圆 的标准方程为 .
（2）由题意可知 ，
易知直线 的方程为 ，即 ；
显然过点 的直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
又因为直线 交 于 ，所以 ，即直线 的方程为 ，如下图所示：
联立直线与椭圆方程 ，消去 整理可得 ；
设 ，易知 和 是方程的两根，由韦达定理可得 ，
又 ，所以 ，即 ；
因此点 关于 轴的对称点 坐标为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以直线 的斜率 ，
可得直线 方程为 ，
由直线 交 于 ，联立两直线方程 ，解得 ；
直线 交 于点 ，联立两直线方程 ，解得 ；
所以可得 ，
又 ，可得 ，
显然 ，所以 ，也即 .
33．已知A是椭圆E： 的左顶点，斜率为 的直线交E与A，M两点，点N在E上，
.
(1)当 时，求 的面积；
(2)当 时，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）运用椭圆的对称性，可得直线 的斜率为1，求得 的方程代入椭圆方程，解方程可得
， 的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到；
（2）直线 的方程为 ，代入椭圆方程，求得交点 ，可得 ， ，再由
，根据函数的单调性即可求解．
【详解】（1）由椭圆 的方程： 知，其左顶点 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，且 ， 为等腰直角三角形，
轴，可得 ， 关于 轴对称，
由 ．可得直线 的斜率为1，直线 的方程为 ，
代入椭圆方程 ，可得 ，
解得 或 ， ， ， ， ，
则 的面积为 ；
（2）设直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
由 消去 得： ，
， ，故
，
，
又 ， ，
整理得： ，
设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
为 的增函数，
又 ， ，
．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
34．定义：若椭圆 上的两个点 满足 ，则称 为
该椭圆的一个“共轭点对”，记作 .已知椭圆 的一个焦点坐标为 ，且椭圆 过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求“共轭点对” 中点 所在直线 的方程；
(3)设 为坐标原点，点 在椭圆 上，且 ，（2）中的直线 与椭圆 交于两点 ，且 点
的纵坐标大于0，设四点 在椭圆 上逆时针排列.证明：四边形 的面积小于 .
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的定义求出长轴长即可作答.
（2）设 ，根据“共轭点对”的定义列出方程，化简作答.
（3）求出 的坐标，设点 ， ，利用点差法得 ，再求出点P到直
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】线l距离的范围即可推理作答.
【详解】（1）依题意，椭圆 的另一焦点为 ，
因此 ，
于是 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设“共轭点对” 中点B的坐标为 ，由（1）知，点 在椭圆C： 上，
依题意，直线l的方程为 ，整理得 ，
所以直线 的方程为 .
（3）由（2）知，直线 ： ，由 ，解得 或 ，则 ，
，
设点 ， ，则 ，两式相减得 ，
又 ，于是 ，则 ，有 ，线段PQ被直线l平分，
设点 到直线 的距离为d，则四边形 的面积 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而 ，则有 ，
设过点P且与直线l平行的直线 的方程为 ，则当 与C相切时，d取得最大值，
由 消去y得 ，
令 ，解得 ，
当 时，此时方程为 ，即 ，解得 ，
则此时点P或点Q必有一个和点 重合，不符合条件 ，从而直线 与C不可能相切，
即d小于平行直线 和 （或 ）的距离 ，
所以 .
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设点 ， ，代入椭圆方程，利用点差法证明出
线段PQ被直线l平分，再设过点P且与直线l平行的直线 的方程为 ，将其与椭圆方程联立，求
出直线与椭圆相切时的 值，即可证明面积小于 .
35．已知椭圆C： 的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为 ，O为坐标原点，线
段OA的中点为D，且 .
(1)求C的方程；
(2)已知点M、N均在直线 上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM、AN分别交椭圆C
于另一点P、Q，证明直线PQ与直线OT垂直.
【答案】(1)
(2)证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）由题设易知 且 ，根据 有 即可求 ，进而写出椭
圆方程.
（2）令 ， ，则 ，而 ，即可写出直线 、 的方程，联立椭圆方程并
设 、 ，应用韦达定理求 、 的坐标，进而可求 ，结合 及 ，即可证直线
与直线 垂直.
【详解】（1）由题意知： ， ，则 ，而 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ，解得 或 （舍去），故 ，所以 的方程 .
（2）令 ， ，则 ，而 ，
所以 ， ，
联立椭圆方程 ，整理得 ，显然 ，
若 ，则 ，得 ，则 ，
即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】同理 ，整理得 ，显然 ，
若 ，可得 ，则 ，即 .
所以 ，
又 ，则 ，所以 ，故 ，而 ，
所以 ，则直线 与直线 垂直，得证.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；
（5）代入韦达定理求解.
36．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 ： ．
(1)求出双曲线 的渐近线方程；
(2)过 的左顶点引 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)设斜率为1的直线l交 于P，Q两点，若l与圆 相切，求证： ．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）根据双曲线方程可得 ，且焦点在x轴上，进而可求渐近线方程；
（2）根据对称性不妨令过 且与渐近线的平行的直线方程为 ，联立方程求交点坐标，
进而可求结果；
（3）设直线l的方程为 ，根据切线可得 ，利用韦达定理结合数量积的坐标运算分析证明.
【详解】（1）由双曲线 ： ，即 ，
可知 ，且焦点在x轴上，
所以渐近线方程为 ，即 .
（2）由（1）可知： 的左顶点为 ，
不妨令过 且与渐近线的平行的直线方程为 ，
联立方程 ，解答 ，
即直线 与 的交点坐标为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以围成的三角形的面积 .
（3）圆 的圆心为 ，半径 ，
设直线l的方程为 ，即 ，且 ，
则 ，可得 ，即 ，
联立方程 ，消去y可得 ，
可得 ，且 ，
又因为 ，
则 ，
所以 ，即 .
【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法
在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．
7.范围最值问题
37．已知椭圆 的左右顶点分别为A， ，椭圆的离心率为 ，动点 在曲线
上，且 的面积的取值范围是 ，过点 的直线 与椭圆交于 ， 两点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若点 在第一象限，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用题给条件求得 的值，进而求得椭圆 的方程；
（2）先求得直线 的斜率不存在时 的值，再将直线 与椭圆的方程联立，利用设而不求的方法求
得 的取值范围，综合以上二者进而求得 的取值范围．
【详解】（1）由条件 ，即 ，
，也即 ，解得 ， ，
从而椭圆 的方程
（2）当直线 的斜率不存在时， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
当直线 的斜率存在时，不妨设
， ， ，
联立方程 得
则 ， ．
从而
也即恒有 ．
因为点 在第一象限，从而
从而 在 内
的取值范围是 ，
综上， 的取值范围为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】38．已知抛物线C： ，过点 的直线l交抛物线交于A，B两点，抛物线在点A处的切线为 ，
在点B处的切线为 ，直线 与 交于点M.
(1)设直线 ， 的斜率分别为直线 ， ，求证： ；
(2)证明：点M在定直线上；
(3)设线段AB的中点为N，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数，分别用点 的横坐标表示 ， ，联立直线 与抛物线的方程，结合韦达定理，
可得结果；
（2）联立两切线方程可得交点坐标，利用韦达定理化简可得点 在定直线上；
（3）由中点坐标公式可得 点坐标，从而得到 ，再由弦长公式可得 ，再求
取值范围即可.
【详解】（1）由题意知，直线的 斜率存在，设直线 与抛物线 交于不同的两点 ， ，
设直线 的方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立 ，消去 得， ，且 ，
则
由 ，得 ，
， ，
.
（2）直线 与 交于点M，设 ，
抛物线在点A处的切线 方程为 ，
即 ，
同理，在点B处的切线 方程为 .
联立 ，解得 ，
将 式代入化简得 ，
则点 在定直线 上.
（3）线段AB的中点为N，
由（1）可得， ， ，
则 .
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又
将 式代入得， ，
则 ，
由 ，则 .
的取值范围为 .
39．已知O为坐标原点， 是椭圆C： 的右焦点，过F且不与坐标轴垂直的直线
l交椭圆C于A，B两点．当A为短轴顶点时， 的周长为 ．
(1)求C的方程；
(2)若线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P，Q，M为线段AB的中点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到 且 ，结合 ，列出方程求得 的值，即可求
解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）解法一：设直线 ，联立方程组，利用韦达定理得到 ，得出 的
垂直平分线的方程，求得 ，化简 ，利用换元法和二次函数的性质，即
可求解；
解法二：设 ，联立方程组，利用根与系数的关系得到 ，进而得到
，化简 ，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）设椭圆 的焦距为 ，因为椭圆 的焦点为 ，可得 ，
又因为 为短轴顶点时， 的周长 ，
又由 ，所以 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）解法一：因为椭圆 的焦点为 ，设直线 ，
联立方程组 ，整理得 ，
设 ， ，则 ， ，
则 ，
于是线段AB的垂直平分线的方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，可得 ，
由
，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
因此 ．
解法二：因为椭圆 的焦点为 ，设直线 ，
联立方程组 ，整理得 ，
设 ， ，则 ， ，
则 ，
可得线段AB的垂直平分线的方程为 ，
令 ，得 ，
由
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 ，
因为 ，可得 ，可得 ，
因此 ．
【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合
性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、
图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值
（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）
平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
40．已知双曲线 ( )左、右焦点为 ，其中焦距为 ，双曲线经过点 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)过右焦点 作直线交双曲线于M，N两点(M，N均在双曲线的右支上)，过原点O作射线 ，其中
，垂足为 为射线 与双曲线右支的交点，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得 ，从而求得双曲线的方程.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）根据直线 的斜率是否存在进行分类讨论，先求得 的表达式，然后利用基本不等式求
得最大值.
【详解】（1）由题意得 ， ， ，解得 ， ，
双曲线的方程为： .
（2）当直线 斜率不存在时， ， ，则 ，
当直线 斜率存在时，假设直线方程为 ，
联立双曲线方程得 ，
则 ， ， ，
∵直线与双曲线交于右支，∴ ，
则 ，
设射线OP方程为： ，联立与双曲线的方程，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴
，
当且仅当 时等号成立，最大值为 ．
综上， 的最大值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】求得双曲线的标准方程，关键是根据已知条件求得 ， 是两个未知数，所以求解需要两个条
件.求解圆锥曲线中的最值问题，可先求得需要求最值的式子的表达式，然后根据表达式的结构选取合适的
方法来求最值.
41．设动点M与定点 的距离和M到定直线l： 的距离的比是 ．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)当 时，记动点M的轨迹为 ，动直线m与抛物线 ： 相切，且与曲线 交于点A，B．求
面积的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得到方程，分 ， 和 三种情况，得到轨迹方程及轨迹的形状；
（2）直线 斜率不存在，不合要求，设直线 ，联立 ，由 得到 ，联立
，由根的判别式大于0求出 ，设 得到两根之和，两根之积，表
达出 ，换元后构造 ，求导后得到极值和最值，求出
答案.
【详解】（1）设 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】化简得 ， ，
当 时， ，轨迹为一条直线；
当 时， ，此时轨迹为焦点在 轴上的椭圆；
当 时， ，此时轨迹为焦点在 轴上的双曲线；
综上：当 时，轨迹方程为 ，轨迹为一条直线，
当 时，轨迹方程为 ，轨迹为焦点在 轴上的椭圆；
当 时，轨迹方程为 ，轨迹为焦点在 轴上的双曲线；
（2）当 时， ，
当直线 斜率不存在时，又与 相切，故此时直线 ，此时 三点共线，不合要求，舍去，
设直线 ，联立 得 ，
由 得 ，显然 ，
联立 得， ，
由 ，结合 ，解得 ，
设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
设直线 与 轴交于点 ，则 ，
则
，
将 代入得 ，
因为 ，令 ，则 ，
，
设 ，则设 ，则
， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 在 处取得极大值，也是最大值，
故 最大值为 .
圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数
的最值或范围．
42．已知双曲线 的离心率为2，右焦点 到渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点 为双曲线右支上一动点，过点 与双曲线相切的直线 ，直线 与双曲线的渐近线分别交于M，N
两点，求 的面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出渐近线方程，由点到直线距离公式得到 ，再由离心率求出 ， ，得到双
曲线方程；
（2）解法1：先考虑直线 的斜率不存在时， ，再考虑直线 的斜率存在时，设其
方程为 ，与双曲线方程联立，由 得到 ，再联立直线方程和双曲线渐近线方程，
设 ， ，得到两根之和，两根之积，利用 表达出
，从而得到结论；
解法2：可设 ，与双曲线方程联立，由 得到 ，再联立直线方程和双曲线渐近
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】线方程，得到两根之和，两根之积，从而表达出 ，结合 ，且 ，求出面积的
最小值.
【详解】（1）由已知得渐近线方程为 ，右焦点 ，
∴ ，
又∵ ，所以 ，解得 ，
又因为离心率 ，解得 ， ，
∴双曲线的标准方程为 ；
（2）解法1： 的渐近线方程为 ，
当直线 的斜率不存在时，此时 ，直线 方程为 ，代入渐近线方程，
得到 ，故 ，又 ，
故 的面积 ；
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，直线与双曲线联立得
，
因为相切，所以 ，解得 ，
另设 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立 ，
∴ ， ，
，
，
在 中， ， ，
∴ ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
综上所述， ，其最小值为 ；
解法2：由条件知，若直线 的斜率存在，则斜率不为零，
故可设 ，直线与双曲线联立得，
，
因为相切，所以 ，即 ，
又因为直线 与双曲线的渐近线交于两点，设为 ， ，
联立 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于 ，所以 ，
则 ,
由直线 的方程得，直线与 轴的交点坐标为 ，
∴
，
∵ ，
∴ 即 ，且 ，
∴ 时， 的最小值为 ，
综上所述， ，其最小值为 .
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数
的最值或范围．
8.存在性问题
43．已知椭圆 ： 的离心率为 ， ， 为 的左、右焦点，若过右焦点 的直线
与椭圆 交于不同的两点 ， ， 的周长为8.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 ，在 轴上是否存在一点 ，使得
是以点 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 的值及点 的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)存在，当 时， ，当 时， .
【分析】（1）利用椭圆的定义和离心率公式直接求解即可；
（2）设 ，假设存在 符合题意，设 ， ， 中点 ，将直线方程与椭圆
方程联立，消去 ，利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可得 ，由 是以 为
直角顶点的等腰直角三角形有： ，从而得 ，进而可求出 的值和点 的坐
标.
【详解】（1）根据题意及椭圆的定义可知 ，
又因为 ， ，所以 ， ，
故椭圆的方程为 .
（2）由题意可设直线 的方程为 ，
联立 消 整理得 ，
由 ，解得 ，
设 ， ，则 ， ，
， ，
设 中点 ，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】假设存在 和点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，
则 ，故 ，
所以 ，解得 ，故 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，
所以 ，所以 ，即 ，
此时，当 时， ，
当 时， ，
所以在 轴上存在点 ，使得 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，当 时， ，当
时， .
【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解体的关键是利用
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】是以点 为直角顶点的等腰直角三角形可得 ，从而得 ，进而可求得结果，
考查计算能力，属于中档题.
44．已知椭圆 的左，右顶点分别为 ，上，下顶点分别为 ，四边形
的内切圆的面积为 ，其离心率 ；抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点
重合.斜率为k的直线l过抛物线 的焦点且与椭圆 交于A，B两点，与抛物线 交于C，D两点.
(1)求椭圆 及抛物线 的方程；
(2)是否存在常数 ，使得 为一个与k无关的常数？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由.
【答案】(1) ，
(2)存在，
【分析】（1）通过四边形 的内切圆的面积为 ，得原点O到直线 的距离为 ，从而
，再结合离心率即可求出椭圆方程，根据抛物线的焦点坐标求出抛物线方程；
（2）设直线l的方程，与椭圆、抛物线联立，利用韦达定理求出弦长 ，代入 化简即可
求解.
【详解】（1）由椭圆 可知： ，
所以直线 的方程为： ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为四边形 的内切圆的面积为 ，所以原点O到直线 的距离为 ，
即 ①，因为离心率 ，所以 ②，又 ③，
由①②③可得： ，所以椭圆 的方程为： ，
因为抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，
所以 ，所以 ，从而抛物线 的方程为： .
（2）由（1）知：抛物线 焦点为 ．由题意，设直线l： ，
设 ， ， ， ，
由 可得： ，
所以 ，
所以
，
由 可得： ，所以 ，
因为直线l过抛物线 的焦点，所以 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，则 ，
由 可得： .
45．已知椭圆 的左、右焦点分别为点 ，短轴的上、下端点分别为 ，若椭
圆的离心率为 ，四边形 的面积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设两条直线 与 交于椭圆的右焦点，且互相垂直，直线 交椭圆 于点 ，直线 交椭圆 于点
，探究：是否存在这样的四边形 ，使得其面积为 ？请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据椭圆的离心率为 ，四边形 的面积为 ，由 求解；
（2）当直线 的斜率存在且不为0时，设直线 为 ，直线 为 ，其中 ，将直
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】线 的方程与椭圆方程 联立，利用弦长公式得到
所以 ，进而得到 ，然后利用 求解；再由直线 的斜率为0和不存在求解.
【详解】（1）解：设椭圆 的半焦距为 ，
由已知得， 即 ，
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）如图所示：
当直线 的斜率存在且不为0时，
因为两条直线 与 交于椭圆的右焦点 ，且互相垂直，
所以可设直线 为 ，直线 为 ，其中 ，
再设 ，
将直线 的方程代入椭圆方程 得，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
，
所以 ，
所以 ，
将 中的 换成 ，得 ，
设由 四个点围成的四边形面积为 ，
则 ，
令 ，所以 ，
化简得， ，
因为
，所以 无解；
当直线 的斜率为0时， ，此时 ，
当直线 的斜率不存在时， ，此时 ，
所以不存在这样的四边形 ，使得其面积为 .
【点睛】易错点点睛：在涉及到直线的点斜式方程时，往往忽略斜率不存在和零的情况，导致解题不完整。
46．设抛物线 ： 的焦点为 ，经过 轴正半轴上点 的直线 交 于不同的两点 和 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)若 ，求 点的坐标；
(2)若 ，求证：原点 总在以线段 为直径的圆的内部；
(3)若 ，且直线 ， 与 有且只有一个公共点 ，问： 的面积是否存在最小值？若存
在，求出最小值，并求出 点的坐标；若不存在，请说明理由.（三角形面积公式：在 中，设
， ，则 的面积为
【答案】(1) 或
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）设 ，根据条件和焦半径公式即可求出结果；
（2）设 ，利用向量法，将问题转化成 为钝角， ，设出直
线方程 ，联立 ，消 得 ，再利用韦达定理求出 ，即可得到证
明；
（3）设出直线 的方程 ，联立方程 ，由 ，得到 ，进而求出 坐标，
再利用题中所给面积公式及基本不等式即可求出结果.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）设 ，因为 ，又 ，得到 ，
将 代入 ，得到 ，
所以 点的坐标为 或 .
（2）设 ，直线 ，
由 ，消 得到 ，由韦达定理知， ，所以 ，
又 ，由 ，
故 为钝角，原点 总在以线段 为直径的圆的内部.
（3）设 ，由 ，得到 ，
又 ，得到 或 ，即 或 （舍），
故 ，所以直线 的斜率 ，
由题可设 的方程为 ，由 ，消 得到 ，
由题知， ，得到 ，代入 ，得到 ，所以 ，
设 ，则 ， ，即 ，
所以 ，
故 的面积为 ，
当且仅当 时取等号，
由 ，得 ，所以最小值为2， 点的坐标为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】关键点晴，本题的关键在于（3）中，通过设出 ： ，
结合题中要求，求出 ，进而求出 ，再利用题中信息得到 ，利用基本不等式进行
求解即可.
47．已知 为抛物线 ： 的焦点， 为坐标原点.过点 且斜率为1的直线 与抛物线 交于 ，
两点，与 轴交于点 .
(1)若点 在抛物线 上，求 ；
(2)若 的面积为 ，求实数 的值；
(3)是否存在以 为圆心、2为半径的圆，使得过曲线 上任意一点 作圆 的两条切线，与曲线 交于另
外两点 ， 时，总有直线 也与圆 相切？若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)5
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据抛物线的定义直接求焦半径 ；
（2）利用韦达定理和面积公式表示出面积即可求解；
（3）根据直线与圆相切列出等式，利用韦达定理列出等式，再根据所列方程与 无关即可确定 的值.
【详解】（1）抛物线 ： 的焦点 ，
由点 在抛物线 上，则 ，解得
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）设直线 的方程为 ，原点 到直线 的距离为
联立 ，设 ,
整理得 ,其中 ，解得
由韦达定理得 ，
所以
所以 ，解得
（3）设直线 的方程为 ，则 ，设
则圆 的方程为 .
设 ， ， ，
直线 的斜率
所以直线 的方程为 ，
整理得
则直线 与圆 相切得 ，
即 ，
同理可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】易知 ，否则直线与抛物线只有一个交点，
所以 是方程 的两个根，
由韦达定理得
直线 的方程 与圆 相切得 ，
两边平方得 ，
即 ，
化简得
上式对任意的 恒成立，所以 ，解得 或3
当 时， ，舍去；
当 时， ，符合，此时
综上，存在定圆 ，过曲线 上任意一点 作圆 的两条切线，与曲线 交于另外两点 ，
时，总有直线 也与圆 相切.
48．如图，已知动圆 过定点 且与 轴相切，点 关于圆心 的对称点为 ，点 的轨迹为 .
(1)求曲线 的方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)一条直线 经过点 ，且交曲线 于 、 两点，点 为直线 上的动点.
①求证： 不可能是钝角；
②是否存在这样的点 ，使得 是正三角形？若存在，求点 的坐标；否则，说明理由.
【答案】(1) ；
(2)①证明见解析；②存在，且 .
【分析】（1）设 ，则可得 ，圆 的直径为 ，利用动圆 与 轴
相切，即可求得曲线 的方程；
（2）①设直线 的方程为 ，点 、 、 ，联立直线 的方程与抛物线
方程，进而利用韦达定理结合向量的数量积运算，得到 恒成立，可得结论；
②由①知 ，根据 与 垂直，斜率积为 ，可得 ，再由 ，求
出 值.
【详解】（1）设 ，因为点 在圆 上，且点 关于圆心 的对称点为 ，
则 ，
而 ，
因为动圆 过定点 且与 轴相切，则 ，
即 ，化简得 ，
所以曲线 的方程为 .
（2）①若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 有且只有一个公共点，不合乎题意.
设直线 的方程为 ，设点 、 、 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立 ，可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
，同理可得 ，
所以，
，
故 不可能为钝角；
②假设存在这样的点 满足条件，
因为 ，则线段 的中点为 ，
若 ，则 轴，此时，直线 的方程为 ，联立 可得 ，
则 ，此时， 位于 轴上，则 ，
所以， 为直角三角形，不合乎题意，
所以， ，则 ，可得 ，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
而 ，
由 ，可得 ，解得 ，
所以，存在点 满足条件.
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点 的坐标 、 表示相关点 的坐标 、 ，然后代入点 的坐标 所满足
的曲线方程，整理化简可得出动点 的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标 、 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 、 与某一参数 得到方程，
即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.（5）
交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
49．设O为坐标原点，点M，N在抛物线 上，且 .
(1)证明：直线 过定点；
(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）设直线方程与抛物线联立，利用韦达定理结合平面向量数量积计算即可；
（2）利用导数得出过M、N的切线方程，求出切线的交点P坐标，结合弦长公式得出比值，利用函数研究
计算其范围即可.
【详解】（1）由题意可设直线 的方程为： ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立抛物线方程 ，
所以 ，
又 ，
化简得 ，
解之得 ，即直线 为： ，显然过定点 ；
（2）由抛物线 ，
则点 的切线方程分别为 ，
易知 ，联立切线方程可得 ，
结合（1）可知 ，∴ ，
故 ， ，
由弦长公式及（1）可得 ，
所以 ，
易知 ，
即 的取值范围为 .
50．已知抛物线 的焦点为F，平行于x轴的两条直线 ， 分别交C于A，B两点，交C的准线l
于P，Q两点.
(1)若F在线段 上，R是 的中点， 与 平行吗？
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若 的面积是 的2倍，求 中点的轨迹方程.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）求出抛物线 的焦点坐标、准线方程，设出直线 的方程，并求出点 的坐标，
利用共线向量的坐标表示推理作答.
（2）根据给定条件，求出直线 与x轴的交点坐标，设出 的中点坐标，利用共线向量的坐标表示求
解作答.
【详解】（1）抛物线 的焦点 ，准线 ，如图，
设 ， ，则 ，得 ， ， ， ， ，
则 ，由F在线段 上，得 ，
于是 ，显然 ，整理得 ，
， ，
因此 ，显然点 不在直线 上，
所以 .
（2）如图，设直线AB与x轴相交于点 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由（1）知， 的面积 ， 的面积 ，
依题意， ，即 ，而 ，解得 或 ，
由于 时，点 与 之一重合，有 ，矛盾，则点D的坐标为 ，
设 的中点为 ，则 ，由 ，得 ，
即 ，又 ，于是 ，
所以所求的轨迹方程为 .
51．已知椭圆 : 过点 ，且离心率为 ，设 、 分别为椭圆的左右顶点， 、
为椭圆的左右焦点，点 为椭圆 上不同于 、 的任意一点，点 是椭圆 长轴上的不同于 、 的
任意一点
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)当 内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
(3)设直线 与椭圆 的另一个交点为点 ，若 的值为定值，则称此时的点 为“稳定点”，
问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
(3)存在，
【分析】（1）由题意列出关于 的方程组，求解即可；
（2）当内切圆的半径最大时，即P点为上顶点，由圆的对称性，可得内切圆的圆心坐标；
（3）设过Q点的直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，可求出 的表达
式，进而求出 的表达式，由其值为定值可得Q的横坐标的值，即求出稳定点的坐标．
【详解】（1）因为椭圆 : 过点 ，且离心率为 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2） ，设 边上的高为 ，则 ，
设 的内切圆的半径为 ，因为 的周长为定值6，
所以 ，
当 在椭圆上顶点时， 最大为 ，故 的最大值为 ，
于是 也随之最大，最大值为 ，
由椭圆的对称性，此时内切圆圆心的坐标为 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3） 点 是椭圆 长轴上的不同于 、 的任意一点，
故可设直线PN的方程为 ，
由 ，得 ，
恒成立.
又 ，
，
要使其值为定值，则 ，
故当 ，即 时， .
综上，存在这样的稳定点 即椭圆的焦点为稳定点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】52．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的焦点为 ， ，且满足______，椭圆 的上、
下顶点分别为 ，右顶点为 ，直线 过点 且垂直于 轴.现有如下两个条件分别为：
条件①；椭圆过点 ，条件②：椭圆的离心率为
请从上述两个条件中选择一个补充在横线上，并完成解答.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 在椭圆 上（且在第一象限），直线 与 交于点 ，直线 与 轴交于点 .试问：
是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1) ；
(2)是，2.
【分析】（1）选①，利用椭圆定义求出长轴长即可求解作答；选②，利用椭圆离心率的定义求出长半轴
长即可作答.
（2）设出点 的坐标，求出点 、 的坐标，计算 即可判断作答.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）选择①，椭圆长轴长 ，
则 ，短半轴长 ，
所以椭圆 的方程为 .
选择②，由椭圆半焦距 ，离心率 ，得长半轴 ，短半轴 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由（1）知 ， ， ，设 ， ， ，则有 ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
于是得 ， ，观察图知点N在x轴上方，因此 ， ，
则 ，
所以 为定值 .
53．已知抛物线 ： 上的点 到焦点 的距离为 .
(1)求点 的坐标及抛物线 的方程；
(2)过点 的任意直线 与抛物线 交于点 ，过点 的抛物线 的两切线交于点 ，证明：点
在一条定直线上，并求出该定直线的方程.
【答案】(1)点 的坐标为 或 ，抛物线 的标准方程为 ；
(2)点 在定直线 上，证明见解析.
【分析】（1）由条件结合抛物线的定义可求 ，由此可得抛物线方程，由点 在抛物线上求 ，可
得点 的坐标；
（2）由条件设直线 方程为 ，联立直线与抛物线方程，由设而不求法可得 ，利
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】用导数的几何意义求切线 的方程，求交点 的坐标，由此证明结论.
【详解】（1）抛物线 的准线方程为 ，
因为点 到抛物线 的焦点 的距离为 ，
由抛物线定义可得，点 到准线 的距离为 ，
所以 ，故 ，
所以抛物线 的标准方程为 ，
由已知 ，所以 ，
所以点 的坐标为 或 ；
（2）因为 过点 ，
由题可知直线 的斜率存在，所以设直线l方程为 ，
与抛物线 联立得 ，
方程 的判别式 ，
设 ， ，则 ， ，
由 ，得 ，则 ，
所以抛物线 在点 处的切线 的方程为 ，
抛物线 在点 处的切线 的方程为 ，
联立 的方程得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即点 坐标为 .
又 ， ，
所以点 在定直线 上.
【点睛】知识点点睛：本题主要考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，导数
的几何意义，同时考查运算求解的能力，属于较难题.
54．已知椭圆 的左右焦点为 为椭圆 上异于长轴端点的一个动
点， 为坐标原点，直线 分别与椭圆 交于另外三点 ，当 为椭圆上顶点时，有
．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求 的最大值．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）由题知 ，代入椭圆求得 即可；
（2）设 ，求得 坐标代入椭圆方程求出 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】代入计算求最值即可.
【详解】（1）由题知 ，代入椭圆 得 ，
∴ ， ，
∴椭圆 的方程为 ；
（2）
设 ，
设 ，由 得 ，
解得 ，
则 ，
代入椭圆 的方程得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，
即 ，
∴ ，同理可得 ，
，
由题知 ，∴ ，
当 即 为短轴端点时取得最大值 ．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域.
55．在 中，已知点 ， ， 边上的中线长与 边上的中线长之和为6；记
的重心 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)若圆 ： ， ，过坐标原点 且与 轴不重合的任意直线 与圆 相交于点 ， ，直
线 ， 与曲线 的另一个交点分别是点 ， ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【分析】（1）由 判断出 点的轨迹是椭圆，并由此求得椭圆 的方程.
（2）通过直线 的方程求得 两点的坐标，由此求得 面积的表达式，利用基本不等式、
函数的单调性求得面积的最大值.
【详解】（1）设 的中点为 ， 的中点为 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 点的轨迹是以 为焦点，长轴长 ，的椭圆.
所以 ，所以 ， ，
所以曲线 的方程为 .
（2）设直线 为 （不妨设 ），设 ， ，
所以 ，
，
，解得 （ 舍去），则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于 是单位圆的直径，所以 ，
所以直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
同理可求得 ，则 ，
由上述分析可知 ，而 ，
所以
，
所以 ，
令 ，当且仅当 时等号成立，
则 ，
函数 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】求动点的轨迹方程的方法有：直接法，即利用直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义来求得动
点的轨迹方程；等量关系法，即利用题目所给的等量关系式进行化简，从而求得动点的轨迹方程；伸缩变
换法，根据伸缩变换的关系式求得动点的轨迹方程.
56．过椭圆 的右焦点 作两条相互垂直的弦 ， . ， 的中点分别为 ， .
(1)证明：直线 过定点；
(2)若 ， 的斜率均存在，求 面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设直线直线 的方程为 ，联立椭圆方程得到韦达定理式，求出 和 的坐标，
写出点斜式并化简即可得定点坐标；
（2）用 表示出面积，再结合换元法和对勾函数的性质即可求出最值.
【详解】（1）由题可知 .
若直线 ， 有一条斜率不存在，则另一条斜率为0，其中点分别为直线与 轴的交点、原点，过此两
点的直线 方程为 .
若直线 ， 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
由题，可设直线 的方程为 ，直线 的方程为 .
联立 ，消元 ，整理得 ，
因为直线 所过定点 在椭圆内部，则该直线与椭圆必然有两交点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ， ，则 ， ，
从而 ， ，即 ；
用 替换 点坐标中 得 .
若 ，解得 ，此时 ，
当 时，则 ，
则直线 的方程为 ，
整理得 ，即直线 过定点 ，
而直线 的斜率不存在时也过定点 ，直线 也满足过定点 ，
综上，直线 过定点 .
（2）因为 ， 的斜率均存在，则 ，由（1）可得
令 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号.
从而 在 上单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ，即 时取得最小值 .
所以 ，即当 时， 取得最大值为 .
【点睛】关键点睛：本题第一问的关键是采用设线法，联立椭圆方程，得到韦达定理式，利用中点公式求
出 的坐标，再计算化简直线 的方程；第二问的关键是用 表示出面积，再利用整体换元结合对勾
函数单调性求出面积最值.
57．如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一
根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点 处，另一端固定在画板上点
处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在
平面上画出了圆锥曲线 的一部分图象．已知细绳长度为 ，经测量，当笔尖运动到点 处，此时，
， ．设直尺边沿所在直线为 ，以过 垂直于直尺的直线为 轴，以过 垂直于
的垂线段的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求曲线 的方程；
(2)斜率为 的直线过点 ，且与曲线 交于不同的两点 ，已知 的取值范围为 ，探究：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】是否存在 ，使得 ，若存在，求出 的范围，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在 ，使得
【分析】（1）根据抛物线定义可知轨迹为抛物线，采用待定系数法，求得 点坐标后代入抛物线方程即可；
（2）假设存在 ，将直线 方程与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，并将 表示为关于 的
函数的形式，结合二次函数值域求法可求得 的范围，由此可构造不等式求得结果.
【详解】（1）由题意知：笔尖到点 的距离与它到直线 的距离相等，
笔尖留下的轨迹为以 为焦点， 为准线的抛物线，
设其方程为 ，则 ，
由 ， ， 可得： ， ，
点坐标为 ，
代入抛物线方程得： ，即 ，解得： 或 ，
轨迹 的方程为 ．
（2）
假设存在 ，使得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，直线 ，
由 得： ，则 ，
， ，
；
， ， ， ，
令 ， ，
，即 ，
同向， ， ，解得： 或 ，
存在 ，使得 .
【点睛】思路点睛：本题考查抛物线定义的应用、直线与抛物线综合应用中的存在性问题的求解；本题求
解 范围的基本思路是结合韦达定理构造出与 有关的等量关系，将其表示为关于 的函数的形式，根据
函数值域的求法构造不等关系求得结果.
58．已知动点 到定点 的距离与 到定直线： 的距离之比为 ，记点 的轨迹
为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知曲线 与 轴的正半轴交于点 ，不与 轴垂直的直线 交曲线 于 两点（ ， 异于点 ），
直线 分别与 轴交于 两点，若 的横坐标的乘积为 ，则直线 是否过定点？若是，求出该
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1) ；
(2)l过定点， .
【分析】（1）根据给定条件，列出方程并化简作答.
（2）设出直线 的方程及点 的坐标，联立直线 与曲线 的方程，求出点 的横坐标，由已知结合
韦达定理求解作答.
【详解】（1）依题意， ，化简整理得 ，
所以曲线 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，
由 消去y得 ，当 时， ，
由 ，得 ，则直线 的方程为 ，令 ，得点 的横坐标 ，
直线 的方程为 ，令 ，得点 的横坐标 ，
于是 ，
即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则有 ，化简得 ，解得 或 （舍
去），
所以直线 的方程为 ，直线 恒过定点 .
【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为 ，再与圆锥
曲线方程联立结合已知条件探求k，m的关系，然后推理求解.
59．已知椭圆 的左右焦点分别为 是椭圆的中心，点 为其上的一点满足
．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设定点 ，过点 的直线 交椭圆 于 两点，若在 上存在一点 ，使得直线 的斜率与直线
的斜率之和为定值，求 的范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）在 中，根据余弦定理及 可得 ，从而求得椭圆方程.
（2）设 ，直线 的方程为 ，代入椭圆方程得韦达定理，要使
为常数，则 ，根据 范围得到 的范围及点
坐标.
【详解】（1）设 ，在 中，设 ，
，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
，
所以椭圆 的方程为：
（2）设 ，直线 的方程为 ，
，
，
，
设
，
若 为常数，则 ，
即 ，而此时 ，
又 ，即 或 ，
综上所述， 或 ，存在点 ，使得直线 的斜率与直线 的斜率之和为定值
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】关键点点睛： 对任意 恒为定值，因为分子分母中同时含有 ，
这种情况下分子分母 的对应系数成比例则整体可以为定值，故需要 且 即
项、常数项对应成比例.
60．平面直角坐标系 中， 为动点， 与直线 垂直，垂足 位于第一象限， 与直线
垂直，垂足 位于第四象限， 且 ，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)已知点 ， ，设点 与点 关于原点 对称， 的角平分线为直线 ，过点 作 的
垂线，垂足为 ，交 于另一点 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点到直线距离公式和双曲线定义运算分析即可得解.
（2）根据角平分线的条件，利用向量投影模长相等、直线方程、点到直线距离公式、弦长公式、基本不
等式运算即可得解.
【详解】（1）解：由题意设 ，由点到直线距离公式得
， ，
∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，又∵垂足 位于第一象限，
垂足 位于第四象限， ，
∴ 的轨迹方程为 .
（2）解：由对称性，不妨设 在第一象限，设 ，则 ，
设直线 的斜率为 ，记 ，由 为 的角平分线，
则有 ，
其中 ， ， ， ，
∴ ，
同理得： ，代入 中，
∴ ，化简得： .
将 代入 ， 中，
解得： ， ，
∴ ， ，
设直线 的方程为 ，将 代入，
解得： ，
∴直线 的方程为 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由点到直线距离公式得： .
由直线 的斜率为 ，设直线 的方程为 ，
将 点代入，解得： ，
∴直线 的方程为 ，将其与 联立得：
，
设 ，则 ， ，
由 可知 ， ，
由均值不等式， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∵ ，故 ，
∴ ，当且仅当 时，等号成立.
∴ 的最大值为 .
【点睛】圆锥曲线题型中的角平分线问题往往有如下处理思路：
方法一.如果 轴为一个角的平分线，则该角的两边所在直线的斜率互为相反数；
方法二.利用角平分线上的点到角两边的距离相等；
方法三.如果 轴为一个角的平分线，则角两边所在直线满足以下规律：一边上任意一点关于 轴的对称点
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】必在另外一边上；
方法四.利用向量，根据向量投影的模长相等来进行求解.
61．已知椭圆 ： 的离心率为 ，其左、右焦点为 、 ，过 作不与 轴重合的直
线 交椭圆 于 、 两点， 的周长为8.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设线段 的垂直平分线 交 轴于点 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
(3)以 为圆心4为半径作圆，过 作直线 交圆 于 、 两点，求四边形 的面积的最小值及
取得最小值时直线 的方程.
【答案】(1)
(2)存在 满足题设
(3)12，
【分析】（1）根据椭圆定义，结合椭圆离心率公式进行求解即可；
（2）根据椭圆弦长公式，结合线段中点坐标公式、一元二次方程根与系数关系进行求解即可；
（3）根据点到直线距离公式、椭圆弦长公式，结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）根据椭圆定义知 周长为 ，
依题意有 ，
从而 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故椭圆 的方程为 ；
（2）设 ： ， ， ，
由 ，
因为
所以 ， ，所以
，
设线段 中点坐标为 ，则 ， ，
即设线段 中点坐标为 ，
所以线段 的垂直平分线 方程为： ，
令 ，当 时， 与 轴重合，不合题意；
当 时，得 ，即点 ，
所以 ，
所以 ，即存在 满足题设；
（3）直线 ： ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
则弦 的长： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
设 ，则 ，且 ，
所以 ，
易知 在 单调递增，
所以当 ，即 时， ，此时直线 ： .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
62．已知圆 经过 三点．
(1)求圆 的方程．
(2)已知直线 与圆 交于M，N（异于A点）两点，若直线 的斜率之积为2，试问直线 是否经过定
点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线 经过定点，该定点的坐标为
【分析】（1）设出圆 的一般方程，代入 的坐标，由此求得正确答案.
（2）根据直线 的斜率是否存在进行分类讨论，由直线 的斜率之积列方程，化简求得定点坐标.
【详解】（1）设圆W的方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，解得
则圆W的方程为 ．
（2）若直线 的斜率不存在，则设直线 的方程为 ，
则 ，整理得 ．
又 ，解得 ，所以直线 的方程为 ，此时 经过点 ，不符合题意．
若直线 的斜率存在，则设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ．
，
则 ，
整理得 ，
解得 或 ．
当 时，直线 的方程为 ，
此时直线 经过点 ，不符合题意，故舍去．
所以 ，
故直线 的方程为 ，即 ，经过定点 ．
综上所述，直线 经过定点，且该定点的坐标为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】求圆的方程的方法有两种思路，一种思路是根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方
程；另一种思路是设圆的一般方程 ，然后根据已知条件求得 ，从而求得圆的
一般方程.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
