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第 5 章生活中的轴对称（基础 30 题专练）
一．选择题（共12小题）
1．（2021秋•细河区期末）如图，已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线
OM，OE，ON上的动点（在B，C不与点O重合）连接AB，连AC交射线OE于点D，且
AB∥ON，当△OCD是等腰三角形时，则∠OAC＝（ ）
A．60°或40°或120° B．80°或40°
C．60°或120° D．70°或120°
【分析】分两种情况：①当∠COD＝∠OCD，即∠BAD＝∠ABD时，②当∠OCD＝∠CDO，
即∠BAD＝∠BDA时，运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠ABO的度数，根据
∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和即可求解．
【解答】解：∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO＝20°，
①当∠COD＝∠OCD，即∠BAD＝∠ABD时，
∵∠BAD＝∠ABD，
∴∠BAD＝20°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAB＝140°，
∴∠OAC＝120°；
②当∠OCD＝∠CDO，即∠BAD＝∠BDA时，
∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，
∴∠BAD＝80°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝60°；
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和平行线的性质的应用，利用
平行线以及角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，注意分类讨论思想的运用．
2．（2021秋•微山县期末）下列图形是轴对称图形的是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．三角形 D．四边形
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做
轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：等腰三角形是轴对称图形，它的底边上的高所在是直线就是它的对称轴，
直角三角形、三角形和四边形均不一定能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，所以不一定是轴对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠
后可重合．
3．（2021秋•仓山区校级期末）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，
点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为
（ ）
A． B．3 C．3 D．2
【分析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，
根据等边三角形的性质得到BF＝
1
2
AB＝
1
2
×6＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过C作CF⊥AB交AD于E，
则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，
∴BF＝ AB＝ 6＝3，
∴CF＝ ＝ ＝3 ，
∴CE+EF的最小值为3 ，
故选：C．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形．
4．（2021秋•普兰店区期末）如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接DA，DC，
则（ ）
A．∠A＝∠C B．∠B＝∠ADC C．DA＝DC D．DE＝DF
【分析】根据线段垂直平分线的性质求解判断即可．
【解答】解：如图，连接BD，
∵DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，
∴DA＝DB，DB＝DC，
∴DA＝DC，
故选：C．
【点评】此题考查了性质的垂直平分线的性质，熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端点
的距离相等”是解题的关键．
5．（2021秋•信都区期末）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD
＝30°，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【分析】由△ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出∠BAC＝60°，BC＝AB＝4，结合∠BAD＝30°，可得出∠CAD＝30°＝∠BAD，进而可得出AD为∠BAC的角平分线，再利
用等边三角形的三线合一可得出AD为BC的中线，结合BC＝4即可求出CD的长．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，BC＝AB＝4．
∵∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°＝∠BAD，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∴AD为BC的中线，
∴CD＝ BC＝ ×4＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的三线合一，找出AD为BC的中线
是解题的关键．
6．（2021秋•湖州期末）如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，
使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【分析】将空白部分小正方形分别涂黑，任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7
有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形．
【解答】解：如图，
将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7
有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠
后可重合．
7．（2021秋•迁安市期末）如图，将长方形纸片沿MP和NP折叠，使线段PB'和PC'重合，则下
列结论正确（ ）
①∠BPB′＝ ∠C′PC
②∠BPM+∠B'PM＝90°③∠BPM+∠NPC＝90°
④∠NPM＝90°
⑤∠B'PM+∠NPC＝90°
A．①②③ B．③④⑤ C．②③④ D．①⑤
【分析】由折叠可知，∠BPM＝∠B'PM＝ ∠BPB'，∠CPN＝∠C'PN＝ ，据此解
答即可．
【解答】解：由折叠可知，∠BPM＝∠B'PM＝ ∠BPB'，∠CPN＝∠C'PN＝ ，
∴∠BPM+∠NPC＝ ∠BPB'+ ＝ ＝90°，故③正确；
∠NPM＝∠B'PM+∠C'PN＝ ∠BPB'+ ＝ ＝90°，故④正确；
∠B'PM+∠NPC＝ ∠BPB'+ ＝ ＝90°，故⑤正确
故①②错误．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠问题，正确运用角平分线的性质是解题的关键．
8．（2021秋•嵊州市期末）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝110°，延长BC到D，在
∠ACD内作射线CE，使得∠ECD＝15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF＝ ，则AB
的长为（ ）
A． B．2 C．4 D．6
【分析】过点C作CH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质以及角的和差求出AH＝BH，
∠ACH＝∠ACF＝55°，则CA平分∠HCF，根据角平分线的性质可得AH＝AF，即可得AB的
长．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于H，∵CA＝CB，∠ACB＝110°，
∴∠ACH＝ ∠ACB＝55°，∠ACD＝70°，
∵∠ECD＝15°．
∴∠ACF＝∠ACD﹣∠ECD＝55°，
∴∠ACH＝∠ACF＝55°，
∴CA平分∠HCF，
∵AF⊥CE，CH⊥AB，
∴AH＝AF＝ ，
∴AB＝2AH＝2 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，解
决问题的关键是得出CA平分∠HCF．
9．（2022春•江都区月考）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，
PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（ ）
A．8 B．9 C．12 D．15
【分析】延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的
性质即可求解此题．
【解答】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，
由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四边形PGBD，EPHC是平行四边形，
∴PG＝BD，PE＝HC，
∵△ABC是等边三角形，PF∥AC，PD∥AB，
∴△PFG，△PDH是等边三角形，
∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，
又∵△ABC的周长为24，
∴PD+PE+PF＝DH+HC+BD＝BC＝ ×24＝8，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，应熟练掌
握，解题的关键是得到△PFG，△PDH是等边三角形．
10．（2021秋•桃城区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D
点，交边AC于E点，若
△ABC与△EBC的周长分别是20，12，则AB为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE＝BE；然后根据△ABC的周长＝
AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，可得△ABC的周长﹣
△EBC的周长＝AB，据此求出AB的长度是多少即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，
∴△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB，
∴AB＝20﹣12＝8．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直
平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角
形的周长的求法，要熟练掌握．
11．（2021秋•江源区期末）一个等腰三角形的底角是39°，则它的顶角是（ ）
A．39° B．51° C．78° D．102°
【分析】因为等腰三角形的底角相等，根据三角形的内角和是180度，从而可以求出顶角的
度数．
【解答】解：因为一个等腰三角形的一个底角是39°，
则另一个底角也是39°，所以顶角为：180°﹣39°×2
＝180°﹣78°
＝102°，
故选：D．
【点评】考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是：依据等腰三角形的特点以及三角形
的内角和定理确定出三角形的顶角的度数．
12．（2021秋•雁江区期末）等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．7或8
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进
行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为2时，2+2＞3，所以能构成三角形，周长是2+2+3＝7；
当腰为3时，3+2＞3，所以能构成三角形，周长是：2+3+3＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目
一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点
非常重要，也是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．（2022•乐清市一模）如图，△ABC的边CB关于CA的对称线段是CB'，边CA关于CB的对
称线段是CA'，连结BB'，若点A'落在BB'所在的直线上，∠ABB'＝56°，则∠ACB＝ 2 8 度．
【分析】根据对称性可判断出BB'⊥AC，先求出∠BAC＝34°，再根据对称的性质判断
△A'CB≌△ACB，最后根据∠ACA'＝2∠ACB即可求解．
【解答】解：连接BA'，AC与BB'交点为O，
∵CB关于CA的对称线段是CB'，
∴BB'⊥AC，
∵∠ABB'＝56°，
∴∠BAC＝34°，
∵边CA关于CB的对称线段是CA'，
∴△A'CB≌△ACB，
∴∠BA'C＝∠BAC＝34°，
∴∠ACA'＝2∠ACB＝56°，
∴∠ACB＝28°．【点评】本题主要考查轴对称的性质，及三角形全等的判定及性质，熟练掌握轴对称的性质
是解答本题的关键．
14．（2021秋•沙依巴克区校级期末）如图，在边长为6，面积为9 的等边△ABC中，N为线
段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则
BM+MN的最小值是 3 ．
【分析】过C作CN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，根据两点之间线段最短和垂线段最短
得出此时BM+MN最小，由于C和B关于AD对称，则BM+MN＝CN，根据勾股定理求出CN，
即可求出答案．
【解答】解：过C作CN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，则BM+MN最小（根据两点之间
线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BM+MN＝CN，
∵等边△ABC中，AD平分∠CAB，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴C和B关于直线AD对称，
∴CM＝BM，
即BM+MN＝CM+MN＝CN，
∵CN⊥AB，
∴∠CNB＝90°，CN是∠ACB的平分线，AN＝BN（三线合一），
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCN＝30°，
∵AB＝6，
∴BN＝ AB＝3，
在△BCN中，由勾股定理得：CN＝ ＝ ＝3 ，即BM+MN的最小值是
3 ．
故答案为3 ．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对
称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．
15．（2021秋•单县期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，E，F分别是边AB，AC上的
点，连接EF，将△AEF沿着EF折叠，得到△A′EF，当边A′F∥BC时，∠AEF的度数为
120° ．
【分析】由∠B＝90°，∠A＝30°，推出∠C＝60°，因为A′F∥BC，∠B＝90°，所以∠FHA＝
∠B＝90°，∠HFA＝∠C＝60°，由折叠可知，∠HFE＝∠AFE＝ ∠HFA＝30°，利用外角性
质即可求出∠AEF的度数．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，
∴∠C＝60°，
∵A′F∥BC，∠B＝90°，
∴∠FHA＝∠B＝90°，∠HFA＝∠C＝60°
由折叠可知，
∠HFE＝∠AFE＝ ∠HFA＝30°，
∴AEF＝∠EHF+∠HFE＝90°+30°＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查了翻折变换，平行线的性质，利用外角性质和平行线的性质是解答本题的
关键．
16．（2021秋•和平区校级期末）长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、AD上，连接EF，
将∠AEF沿EF翻折，得到∠A EF，连接CE，将∠BEC翻折，得到∠B EC，点B 恰好落在
1 1 1
线段A E上，若∠AEF＝29°，则∠B EC＝ 6 1 °．
1 1
【分析】由折叠可得∠AEF＝∠A EF，∠BEC＝∠B EC，则∠AEF＝∠A EF＝29°，所以
1 1 1
∠A EB＝180°﹣29°﹣29°＝122°，从而推出∠BEC＝∠B EC＝ ＝61°．
1 1【解答】解：由折叠可得∠AEF＝∠A EF，∠BEC＝∠B EC，
1 1
∵∠AEF＝29°，
∴∠A EF＝29°，
1
∴∠A EB＝180°﹣29°﹣29°＝122°，
1
∴∠BEC＝∠B EC＝ ＝61°，
1
故答案为61．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，利用翻折变换的性质得出∠A EF的度数是解题关
1
键．
17．（2021秋•昌吉市校级期末）如图，∠A＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，且AB＝3cm，
BD＝2cm，则DE＝ 1 cm．
【分析】根据题意求出AD，根据角平分线的性质定理解答即可．
【解答】解：∵AB＝3cm，BD＝2cm，
∴AD＝AB﹣BD＝1（cm），
∵CD平分∠ACB，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝1cm，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解
题的关键．
18．（2021秋•绵阳期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝a，CE＝b，∠BAC和∠ABC的平
分线分别为AD，BE相交于点O，AD交BC于点D，BE交AC于点E，过点O作OF⊥AB于F，
若OF＝c，则△ABC的面积为 a c + b c ．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可知OE⊥AC，AC＝2CE＝2b，根据角平分线的性
质得到OF＝OE＝OG，再利用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：如图，作OG⊥BC，连接OC，∵AB＝BC，BE平分∠ABC，
∴OE⊥AC，AC＝2EC＝2b，
∵∠BAC和∠ABC的平分线分别为AD，BE相交于点O，且OF⊥AB，
∴OE＝OF＝OG＝c，
∴S△ABC ＝S△ABO +S△ACO +S△BCO
＝
＝
＝ac+bc．
故答案为：ac+bc．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质，结合图形合理利用等腰三角形的性
质、角平分线的性质是解题的关键．
19．（2021秋•绵阳期末）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三
角形，使顶点C落在边AB上的点E处，折痕为BD，AE＝3cm，则△AED的周长等于 9 cm
cm．
【分析】依据翻折的性质可知DC＝DE，BC＝BE，然后可求得AD+DE+AE＝AD+DC+AE＝
AC+AE，故此可求得△AED的周长．
【解答】解：∵由翻折的性质可知DC＝DE，BC＝BE．
∴AD+DE+AE＝AD+DC+AE＝AC+AE＝6+3＝9（cm），
∴△AED的周长为：9cm．
故答案为：9cm．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的判定，掌握翻折的性质是解题的
关键．
20．（2021秋•密山市期末）如图，DO垂直AC，且AO＝OC交AB于点D，若AB＝7cm，BC＝
5cm，则△BDC的周长是 1 2 cm ．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AD＝CD，然后求
出△BCD的周长＝AB+BC，代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵DO垂直AC，且AO＝OC，∴DO是边AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝BD+AD+BC＝AB+BC，
∵AB＝7cm，BC＝5cm，
∴△BDC的周长＝7+5＝12（cm）．
故答案为：12cm．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，是基础题，
熟记性质是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•阳江期末）如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连
接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．
【分析】先根据等腰三角形的判定得到PA＝PB，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到
距离．
【解答】证明：∵∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB，
∵PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，
∴P点在∠MON的平分线上，
∴OP平分∠MON．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．在角的内
部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
22．（2021秋•邵阳县期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21cm，
△ABD的周长为13cm，求AE的长．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DC，AE＝CE＝ AC，再根据题意可得
AB+BC+AC＝21cm，AB+BD+AD＝13cm，然后可得AC长，进而可得AE长．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，AE＝CE＝ AC，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AB+BC+AC＝21cm，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴AC＝8cm，
∴AE＝4cm．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段
两端点的距离相等．
23．（2021秋•嘉鱼县期末）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的
一个空白正方形涂黑，使整个图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）．
【分析】根据轴对称图形的定义即可解决问题．
【解答】解：如图有5种方法：
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠
后可重合．
24．（2021秋•岑溪市期末）在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，
1），B（2，﹣1），C（4，4）．
（1）请在所给的坐标系中画出△ABC；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′、B′、C′分别是A、B、C的对应
点）．【分析】（1）根据A（0，1），B（2，﹣1），C（4，4），即可在所给的坐标系中画出
△ABC；
（2）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）如图，△A′B′C′即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
25．（2021秋•内乡县期末）【教材呈现】东师版数学八年级上册教材94页的部分内容，我们都
知道演绎推理的方法是研究图形属性的重要方法，请你写出完整的证明过程．
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线MN是线
段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发
现PA与PB完全重合，由此即有：
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程．
已知：如图1，MN⊥AB，垂足为点C， AC ＝ BC ，点P是直线MN上的任意一点．
求证： PA ＝ PB ．
证明：
【学以致用】如图2，CD是线段AB的垂直平分线，则∠CAD与∠CBD有何关系？请说明理
由．【分析】【教材呈现】根据垂直的定义及全等三角形的判定与性质即可解答；
【学以致用】根据线段垂直平分线的性质即可解答．
【解答】【教材呈现】已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的
任意一点，
求证：PA＝PB．
故答案为：AC＝BC，PA＝PB．
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°，
在△PCA和△PCB中，
，
∴△PCA≌△PCB（SAS），
∴PA＝PB；
【学以致用】∠CAD＝∠CBD，
理由∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC，AD＝BD，
∴∠CAB＝∠CBA，∠DAB＝∠DBA，
∴∠CAB﹣∠DAB＝∠CBA﹣∠DBA，
即∠CAD＝∠CBD．
【点评】此题考查的是轴对称图形、线段垂直平分线的性质，经过某一条线段的中点，并且
垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂
线”．
26．（2021秋•汉阴县校级期末）如图，已知△ACD的周长是14，AB﹣AC＝2，BC的垂直平分
线交AB于点D，BC交AB于点D，交BC于点E，求AB和AC的长．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的周长公式和已知列出方程
组，解方程组即可．
【解答】解：∵BC的垂直平分线交AB于点D，
∴DB＝DC．
∵△ACD的周长是14，
∴AD+AC+CD＝14，即AC+AB＝14，
则 ，
∴AB＝8，AC＝6．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两
个端点的距离相等是解题的关键．
27．（2022春•睢宁县月考）一个等腰三角形的两条边长为4，7，那么它的周长是多少？
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、7，
能组成三角形，周长＝4+4+7＝15；
②4是底边长时，三角形的三边分别为4、7、7，
能组成三角形，周长＝4+7+7＝18．
综上所述，这个等腰三角形的周长是15或18．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断
是否能组成三角形．
28．（2021秋•连江县期末）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，
E，AE，BD相交点O，连接DE．
（1）判断△CDE的形状，并说明理由；
（2）求证：S△AOB ＝2S△OBE ．
【分析】（1）证明∠C＝60°，CD＝CE，即可解决问题．
（2）证明AO＝2OE，即可解决问题．【解答】（1）解：△CDE是等边三角形，
理由：∵△ABC是等边三角形，且BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠C＝60°，CE＝ BC，CD＝ AC；而BC＝AC，
∴CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形．
（2）证明：由（1）知：AE、BD分别是△ABC的中线，
∴∠BAE＝∠DBA＝30°，AE⊥CB，
∴OA＝OB，
∵∠OBE＝30°，
∴OB＝2OE，
∴AO＝2OE，
∴S△AOB ＝2S△OBE ．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解
题的关键．
29．（2021秋•利通区校级期末）如图，已知网格上最小正方形的边长为1．
（1）作△ABC关于x轴对称的图形△A B C ，并写出B 的坐标；
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（2）求△A B C 的面积．
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【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C 即可；
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（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求；
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（2）△A B C 的面积＝3×3﹣ ×1×2﹣ ×3×2﹣ ×1×3＝3.5．
1 1 1【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换
的性质，学会利用轴对称解决最短问题．
30．（2021秋•利通区校级期末）如图，写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于y轴的对
称图形△A B C ，并直接写出△ABC关于x轴对称的△A B C 的各点坐标．试求出△ABC的
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面积．
【分析】首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点，然后再连接即可画出△ABC关于y轴的
对称图形△A B C ；根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标相反可得
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△A B C 的各点坐标．利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可得到△ABC的面积．
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【解答】解：如图，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
如图，△A B C 即为所求；
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如图，△A B C 的各点坐标为A （﹣3，﹣2），B （﹣4，3），C （﹣1，1）．
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△ABC的面积为3×5﹣ ×1×5﹣ ×2×3﹣ ×3×2＝6.5．
【点评】本题考查的是轴对称变换作图，点的平移及三角形面积的求法，作轴对称后的图形
的依据是轴对称的性质，基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．熟练掌握网格结构，准确找出对应点的
位置是解题的关键．
